马克维茨投资理论浅析
最优投资组合--马科维茨投资组合理论
最优投资组合--马科维茨投资组合理论<代码已经过期，其中爬⾍链接已经失效>⼀：马科维茨投资组合理论投资组合（Portfolio）是由投资⼈或⾦融机构所持有的股票、、产品等组成的集合。
投资组合的⽬的在于分散风险，按粗略的分类有三种不同的模式可供运⽤，即积极的、中庸的和保守的。
投资组合理论[1]：若⼲种组成的，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低。
⼈们进⾏投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进⾏选择。
投资组合理论⽤均值-⽅差来刻画这两个关键因素。
其中均值是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资⽐例。
⽅差是指投资组合的收益率的⽅差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
那么在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢?投资组合理论主要通过研究"理性投资者"优化投资组合。
所谓理性投资者:是指在给定期望风险⽔平下对期望收益进⾏最⼤化，或者在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化。
⼆：求解最优投资组合过程本⽂最优投资组合思想是：在给定期望收益⽔平下对期望风险进⾏最⼩化的投资。
利⽤的是马克维茨的均值-⽅差模型：本⽂实现最优投资组合的主要步骤：1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益2：得到标准差最⼩时的期望收益3：根据1，2所得的期望收益，获取预估期望收益范围，在预估期望收益范围内取不同值，获取其最⼩⽅差，得到预估期望收益与最⼩⽅差的关系即获得最⼩⽅差边界。
4：最⼩⽅差边界位于最⼩⽅差资产组合上⽅为有效边界5；获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML6：得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重三：实证数据⽤例：1：获取10股股票历史收盘价记录（2014.07.01—2017.07.01）（附件：stocks.xlsx）stocks=['601166', #兴业银⾏'600004', #⽩云机场'300099', #精准信息'601328', #交通银⾏'601318', #中国平安'601398', #中设股份'000333', #美的集团'600036', #招商银⾏'600016', #民⽣银⾏'601818'] #光⼤银⾏1.1：股票历史收盘价趋势折线图如下：2：计算预期收益率：连续复利收益率即对数收益率（附件：stock_revs.xlsx）revs=np.log(data/data.shift(1))3：⽤蒙特卡洛模拟产⽣⼤量随机组合，得到随机权重投资组合散点图如下：4：最优投资组合步骤：4.1：得到夏普⽐率最⼤时的期望收益def max_sharpe(weights):return -getPortfolioInformation(weights)[2]opts=sco.minimize(max_sharpe,numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)getPortfolioInformation(opts['x']).round(4) #opts['x'] ：得到夏普⽐率最⼤时的权重，收益率，标准差，夏普⽐率#此时权重：[ 3.21290938e-01 5.00704152e-02 8.67642540e-02 0.00000000e+00 5.41874393e-01 0.00000000e+00 0.00000000e+00 0.00000000e+000.00000000e+00 5.15579333e-16]# [收益率= 0.478 标准差=0.251 夏普⽐率=1.904]4.2： minimize:优化，最⼩化风险：⽅差最⼩化def min_variance(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1] ** 2optv=sco.minimize(min_variance, numb * [1. / numb,],method='SLSQP', bounds=bnds,constraints=cons)#此时权重：[ 1.18917047e-01 1.00755105e-01 1.04406546e-01 4.08438380e-02 4.53999968e-02 0.00000000e+00 0.00000000e+00 9.16150836e-18 5.89677468e-01 1.52059355e-17]# [收益率= 0.309 标准差= 0.22 夏普⽐率=1.405]4.3：获取有效边界4.3.1：获取最⼩⽅差边界曲线图，最⼩⽅差资产组合，随机组合散点图：指定收益率范围 [0.1545, 0.5736 ],求最⼩⽅差：def min_sd(weights):return getPortfolioInformation(weights)[1]tvols = []infor_min_sd=[]#获取在指定期望收益下的最⼩标准差：for tret in trets:cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: getPortfolioInformation(x)[0] - tret},{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x)-1})res = sco.minimize(min_sd, numb * [1. / numb,], method='SLSQP',bounds=bnds, constraints=cons)infor_min_sd.append(res) # tret 唯⼀的tvols.append(res['fun']) #获取函数返回值，即最⼩标准差tvols = np.array(tvols)ind_min_sd = np.argmin(tvols) #最⼩⽅差组合处进⾏划分，分两段evols = tvols[:ind_min_sd]erets = trets[:ind_min_sd]tck = sci.splrep(erets,evols ) #B-Spline样条曲线函数 #前⼀个必须是唯⼀y2 = np.linspace(np.min(erets), np.max(erets), 100)x2 = sci.splev(y2, tck)evols = tvols[ind_min_sd:]erets = trets[ind_min_sd:]tck = sci.splrep(evols, erets)x3 = np.linspace(np.min(evols), np.max(evols), 100)y3 = sci.splev(x3, tck)plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x2, y2,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.plot(x3, y3,'g',label=u"最⼩⽅差边界")plt.axhline(y=rev_min_variance,color='b',label=u"最⼩⽅差资产组合") #最⼩⽅差资产组合plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()结果显⽰如下4.3.2：获取有效边界曲线图：plt.figure(figsize=(10, 8))plt.scatter(pvols, prets, c=prets/pvols,s=5, marker='.')plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'r*', markersize=8.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=8.0)#最⼩⽅差plt.grid(True)plt.xlabel('Expect Volatility')plt.ylabel('Expect Return')plt.show()5：获取最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率，绘出CML5.1： B-Spline样条曲线的参数tck = sci.splrep(evols, erets)5.2： B-Spline样条曲线函数def f(x):return sci.splev(x, tck, der=0)5.3： B-Spline样条曲线函数⼀阶导数def df(x):return sci.splev(x, tck, der=1)5.4：构造⾮线性函数，使函数fun(x)⽆限逼近0向量, risk_free_return：⽆风险收益，默认为0.00def fun(x, risk_free_return=0.00):e1 = risk_free_return - x[0]e2 = risk_free_return + x[1] * x[2] - f(x[2])e3 = x[1] - df(x[2])return e1, e2, e35.5 利⽤最⼩⼆乘法⽆限逼近0，⽆风险收益率：0，斜率：0.5，初始⾃变量：zoneX = sco.fsolve(fun, [0.00, 0.50, zone])plt.figure(figsize=(12, 6))#圆点为随机资产组合plt.scatter(pvols, prets,c=prets/ pvols,s=5, marker='.')#随机组合散点集plt.plot(x3, y3,'g',label=u"有效边界")plt.plot(getPortfolioInformation(opts['x'])[1], getPortfolioInformation(opts['x'])[0],'g*', markersize=5.0)#最⼤夏普⽐率plt.plot(getPortfolioInformation(optv['x'])[1], getPortfolioInformation(optv['x'])[0],'y*', markersize=5.0)#最⼩⽅差#设定资本市场线CML的x范围从0到1.5最⼤夏普利率时标准差值x = np.linspace(0.0, 1.5*zone)#带⼊公式a+b*x求得y,作图plt.plot(x, X[0] + X[1] * x, lw=1.5)#标出资本市场线与有效边界的切点，绿星处plt.plot(X[2], f(X[2]), 'r*', markersize=5.0)plt.grid(True)plt.axhline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.axvline(0, color='k', ls='--', lw=2.0)plt.xlabel('expected volatility')plt.ylabel('expected return')plt.colorbar(label='Sharpe ratio')plt.show()#最⼤夏普⽐率点： (0.251241778282 ,0.478266895458) #切点： (0.251147161667, 0.4781282509275755)结果图如下：6: 得到最⼩⽅差边界上最⼤夏普⽐率处各股票权重:根据收益率差绝对值最⼩选取权重进⾏投资：rev_result=f(X[2])flag=0temp=abs(trets[0]-rev_result)length=len(trets)for i in range(1,length):if abs(trets[i]-rev_result)<temp:temp=trets[i]-rev_resultflag=iweight_result=infor_min_sd[flag]['x']all=0 #最终为 1.0for i in range(10):all=all+weight_result[i]print('{:.5f}'.format(weight_result[i]))# weight_result=[ 0.00000 0.04802 #⽩云机场0.00000 0.85880 #交通银⾏ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.09318 #民⽣银⾏ 0.00000 ]故最终投资股票是：0.04802 #⽩云机场0.85880 #交通银⾏0.09318 #民⽣银⾏。
马科维茨投资组合理论模型
马科维茨投资组合理论模型
1 马科维茨投资组合理论
马克·科维茨（Markowitz）投资组合理论是一种采用数学工具来评估投资组合最优化的价值投资方法。
它的目的在于帮助投资者实现取得最大的投资回报，同时将风险保持在一个更合理的水平。
科维茨说，有一种投资组合可以达到最大的投资回报，其风险跟另一种投资组合相同。
也可以用资本资产定价模型（CAPM）来实现这一点。
2 科维茨假设
马克·科维茨（Markowitz）投资组合理论假设只有两个因素可以影响投资组合的收益：风险和期望收益。
科维茨假设个体投资者都有一个趋向于尽可能获得最大回报的目标，他认为这是投资目标的核心原则。
为了实现最高的投资回报，投资者应根据他们的投资目标和风险容忍度，以及预期投资行业的收益率，制定一个体面的投资组合，使之尽可能获得最大的投资回报。
3 评估投资组合
马克·科维茨（Markowitz）投资理论定义了两个投资组合评估指标：1）期望收益，2）投资组合的系统性风险。
期望收益作为投资组合的衡量指标，是投资组合在一定时间内的有效收益的预期值。
投资组合的系统风险是投资组合的整体风险，可以由波动率和夏普比率来衡量。
4 总结
马克·科维茨（Markowitz）投资组合理论引入了投资领域众多新的概念，其中包括期望收益，系统性风险，夏普比率等指标，为投资者制定投资组合，获得最大回报提供了可靠可行的途径，并成为当今价值投资的重要理论基础。
马克威茨投资组合理论在我国证券市场的应用研究
马克威茨投资组合理论在我国证券市场的应用研究摘要：本文对马克威茨(Markowitz)的均值——方差理论进行阐述，深入分析该理论在中国证券市场实际应用中的局限性。
为更好地发挥均值——方差理论的指导作用，本文针对该理论的局限性，提出构建完善证券市场的建议，并对均值——方差模型提出相关的改进措施。
关键词：均值——方差理论；投资组合；局限性；证券市场马克威茨(Markowitz)的投资组合理论将期望和方差引入投资管理的分析框架，建立了均值——方差模型，奠定了现代投资组合理论的基础。
由于该理论建立在一系列严格的假设条件下，在肯定其科学性及理论价值的同时，正确认识该理论的局限性，对发挥该理论在我国证券市场的指导作用具有一定的理论和实际意义。
一、马克威茨的均值——方差理论马克威茨在1952年发表的《Portfolio Selec，tions》一文中，提出了均值——方差理论，该理论是现代资产组合理论的开端，第一次将数理统计和线性规划应用于投资组合选择问题上，是金融投资理论进入定量化分析阶段的标志。
其模型的假设条件有：(一)证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值，每个投资者都掌握了充分的信息，了解每种证券的期望收益率及标准差。
不存在交易费用和税收，投资者是价格接受者，证券是无限可分的，必要的话可以购买部分股权。
(二)证券投资者的目标是在给定的风险水平上收益最大或在给定的收益水平上风险最低。
(三)投资者将基于收益的均值和标准差或方差来选择最优资产投资组合，如果要他们选择风险(方差)较高的方案，他们都要求有额外的收益作为补偿。
(四)投资者追求财富期望效用的极大化，投资者具有单周期视野，不允许买空与卖空。
马科威茨证券组合理论认为，投资者进行决策时总希望以尽可能小的风险获得尽可能大的收益，或在收益率一定的情况下，尽可能降低风险，即研究在满足预期收益率一定的情况下，使其风险最小；或在满足既定风险一定的情况下，使其收益最大。
投资理论解析
投资理论解析投资是指将资金投入到某种项目或资产中，以期望获得收益的行为。
投资理论则是对投资行为背后原理和方法的探索与总结。
在这篇文章中，我们将对几种常见的投资理论进行解析，以帮助读者更好地进行投资决策。
一、有效市场假说有效市场假说是由美国经济学家尤金·弗雷迪曼于20世纪60年代提出的。
该理论认为，市场上的价格反映了所有可获得的信息，投资者无法通过预测市场走势或选择优质的投资标的来获得超额收益。
因此，投资者应该采取被动投资策略，即通过指数型基金等方式来进行投资，以跟随市场波动。
二、均值-方差模型均值-方差模型是由马科维茨在1952年提出的投资组合理论。
该模型认为投资者在选择投资组合时应考虑预期收益和风险之间的均衡。
通过分析资产的收益率和方差，投资者可以找到最优的资产配置方案。
在均值-方差模型中，投资者需要根据个人的风险承受能力和投资目标来确定合适的资产配置比例，以达到最大化收益和最小化风险的目的。
三、行为金融学行为金融学是对传统金融理论的一种补充和扩展。
传统金融理论假设投资者在决策时是理性的，而行为金融学则认为投资者的决策常常受到情绪、心理偏差和群体行为等非理性因素的影响。
因此，行为金融学强调投资者应该认识到自己的行为偏差，并采取相应的措施来规避风险。
例如，投资者可以采用分散投资策略、定期检查投资组合等方式来降低非理性决策的负面影响。
四、资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是一种量化投资风险和预期收益之间关系的模型。
该模型通过衡量投资组合相对于市场的系统风险、特定风险以及预期的市场回报率，来确定一个合理的资本成本和预期收益率。
利用CAPM模型，投资者可以进行投资标的的评估和定价，以辅助投资决策。
总结：本文对几种常见的投资理论进行了解析，包括有效市场假说、均值-方差模型、行为金融学和资本资产定价模型。
这些理论为投资者提供了不同的思路和工具，以便在投资决策中更加理性地权衡风险和收益。
了解现代投资理论马科维茨模型解析
了解现代投资理论马科维茨模型解析马科维茨模型（Markowitz Model）是现代投资理论中的一种重要方法，它通过对资产组合的优化分析，帮助投资者最大化收益同时将风险降至最低。
本文将详细解析马科维茨模型的原理和应用，并探讨其在现代投资决策中的重要性。
一、马科维茨模型的理论基础马科维茨模型的核心理论基础就是资产组合的有效边界（Efficient Frontier）概念。
有效边界是指在给定风险水平下，所有可能的资产组合中，能够取得最高收益的一组投资组合。
马科维茨通过研究资产之间的相关性以及风险与收益之间的关系，提出了构建有效边界的方法，从而为投资者提供了科学的投资组合选择依据。
二、马科维茨模型的关键要素1. 风险的度量：马科维茨将风险定义为资产回报的方差或标准差，该指标能够客观地反映资产的波动性。
2. 收益的度量：投资组合的收益可以通过加权平均资产回报率来计算，权重即为投资者对于各个资产的配置比例。
3. 相关性的分析：马科维茨模型假设资产之间的收益率是通过正态分布进行描述的，并基于这种假设计算资产之间的协方差，并将协方差用于计算风险。
三、马科维茨模型的具体应用1. 优化投资组合：马科维茨模型可以帮助投资者在给定风险水平下，找到最合理的资产配置方案，从而达到收益最大化的目标。
2. 风险控制与分散：通过马科维茨模型，投资者可以分散投资组合中的风险，通过权衡不同资产之间的相关性，将风险降至最低。
3. 战略分析与决策：马科维茨模型还可以帮助投资者进行战略分析和决策，通过对不同资产的回报率和方差进行评估，确定最佳投资策略。
四、马科维茨模型的局限性1. 假设限制：马科维茨模型建立在一系列假设的基础上，如资产收益率符合正态分布假设、相关性的稳定性等，这些假设在实际市场中并不总是成立。
2. 数据限制：模型的有效性高度依赖于准确的历史数据，但由于市场的不确定性和数据获取的限制，数据可能存在一定的误差，从而影响模型的应用效果。
马克维茨投资组合中文经典评析
投资组合投资组合的选择过程可以分为两个阶段。
第一个阶段以观察和经验开始以预计拥有证券的未来绩效结束。
第二个阶段以未来绩效相关的信念开始以投资组合的选择结束。
本文主要研究第二个阶段。
首先，我们相信投资者会最大化其预期折现或期望的收益。
这个准则我们既不作为一个假设去解释也不作为最大化指导投资者的行为。
我们接下来考虑投资者应该思考预期的收益是合意的，收益的方差是不确定的。
这个准则不论作为投资行为最大化或假设都有很多优点。
我们通过预期收益-收益方差来解释投资组合的选择与预期之间的几何关系。
投资组合选择的一种类型是投资者应该最大化未来收益的折现（资本化）价值。
因为未来是不确定的，我们必须预期未来的折现收益，可以提出这种类型的变化，根据hicks我们可以让预期的收益包含对未来风险的补贴。
或者我们可以让资本化的利率虽不同证券组合的不同利率变化。
投资者应该最大化折现价值的假设或准则必须被拒绝。
如果我们忽略了市场的缺陷上述的准则不会表明存在多样化的投资组合优于所有的非多元化的投资组合。
多元化是可以观察也可以感觉到的。
一个不包含多元化优越性的准则或假设必须被拒绝。
上述的准则没有解释多样化是如何形成的，是否不同的折现率被用于不同的投资组合，假设表明投资者将他所有的资金投资于折现价值最大的证券，如果两个或更多的证券有相同的价值那么所有这些组合都是一样好的。
我们可以看这个解析:假设有N种证券令r it为在时间t投资一美元证券i的预期收益，d it为证券组合i th在t时折现到当前的折现率。
X i为投资到证券i的相对数量。
我们排出了卖空，所以对于所有的证券i,X i>=0那么证券组合的预期回报为:为证券组合i th的折现回报。
所以相互独立，对于所有的证券i X i》=0R为X i非负权重条件下R i的加权平均。
总结：投资者应当多元化并最大化他们的预期回报。
投资者应当在最大化其投资收益的所与证券投资组合中进行多样化，统计学中的大数定律可以保证实际的投资组合收益将会和预期十分接近。
投资学中的马科维茨模型及应用
投资学中的马科维茨模型及应用在投资领域，马科维茨模型是一种经典的投资组合理论，被广泛应用于资产配置和风险管理。
该模型由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，被誉为现代资产组合管理的奠基之作。
马科维茨模型的核心理念是通过有效的资产配置来实现收益最大化和风险最小化。
它基于以下两个基本假设：1. 投资者是理性的，追求最大化效用；2. 投资者关注的是整体投资组合的风险和回报，而非单个资产。
在马科维茨模型中，投资组合的有效前沿是一个关键概念。
有效前沿是指在给定风险水平下，能够实现最高预期收益的投资组合。
通过计算各种不同资产配置下的预期收益和风险，可以绘制出一条曲线，该曲线上的每个投资组合都是有效的。
为了确定有效前沿上的最优投资组合，马科维茨模型引入了一个关键概念——投资组合的方差-收益权衡。
方差衡量了投资组合收益的波动性，收益越稳定，方差越低。
马科维茨认为，投资者应该根据自己的风险承受能力来选择最佳的投资组合，即在给定风险下，选择方差最小的投资组合。
为了应用马科维茨模型，投资者需要收集各种资产的历史收益率数据，并计算出它们的协方差矩阵。
协方差矩阵反映了不同资产之间的相关性，相关性越低，投资组合的风险越小。
通过优化算法，可以计算出在给定风险水平下的最优资产配置。
马科维茨模型的应用不仅限于个人投资者，也广泛应用于机构投资者和资产管理公司。
它为投资者提供了一种系统性的方法来管理投资组合，帮助他们在追求高收益的同时降低风险。
然而，马科维茨模型也存在一些限制和争议。
首先，该模型基于历史数据，无法完全预测未来的市场表现。
其次，该模型假设市场是有效的，即投资者可以无限制地买卖任何资产，而现实中市场存在流动性和交易成本的限制。
此外，马科维茨模型忽视了投资者的心理因素，如风险厌恶和非理性行为。
尽管存在这些限制，马科维茨模型仍然是投资学中的重要工具。
它为投资者提供了一种科学的方法来管理投资组合，帮助他们在复杂多变的市场环境中做出理性的决策。
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论
马柯威茨投资组合理论是20世纪50年代末由美国经济学家威廉·马柯威茨首先提出
的一种金融投资理论，它是把投资者追求财富最大化指标与风险均衡指标完美结合给出了
解决方案。
它以一种新的方式，把投资者的资本回报率的的最大化表达成“最优化投资组合”的概念。
马柯威茨投资组合理论的基础是它所采用的“可接受风险”原则。
在马柯威茨投资组
合理论中，投资者可以通过对他们投资组合中任何一种资产，考虑他们承受的风险程度而
灵活选择，以此来评估一种投资者可以接受的风险程度，从而计算出最佳投资组合。
投资
者在选择风险等级时，需要参考公司财务报表、宏观经济状况和其他市场信息，以便对不
同的风险合理地进行评估。
对于投资者来说，马柯威茨投资组合理论的优点在于它鼓励投资者根据其资本业务，
运用宽松投资策略，采用多样化投资策略来降低风险，同时保证财富的稳定增长。
因此，
可以让投资者根据自己的投资风险及其希望获得的回报，去构造出最佳的投资组合，从而
获得最大的回报。
此外，马柯威茨投资组合理论还提倡投资者在投资过程中，要注重对市场结构的研究，了解宏观经济状况，把握投资趋势，以便采取适当的策略，保证投资收益。
从上面可以看出，马柯威茨投资组合理论对投资者提供了一种权衡经济风险和收益的
有效方法，它有助于投资者最大限度地实现投资利润，并且还能够有效降低投资风险。
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数学与应用数学（金融数学） 2011111029 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论
马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。
R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时(R )i E 与Var(R )i 表示为： []221(R )(R ) m
i it i i Var R E m σ==-∑ 1
1(R )m i i it i E R R m -===∑
同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险
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所以除了单个证券的收益率和方程，还需要知道不同证券的相关性，用不 同证券之间的协方差来表示，设证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为
Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为：
[]1
1Cov(R ,R )(R )(R )m
i j it i jt J i R E R E m =⎡⎤=--⎣⎦∑ 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是
12(x ,x ,,x )n X L ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2p σ可以表示为：
1
n
P i I i E x E ==∑
2
2211
1
11
(R R )(R ,R )n n n n n
P
i j i j j
j
i j I J i j j j i j i
x x Cov x x x Cov σσ=≠≠≠≠≠==+∑∑∑∑∑
在用某一时间的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设：
（1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。
（2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。
（3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。
（4）收益率的分布服从正态分布。
马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下：
max p E -
..s t 1
1n
i i x ==∑ 20p
σσ≤ 0i x ≥ 0σ为事先确定的风险程度
`
Word 文档
2
min p
σ ..s t 1
1n
i i x ==∑ 0P E E ≥ 0I X ≥
0E 为事先确定的收益
均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。
二、中国股票市场的实例分析
1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的
p β非系统风险(e )p Var 和总风险2
p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；
④组合P 和'P 的风险变化。
①由公式()i i i e 22
22σσβσ+=M
得： 0094
.0003.00064.00.10064.00023.00064.08.00129.00037.00064.02.1222222
=+⨯==+⨯==+⨯=C B A σσσ
②对A 、B 等权重投资时组合p 的
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0.50.51p A B βββ=+=
由公式()()()i n
i i n
i i
e n e 22
12
12
p 2
1e σσχσ∑∑==⎪⎭
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⎝⎛==得：
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2221211e 0.00370.00230.001524p e e σσσ⎛⎫
=+=+= ⎪⎝⎭
由公式()222
2p p M p e σβσσ=+得：
2210.00640.00150.0079p σ=⨯+=
③因为ABC 是等比例投资的， 同理可求：
()()()
()()()()()[]
[]()
()0074
.0001.00064.01001.0003.00023.00037.03131 (1111)
0.18.02.131
1222222232222122
1
222
11
=+⨯=+=++==⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++++=⎪⎭⎫
⎝⎛===++===∑∑∑∑====p M p p M p p p n i n
i i n
i i i p n i i n
i i i p e e R e e e e n n e n e x e n x σσββασσσσσσσσσβββ ④由2,3问答案知道当C 加入AB 的组合，总的风险较小了，可当资产进行等额投资时，投资的资产种类越多，组合的风险越小。
并且由（2）和（3）比较可以看出等额投资时增加投资项目只能降低非系统风险，不能够降低系统风
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险。
2、利用相关股票软件，在2012年7月至2014年2月的股价图中随机取得5支股票的月收益率，从而计算了他们的平均收益率，5支股票分别是：美的集团、东北制药、四海股份、华星创业、金龙机电。
利用SAS 表计算出他们的协方差矩阵,如图所示：
协方差矩阵为对称矩阵，且对角线元素都是1，利用已经计算好的协方差矩阵可以对均值-方差模型进行计算，利用Lingo 软件可以对二次规划问题进行求解，如果假设收益率达到 1.5，在确定收益率的情况下，要求方差最小，求得最优解的结果为：
(0.30945,0.27913,0.21838,0.17893,0.01402)X
如果风险情况已知，在不招过风险所规定的方程的条件下同理可求得收益
率最大的最优解。
每个投资者都可以根据自己所能承担的风险程度或者个人的收益率期望来选者最适合的投资组合比例。
三、总结
利用马克为茨的均值-方差模型，投资者在已经选定的若干证券的收益率均值已知的情况下，可以计算出证券的协方差矩阵，然后利用Lingo软件可以对均值方差模型的最优解进行计算求解，因此在小型投资以及较少数量的证券选择上投资组合理论是由其非常重要的使用价值的。
参考文献：
[1]盛骤等.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育.2008：90-110
[2]哈利.M.马克维茨.资产组合选择和资本市场均值[M]：方差分析.人民。
2006.
[3]汪昌云类承曜谭松涛投资学（第二版)[M]中国人民大学2013.4
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