第四节 条件概率总结

第四节一、条件概率 二、乘法公式条件概率三、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率在许多问题中,我们往往会遇到事件 B 已经出 现的条件下求事件A的概率. 这时由于有了附加条 件, 因此称这种概率为事件B发生的条件下，事件 A的条件概率，记作 P(A|B) 同理P(Ｂ|Ａ)表示：事件Ａ发生的条件下，事件 Ｂ发生的概率例1 一个家庭中有两个小孩，已知两个小孩其中一个 是女孩，问两个小孩都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的） 解 由题意，样本空间为Ω = { (男，男)， (男，女)， (女，男)， (女，女) }A 表示事件“至少有一个是女孩”， B 表示事件“两个都是女孩”，则有 A＝{ (男，女)， (女，男)， (女，女) } B = { (女，女) } 由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果 只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一 1 种， 所以有 P ( B A) =3(1)在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那 么事件B 发生的概率为 这里1 P( B) = 4 P( B)≠ P( B A)其原因在于事件 A的发生改变了样本空间，使它由原 来的Ω 缩减为Ω A = A，而 P( B A)是在新的样本空间 Ω A 中由古典概率的计算公式而得到的．上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用．如果回 到原来的样本空间Ω 中考虑，显然有3 P( A) = 4从而即1 P ( AB) = 4 1 1 P ( B A) = = 4 3 3 4 P ( AB) P( B A ) = P ( A)(2)关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概 型和几何概型问题，也可以证明它是成立的．定义1 设A, B是两个事件，且P( A) > 0，称P ( AB) P( B A ) = P ( A)(3)事件A发生的条件下事件B 发生的条件概率 性质： 设A是一事件，且P(A)>0，则 (1) 对任一事件B，0≤P(B|A)≤1; (2) P(Ω| A) =1 ； 1 1 非负性 非负性 2 2 规范性 规范性 3 3 可列可加性 可列可加性(3) 设B1, B2 ,··· 两两互不相容，则 P[(B1∪B2∪ ···)| A] = P(B1|A)+P(B2|A) + ···(4) P (φ A) = 0.(5) P(B1 ∪ B2 A) = P(B1 A) + P(B2 A) − P(B1 B2 A);(6) P ( B A) = 1 − P ( B A).条件概率的计算根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A) （1）在缩减后 ΩA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间Ω 中，直接由定义计算．条件概率 P(B|A)的样本空间ΩABAB样本空间ΩP( AB) P( B A ) = P( A)缩减的样本空间（即事件A）P( B | A)例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （ 1 ）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （ 2 ）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率． 解 记 Ai = { 第 i 次取到黑球 } ( i = 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 ΩA 上计算。

因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取 球时，所有可取的球只有9只．ΩA 中所含的基本事 件数为9，其中黑球只剩下2个．所以12 P ( A2 A1 ) = 9（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 ΩA 的结构并不直观．因此，直接在Ω中用定义计算 P(A1 |A2)更方便些．2因为 所以3 P ( A2 ) = 103× 2 1 P( A1 A2 ) = = 10 × 9 15P( A1 A2 ) 2 P( A1 A2 ) = = P( A2 ) 9例3人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。

问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解}50{岁活到=A }51{岁活到=B 记因此BAB =B A⊂显然90135.0)()(==B P AB P 从而99357.090718.090135.0)()()(≈==A P AB P A B P可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643．在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡．例题2一个人口调查结果表明,深色眼睛的父亲和深色儿子占被调查者的5%,深色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占7.9%,浅色眼睛的父亲和深色眼睛的儿子占8.9%,浅色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占78.2%.问父子的眼睛深浅色有无联系?解: 设A:=父亲有深色眼睛,B:=儿子有深色眼睛.由题意知道:P(AB)=5%P(AB)7.9%,P(AB)8.9%P(AB)78.2%===P(A)P(AB)+P(AB)0.129P(B)P(AB)+P(AB)0.139====P(B|A)=0.39P(A|B)=0.36由此可见,P(B|A),P(A|B)都比P(A),P(B)大得多,故事件A 对事件B 有影响的,即有关二、乘法公式由条件概率的定义得到：若P (B ) > 0, 则P (AB )=P (B ) P (A |B )若P (A ) > 0, 则P (AB )=P (A ) P (B|A )P (A 1A 2 ···A n )=P (A 1)P (A 2|A 1)P (A 3|A 1A 2)···P (A n |A 1A 2···A n-1)一般地，设A 1, A 2,···,A n 是n 个事件，且P (A 1A 2···A n -1)>0,则：乘法公式例4一袋中有a 个白球和b 个红球。

现依次不放回地从袋中取两球.试求两次均取到白球的概率.解11)(12−+−=b a a A A P }{次取到白球第i A i =)2,1(=i 记)(21A A P 要求b a a A P +=)(1显然121211()()()1a a P A A P A P A A ab a b −==⋅++−因此例5假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。

一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.入场券5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”后抽比先抽的确吃亏吗？“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。

”用A i 表示“第i 个人抽到入场券”，i ＝1,2,3,4,5.显然，P (A 1)=1/5 .i A 则表示“第i 个人未抽到入场券”.因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.)|()()(1212A A P A P A P =212A A A =由于由乘法公式= (4/5)(1/4)同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此= 1/5 .)()(3213A A A P A P =这就是有关抽签顺序问题的正确解答.＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.抽签不必争先恐后.也就是说，)|()|()(213121A A A P A A P A P =三、全概率公式与贝叶斯公式下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式．先引入一个例子例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记A i ={球取自i 号箱},i =1,2,3;B ={取得红球}即B= B Ω=B (A 1ＵA 2ＵA 3)=A 1B ＵA 2B ＵA 3B ，且A 1B 、A 2B 、A 3B 两两互斥B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3 之一同时发生，P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )123显然，A 1, A 2 , A 3 两两互斥，且A 1ＵA 2ＵA 3=Ω将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.P (B )=P ( A 1B )+P (A 2B )+P (A 3B )∑==31i i i A B P A P B P )()()(｜对求和中的每一项用乘法公式代入数据计算得：P (B )=8/15定理1（全概率公式）设随机试验 E 的样本空间为Ω，A 1,A 2, ···,A n 为一完备事件组，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , 则对于任一事件B ，有图示B 1A 2A 3A 1n A − n A 化整为零各个击破12()()()()n P B P A B P A B P A B =++ 1()()ni i i P A P B A ==∑说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B 1A 2A 3A 1n A − nA某一事件B 的发生有各种可能的原因A i (i =1,2,…,n )，例如B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是每一原因都可能导致B 发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P (B A i )=P (A i )P (B |A i )我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系.它的理论和实用意义在于:在较复杂情况下直接计算P (B )不易,但B 总是伴随着某个A i 出现，适当地去构造这一组A i 往往可以简化计算.例7假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化．经分析，该时期内利率下调的概率为60％，利率不变的概率为40％．根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40％．求这支股票上涨的概率．解12A A =Ω∪12A A =∅故由全概率公式1122()()()()()60%80%40%40%64%P B P A P B A P A P B A =+=×+×=A 1, A 2分别表示“利率下调”和“利率不变”；B 表示“该只股票上涨”，且该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.123或者问:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.?123)()()|(11B P B A P B A P =记A i ={球取自i 号箱}, i =1,2,3;B ={取得红球}求P (A 1|B )∑==3111k k k A B P A P A B P A P )()()|()(｜运用全概率公式计算P (B )将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式123?定理2（贝叶斯（Bayes）公式）设随机试验 E 的样本空间为Ω，A 1,A 2,···,A n 为一完备事件组，且P (A i )>0，i =1,2,···,n ，则对于任一事件B ，P (B )>0，有1()()()()()i i i n jj j P A P B A P A B P A P B A ==∑),,2,1(n i =该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件A）发生的最可能原因.P(A i ) (i =1,2,…,n ) 是在没有进一步信息（不知道事件B 是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B 发生），人们对诸事件发生可能性大小P (A i | B )有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中，P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的先验概率和后验概率.例8由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%．一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性．现设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？}{检验呈阳性=A }{1检验者患此疾病=B }{2检验者不患此疾病=B 解Ω=21B B ∪∅=21B B 显然且已知005.0)(1=B P 995.0)(2=B P 95.0)(1=B A P 01.0)(2=B A P 由贝叶斯公式可得323.001.0995.095.0005.095.0005.0)(1≈×+××=A B P 记12B 1与B 2形成Ω的一个划分现在来分析一下结果的意义.2. 检出阳性是否一定患有疾病?1. 这种试验对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？如果不做试验, 抽查一人,他是患者的概率P (B 1)=0.005患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P (B 1｜A )= 0.323说明这种试验对于诊断一个人是否患有疾病有意义.从0.005增加到0.323, 将近增加约64.6倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有疾病有无意义？2. 检出阳性是否一定患有疾病?试验结果为阳性,此人确患疾病的概率为P(B1｜A)= 0.323即使某人检出阳性，尚可不必过早下结论他有疾病，这种可能性只有32.3% (平均来说，1000个人中大约只有323人确患疾病)，此时医生常要通过再试验来确认.例9玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1．一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地取出一箱，顾客开箱任意抽查4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．试求顾客买下该箱玻璃杯的概率α；解0()0.8P A =1()0.1P A =2()0.1P A =0()1P B A =4191420C 4()C 5P B A ==4182420C 12()C 19P B A ==2412()()()0.810.10.10.94519i i i P B P A P B A α====×+××≈∑＋由全概率公式得思考：在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率β．A i =“该箱中含有i 件残次品”i =0,1,2B =“顾客买下该箱玻璃杯”显然，A 0 , A 1, A 2构成一个完备的事件组。