周周练5答案(供参考)

周周练（5） 答案
1. 【解析】（1）证明：1121
121211
21
121
11=----=
--
-=
-++n n
n n n n a a a a b b ，
∴数列
{}n b 为等差数列．
（2）解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,,q r p q r p <<项，
由⑴得n b n =，∴n n c 2=，∴q p r 2222+=⋅，∴p q p r --++=2121
又p
r -+12
为偶数，p
q -+2
1为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．
（3）由（2）得等式n b n n n n
b n )3()2(43+=++++ ，
可化为n n n n
n n )3()2(43+=++++ ，即1)3
2()34()33(
=+++++++n
n n n n n n ， ∴1)3
11()311()31(=+-+++--++-
n
n n n n n n n ． ∵当6n ≥时，m
n n m )2
1()31(<+-，
∴,21)311(<+-n n ,)21()321(2<+-n n …，,)21()31(n
n n n <+-
∴1)2
1
(1)21()21(21)311()311()31(2<-=++<+-+++--++-n n n n n n n n n n
∴当6n ≥时，n n n n
n n )3()2(43
+<++++ ．
当5,4,3,2,1=n 时，经验算3,2=n 时等号成立．
∴满足等式n b n n n n
b n )3()2(43
+=++++ 的所有3,2=n ．
2. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得5132
3439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分
即118173a d a d +=⎧⎨
+=⎩，，
解得112.a d =⎧⎨=⎩，
……………………4分.故221
n n a n S n =-=，. ………6分 （2）由（1）知21
21n n b n t
-=
-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即
312123121m t t m t -⨯
=+
++-+，……8分.整理得4
31
m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.
故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分
3. 解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．
因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． …………………………
2分
再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<．
由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．
由b ≥3，故30
a -<，解得3a <． ………………………………………………………4分
于是23a <≤，根据a ∈N
，
可
得
2a =．…………………………………………………6分
（2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则
1(21)5n b m --+=．
又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数． 故1211n m --+=，b =5． 所以b =5时，存在正自然
数12n m -=满足题
意．…………………………………………9分
（3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，
由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得
211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．
化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………………………………………
11分
当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …………………………
12分
当2n =时，4b =时，
等式（※）成立．…………………………………………………13分
当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾． 这时等式（※）不成立．…………………………………………………………………
14分
综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是
18，30，
50．…………………………………………16分
4. （1）由*3(1),,2
n
n b n N +-=
∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩
为奇数
2,n 为偶数
又1120,n n n n n b a a b a +++++=
（2）对任意*
,n N ∈
2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=
③ ②—③，得
223.n n a a +=
④
将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+
即*
1()n n c c n N +=-∈
又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此
1
1,{}n n n
c c c +=-所以是等比数列. （3）由（2）可得2121(1)k
k k a a -++=-，
于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有
将以上各式相加，得121(1)(1),k
k a a k -+-=-- 即1
21(1)(1)k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得1
2(1)(3).k k a k +=-+
从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-
所以，对任意*
,2n N n ∈≥，。