索洛增长模型
索罗增长模型
第一章索洛经济增长模型The Solow Growth Model基本内容1 索洛模型的基本假定2 离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1 索洛模型的基本假定● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.● 其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I● 封闭经济,唯一的最终产品.● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产II● 假定家庭的储蓄率外生● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为(1)Y T F K t L t A t()[(),(),()]●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.●()A t可以理解为技术.●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规模报酬不变) 生产函数3:F R R ++→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数.定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.市场结构与市场出清 I●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .●劳动力市场出清条件:())L t L t =上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-市场结构与市场出清II●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.●记t 期的资本租赁价格()R t .●资本市场出清条件:()()s d K t K t =LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.●利率r(t)●折旧率δ●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.厂商优化厂商优化 I●考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--●注意:●上述最大化问题中的变量是总量.●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，()w t 与()R t 是给定的.●凹的问题,因为F 是凹的.厂商优化 II●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t 的函数.厂商优化 III命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.关键假设2假设2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件0 0 0 ()() K K K K lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> 00 0 ()() L L L L lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> ●保证内点解.生产函数Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.2 离散时间Solow 模型Solow模型的动态过程描述 I●K的折旧率为 , 于是1 1()((() ),)K t K t I t δ+=-+ (4) 其中， ()I t 是t 阶段的投资.●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y t C t I t =+ (5) ●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述II●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是.()()()()S t I t Y t C t ==-●假定家庭的储蓄率是常数，则()(),S t sY t =(6) 1()()()C t s Y t =-(7) ●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s ）可表示为()()( 1 1 )()()()().s K t K t S t K t sY t δδ=-+=-+Solow 模型的动态过程描述 III●资本的供求相等 ()().s K t K t =●同时也有劳动力市场供求相等 ()().L t L t =●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程: ()[()()1 ,, 1.()]()()K t sF K t L t A t K t δ+=+- (8) ●非线性差分方程.●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()(())()L t or L t and A t 来刻画.定义均衡 I●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在Solow 模型中，对于给定的序列 {}0()(),t L t A t ∞= 以及初始资本存量()0K , {}0,,,()()()(,)()t K t Y t C t w t R t ∞=是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t 满足 (8), ()Y t 由(1)给出, ()C t 由 (7)给出, ()w t 与 ()R t 分别由 (2) 与 (3)给出.●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●进一步假定（稍后放松假定）:●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即() L t L =. ●假定没有技术进步，即() A t A =.●定义资本-劳动比率（人均资本）为 ((,))K t k t L ≡(9)●利用规模报酬不变, 人均产出) ()(/y t Y t L ≡可表示为,1, ()()(() ).K t y t F A L f k t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≡ (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意()f k 依赖于A, 本可以将生产函数写成,()f k A ;但由于A 是常数，因此可以假定 A = 1.●由欧拉定理0 ()(())()(())()(())0.R t f k t w t f k t k t f k t -'=>'=> (11) ●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.例子: Cobb-Douglas 生产函数 I●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()[()()()]()( ,,,01)Y t F K t L t A t AK t L t ααα-==<<●满足假设1和 2.●两边同时除以()L t ,()() y t Ak t α=●由 (11)可得(1)()()()()Ak t R t Ak t k t ααα--∂==∂ ●由欧拉定理,()()() 1.()()()w t y t R t k t Ak t αα==--例子: Cobb ‐Douglas 生产函数II●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,()111()()() () ,R t AK t L t Ak t ααααα----==()()()()()()1 1 ,w t AK t L t A t k ααααα-=-=-直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()(()1 1).)(()k t sf k t k t δ+=+- (12) 定义 稳态均衡（steady-state equilibrium ）* ()k t k =.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II●上图实线代表 (12)，虚线是45 线.●它们的（正的）交点*k 表示稳态人均资本 **.()f k k s δ=(13)●注意到还有另一交点0k =,因为已经假定0(0)f =.●忽略该稳态值:●如果资本不是必不可少的（essential ）, ()0f 可能大于0 0k =可能变为稳态均衡点●本交点,即使存在，也不稳定。
课程资料：第2节 索洛增长模型
第二节 索洛增长模型变量定义：Y ：总产出；K ：总资本，L:劳动力总量，A ：技术进步参数，C ：总消费，S:总储蓄， s ：储蓄率， I:总投资，d ：折旧率。
增长的解释框架索洛（R.Solow,1957）从生产函数入手分析决定经济增长的决定因素。
建立总量生产函数：产量（Q ）是资本存量(K)、劳动投入(L)和技术状态(T)的函数： Q=Q(K,L,T)假定：技术变化引起K 和L 边际产量的同等增加，因此，上式可以改写为Q=TF(K,L)产量变化：(,)K L Q TF K L TF K TF L ∆=∆+∆+∆在生产函数为规模报酬不变和完全竞争条件下，一、假设1. 生产一种产品2. 简单比例的储蓄函数：,01S sY s =<<（储蓄率s ：外生不变）3. 资本存量的变化：K I dK ∆=-,（折旧率d ：外生不变）假设储蓄全部转化为投资，则资本存量的变化：K sY dK ∆=-4. 劳动力按一个外生的不变比率n 增长：L n L∆= 5. 生产函数的技术进步是劳动增进型技术进步（Harrod Neutral ）：技术进步参数A 与L 结合，AL 称为有效劳动（effective labors ），技术进步使劳动者工作效率的提高可视为技术进步使得劳动者的数量增加。
(,)Y F K AL =，技术的增长率为g ：A g A∆=，因此，有效劳动的增长速度为（n+g ）。
6. 假设生产函数规模报酬不变，因此，生产函数的集约形式为： ()/,/y f k y Y AL k K AL = ==y :单位有效劳动产出；k ：单位有效劳动资本生产函数满足下列条件：（1） 资本的边际产量记为：()f k ' ，()f k ' >0，()f k '' <0 (0)0f =，()f ∞=∞（2） 稻田条件（Inada Conditions ）: 0lim ()k f k →'=∞，lim ()0k f k →∞'= 二、新古典经济增长模型 该模型描绘出在整个时期中资本-有效劳动比的轨迹。
索洛增长模型
在A点的左边，sy曲线比（n+g+δ）k
线高，这表明储蓄高于资本广化的需 要，会导致人均资本k的提高，从而使 产出增加，k会不断向kA靠近，直到最 终用于资本广化的储蓄等于全部储蓄， 而人均占有的资本数量保持不变，经 济增长达到稳定状态。 在A点的右边，情况完全相反。
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y00 gFra bibliotekt0t1
t
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平
的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。 下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则， sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
索罗模型的定量含义
前面我们对储蓄率变动 对增长产生的水平影响 的解释如果成立，取决 于经济体系从前一个均 衡增长向后一个均衡增 长路径收敛的速度，如 果 需要上百年的时间才能 最终收敛，那么这种水 平 效应的认识就毫无意义 。下面我们将对这一过 程 作定量化分析。
储蓄率上升对产量的影 响
第四章 索洛增长模型
依据索洛增长模型，高储蓄率可以导致
高的产出水平和高收入。但多高的储蓄 率对于社会福利是最好的呢？是否储蓄 率越高，产出水平越高，对社会就越好 呢？这也是人们对于经济增长所产生的 疑问。
比较各种稳定状态
假定决策者选择稳定的经济状态时，目
的在于使整个社会中的个人福利最大化， 他们就要选择消费水平最高的稳定状态。 我们把消费水平最大化的稳定状态叫做 资本的黄金规则水平。为此，我们需要 找出稳定状态的人均消费，然后，再说 明何种稳定状态提供了最大化的消费。
总结上面的两种情况，我们会发现：经
济从高于黄金规则水平开始调整时，在 达到黄金规则水平的各个时点上，都引 起较高的消费；而经济从低于黄金规则 水平开始调整时，要求最初减少消费以 便增加未来的消费。 在决定是否要向黄金规则水平的稳定状 态过渡时，必须要考虑几代人之间的交 替关系。最优资本积累关键取决于对各 代人利益的评价和重视程度。
现在，我们假定储蓄率既定不变。国民收入
核算恒等式可写为： Y＝（1－s）y＋i，整理后，可得：i＝sy，即 储蓄等于投资。
资本存量的增长将影响经济增长，而影响
资本存量的主要因素则是投资和折旧。投 资是用于新工厂和新设备的支出。折旧是 原有资本的磨损。在人均投资等于人均储 蓄的情况下，如果把人均产出表示为人均 资本存量的函数，则可以由i＝sy变为i＝sf （k）。这表明，资本存量k由投资i决定， 而既定的k可以得到相应的产出，这个产出 的s比例又是新的投资的来源。
根据国民收入核算恒等式y＝c＋i可得c＝y
－i。再把相关的稳定状态值代入消费函数 式，可得：c*＝f（k*）－δk*.这就是稳定状 态下的人均消费值。该情形可以看出，黄 金规则水平的确是存在的。在资本存量水 平低于黄金规则水平时，资本存量增加引 起的产出增加大于折旧增加，所以，这时 消费是增加的。生产函数曲线比δk*线陡峭， 两条线之间的距离（即消费）会随着k*的 上升而增长。
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
第一章-索洛增长模型
第一章 索洛增长模型一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。
几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。
理解该模型实质上便是理解增长理论。
但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。
（按边际产品取得收益的传统途径）。
()((),()())Y t F K t A t L t =假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =∀≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。
规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：当11/,(,)(,)(,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==⇒=，其中，KAL是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。
定义Kk AL=，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ⇒=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。
[人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==]紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，'()0f k >，''()0f k <。
因为：'(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =⇒∂∂='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资本量的增加而下降。
另()f •被假设满足稻田条件：''0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=，其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。
索洛-斯旺增长模型
比较不同国家或地区的发展水平
通过比较不同国家或地区之间索洛-斯旺模型的参数，可以评估各 国或地区的发展水平和发展阶段。
制定经济发展战略
根据索洛-斯旺模型的结论，政府可以制定针对性的经济发展战略， 优化资源配置，促进经济的持续增长。
引入动态分析，考虑技术进步和资本积累的相互作用；引入制度因素， 分析其对经济增长的影响；考虑非线性生产函数的可能性。
模型的发展方向与未来研究展望
发展方向
将模型与其他经济理论相结合，如内 生增长理论、人力资本理论等，以更 全面地解释经济增长现象。
未来研究展望
探索模型在发展中国家和发达国家的应用， 比较不同国家经济增长的异同；研究全球化 、技术创新等对经济增长的影响；进一步深 化对经济增长机制和动力的理解。
模型的基本假设
假设经济中只存在两种生产要 素：资本和劳动，且资本和劳
动之间可以相互替代。
假设生产函数是规模收益不变 的，即增加投入并不能带来更
大的产出。
假设经济中不存在技术进步和 资本折旧，即经济增长只取决 于资本和劳动的投入。
假设经济中的储蓄率、人口增 长率和技术进步率是外生给定 的，即不受经济系统内部因素 的影响。
06 结论
对索洛-斯旺增长模型的综合评价
01
贡献
索洛-斯旺增长模型为经济增长研究提供了重要的理论基础，它揭示了
资本、劳动和技术进步对经济增长的贡献，并解释了经济增长的源泉。
02
局限性
然而，该模型也存在一些局限性，例如假设条件过于严格，忽略了许多
现实世界中的复杂因素，如经济政策、市场失灵、资源限制等。
索洛增长模型的基本公式
索洛增长模型的基本公式
索罗模型最基础的公式也就是Kt+1=SF (kt，L)+(1-delta）Kt。
总体生产函数：(E是内生化之后的A，E*L代表的是效率工人）。
人均生产函数的推导：在稳态，人均投资（由储蓄转化而来）等于投资的折旧、广化和深化：其中，K——资本；L——劳动；A——技术发展水平；I——毛投资；S——储蓄；k——有效劳动投入之上的资本密度；s——边际储蓄率；n——人口增长率；g——技术进步率；——资本折旧率；y——有效劳动投入之上的人均产出。
【拓展资料】
梭罗－史旺模型，又称索洛增长模型、新古典经济增长模型、外生经济增长模型，在新古典经济学框架内所提出的著名的经济增长模型。
由罗伯特·索洛与Trevor Swan在1956年各自提出独立提出的经济成长模型。
主要用于解释固定资本增加，对GDP所产生的影响。
模型假设：该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1；
该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数；
该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。
该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论：经济稳定增长。
模型结论：经济增长的路径是稳定的。
在长期，只有技术进步是增长的来源。
储蓄率不是常数，决定储蓄率和相应的投资取决于经济个体的决策，即家庭和厂商效用最大化的权衡。
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ynew
(n g )k
snew f (k )
yold
sold f (k )
k old
k new
k
F 1.4 P19: F1.5 Golden-rule of k: F1.6
§5 Quantitative Implications
• 1.储蓄变化对长期产出的效应： P22推导：(1.21)→(1.27)
•Productivity growth slowdown (since early 1970s), but a rebound in the U.S. since 1990s.
(2)增长的差距扩大——横向比较 • There are also enormous differences in standard of living across parts of the world. Over the whole of the modern era, specially since 1990s, cross-country income difference have widened on average. • Divergence vs Convergence • Growth Miracles: NICs of East Asia • Growth disasters: Argentina, Mexico, Sub-Saharan Africa
K / K Y /Y n g K /L Y /L g Y / L A f (k ) A y
人均产出增长率=g+y的增长率，只有 技术进步的变化才有增长效应，而其 他因素的变化只有水平效应(P19下)
§4 The impact of a change in the saving rate
•2、Constant returns to scale(CRS)：
暗含假定：无分工的收益；不考虑其它要素的贡献
F(cK, cAL)=cF(K, AL)
(1.2)
3、劳均生产函数（每个有效劳动单位AL）
：
Yt Yt y f (k ) Af (k ) A y At Lt Lt
§3 Solow Model
1、The Dynamics of k dk sY kn kg dt A L s y k kn kg
k s y ( n g )k
(1.18) 结论式
推导：（1.16）和（1.17）
2、稳态（Steady State）：Balaced Growth Path
令L / L n, A / A g Lt nLt
(1.8)
At gAt
(1.9)
Lt d ln Lt n d ln Lt n dt ln Lt ln L0 n t Lt dx ln Lt ln L0 nt (1.11)
d ln xt d ln xt dxt xt dt dxt dt xt
2、二战后增长理论的演进
• (1)第一代增长理论——Harrod-Domar Model (1948)
g s/c
Y S /Y S Y S Y Y K / Y Y K Y I
I S
结论：唯有资本积累重要。
• （2）第二代增长理论—Solow Model（1）
模型假定：a. Exogenous saving rate and technological progress b. Decreasing returns to capital 结论：资本积累的作用有限，技术进步是决定性因素。
§2 Assumptions
• 1、总量生产函数：
Yt F ( Kt , At Lt )
Labor-argmenting or Harrod-neutral
(1.1)
AL: Effective labor A: Knowledge or effectiveness of labor or
Y=AF(K, L) Hicks-neutral Y=F(A· K, L) Capital augmenting
§7 Empirical Applications(P28-35) 1. (1.34)和(1.35) · Solow Residual: TFP 2. Convergence 的理由：P30下
§8 The Environment and Economic Growth (P35-43) 对(1.41)求对数得(1.45)，再求导得(1.46)
索洛增长模型
THE SOLOW GROWTH MODEL
• §1 Some Basic Facts about Economic Growth
• 1、增长的两大事实——增长 理论的主题
• （1）总产出及人均产出的增长——历史分析
•Average growth rates in the industrialized countries were: higher in 20th century than in 19th century, and higher in 19th than in 18th; while very low before the Industrial Revolution.
(1.10)
同理 ln At ln A0 gt
Lt L0 ent
(1.12) (1.13) At A0 e gt (1.14)
（2）资本的增长率：假定储蓄率是外生的，且保持不变 6、其它假定： Solow 模型所忽略的因素（P13下-14上） （1）只有一种商品（商品同质），所以生产函数可加总； （2）无政府的作用，G=0,T=0； （3）不考虑就业波动，假定AS=AD，即充分就业假定； （4）生产只有三种投入：K，L，A； （5）s, δ, n, g 均为常数。
y
(n g )k
y f (k )
E
y*
s f (k )
k*
k
k*的出现是由于资本的边际 生产力递减这一假定。
• 3、索洛模型的结论： 资本积累在经济增长中的作用：只有水平效应 （Level Effect）而无增长效应(Growth Effect)。资本 积累对经济增长的作用是有限的，技术进步才是 长期经济增长的唯一因素。(P17上，P18下) 在E点,k * 和y * 均不变,k 0, y 0
•2.The speed of convergence
结论：趋同的速度很慢(1.28) →(1.31)
§6 The Solow Model and the General Questions of Growth Theory
1. Conclusion: A is important, k is not very important. 2. 不足: （1）未说明什么是A ：A表示抽象的知识 积累，劳动力的教育和技能，取决于L和 K以外的所有其他因素。 （2）忽略了物质资本积累的正外部性；
• （3）第三代增长理论—New Growth
Theory
Ch2: Ramsey and Dimond Model: Endogenous saving rate;
Ch3: New Growth Theory: Endogenous tech. progress
结论：技术进步与生产率的提高是内生的，取决于 R&D投资，制度和政策环境等因素。
4、Cobb-Douglas Production Function：
Yt F ( Kt , At Lt ) K ( AL)1 ; Y K y F( ,1) k ;0 1 AL AL f '(k ) 0, f ''(k ) 0 (1.7)
5、Evolution of the inputs into production （1）假定劳动和技术的增长率外生，且为自然增长率；
k (k * ) s y * * y s 1 k (k * )
(1.27)
Conclusions:Thus significant changes in saving have only moderate effects on the level of output on the balanced growth path. 资本积累不重要。