索罗增长模型

第一章索洛经济增长模型The Solow Growth Model基本内容1 索洛模型的基本假定2 离散时间的索洛模型3离散时间索洛模型的过渡过程4连续时间的索洛模型5连续时间索洛模型的过渡过程6持久增长7带技术进步的索洛模型8比较动态分析1 索洛模型的基本假定● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.● 其核心假定是新古典总的生产函数.家庭与生产 I● 封闭经济,唯一的最终产品.● 离散时间，t = 0, 1, 2, ....● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表示.家庭与生产II● 假定家庭的储蓄率外生● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表示.● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为(1)Y T F K t L t A t()[(),(),()]●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多的产品.●()A t可以理解为技术.●主要假定: 技术是免费的; 具有非竞争性与非排他性.关键假设1Assumption 1 (连续性, 可微性, 边际产出为正且递减, 规模报酬不变) 生产函数3:F R R ++→ 关于 K 与 L 二阶连续可微, 且满足2222()()(,,)0 (,,)0()()(,,)0 (,,)0K L KK LL F F F K L A F K L A K L F F F K L A F K L A K L ∂⋅∂⋅≡>≡>∂∂∂⋅∂⋅≡<≡<∂∂ 同时, F 关于K 与 L 规模报酬不变.● 假定 F 关于K 与 L 规模报酬不变，即关于这两个变量线性齐次.复习定义 假定K 为整数，如果对任意的R λ+∈与K z R ∈，有(,,)(,,)m g x y z g x y z λλλ=，那么函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数.定理 (欧拉定理Euler 's Theorem ) 假定函数2:K g R R ++→为x R ∈与y R ∈的m 次齐次函数，偏导数分别是x g 与y g ，那么对任意的x R ∈，y R ∈以及K z R ∈，有()()(),, ,,,,x y mg x y z g x y z x g x y z y =+同时，,(),x g x y z 与,(),y g x y z 是关于x 与y 的1m -次齐次式.市场结构与市场出清 I●假定市场是竞争的, 因此也可认为是竞争一般均衡模型. ●家庭拥有劳动, 供给无弹性.●经济中的劳动（力）,)L t , 无论在什么价格下，劳动的供给量均为()L t .●劳动力市场出清条件:())L t L t =上式对所有的t 均成立 , ()L t 劳动需求 (也可视为就业水平). ●一般来说, 互补松弛条件的表述更为准确.●记 t 时期的工资率为 w (t), 于是劳动力市场出清条件可表示为()()),0(L t L t w t ≤≥ and (()()) (0)L t L t w t =-市场结构与市场出清II●假设 1 与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正. ●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.●记t 期的资本租赁价格()R t .●资本市场出清条件:()()s d K t K t =LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K●()P t 为t 时期最终产品的价格, 将其标准化为1.●利率r(t)●折旧率δ●家庭得到的实际回报()() r t R t δ=-.厂商优化厂商优化 I●考虑代表性厂商的最大化问题:0)0,()([()()()],()()()(),.L t K t max F K t L t A t w t L t R t K t ≥≥--●注意:●上述最大化问题中的变量是总量.●在F 前面没有系数, 这是因为最终产品的价格已正规化为1.●假定要素市场完全竞争: 在厂商看来，()w t 与()R t 是给定的.●凹的问题,因为F 是凹的.厂商优化 II●由于 F 可微, 一阶条件（FOC ）为:()[()()()],,,L w t F K t L t A t = (2)()[()()()] ,.,K R t F K t L t A t = (3)●在(2) 与(3)中, ()K t 与()L t 分别表示厂商对资本和劳动的需求量.●实际上，可以通过(2)与(3)求解()K t 与 ()L t ,它们是资本租赁价格()R t 和工资率()w t 的函数.厂商优化 III命题 假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，()()( )()() .Y t w t L t R t K t =+●证明: 可直接从欧拉定理得到（注意到1m =,即规模报酬不变）.关键假设2假设2 (Inada conditions) F 满足 Inada 条件0 0 0 ()() K K K K lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> 00 0 ()() L L L L lim F and lim F for all L all A →→∞⋅=∞⋅=> ●保证内点解.生产函数Figure: Production functions and the marginal product of capital. The example in Panel A satisfies the Inada conditions in Assumption 2, while the example in Panel B does not.2 离散时间Solow 模型Solow模型的动态过程描述 I●K的折旧率为 , 于是1 1()((() ),)K t K t I t δ+=-+ (4) 其中， ()I t 是t 阶段的投资.●对于封闭经济, 产出等于消费与储蓄（投资）之和 ,()()()Y t C t I t =+ (5) ●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨论社会福利等方面的话题.Solow 模型的动态过程描述II●由于经济是封闭的 (同时不考虑政府支出)，于是.()()()()S t I t Y t C t ==-●假定家庭的储蓄率是常数，则()(),S t sY t =(6) 1()()()C t s Y t =-(7) ●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s ）可表示为()()( 1 1 )()()()().s K t K t S t K t sY t δδ=-+=-+Solow 模型的动态过程描述 III●资本的供求相等 ()().s K t K t =●同时也有劳动力市场供求相等 ()().L t L t =●结合 (1) 与 (4), 可得 Solow 增长模型的动态方程: ()[()()1 ,, 1.()]()()K t sF K t L t A t K t δ+=+- (8) ●非线性差分方程.●Solow 增长模型的均衡由该方程以及 ()(())()L t or L t and A t 来刻画.定义均衡 I●没有家庭优化, 但仍然有厂商最大化行为以及要素市场的出清.定义 在Solow 模型中，对于给定的序列 {}0()(),t L t A t ∞= 以及初始资本存量()0K , {}0,,,()()()(,)()t K t Y t C t w t R t ∞=是资本、产出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()K t 满足 (8), ()Y t 由(1)给出, ()C t 由 (7)给出, ()w t 与 ()R t 分别由 (2) 与 (3)给出.●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.不考虑人口增长与技术进步时的均衡不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●进一步假定（稍后放松假定）:●没有人口增长;假定总人口为常数 L > 0， 即() L t L =. ●假定没有技术进步，即() A t A =.●定义资本-劳动比率（人均资本）为 ((,))K t k t L ≡(9)●利用规模报酬不变, 人均产出) ()(/y t Y t L ≡可表示为,1, ()()(() ).K t y t F A L f k t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦≡ (10)不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II ●注意()f k 依赖于A, 本可以将生产函数写成,()f k A ;但由于A 是常数，因此可以假定 A = 1.●由欧拉定理0 ()(())()(())()(())0.R t f k t w t f k t k t f k t -'=>'=> (11) ●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.例子: Cobb-Douglas 生产函数 I●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:1()[()()()]()( ,,,01)Y t F K t L t A t AK t L t ααα-==<<●满足假设1和 2.●两边同时除以()L t ,()() y t Ak t α=●由 (11)可得(1)()()()()Ak t R t Ak t k t ααα--∂==∂ ●由欧拉定理,()()() 1.()()()w t y t R t k t Ak t αα==--例子: Cobb ‐Douglas 生产函数II●或者直接从 Cobb-Douglas 生产函数有,()111()()() () ,R t AK t L t Ak t ααααα----==()()()()()()1 1 ,w t AK t L t A t k ααααα-=-=-直接可验证满足欧拉定理.不考虑人口增长与技术进步时的均衡 不考虑人口增长与技术进步时的均衡I●将 (8)的两端同时除以 L 可得人均量的表达式:()(()1 1).)(()k t sf k t k t δ+=+- (12) 定义 稳态均衡（steady-state equilibrium ）* ()k t k =.该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).稳态人均资本不考虑人口增长与技术进步时的均衡 II●上图实线代表 (12)，虚线是45 线.●它们的（正的）交点*k 表示稳态人均资本 **.()f k k s δ=(13)●注意到还有另一交点0k =,因为已经假定0(0)f =.●忽略该稳态值:●如果资本不是必不可少的（essential ）, ()0f 可能大于0 0k =可能变为稳态均衡点●本交点,即使存在，也不稳定。