弹性动力学的相似边界元法
弹性力学平面问题的边界单元法计算报告
{ 其中， ������������������������ =
������ {2������ ������ [(1 − 2������)������������ ������������������ + ������(������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) − 4������������ ������������ ������������ ] + 2������(������������ ������������ + ������������ ������������ )������������ 2������(1 − ������)������ 2 ������ ������ + (1 − 2������)(2������������ ������������ ������������ + ������������ ������������������ + ������������ ������������������ ) − (1 − 4������)������������ ������������������ } 1 [(1 − 2������)(������������ ������������������ + ������������ ������������������ − ������������ ������������������ ) + 2������������ ������������ ������������ ] 4������(1 − ������)������
∗ ������������������ =
1 1 ������������ ������������ [(3 − 4������)������������������ ������������ + ] 8������(1 − μ) ������ ������������������ ������������������
弹性力学-边界条件
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个）
x x
悬臂梁的例子：
边界的积分式
h
2 h
x
xldy 0
2
h
2 h
x
xl ydy M
2
h
2 h
xy
dy 0
xl
2
设中性轴为z
y xdA z 1
自由端边界条件：
y
h
2 h
x
xl dy 0
2h 2 hFra bibliotekh x
2 h
x
xldy
2 h
f x dy
2
2
h
h
y xl f y
2 h
y
dy
xl
2 h
f ydy
2
2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：
h
h
2 h
x
xl ydy
2 h
f x ydy
2
2
平面问题小结
0
左 : (
)
x
s
q, (
)
xy
s
0
上 : (
y)s q, (
y
)
x
s
0
下: (
边界元法求解瞬态弹性动力学问题的一种新解法
边界元法求解瞬态弹性动力学问题的一种新解法
吴增荣;杨耀墀
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】1991(8)1
【摘要】本文首次将Newmark法引入到边界元法之中,从而使得边界元法与有限元法有机地结合起来,使边界元法的通用性在求解瞬态弹性动力学问题上大大加强,在程序的实现过程中应用一定的技巧,提出了多重子单元划分法,解决了时间步长与单元网格之间的耦合关系。
提高了计算精度,缩短了计算时间,从所给出的算例可知,此算法是可行的,程序也是可靠的。
【总页数】7页(P67-73)
【关键词】边界元法;瞬态;弹性动力学
【作者】吴增荣;杨耀墀
【作者单位】空军工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】O347
【相关文献】
1.弹性动力学瞬态问题的频域边界元快速解法 [J], 荣俊杰;尤军峰;文立华;校金友
2.求解二维瞬态弹性动力问题的速度型边界单元法 [J], 廖河山
3.三维粘性流体内流问题的边界元研究中求解奇异积分的一种新的数值解法 [J], 余流;王铁成;等
4.映射半解析边界元法解瞬态弹性动力问题的有关问题 [J], 黄剑敏;任文敏;陈文
5.瞬态弹性动力学问题的半解析边界元法 [J], 朱建雄;曹志远
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应用边界元法的弹性结构灵敏度分析及其形状优化
应用边界元法的弹性结构灵敏度分析及其形状优化标题一：介绍边界元法在弹性结构灵敏度分析中的应用边界元法是一种常用的数值分析方法，主要用于求解一些偏微分方程问题。
在弹性结构灵敏度分析中，边界元法可以用来计算结构在受力变化时的响应以及相应的灵敏度，从而帮助优化结构设计。
本文将详细介绍边界元法在弹性结构灵敏度分析中的应用。
首先，我们需要了解什么是弹性结构灵敏度分析。
在结构设计中，灵敏度分析是一种可以用来衡量结构在受力变化下响应变化的方法。
灵敏度分析可以帮助优化结构设计，使得结构在极限体积、强度等条件下达到最优解。
边界元法在灵敏度分析中的应用主要是针对弹性结构的应力和应变分析。
其次，我们将介绍边界元法的基本原理。
边界元法是一种基于分解的方法。
在使用边界元法求解弹性结构灵敏度分析时，我们首先需要将结构模型离散化成网格。
接着，我们将通过计算网格边界节点处的位移，推导出各个节点和单元上的应力和应变值。
然后，我们将利用灵敏度学的方法推导出结构的各种指标的灵敏度，以此指导结构优化。
接着，我们将讲解边界元法在弹性结构灵敏度分析中的优点。
边界元法的主要优点在于其良好的适应性和高效性。
边界元法的精度通常比有限元法要高，可以掌握结构的变化趋势，并快速寻找最优方案。
此外，边界元法可以非常容易地适应不规则或复杂形状的结构。
因此，边界元法在弹性结构灵敏度分析中具有不可替代的优势。
同时，边界元法也有其缺点，例如容易受到边界噪声和边界特定条件的影响，这就需要优秀的算法优化来克服。
接着，我们将讲解应用边界元法进行弹性结构灵敏度分析的具体步骤。
我们需要进行先前提到的离散化网格以及求解节点边界变化的位移，接着是计算各节点和单元上的应力和应变，接着是利用灵敏度学的方法推导出结构的各种指标的灵敏度指标。
然后，我们将介绍如何通过灵敏度分析来优化结构设计。
最后，我们将提到边界元法在现代结构优化领域重要的应用价值。
最后，我们将讲解边界元法在弹性结构灵敏度分析中的未来展望。
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
弹性力学圣维南边界条件PPT课件
( y
x )
y
E
1 2
( y
x )
式(2-17)
xy
2(1 E
)
xy
xy
E 2(1
)
xy
按位移求解平面问题
3、推导求位移分量的方程。将公式（2-17）代入平衡微分方程， 得到用 u 和 v 表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程：
式(2-17)
x
x
yx
y
fx
0
y
y
xy
x
平面问题的应力边界条件
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的 面力。分析其边界条件。
h/2
h/2
h/ 2 ( x )xl dy 1 h/ 2 f xdy 1
h/2
h/2
( ) h/ 2 x xl ydy 1 h/ 2 f x ydy 1
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl dy 1 h/ 2 f ydy 1
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h
2 h
2
(
x
)
x
0
dy
2 h 2
(
f
x
) x0
dy
FN
h
h
2 h 2
(
x
) x0
ydyBiblioteka 2(h 2f x ) x0 ydy
M
h
h
2 h
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
弹性力学4-物理方程、边界条件
xy
1
yx
y
几何方程： 应变和位移的关系
x
u x
,
y
v y
,
xy
v x
u y
物理方程： 应力与应变的关系
x
1 E
x y
y
1 E
y x
21
xy E xy
x
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
xy
2 1
E
xy
平面问题简化为8个未知数，8个方程 x , y , xy , x, y , xy , u, v
平面应力问题的物理方程
平面应变问题的物理方程·
x
1 E
x y
y
1 E
y x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
E
x
1
y
y
1 2
E
y
1
x
21
xy E xy
xy
2 1
E
xy
在平面应力问题的物理方程中，将 E 和作如下变
换，可得平面应变问题的物理方程
E
E 1 2
应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，
也称为本构方程。
在完全弹性的各向同性体内， 应变分量与应力分量之间的关系由 虎克（Hooke）定律给出。
E 是弹性模量，G 是剪切弹性
模量， 是泊松比，是材料自身
的特性，不随点的坐标值及方向
改变。
G
2
E
1
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
弹性力学及其有限元法
弹性力学及有限元分析1、 设试件两定点之间的长度为L 0，其截面积为F 0，加上拉力P 后，L 0 伸长了△L 。
我们把P/ F 0 称为拉伸应力（σ），△L/ L 0 称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/ F 0 ，ε＝ △L/ L 0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 LF PL E ∆==00εσ，弹性模量E 表征了材料的物理性质。
2、 根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。
首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。
a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。
随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。
弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。
设受力方向为x 方向，x xE εσ=，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E 为常数，表示应力与应变成正比例。
通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。
b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。
当曲线超过s 点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s 点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b 点后产生颈缩。
从弹性极限到b 的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。
c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。
脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。
为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即εσd d E =。
如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA 上升，若到A 点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB 下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形''ε。
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可求得其它单元的相应矩阵，然后通过迭加建立代数方程组系数矩阵。与通常的每个单
元都各自进行积分计算相比，本文方法可大幅度减少计算量。
关 键 词：弹性动力学；边界积分方程；相似单元；相似边界元法
中图分类号：0343
文献标识码：A
在边界元法中，要建立最终可求解的代数方程组，需要在所有单元上进行大量的积分运算。当 单元数目较多时，单元上积分的计算量将大大增加计算时间。
Jacobi 行列式
（#，$）=
3r 3#
X
3r 3$
（7）
对式（6）进行数值求解即得变换域中边界节点的位移和面力分量，然后由数值反变换求得时间
域中的解。
将边界积分方程（6）写成矩阵形式
N
N
〔 C〕〔 U 〕= !〔 GI〕〔 T I〕- !〔 HI〕〔 U I〕
I=l
I=l
（8）
其中〔 U 〕=｛Ui｝，i = l，2，…，K 为节点位移向量；〔 U I 〕=｛U Ii ｝，i = l，2，…，M 为单元 I 的节点位
0
为边界点；U
e ki
和
t
eki 为基本解；Ck（i
0
）是自由项，与
0
点处边界的几何特征有关；U i
和 ti
分
别表示变换域中的位移和面力分量。
在无体力的情况下，边界积分方程（5）可离散为
NM
+l +l
Ck（i 0 ）U（i 0 ）=
!
!
t
m i
I
I=l m=l
-l
-
l
U
e ki
N
m（#，$）（#，$）c#c$
Abstract：For the boundary eiement method of eiastodynamics，some properties of matrices are discussed in case of simiiar boundary eiements and the simiiar boundary eiement method is presented . In a series of simiiar boundary eiements，when the corresponding matrices of a boundary eiement are obtained，the ones of other boundary eiements in the series can be obtained by proportion . Then the coefficient matrix of the iast system of iinear aigebraic eguations can be obtained by the method of superposition . Compared with the generai boundary eiement method，the computing speed can be raised by the simiiar boundary eiement method given in this paper . Keywords：eiastodynamics；boundary integrai eguation；simiiar boundary eiements；simiiar boundary
应力和位移满足如下边界条件
} t（i x ，t）= Ti I = p（i x ，t） x "TO
U（i x ，t）= g（i x ，t）
x " TU
（2）
和初始条件
} U（i x ，0+ ）= Ui（0 x ）
U'（i x ，0+ ）= 1 i（0 x ） x " O
（3）
本构关系为
T（i x ，t）=
1 弹性动力学边界元法
对于均匀、各向同性的线弹性材料，在小变形条件下，运动微分方程为
（ c21
-
c22）Ui，（i x ，t）+
c
2 2
U
，（ii
x
，t ）+
f（ x ，t）=
U（ x ，t）
x "O
（1）
其中 c1 和 c2 分别为弹性体内膨胀波和畸变波的传播速度；f 为体力分量；O 为弹性体所在的域， 其边界为 T；x =（ x 1，x 2，x 3）（对三维问题）或 x =（ x 1，x 2）（对二维问题）。
CHENC Y U-minl，PENC Miao- Uan2
（l . Shanghai Institute of Appiied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，Chian；2 . Department of Civii Engineering，Shanghai University，Shanghai 200072，China）
弹性动力学的相似边界元法!
程玉民1， 彭妙娟2
（1 . 上海大学 上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；2 . 上海大学 土木工程系，上海 200072）
摘要：讨论了弹性动力学边界元法中边界单元相似时单元之间的一些矩阵关系，建立了相
似边界元法的公式。在一组相似单元中，只要求得一个单元的相应矩阵，通过比例关系即
［2］ 应隆安 . 无限元方法〔 M〕. 北京：北京大学出版社，1992 ［3］ 嵇醒，臧跃龙，程玉民 . 边界元法进展及通用程序〔 M〕. 上海：同济大学出版社，1997
4
重庆建筑大学学报
第 22 卷
Similar Boundary Element Method in Elastodynamics
2 相似边界元法
由方程（9）可知，只要求得矩阵〔 H 〕和〔 G 〕，求解方程组即可求解。而〔 H 〕和〔 G 〕是分别由
〔 HI〕和〔 GI〕组装而成的。要求得〔 HI〕和〔 GI〕，需要做大量的如下形式的积分
+l +l
-l -l teki N m（#，$）（#，$）c#c$ = 0
（l0）
+l +l
-l -l Ueki N m（#，$）（#，$）c#c$
（ll）
在非奇异单元上采用 Gauss 积分；在奇异单元上需对奇异积分做消除奇异性或降低奇异性阶数处
理，或利用刚体位移特解来求奇异积分。
为减少形如（l0）和（ll）的积分的计算量，本文提出相似单元的概念，建立了相似边界元法。
相似边界元法的基本思想是，将弹性体所在的区域 " 的边界! 按照边界条件或几何形状划分 为若干局部区域，然后将每个局部区域剖分为若干相似单元，建立相似单元上矩阵〔 HI〕及〔 GI 〕的 关系。在一组相似单元中，只要求得某个单元上的〔 HI 〕和〔 GI 〕，其它单元上的〔 HI 〕和〔 GI 〕即可 由比例关系得到而不需再做积分运算。
eiement method
弹性动力学的相似边界元法
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
程玉民， 彭妙娟 程玉民(上海大学上海市应用数学和力学研究所, 上海 200072)， 彭妙娟(上海大学 土木工程系, 上海 200072)
第 22 卷 第 6 期
重庆建筑大学学报
VoI. 22 No . 6
2000 年 12 月
JournaI of Chongging Jianzhu University
Dec. 2000
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
文章编号：1006 - 7329（2000）06 - 0001 - 04
2
重庆建筑大学学报
第 22 卷
对式（l）~（4）作用 LapIace 或 Fourier 变换，即得相应的变换域中的方程，再应用加权残数法， 得到弹性动力学问题在变换域中的边界积分方程
Ck（i 0 ）U（i 0 ）=
Ueki t i c! -
teki Ui c! +
U
e ki
f
i
c"
!
!
"
（5）
其中
NM
+l +l
-
!
!
U
m i
I
I=l m=l
-l
-l teki N m（#，$）（#，$）c#c$
（6）
其中
N
为边界单元数，每个单元均为有
M
个节点的等参单元，边界节点总数为
K
；U
m i
I
，tim
I
分别
表示第 I 个单元第 m 个节点的 i 方向的位移和面力；N（#，$）， = l，2，…，M 是形函数；（#，$）为
〔 GI〕而不必再做大量的奇异或非奇异积分运算，从而大幅度减少计算量。
对二维问题，有
I = O I-1 〔 HI〕= O〔 HI -1〕 〔 GI〕= O〔 GI -1〕
（16） （17） （18）
3 算例
以下对突加载荷6 作用下的二维矩形中心裂纹板的应力强度因子作了计算。 矩形中心裂纹板的模型如图 1 所示，板长 4 cm，宽 2 cm，裂纹长度为 2 a，a = 0 . 24 cm。材料的 弹性模量 E = 2 . 0 X 105 M N / m2，泊松比U= 0 . 3，质量密度P = 0 . 005 M N·s2 / m4。 对!型对称裂纹，其动态应力强度因子的计算公式为
! K !（ I）=
2P k+1
2LT〔4U（B I）- V （C I）〕
其中对平面应变问题 k = 3 -