厦门大学网络教育线性代数复习题B(含答案)
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1） 二阶行列式2a abbb=___________。
（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。
【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。
A -3；B -2；C 2；D 3。
（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。
A -1，； B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。
A -70；B -63；C 70；D 82。
（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。
（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。
A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-∙。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。
《线性代数》复习题B
厦门大学网络教育2012-2013学年第一学期《线性代数》课程复习题（ B ）一、选择题1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。
A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。
1．B 。
解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。
2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。
A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。
2．C 。
解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。
3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。
3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。
4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。
A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。
线性代数题库(含答案)
第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案：D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案：A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案：A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案：D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案：D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案：A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案：B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案：A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案：D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案：D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案：A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案：A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案：C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案：A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案：D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案：D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案：D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案：D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案：B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案：A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,，121122212a a a a D =，且a D D ==21，则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案：A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案：A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案：D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案：D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案：C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案：B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案：B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =（i,j=1,2,）的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案：A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A （）A.1B.2C.3D.0我的答案：D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案：D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案：C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案：D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案：D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案：D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案：A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,）（）（）（1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案：D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案：A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案：D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案：D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x ）（）（）（λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案：D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案：A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案：A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案：B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案：B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案：C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案：D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案：B作业1计算行列式 ____正确答案：132计算行列式 ____正确答案：13计算行列式 ____正确答案： 04计算行列式____正确答案：-275计算行列式____正确答案：06解方程,结果是____正确答案：47解方程,结果是或____正确答案：38解方程,结果是或____正确答案：-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____（本节课习题凡是涉及符号问题的，正号请在横线上填“+；正；正号；➕”，负号请在横线上填“-；负；负号；➖”）正确答案：+；正；正号；➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：+；正；正号；➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案：-；负；负号；➖5项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：+；正；正号；➕6项是不是五阶行列式中的一项____（是/不是）,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案：第一空：是第二空：-；负；负号；➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案：-；负；负号；➖9计算行列式____正确答案：2410计算行列式____正确答案：1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案： B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案： A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案： A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案： A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案： D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案： D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案： C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案： B10若,则( )A、B、C、D、正确答案： B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案：84已知,求行列式的值____ 正确答案：125已知,求行列式的值____ 正确答案：-486计算行列式的值____正确答案：607计算行列式的值____正确答案：-218计算行列式的值____正确答案：09计算行列式的值____正确答案：n!10计算行列式的值____正确答案：-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案：102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案：-113计算行列式的值____正确答案：44计算行列式的值____正确答案：435计算行列式的值____正确答案：-246计算行列式的值____正确答案：-277计算行列式的值____正确答案：278计算行列式的值____正确答案：481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案：-4；➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案：0；零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案：0；零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案：第一空：-9；➖9第二空：185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案：第一空： 1第二空： 2第三空： 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：-8；➖8第二空： 3第三空： 6第四空：07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案：第一空：0第二空： 2第三空：0第四空：08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案：第一空： 1第二空：-1；➖1第三空： 1第四空：-1；➖1第五空： 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案：第一空：-2；➖2第二空： 1二.判断题（共1题,10.0分）1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案：√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案：D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案：A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案：A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案：A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案：D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案：D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案：A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案：B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案：A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案：D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案：D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案：A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案：D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案：B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案：D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案：D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案：B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案：C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案：A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案：D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案：B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案：A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案：B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案：A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案：B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案：C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案：D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案：D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案：D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案：D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案：D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案：A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案：B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案：D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案：A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案：C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案：A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案：A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案：D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案：A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案：A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案：A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案：A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案：A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案：B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案：B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案：B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案：D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案：A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案：B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案：D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案：C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案：A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案：D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案：A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案：C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案：B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案：A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案：C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案：B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案：D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案：B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案：C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案：D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案：A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案：D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案：C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案：A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案：B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案：A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案：C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案：第一空： 12已知,满足,则常数____正确答案：第一空： 43矩阵,(),且,则____正确答案：第一空：504矩阵,及常数,满足,则____正确答案：05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案：101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案：×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案：×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案：×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案：×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案：×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案：×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案：×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案：×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案：×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案：×1已知矩阵,且,则____正确答案：32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案：4；四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案：34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案：35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案：06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案： 27是反对称矩阵,则____正确答案：08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案：109,,则____正确答案：010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案：81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案：12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案：03矩阵可逆且,,则____正确答案：24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案：8；八5,是退化矩阵,则常数____正确答案：26方阵不可逆,则____正确答案：07方阵,且可逆,则____正确答案：18方阵,则____正确答案：29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案：410矩阵,且,则____正确答案：01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案：02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案：13矩阵,若,则____正确答案：24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案：85矩阵,,,,,则____正确答案：36矩阵,,,则____正确答案：7矩阵,,,则____正确答案：18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案：29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案：310矩阵,且矩阵序列,实数序列。
2011-2012厦门大学网络教育线性代数复习题C（含答案）
厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题C 一、选择题（每小题3分，共18分）1． 设111213212223313233a a a a a a d a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）。
A ．6d ； B ．3d -； C ．3d ； D ．2d 。
2．设A ，B 为n 阶方阵，A B O =，则（，则（ ）成立。
）成立。
A ．A B O ==； B ．A B O +=； C ．||0A =或||0B =； D ．||0A B +=。
3. 3. 设设11223021A t -æöç÷=ç÷ç÷èø，若3阶非零方阵B 满足A B O =，则t =（ ））。
A ．5- B B．．4- C C．． 6- D D．．44．设A 为45´矩阵，且A 的行向量组线性无关，则（的行向量组线性无关，则（ ）。
A ．A 的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；B ．方程组A X b =的增广矩阵A 的行向量组线性无关；的行向量组线性无关；C ．方程组A X b =的增广矩阵A 的任意4个列向量构成的向量组线性无关；个列向量构成的向量组线性无关；D ．方程组A X b =有唯一解。
有唯一解。
5．下列命题错误的是（．下列命题错误的是（ ）。
A ．若4阶方阵A 的行列式等于0，则必有A 中的至少有一行向量是其余向量的线性组合； B ．若b 为零矩阵，线性方程A X b =一定有解；一定有解；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1TQ Q -=；D ．n 阶实对称矩阵不一定有n 个两两正交的特征向量。
个两两正交的特征向量。
6．下列命题正确的是（．下列命题正确的是（ ）。
A ．若T A A =，TB B =，则A B B A +也是对称阵；也是对称阵； B ．若A X A Y =，且A O ¹，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组A X O =（A 是m n ´矩阵），且()r A r n =<，则其基础解系中所含的向量个数等于r ；D ．设1a ，2a 为矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量，则12a a +也是矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量。
线性代数(B)答案
2017-2018学年第2学期《线性代数》B 卷参考答案与评分标准一、填空题（本题满分15分,每题3分）1．12-； 2. 3； 3. 1311102144243A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；4. 112111k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5.22a <<二、选择题（本题满分15分,每题3分）1．C ； 2. D ； 3. D ；4. B ；5. C.三、解：1.12341111-1494-1231234182741491-116814-18271=⨯⨯()()()()()()242131113212131152=+++---= ------------9分2. 127100210000830052A A A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭-------------1分()10101010101012718352152A AA A ==== ---------------5分115517215511200000023058A A A ----⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪==⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭---------------9分四、解：1. 由2AX X B =+知，()2A E X B -=，那么()12X A E B -=-.------------3分于是111-136********-2-51121011001-2110-3710331-102-3-5-32-12-3-5-9-13-4X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭------------------12分2. 2141123441213121311100303(,,,)0527052746002412r r r r A k k αααα+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 232434235221213121301010101002200220041000014r r r r r r r A k k ÷--+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪⎪-- ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭所以当14k =时向量组1234,,,αααα线性相关. -------------6分 继续对A 施行初等行变换，131232(2)121310111002010101010101002200110011000000000000r r r r r A --÷-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 一个极大无关组为123,,ααα，且41232αααα=+-. -------------12分3. 1) 123(,,)f x x x 的矩阵为222254245A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.A 的特征多项式2222254(1)(10)245E A λλλλλλ---=--=---,所以A 的特征值为12=1λλ=,310λ=. ------------------3分当12=1λλ=时,齐次线性方程组0)(=-x A E 为1231222440244x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，一个基础解系为1210α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.正交化，211122111252(,)41,(,)501αββαβαβββ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪⎪⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，单位化，1β=11αα=121212,.5150ββηηββ⎛ ⎪ ⎪ ==== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3λ=10时,齐次线性方程组0)10(=-x A E 为1238222540245x x x -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，一个基础解系为3122α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，单位化得333132323αηα⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ------------------9分 令()123151532,,32033T ηηη⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,做正交变换X TY =，则 222123123(,,)10f x x x y y y =++. ------------------10分2) 222123123(,,)101f x x x y y y =++=是椭球面. ---------------12分五、证明：1．A 的特征多项式()311111111411111111A E λλλλλλλ---==---，A 的特征值为12340,4λλλλ====. 因A 是实对称矩阵，所以A 可对角化，且A 与0004⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似. ---------------4分B 的特征多项式()3400010041001B E λλλλλλλ---==---则，B 的特征值为12340,4λλλλ====.对于特征值0，齐次线性方程组0Ax =有()43R A -=个线性无关的解，即 属于特征值0有3个线性无关的特征向量. 又特征值4有1个线性无关的特征向量，因此B 可对角化，且B 与0004⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似. 故A 与B 相似. ---------------8分 2. 设0110r r k k k βαα+++=，两边同时与β做内积，有011,,,0r r k k k ββαβαβ+++=，由条件β与1,,r αα都正交得0,0k ββ=，又因β是非零向量，那么00k =.--------------5分再由1,,r αα线性无关可得10r k k ===，故1,,,r βαα线性无关.--------------8分。
线性代数期末考试(B卷)及答案
北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。
厦门大学网络教育第一学期考试真题线性代数
1.下列排列中，（）是四级奇排列。
A 43212.若（-1）。
是五阶行列式【。
】的一项，则k,l之值及该项符号为（）B k=2,l=3,符号为负3.行列式【k-1 2。
】的充分必要条件是（）C k不等于-1且k不等于34.若行列式D=【a11 a12 a13。
】=M不等于0，则D1=【2a11 2a12 2a13。
】=（）C 8M5.行列式【0111】101111011110 =（）D -36.当a=（）时，行列式【-1 a 2…】=0B 17.如果行列式【a11 a12 a13 …】=d 则【3a31 3a32 3a33 …】=()B 6d8.当a=()时，行列式【a 1 1 …】=0A 19.行列式【125 64 27 8 。
】的值为（）A 1210.行列式【a 0 0 b …】中g元素的代数余子式为（）B bde-bcf11.设f(x)= 【1 1 2 。
】则f(x)=0的根为（）C 1，-1，2，-212.行列式【0 a1 0…0。
】=()D (-1)n+1 a1 a2…an-1 an113.行列式【a 0 b 0…】=()D (ad-bc)(xv-yu)14.~不能取（）时，方程组~X1+X2+X3=0…只有0解B 215.若三阶行列式D的第三行的元素依次为1，2，3它们的余子式分别为2，3，4，则D=()B 816.设行列式【a11 a12 a13…】=1,则【2a11 3a11-4a12 a13…】=()D -81.线性方程组x1+x2=1…解的情况是（）A 无解2.若线性方程组AX=B的增广矩阵A经初等行变换化为A- 【1234…】,当~不等于（）时，此线性方程组有唯一解B 0，13.已知n元线性方程组AX=B,其增广矩阵为A ，当（）时，线性方程组有解。
C r(A)=r(A)4.设A为m*n矩阵，则齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是（）A A的列向量线性无关5.非齐次线性方程组AX=B中，A和增广矩阵A的秩都是4，A是4*6矩阵，则下列叙述正确的是（）B 方程组有无穷多组解6.设线性方程组AX=B有唯一解，则相应的齐次方程AX=0（）C 只有零解7.线性方程组AX=0只有零解，则AX=B(B不等于0)B 可能无解8.设有向量组a1,a2,a3和向量BA1=(1,1,1) a2=(1,1,0) a3= (1,0,0) B=(0,3,1)则向量B由向量a1,a2,a3的线性表示是（）A B=a1+2a2-3a39.向量组a1=（1.1.1）（0.2.5）（1.3.6）是（）A 线性相关10.下列向量组线性相关的是（）C （7.4.1），（-2.1.2），（3.6.5）11.向量组a1.a2…ar 线性无关的充要条件是（）B 向量线的秩等于它所含向量的个数12.向量组B1.B2…Bt可由a1.a2…as线性表示出，且B1.B2…Bt线性无关，则s与t的关系为（）D s≥t13.n个向量a1.a2…an线性无关，去掉一个向量an，则剩下的n-1个向量（）B 线性无关14.设向量组a1.a2…as(s≥2)线性无关，且可由向量组B1.B2…Bs线性表示，则以下结论中不能成立的是（）C 存在一个aj，向量组aj，b2…bs线性无关15.矩阵【1 0 1 0 0…】的秩为（）A 516.向量组a1.a2…as（s≥2）线性无关的充分必要条件是（）C a1.a2…as每一个向量均不可由其余向量线性表示17.若线性方程组的增广矩阵为A=【1.~.2】则~=（）时，线性方程组有无穷多解。
厦门大学20140612线代期末试题(BA)(答案)
/注：E 表示单位矩阵，A 表示矩阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，TA 表示矩阵A 的转置，*A 表示矩阵A 的秩，()Tr A 表示矩阵A 的迹.一．（填空题（每小题4分，共20分） 1. 设[]()44,0,0,0,,5TT T t t t A E B E ααααα=>=-=-，已知B 是A 的逆矩阵，则________t =.答案t =2. 设122212,1,3041b A α-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦已知A α与α线性相关，则b =__________. 答案：1b =-.3. 401403001123100010456001100789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦___________.答案：798465132⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n-1,则线性方程组0Ax = 的通解为__________； 答案：()1,1,,1,Tx c c = 为任意常数。
5. 设12-13011123A a a a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，若0Ax =的基础解系是由2个线性无关的解向量组成，那么0Ax =的通解是________________________.答案：()()123,1,1,03,0,0,1,TTk k -+-其中12,k k 为任意常数.厦门大学《线性代数B 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2014.06.12二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设,A B 均为n 阶矩阵，则A 与B 等价的充分必要条件是（ D ）.(A) 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -= (B) 存在可逆矩阵Q ，使得T Q AQ B =(C) 存在可逆矩阵C ，使得CA B = (D) 存在可逆矩阵P 与Q ，使得PAQ B =2. 已知222212341234,1111a a a a A a a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1234,a a a a <<<则（ B ）. （A ）存在30,n B ⨯≠使得0BA = （B ）存在40,s B ⨯≠使得0TA AB =（C ）不存在40,s B ⨯≠使得0AB =（D ）存在30,n B ⨯≠使得0TBAA =3. 设112123015A t --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,若存在非零的矩阵ab Bcdef ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使得AB=0,则（ A ）. （A ） 1=-t （B ）1=t （C ） 2=-t （D ） 2=t4. 设,,αβγ是线性方程组0AX =的一个基础解系，但（ C ）不是它的基础解系.（A ）,2,3αβγ （B ） ,,αββγγα+++ （C ）,,3αβγγαβγ-+-+ （D ） ,,ααβαβγ+++5. 设m n ⨯阶矩阵A 的秩为r ，则非齐次线性方程组AX β= （ B ）. （A ）当r n =时必有解 （B ）当r m =时必有解（C ） 当n m =时必有解 （D ）当r n <时必有解三.（14分）解矩阵方程XA B X +=，其中010136111,203101A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎣⎦. 解110, (),101.102XA B X X E A B E A -⎡⎤⎢⎥+=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]110100,101010102001E A E -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦211000332101013311001033⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 因此矩阵E-A 可逆且()1210332113311033E A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 故()121021033313621331203153301133033X B E A -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.四．（14分）求向量组123412312,3,4,22233αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的一个最大无关组，并求出其余向量用该最大无关组的线性表示. 解213121234233213122123112312(1),,,23420120223302312123112311202230120012001020231001100112r r r r r r r r r r r r r αααα-⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎡⎤=−−−−→--−−−−→⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦-−−−→10020102.0011⎡⎤⎢⎥−-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故123,,ααα是最大无关组，412322.αααα=-+五．(12分) 讨论λ取何值时，线性方程组123412341234+2202132x x x x x x x x x x x x λ--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩无解，有解. 在有解时，求出通解。
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厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题B一、选择题（每小题3分，共18分）1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。
A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。
2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。
A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。
3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。
4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。
A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。
5．下列命题错误的是（ ）。
A ．相似矩阵有相同的特征多项式； B ．1n +个n 维向量必线性相关；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=；D ．若矩阵A 的秩是r ，并且存在1r -阶子式，则其所有的1r -阶子式全为0。
6．下列命题正确的是（ ）。
A ．若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则TB AB 也是对称阵； B ．若AX AY =，且A O ≠，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A m =；D ．设非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则相应的齐次线性方程组AX O =有唯一解。
二、填空题(每小题3分,共18分)7．设44⨯矩阵123(,,,)A αγγγ=，123(,,,)B βγγγ=，其中α，β，1γ，2γ，3γ均为四维列向量，且已知行列式||4A =，||1B =，则行列式||A B += 。
8．若12224379A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当t =_______时，()2r A =。
9．1(2103)kk α=-与2(531)k k α=-+正交，则k = 。
10．已知3阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，则矩阵2B A E =+（E 为三阶单位矩阵）的特征值为 。
11．设A 为可逆矩阵，且123246369AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()r B = 。
12．若A ，B 均可逆，A O D C B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则D 可逆，且1D -= 。
三、计算题(共64分)13．行列式计算（10分）求行列式12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，n D 是n 阶行列式，主对角线上的元素为1i a +，其余元素为1。
14．求解矩阵方程（10分）设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B 。
15．线性方程组的计算（12分）设有线性方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。
16．向量组计算（10分）已知向量组1(1212)Tα=，2(1031)T α=，3(2101)T α=-，4(2122)T α=-，5(2243)T α=，试求1α，2α，3α，4α，5α的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
17．设二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>可通过正交变换化成标准型22212325f y y y =++，求参数a 及使用的正交变换（20分） 说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出a 的值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换（4分）。
请按上述五步顺利给出解题过程。
一、选择题（每小题3分，共18分）1．B 。
解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。
2．C 。
解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。
3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。
4．A 。
解：根据定理5.1知，设0λ是A 的特征值，则必有0||0E A λ-=，于是0E A λ-不可逆，又2E A -及E A +，3A E -都不可逆，那么2E A -，E A --，13E A -不可逆，知A 的特征值为2，1-，13，而A 的特征多项式中常数项的值等于2||3A -=。
5．D 。
解：A ．正确，相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）。
B ．正确，1n +个n 维向量必线性相关（定理2.5 ）。
C ．正确，矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=，这是正交矩阵的定义。
D ．错误，矩阵A 的秩是r ，若其所有的1r -阶子式全为0，则A 的任何r 阶子式都为0，这与矩阵的秩为r 矛盾（注意矩阵A 的秩是r ，说明其存在一个r 阶非零子式）。
6．A 。
解：A ．正确，若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则()()T T T TT T T B A B B A B B A B==，则TB AB 也是对称矩阵。
B ．错误，反例：0102010300000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记0100A O ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，但0200X ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭0300Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
注意矩阵乘法不满足消去律，当AX AY =，只有A 可逆时，才有X Y =。
C ．错误，齐次线性方程AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A n =。
D ．错误，非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则A 的秩小于A 的列秩，即A 的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组AX O =有无穷多解的充要条件。
二、填空题(每小题3分,共18分)7．解：3123123123|||,2,2||,2,2,2||,2,2,2|2(||||)40A B A B αβγγγαγγγβγγγ+=+=+=+=，2。
8．解：1221221222436900336924004A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()2r A =，故4t =。
9．因为1α，2α正交，所以12103(1)3(1)0Tk k k αα=--++=，则35k =-。
10．解：由1|||2||(1)2|8||02E B E A E E A E A λλλλ--=--=--=-=，可知12λ-是A 的特征值，于是由A 的特征值1，1-，2可知B 的特征值λ为3，1-，5。
11．解：A 为可逆矩阵，则A 可写成一系列初等矩阵的乘积，AB 由B 左乘A 得到，相当于可通过初等行变换把B 变成AB ，由于初等变换不改变矩阵的秩，故()()r B r AB =，而()1r AB =，所以()()1r B r AB ==。
12．解：由||||||D A B =且A 、B 可逆可知，D 可逆，设矩阵X Y Z W ⎛⎫⎪⎝⎭，使得AO X Y E O C B Z W O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即AX AY E O CX BZ CY BW O E ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则AX E =，故1X A -=；AY O =，则Y O =；CX BZ O +=，故B Z C X =-，11Z B CA --=-；CY BW E +=，则BW E =，故1W B -=所以11111A O D B CAB -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭。
三、计算题(共64分)13．解：121212121212111(1)111(1)111(1)n n nn n n na a a a a a a a a a a a D a a a a a a ++=+12121212111111111111n n nna a a a a a a a a a a a ++=+（将各列分别加到第1列得）1212121211111111111111ni i n ni i n nni in a a a a a a a a a a a a ===+++=++∑∑∑22121211111111(1)1111n nnn i ina a a a a a a a a a =+=++∑再将第一行乘以1-分别加到其余各行，得21212111111110(1)(1)01nnnn n n i i iia a D a a a a a a a a ===+=+∑∑14．解：由2AB A B =+，可得(2)A E B A -=。
由于03310023321102010110123001121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而233211020121A E --=-=≠-，所以2A E -可逆，则1(2)B A E A -=-。
()2330332,110110121123A E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭～233033110110011033-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～100033010123001110⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭因此1033(2)123110B A E A -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭。
15．解：对增广矩阵(,)B A b =作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有2221254225420111245100(1)(10)(1)(4)B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭。
（1）当1λ≠且10λ≠时，()()3r A r B ==，方程组有唯一解。