初二一次函数压轴题复习精讲
专题08 一次函数与几何综合的五种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册北师大版)
专题08一次函数与几何综合的五种考法类型一、等腰三角形存在性问题(1)求直线CB的解析式；(2)点E在x轴上，【答案】(1)12y x =+(2)(4,0)、(16,0)-、当10BE AB ==时，1E 点的坐标为(4,0)，2E 点的坐标为当AB AE =时，点B 与点E 是关于y 轴对称，E 当EA EB =时，设点E 坐标为(,0)x ，则2228(6)x x +=+，解得：73x =4E 点的坐标为7(,0)3，(1)当点P 在线段BO 上时，①求证：AOP BOQ ≌△△；②若点P 为BO 的中点，求△(2)在点P 的运动过程中，是否存在某一位置，的坐标；若不存在，请说明理由．当点P 在线段OB 上时，若OC OQ =，由于OP OQ =，则有在OCP △中，OPC AOP ∠=∠+OC OP ∴>，即OC OQ =不可能；若CQ OQ =，由于OP OQ =，则有过点C 作CH x ⊥轴于点H ，显然即CQ OQ =不可能，∴当COQ 是等腰三角形时，只有当点P在BO的延长线上时，同理可得：(0,424)P--，综上所述：(0,424)P-或P【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，图形是解题的关键．【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交于点B、A，点P为y(1)求点A、B的坐标；(2)当点P在y轴负半轴上，且ABP的面积为6时，求点(3)是否存在点P使得ABP为等腰三角形?若存在，求出点设()()0,0P n n <，则2PA =-所以()22224PA n n n =-=-+所以224416n n n -+=+解得3n =-，所以此时点P 的坐标为(0,3-综上所述，存在点P 使得ABP 例．如图，直线24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是OB 的中点．(1)求点C 的坐标：(2)在x 轴上找一点D ，使得ACD ABC S S = ，求点D 的坐标；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使得ABP 是直角三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,2C (2)点D 的坐标为()4,0-或()0,0(3)存在，满足条件的P 点的坐标为()0,0或()8,0(1)填空：b =，m =，k =；(2)如图2，点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【答案】(1)8，2-，12-(2)①45；②点E 的坐标为()0,4219-；③点D 的坐标为()20，或()254,0-【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点A 作AH y ⊥轴于点H ，作AG x ⊥轴于点G ，根据勾股定理得到()222262480AE AC ==++=，于是得到结论；②利用勾股定理求出219HE =，可得2194OE =-，即可得答案；③分两种情况讨论，当90EDF ∠=︒时，求出135ADC ∠=︒，得45ADO ∠=︒，得DG AD ==得点D 坐标；当90DFE ∠=︒时，设DF x =，则8DE DC x ==-，由勾股定理得：()()2228454x x -=+-，求出DF ，得点D 坐标．【详解】（1）解：把()40B -，代入2y x b =+，∵()024b =⨯-+，∴8b =，∴直线AB ：28y x =+，把()4A m ，代入28y x =+，∴2m =-，∵ACD 翻折得到AED△∴()222262480AE AC ==++=，∴45AE =②当E 点落在y 轴上时，在Rt AHE △中，∵222AE AH HE -=∴222802HE AE AH =-=-=∴2194OE HE OH =-=-，∴点E 的坐标为()04219-，；③如下图，当90EDF ∠=︒时，由翻折得ADC ∠∴1359045ADO ∠︒︒=-=︒，∵4AG =，∴4DG AG ==，∴422OD DG OG =-=-=，∴点D 的坐标为()20，；如下图，当90DFE ∠=︒时，80AE AC ==设DF x =，则8DE DC x ==-，在Rt DEF △中，由勾股定理得：(解得：252x =-，∴254OD DF OF =-=-，∴点D 的坐标为()254,0-，综上，点D 的坐标为()20，或(2【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．(1)如图1，求出AOP 的面积；(2)如图2，已知点C 是直线85y x =上一点，若APC △是以AP 为直角边的等腰直角三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)AOP 的面积为40(2)点C 的坐标为()1016，或162,⎛⎫⎪∵直线l x ∥轴，点B ∴8PH OB ==，∴12AOP S OA PH == 故答案为：40；（2）设点(),8P n (n ≠过点P 作直线FE ，交APC 为等腰直角三角形，则90APE FPC ∴∠+∠=︒，APE FCP ∴∠=∠，90PEA CFP ∠=∠=︒ ，(AAS)PEA CFP ∴ ≌，同理可得：(AAS)AMP ANC ≌AM AM ∴=且MP NC =，8|10|m ∴=-或8105n m -=解得：2565m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或181945m n =⎧⎪⎨=⎪⎩(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与在直线CD 上存在点P ，使得A △的坐标．【答案】(1)142y x =-+∴90DPE A PB ''∠=∠=︒，∴A PD B PE ''∠=∠，∵90A FP CEB ''∠=∠=︒，∴A FP CEB '' ≌，∴4,PE PF A F B E ''===，此时点P 的坐标为()44--，；如图，若以点P 为直角顶点时，过点同理此时点P 的坐标为()44-，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点P 作同理A OB B GP ''' ≌，∴44OB PG OF t '====+，B '∴8t =-或0（舍去），∴8B G OA ''==，∴12OG =，∴此时点P 的坐标为()412--，；如图，若以点B '为直角顶点时，过点B '作B M CD '⊥轴于点M ，则4B M OF '==，OB MF '=，同理PB M A B O ''' ≌，∴44B M B O t ''===+，82PM OA t '==+，∴0=t （舍去）；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4482t t --=---，解得：8t =-，∴8PF =，此时点P 的坐标为()48-，；如图，若以点A '为直角顶点时，同理A PF B A O ''' ≌，∴,PF A O B O A F '''==，∴4824t t --=++，解得：163t =-，∴83PF =，∴此时点P 的坐标为84⎛⎫--，；(1)①A 的坐标是_____________②求直线AB 的表达式；(2)点P 是直线y =(3)当ABP 为等腰直角三角形时，请直接写出【答案】(1)①(0,3【分析】（1）把x（3）解：如图1，当点P 为顶点时，过点P 作PE x ⊥轴，过点A 作AF 垂直于PE 的延长线于点F ，∵ABP 是等腰直角三角形，AP PB ∴=，APB ∠=90︒，=90FAP APF +∠︒ ，=90APF BPE ∠+∠︒，=FAP BPE ∴∠∠，在AFP 和PEB △中，F E FAP EPB AP PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFP PEB AAS ∴≅ ，AF PE ∴=，BE PF =，===90O F E ∠∠∠︒ ，∴四边形AOEF 是矩形，==AF PE OB BE ∴+，===AO FE FP PE BE PE ++，==2AO BE OB BE BE OB +++，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，21=3BE ∴+，=1BE ∴，==31=2PE AO BE --，==11=2OE OB BE ∴++，∴点P 的坐标为()2,2；如图2，当点B 为顶点时，过点P 作PG x ⊥轴，ABP 是等腰直角三角形，AB BP ∴=，=90ABO OAB ∠+∠︒ ，=90ABO PBG ∠+∠︒，=OAB PBG ∴∠∠，在AOB 和BGP 中，O PGB OAB PBG AB BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB BGP AAS ∴≅ ，=PG OB ∴，BG AO =，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，==13=4OG OB BE ∴++，=1PG ，∴点P 的坐标为()4,1；如图3，当点A 为顶点时，过点P 作PM y ⊥轴，PAB △是等腰直角三角形，PA AB ∴=，=90PAB ∠︒，90MAP OAB ∠+∠=︒ ，90MAP MPA ∠+∠=︒，=MPA OAB ∴∠∠，在PMA △和AOB 中，M O MPA OAB AP AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA AOB AAS ∴≅ ，=MP AO ∴，=MA OB ，()0,3A 、()1,0B ，=3AO ∴，1OB =，3MP ∴=，==13=4OM MA AO ++，∴点P 的坐标为()3,4，故答案为：()2,2；()4,1；()3,4．【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质和矩形的性质及全等三角形的性质的判定，熟练求一次函数的解析式和构造全等三角形是解题的关键．类型四、全等问题(1)点A坐标为________，点B坐标为(2)当BOP△的面积是4时，求点(3)在y轴上是否存在点Q，使得以接写出所有符合条件的点P的坐标，否则请说明理由．【答案】(1)(3,0)，(0,4)，12 5(2)4(2,)20(2,)125OM OQ ==，12(0,)5Q 或12(0,)5-，6(5P ，12)5或24(5，12)5-；②如图3，图4，当OMP PQO ≌△△时，125PQ OM ∴==，12(5P ∴-，36)5或12(5，4)5；综上所述：P 点坐标为(65，12)5或24(5，12)5-或12(5-，36)5或12(5，4)5．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．【变式训练1】如图，一次函数364y x =+的图象与于点C ，点P 在直线AB 上运动，点Q 在(1)求点A ，B 的坐标；(2)求OC 的长；(3)若以O ，P ，Q 为顶点的三角形与【答案】(1)()8,0A -，(B (3)Q 的坐标为120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或0,⎛ ⎝则OC PQ=，∴245PQ =，∴245m=-，∴33241266 4455m⎛⎫+=⨯-+=⎪⎝⎭，∵PQ OC=，∴245 PQ=．∴245=m，∴33244866 4455m+=⨯+=，∴48 0,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；则245 OQ OC==，∴240,5Q⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，Q的坐标为12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1)求点B 的坐标及直线BC 的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【答案】(1)点B 的坐标为(0，3)，33y x =-+；(2)图见解析，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【分析】（1）将点点(3A -，0)代入解析式得出3b =，继而得出点B 的坐标为(0，3)，根据:3:1OB OC =得出1OC =，即点C 的坐标为(1，0)，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线AB ：y x b =+过点(3A -，0)，03b ∴=-+，3b ∴=．当0x =时，3y x b b =+==，∴点B 的坐标为(0，3)，即3OB =．OB ：3OC =：1，1OC ∴=．点C 在x 轴正半轴，∴点C 的坐标为(1，0)．设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将(0B ，3)、(1C ，0)代入y kx c =+，得：30c k c =⎧⎨+=⎩，解得：33k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的函数表达式为33y x =-+．（2）分在x 轴上方：BAD ABC ≌和(ABD ABC ≌如图1)和点D 在y 轴上(如图②)两种情况考虑：如图①：①当BAD ABC ≌时，3OA OB == ，45BAC ∴∠=︒．BAD ABC ≌，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，4BD AC ==，BD ∴∥AC ，∴点D 的坐标为(4-，3)；②当ABD ABC ≌时，45BAD BAC ∠=∠=︒，4AD AC ==，90DAC ∴∠=︒，∴点D 的坐标为(3-，4)．如图②当ABD BCA ≌时，4BD AC ==，1OD ∴=，∴点D 的坐标为(0，1)-．综上所述，点D 的坐标为(4-，3)或(3-，4)或(0，1)-．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练3】如图①，已知直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，以OA OC ，为边在第一象限内作长方形OABC ．类型五、角度之间关系过点P 作EF y ⊥轴于点E ，过点H 作∴45POG ∠=︒，∵()3,1P ，∴1,3EP OE ==∵OA OB =，45AOB ∠=︒∴AOB 是等腰直角三角形，∵45APO EOP ∠+∠=︒，PQO APO∠=∠∴45PQO EOP ∠+∠=︒又∵9045EOP GOQ POG ∠+∠=︒-∠=∴GOQ GQO∠=∠∴GQ GO =，即点G 在OG 的垂直平分线上，∵90OEP PFH OPH ∠=∠=∠=︒，∴90OPE FPH PHF ∠=︒-∠=∠，(1)求直线AB的关系式；(2)连接PD，当线段PD AB⊥时，直线AD上有一点动M∴1284,2525S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵45,DKR DAO KT RK ∠=∠=︒⊥∴45DKR DKT ∠=︒=∠，∴KT KP =，∴P ，T 关于直线AD 对称，连接TS 交AD 于M ，交x 轴于N 4y x =-+12x =-得y =∵3,4OB OA ==，∴34PH PH AH HW==，设3PH t =，则4AH HW t ==∴5PW t OW ==，∵4OW HW AH OA ++==，∵12POA BAO ∠=∠，∴2POA APO POA ∠+∠=∠∴APO POA ∠=∠，∴4AO AP ==，∵34PF OB AF AF ==，∴165AF =36(1)求直线BC 的函数解析式；(2)设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线于点Q ．①若PQB △的面积为83，求点M 的坐标．②连接BM ，如图2，在点M 的运动过程中是否存在点P ，使∠求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．则113(3)22PQ m m m =-+-+=，则PQB ∆的面积21122PQ BD m =⋅=故点M 的坐标为43(3，0)或4(-②如图，当点M 在y 轴的左侧时，点C 与点A 关于y 轴对称，AB BC ∴=，BAC BCA ∴∠=∠，BMP BAC ∠=∠ ，BMP BCA ∴∠=∠，90BMP BMC ∠+∠=︒ ，90BMC BCA ∴∠+∠=︒(1)求点A，B的坐标；(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点(3)在y轴上是否存在点P，使以求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A(−1，0)；B(0，2)(2)1.25；(3)y轴上存在点P，使以A，当BA＝BP时，BP＝∴点P1的坐标为(0，当PB＝PA时，设OP ∴(2−x)2=1+x2，解得：∴点P3的坐标为(0，当AB＝AP时，OP＝∴点P4的坐标为(0，综上所述：y轴上存在点标为(0，2+5）或(0(1)填空：=a ______，b =______；(2)在射线CD 上有一动点E ，过点E 作EF 平行于y 轴交直线AB 时，求点E 的坐标；(3)点M 为直线AB 上一点，且45CDM ∠=︒，求点M 的坐标．【答案】(1)1，2-1112132⎛⎫∴90QCP QPC ∠+∠=︒，∵CP CD ⊥，∴90QCP DCL ∠+∠=︒∴QPC DCL ∠=∠，∴QPC LCP ≌△△，∵()1,1C -，()0,2D -，∴CG HK =，GH KD =，∵()1,1C -，()0,2D -，设(,H c d ∴2c =-，1d =-，∴()2,1H --，可得直线DH 的解析式为联立12213y x ⎧=--⎪⎪⎨，解得721x ⎧=-⎪⎪⎨(1)求点C的坐标；∥轴交AB于点(2)如图2，过点C作直线CD x①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M DC≌△BDC时，当△1M和点B关于直线则点1M的坐标为：（-1∴点1M CD≌△BDC时，当△2。
八年级下册----一次函数压轴题解析
八年级下册----一次函数压轴题一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•平塘县二模〕如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速〔即单位时间内注入水的体积一样〕注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，那么h与t 的函数图象只可能是〔〕A．B．C．D．2．〔2021•XX〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x〔s〕，线段AP的长度为y〔cm〕，那么能够反映y与x之间函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．3．〔2021秋•XX期末〕如下图．直线y=x+2与y轴相交于点A，OB1=OA，以OB1为底边作等腰三角形A1OB1，顶点A1在直线y=x+2上，△A1OB1记作第一个等腰三角形；然后过B1作平行于OA1的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2，再以B1A2为腰作等腰三角形A2B1B2，记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于OA1的直线B2A3与直钱y=x+2相交于点A3，再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3，记作第三个等腰三角形；依此类推，那么等腰三角形A10B9B10的面积为〔〕A．3•48B．3•49C．3•410D．3•4114．〔2021春•海曙区校级期中〕如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点〔能与点O，B重合〕，假设能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为〔m，0〕，那么m的取值X围是〔〕D．0≤m≤3A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．0≤m≤5．〔2021•〕如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．6．〔2021•大城县校级模拟〕如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，那么表示y与x的函数关系的图象为〔〕A．B．C．D．7．〔2021•XX模拟〕如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，C点在EF边上，假设菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动，运动到C在GH边上为止，在整个运动的过程中，菱形与矩形重叠局部的面积〔S〕与运动的路程〔x〕之间的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．8．〔2021•温岭市校级三模〕如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是〔﹣4，0〕，直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是〔〕C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+2A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+29．〔2021•延庆县一模〕如图：P是线段AB上的动点〔P不与A，B重合〕，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；点C、D 在线段AB上且AC=BD，当点P从点C运动到点D时，设点G到直线AB的距离为y，那么能表示y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是〔〕A．B．C．D．10．〔2021•XX二模〕某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开场调出物资〔调进物资与调出物资的速度均保持不变〕．储运部库存物资w〔吨〕与时间t〔小时〕之间的函数关系如下图，这批物资从开场调进到全部调出需要的时间是〔〕A．4.5小时B．4.75小时C．5小时D．5小时11．〔2021•房山区一模〕如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．那么能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是〔〕A．B．C．D．12．〔2021•XX模拟〕四条直线y=kx﹣3，y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，那么k的值为〔〕A．1或2 B．1或﹣2 C．﹣1或2 D．﹣1或﹣213．〔2021•东城区一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点．动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停顿．设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到〔〕A．B C的中点处B．C点处C．C D的中点处D．D点处14．〔2021•XX模拟〕某人匀速上坡一段时间后，由于有急事，又以更快的速度匀速地沿原路返回；这一情境中，速度V与时间t的关系，用图象可大致表示为〔〕A．B．C．D．15．〔2021•江干区模拟〕如图，直线l1：y=x+1与直线l2：相交于点P〔﹣1，0〕．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…那么当动点C到达A n处时，运动的总路径的长为〔〕A．n2B．2n﹣1 C．2n﹣1+1 D．2n+1﹣216．〔2021•东阳市〕汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是〔〕A．B．C．D．17．〔2021•新城区校级模拟〕甲、乙两人分别从相距25千米的A、B两地同时相向而行．甲步行，每小时行5千米，乙骑自行车，每小时行15千米，乙到达A地后立即原路返回，追上甲为止，他们所行时间x〔小时〕，与离A地的距离y〔千米〕的函数图象大致是〔〕A ．B．C．D．二．选择题〔共5小题〕18．〔2007•随州〕在四边形ABCD中，AB边的长为4，设动点P沿折线B⇒C⇒D⇒A由点B向点A运动，设点P运动的距离为x，△PAB的面积为y，y与x的函数图象如下图．给出以下四个结论：①四边形ABCD的周长为14；②四边形ABCD是等腰梯形；③四边形ABCD是矩形；④当△PAB面积为4时，点P移动的距离是2．你认为其中正确的结论是．〔只填所有正确结论的序号例如①〕19．〔2007•XX〕一个水池有2个速度一样的进水口，1个出水口，单开一个进水口每小时可进水10立方米，单开一个出水口每小时可出水20立方米．某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如下图〔至少翻开一个进水口〕．给出以下三个论断：〔1〕0点到3点只进水不出水；〔2〕3点到4点不进水只出水，〔3〕4点到6点不进水也不出水．那么错误的论断是．〔填序号〕20．〔2007•XX〕函数y=，那么x的取值X围是；假设x是整数，那么此函数的最小值是．21．〔2021•昌平区二模〕当光线射到x轴的点C后进展反射，如果反射的路径经过点A〔0，1〕和点B〔3，4〕，如图，那么入射线所在直线的解析式为．22．〔2021•萧山区模拟〕当k取不同整数时，经过第一、二、四象限的所有直线y=〔2k﹣1〕x+k+2与坐标轴在第一象限围成一个多边形，这个多边形的面积等于．三．解答题〔共8小题〕23．〔2021 •建邺区二模〕小林家、小华家与图书馆依次在一条直线上．小林、小华两人同时各自从家沿直线匀速步行到图书馆借阅图书，小林到达图书馆花了20分钟．设两人出发x〔分钟〕后，小林离小华家的距离为y〔米〕，y与x的函数关系如下图．〔1〕小林的速度为米/分钟，a=，小林家离图书馆的距离为米；〔2〕小华的步行速度是40米/分钟，设小华步行时与家的距离为y1〔米〕，请在图中画出y1〔米〕与x〔分钟〕的函数图象；〔3〕小华出发几分钟后两人在途中相遇？24．〔2021 •峄城区校级模拟〕甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B 港出发逆流匀速驶向A港．救生圈漂流的速度和水流速度一样；甲、乙两船在静水中的速度一样．甲、乙两船到A港的距离y1、y2〔km〕与行驶时间x〔h〕之间的函数图象如下图．〔1〕写出乙船在逆流中行驶的速度；〔2〕求甲船在逆流中行驶的路程；〔3〕求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式；〔4〕求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．25．〔2021 •XX模拟〕一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲、乙两车同时从B地出发，匀速驶往C地．乙车直接驶往C地，甲车先到A地取一物件后立即调转方向追赶乙车〔甲车取物件的时间忽略不计〕．两车间距离y〔km〕与甲车行驶时间x〔h〕的关系图象如图1所示．〔1〕求两车的速度分别是多少？〔2〕填空：A、C两地的距离是：，图中的t=〔3〕在图2中，画出两车离B地距离y〔km〕与各自行驶时间x〔h〕的关系图象，并求两车与B地距离相等时行驶的时间．26．〔2021 春•晋安区期末〕模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA．模型应用：〔1〕直线l1：y=x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．〔2〕如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为〔8，6〕，A、C分别在坐标轴上，P 是线段BC上动点，设PC=m，点D在第一象限，且是直线y=2x﹣6上的一点，假设△APD 是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．27．〔2021•XX〕在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A〔2，0〕，点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．〔Ⅰ〕假设点M的坐标为〔1，﹣1〕，①当点F的坐标为〔1，1〕时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P〔x，y〕，求y关于x的函数解析式．〔Ⅱ〕假设点M〔1，m〕，点F〔1，t〕，其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．28．〔2021•江阴市二模〕如图，A、B两点分别在x轴和y轴上，且OA=OB=，动点P、Q分别在AB、OB上运动，运动时，始终保持∠OPQ=45°不变，设PA=x，OQ=y．〔1〕求y与x的函数关系式．〔2〕点M在坐标平面内，是否存在以P、Q、O、M为顶点的四边形是菱形？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由．〔3〕点D在AB上，且AD=，试探究：当点P从点A出发第一次运动到点D时，点Q 运动的路径长为多少？29．〔2021•XX〕为了迎接“十•一〞小长假的购物顶峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：甲乙运动鞋价格进价〔元/双〕m m﹣20售价〔元/双〕240 160：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量一样．〔1〕求m的值；〔2〕要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润〔利润=售价﹣进价〕不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？〔3〕在〔2〕的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进展优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a〔50＜a＜70〕元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？30．〔2021•XX〕某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂方案生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x〔千克〕．〔1〕列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值X围；〔2〕该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？八年级下册----一次函数压轴题参考答案与试题解析一．选择题〔共17小题〕1．〔2021•平塘县二模〕如图，是一个下底小而上口大的圆台形容器，将水以恒速〔即单位时间内注入水的体积一样〕注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，那么h与t 的函数图象只可能是〔〕A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：计算题；压轴题．分析：此题需先根据容器下底小而上口大的特点得出容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢即可得出正确答案．解答：解：∵容器下底小而上口大，∴将水以恒速注入，那么容器内对应的水高度h随时间t的增加而增加，但增加的速度越来越慢∴h与t的函数图象只可能是D应选D点评：此题主要考察了函数的图象问题，在解题时要结合题意找出正确的函数图象是此题的关键．2．〔2021•XX〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P的运动时间为x〔s〕，线段AP的长度为y〔cm〕，那么能够反映y与x之间函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：这是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一局部；②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x的函数关系式，根据关系式选择图象；③点P在边AB上时，利用线段间的和差关系求得y与x的函数关系式，由关系式选择图象．解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一局部；②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=，那么其函数图象是y随x的增大而增大，且不是一次函数．故B、C、D错误；③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象是直线的一局部．综上所述，A选项符合题意．应选：A．点评：此题考察了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数y=的图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进展解题．3．〔2021秋•XX期末〕如下图．直线y=x+2与y轴相交于点A，OB1=OA，以OB1为底边作等腰三角形A1OB1，顶点A1在直线y=x+2上，△A1OB1记作第一个等腰三角形；然后过B1作平行于OA1的直线B1A2与直线y=x+2相交于点A2，再以B1A2为腰作等腰三角形A2B1B2，记作第二个等腰三角形；同样过B2作平行于OA1的直线B2A3与直钱y=x+2相交于点A3，再以B2A3为腰作等腰三角形A3B2B3，记作第三个等腰三角形；依此类推，那么等腰三角形A10B9B10的面积为〔〕A．3•48B．3•49C．3•410D．3•411考点：一次函数综合题．专题：压轴题；规律型．分析：令x=0求解得到点A的坐标，然后求出OA的长，过点A1作A1C1⊥x轴于C1，根据等腰三角形三线合一的性质求出OC1，再根据直线解析式求出A1C1，然后判断出△A2B1B2∽△A1OB1，过点A2作A2C2⊥x轴于C2，根据相似三角形的性质用B1C2表示出A2C2，再根据A2在直线上列式求解得到第二个等腰三角形的底边与高，同理求出第三个等腰三角形的底边与高，然后根据规律判断出△A10B9B10的底边与高，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：令x=0，那么y=2，∴点A的坐标为〔0，2〕，∴OA=2，∴OB1=OA=2，过点A1作A1C1⊥x轴于C1，那么OC1=OB1=×2=1，∵A1在直线y=x+2上，∴A1C1=x+2=1+2=3，∴A1C1=3OC1，由题意得，△A2B1B2∽△A1OB1，过点A2作A2C2⊥x轴于C2，那么A2C2=3B1C2，设B1C2=a，那么A2C2=3a，∵A2在直线y=x+2上，∴A2C2=x+2=〔2+a〕+2=3a，解得a=2，∴B1B2=2×2=4，同理可得B2B3=8=23，A2C3=12=3×22，…，△A10B9B10的底边B9B10=210，高为3×29，∴△A10B9B10的面积=×210×3×29，=3•49．应选B．点评：此题是一次函数综合题型，主要考察了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，求出等腰三角形底边上的高等于底边一半的3倍是解题的关键，也是此题的难点．4．〔2021春•海曙区校级期中〕如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴交于A，B两点．点P是线段OB上的一动点〔能与点O，B重合〕，假设能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP=90°．设点P的坐标为〔m，0〕，那么m的取值X围是〔〕A．3≤m≤4 B．2≤m≤4 C．D．0≤m≤30≤m≤考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：令y=0求出点B的坐标，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，那么OD=a，PD=m﹣a，求出△OCD和△CPD相似，利用相似三角形对应边成比例列式表示出m，然后求出m的最小值，再根据点P在线段OB上判断出OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，然后写出m的取值X围即可．解答：解：令y=0，那么﹣x+3=0，解得x=4，所以，点B的坐标为〔4，0〕，过点C作CD⊥x轴于D，设点C的坐标横坐标为a，那么OD=a，PD=m﹣a，∵∠OCP=90°，∴△OCD∽△CPD，∴=，∴CD2=OD•DP，∴〔﹣a+3〕2=a〔m﹣a〕，整理得，m=a+﹣，所以，m≥2﹣=3，∵点P是线段OB上的一动点〔能与点O，B重合〕，∴OC⊥AB时，点P、B重合，m最大，∴m的取值X围是3≤m≤4．应选A．点评：此题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，相似三角形的判定与性质，难点在于列不等式求出m的最小值．5．〔2021•〕如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•〔0≤x≤2〕，再根据解析式对四个图形进展判断．解答：解：作OC⊥AP，如图，那么AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•〔0≤x≤2〕，所以y与x的函数关系的图象为A选项．应选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，应选：A．点评：此题考察了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值X围．6．〔2021•大城县校级模拟〕如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为y，点P运动的路程为x，那么表示y与x的函数关系的图象为〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：分别求出P在AB段，BC段，CD段的函数解析式或判断函数的类型，即可判断．解答：解：点P在AB段时，函数解析式是：y=AP•AM=×2x=x，是正比例函数；点P在BC段时：y=2x﹣4；这段的直线的斜率大于AB段的斜率．故A，B选项错误；点P在CD段时，面积是梯形ABCM的面积加上△MCP面积，梯形ABCM的面积不变，而△MCP中CP边上的高一定，因而面积是CP长的一次函数，因而此段的面积是x的一次函数，应是线段．故C错误，正确的选项是D．应选D．点评：此题主要考察了函数的性质，注意分段讨论是解决此题的关键．7．〔2021•XX模拟〕如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，C点在EF边上，假设菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动，运动到C在GH边上为止，在整个运动的过程中，菱形与矩形重叠局部的面积〔S〕与运动的路程〔x〕之间的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；分段函数．分析：要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中S随x变化的情况，解答：解：当0＜x＜2时，S=x2，当2≤x≤4时，S=×2×4﹣〔4﹣x〕×〔4﹣x〕，=﹣x 2+4x﹣4，由分析可知，应选D．点评：此题以动态的形式考察了分类讨论的思想，函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．8．〔2021•温岭市校级三模〕如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是〔﹣4，0〕，直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是〔〕C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+2A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+2考点：一次函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：抓住两个特殊位置：当BC与x轴平行时，求出D的坐标；C与原点重合时，D在y 轴上，求出此时D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式．解答：解：当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示，∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是〔﹣4，0〕，∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为〔﹣1，3〕；当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D〔0，2〕，设所求直线解析式为y=kx+b〔k≠0〕，将两点坐标代入得：，解得：．那么这条直线解析式为y=﹣x+2．应选D9．〔2021•延庆县一模〕如图：P是线段AB上的动点〔P不与A，B重合〕，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；点C、D 在线段AB上且AC=BD，当点P从点C运动到点D时，设点G到直线AB的距离为y，那么能表示y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；数形结合．分析：分别延长AE，BF交于点H，那么可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．解答：解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∴G为HP的中点，∵EF的中点为G，∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，又∵MN∥CD，∴G到直线AB的距离为一定值，∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线〔x≥0〕．应选D．点评：此题考察了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．10．〔2021•XX二模〕某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开场调出物资〔调进物资与调出物资的速度均保持不变〕．储运部库存物资w〔吨〕与时间t〔小时〕之间的函数关系如下图，这批物资从开场调进到全部调出需要的时间是〔〕A．4.5小时B．4.75小时C．5小时D．5小时考点：函数的图象．专题：应用题；压轴题．分析：通过分析题意和图象可求调进物资的速度，调出物资的速度；从而可计算最后调出物资20吨所花的时间．解答：解：调进物资的速度是50÷2=25〔吨/时〕；当在第4小时时，库存物资应该有100吨，从图象上可知库存是20吨，所以调出速度是80÷2=40〔吨/时〕，所以剩余的20吨完全调出需要20÷40=0.5〔小时〕．故这批物资从开场调进到全部调出需要的时间是4+0.5=4.5〔小时〕．应选A．点评：主要考察了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．11．〔2021•房山区一模〕如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．那么能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是〔〕A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；数形结合．分析：过点P作PF⊥BC于F，假设要求△PBE的面积，那么需要求出BE，PF的值，利用条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值X围和y的取值X围．解答：解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC==，∵AP=x，∴PC=﹣x，∴PF=FC=〔﹣x〕=1﹣x，∴BF=FE=1﹣FC=x，∴S△PBE=BE•PF=x〔1﹣x〕=﹣x2+x，即y=﹣x2+x〔0＜x＜〕，∴y是x的二次函数〔0＜x＜〕，应选A．点评：此题考察了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．12．〔2021•XX模拟〕四条直线y=kx﹣3，y=﹣1，y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，那么k的值为〔〕A．1或2 B．1或﹣2 C．﹣1或2 D．﹣1或﹣2考点：一次函数的性质．专题：压轴题；探究型．分析：首先根据四条直线的解析式画出示意图，从而发现四边形是梯形，求得梯形的四个顶点的坐标，再进一步根据梯形的面积公式进展计算．解答：解：如下图，根据题意，得A〔1，3〕，B〔1，﹣1〕，C〔，﹣1〕，D〔，3〕．显然ABCD是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是12，那么梯形的上下底的和是6，那么有①当k＜0时，1﹣+1﹣=6，∴2﹣=6，∴=﹣4，解得k=﹣2；②当k＞0时，﹣1+﹣1=6，∴=8，解得k=1．综上所述，那么k=﹣2或1．应选B．点评：此题考察了用图象法表示函数、两条直线的交点坐标和梯形的面积公式，注意此题的两种情况．13．〔2021•东城区一模〕如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AB、AD的中点．动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停顿．设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到〔〕A．B C的中点处B．C点处C．C D的中点处D．D点处考点：一次函数的应用．专题：几何动点问题；压轴题．分析：根据题意，△EFR的面积=边EF×其对应的高，当△EFR的面积最大时，边EF对应的高最大，从而转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大．解答：解：根据题意，△EFR的面积=边EF×其对应的高，当△EFR的面积最大时，边EF对应的高最大，从而将问题转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大．由所给图形可以看出当点R运动到C点时，点R到线段EF的距离最大．应选B．点评：此题考察了一次函数的应用，难度不大，将问题适当的转化是解答该题的关键．14．〔2021•XX模拟〕某人匀速上坡一段时间后，由于有急事，又以更快的速度匀速地沿原路返回；这一情境中，速度V与时间t的关系，用图象可大致表示为〔〕A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：根据行驶速度是匀速，可知v在两段时间内分别不变，是一条平行于t轴的直线，可知匀速上坡后，又沿原路返回，所以路程是相等的，根据s=vt，由于返回是速度更快了，所以所用时间就短了．解答：解：∵某人匀速上坡一段时间，∴v在这段时间不变，是一条平行于t轴的直线，∵又以更快的速度匀速地沿原路返回，∴此时v增大，仍然是一条平行于t轴的直线，而且所用时间缩短，应选：A，点评：此题主要考察了实际问题与函数图象的结合，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．15．〔2021•江干区模拟〕如图，直线l1：y=x+1与直线l2：相交于点P〔﹣1，0〕．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B n，A n，…那么当动点C到达A n处时，运动的总路径的长为〔〕A．n2B．2n﹣1 C．2n﹣1+1 D．2n+1﹣2考点：一次函数综合题．专题：压轴题；规律型．。
八上期末复习《一次函数》压轴题含答案解析
一次函数综合题选讲及练习例1．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=，求BN的长；（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．变式练习：1．已知：如图1，一次函数y=mx+5m的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=﹣x的图象交于点C，点C的横坐标为﹣3．（1）求点B的坐标；（2）若点Q为直线OC上一点，且S△QAC=3S△AOC，求点Q的坐标；（3）如图2，点D为线段OA上一点，∠ACD=∠AOC．点P为x轴负半轴上一点，且点P到直线CD和直线CO的距离相等．①在图2中，只利用圆规作图找到点P的位置；（保留作图痕迹，不得在图2中作无关元素．）②求点P的坐标．例2．如图1，已知一次函数y=﹣x+6分别与x、y轴交于A、B两点，过点B的直线BC 交x轴负半轴与点C，且OC=OB．（1）求直线BC的函数表达式；（2）如图2，若△ABC中，∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，求证：∠AFC=∠ABC；（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：2．如图，直线l：y=x+6交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．（1）点A坐标是，BC=．（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．课后作业：1．已知，如图直线y=2x+3与直线y=﹣2x﹣1相交于C点，并且与两坐标轴分别交于A、B两点．（1）求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图①，直线y=﹣x+1分别与坐标轴交于A，B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB（1）求直线AC的解析式；（2）如图②，在x轴上取一点D（1，0），过D作DE⊥AB交y轴于E，求E点坐标．3．如图，直线L：y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A、B两点的坐标；（2）当M在x轴正半轴移动并靠近0点时，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；当M在O点时，△COM的面积如何？当M在x轴负半轴上移动时，求△COM 的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；请写出每个关系式中t的取值范围；（3）当t为何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．参考答案：例1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，当y=0时，x=﹣5，当x=0时，y=5m，∴A（﹣5，0），B（0，5m），∵OA=OB，∴5m=5，解得：m=1，∴直线L的解析式为：y=x+5；（2）∵OA=5，AM=，∴由勾股定理得：OM==，∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∵∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BON=∠OAM，在△AMO和△OBN中，，∴△AMO≌△ONB（AAS）∴BN=OM=；（3）PB的长是定值，定值为；理由如下：作EK⊥y轴于K点，如图所示：∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，∴∠ABO+∠EBK=90°，∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EBK=∠OAB，在△ABO和△BEK中，，∴△ABO≌△BEK（AAS），∴OA=BK，EK=OB，∴EK=BF，在△PBF和△PKE中，，∴△PBF≌△PKE（AAS），∴PK=PB，∴PB=BK=OA=×5=．【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．变式练习：1．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，则易求点B的坐标；（2）由S△QAC=3S△AOC得到点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的3倍或点Q到x轴的距离是点C到x轴距离的2倍；（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．利用△CAO∽△DAC，求出AD的长，进而求出D点坐标，再用待定系数法求出CD解析式，利用点到直线的距离公式求出公式，=，解出a的值即可．【解答】解：（1）把x=﹣3代入y=﹣x得到：y=2．则C（﹣3，2）．将其代入y=mx+5m，得：2=﹣3m+5m，解得m=1．则该直线方程为：y=x+5．令x=0，则y=5，即B（0，5）；（2）由（1）知，C（﹣3，2）．如图1，设Q（a，﹣a）．∵S△QAC=3S△AOC，∴S△QAO=4S△AOC，或S△QAO=2S△AOC，①当S△QAO=4S△AOC时，OA•y Q=4×OA•y C，∴y Q=4y C，即|﹣a|=4×2=8，解得a=﹣12（正值舍去），∴Q（﹣12，8）；②当S△QAO=2S△AOC时，OA•y Q=2×OA•y C，∴y Q=2y C，即|﹣a|=2×2=4，解得a=6（舍去负值），∴Q′（6，﹣4）；综上所述，Q（﹣12，8）或（6，﹣4）．（3）①如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；②如图3，作P1F⊥CD于F，P1E⊥OC于E，作P2H⊥CD于H，P2G⊥OC于G．∵C（﹣3，2），A（﹣5，0），∴AC==2，∵∠ACD=∠AOC，∠CAO=∠DAC，∴△CAO∽△DAC，∴=，∴AD=，∴OD=5﹣=，则D（﹣，0）．设CD解析式为y=kx+b，把C（﹣3，2），D（﹣，0）分别代入解析式得，解得，函数解析式为y=5x+17，设P点坐标为（a，0），根据点到直线的距离公式，=，两边平方得，（5a+17）2=2×4a2，解得a=﹣5±2，∴P1（﹣5﹣2，0），P2（﹣5+2，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强，值得关注．法二：例2．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C点的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据角平分线的性质，可得∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE，根据三角形外角的关系，可得∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA，根据等式的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，分类讨论：AB=AP=10，AB=BP=10，BP=AP，根据线段的和差，可得AB=AP=10时P点坐标，根据线段垂直平分线的性质，可得AB=BP=10时P点坐标；根据两点间的距离公式，可得BP=AP 时P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=6，即B（0，6），当y=0时，﹣x+6=0，解得x﹣8，即A （8，0）；由OC=OB，得OC=3，即C（﹣3，0）；设BC的函数解析式为，y=kx+b，图象过点B、C，得，解得，直线BC的函数表达式y=2x+6；（2）证明：∵∠ACB的平分线CF与∠BAE的平分线AF相交于点F，∴∠FCA=∠BCA，∠FAE=∠BAE．∵∠BAE是△ABC的外角，∠FAE是△FAC的外角，∴∠BAE=∠ABC+∠BCA，∠FAE=∠F+∠FCA．∴∠ABC+∠BCA=∠F+∠BCA，∠ABC=∠F；（3）当AB=AP=10时，8﹣10=﹣2，P1（﹣2，0），8+10=18，P2（18，0）；当AB=BP=10时，AO=PO=8，即P3（﹣8，0）；设P（a，0），当BP=AP时，平方，得BP2=AP2，即（8﹣a）2=a2+62化简，得16a=28，解得a=，P4（，0），综上所述：P1（﹣2，0），P2（18，0），P3（﹣8，0）；P4（，0）．【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了函数值与自变量的关系求出A、B、C的值又利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了角平分线的性质，三角形外角的性质，（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键．变式练习：2．【考点】一次函数综合题。
一次函数易错题压轴题题型归纳及方法
一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一次函数易错题压轴题题型归纳及方法一、基础概念梳理1.1 一次函数的定义和性质一次函数是指函数 f(x) = ax + b，其中 a 不等于 0。
其图像为一条直线，斜率为 a，截距为 b。
在直角坐标系中，表现为直线过原点或不过原点。
一次函数的性质包括斜率和截距等。
1.2 一次函数的图像和特征一次函数的图像呈线性关系，表现为直线。
斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线和 y 轴的交点。
掌握一次函数的图像和特征是解题的关键。
二、易错题分析2.1 斜率与线性关系易错点：部分学生对斜率的计算和理解存在困难，无法准确求解斜率或理解斜率的意义。
解决方法：要重点训练学生如何计算斜率，以及斜率对线性关系的影响。
可以通过练习题和实例来加深理解。
2.2 截距的求解易错点：学生在求解截距时常常出错，或者无法正确理解截距的含义。
解决方法：通过大量的实例练习，加深学生对截距的理解和运用能力。
可以设计一些生活中的例子来帮助学生理解截距的含义。
2.3 点斜式方程易错点：学生在转化为一般式方程时，容易出错或混淆概念。
解决方法：通过举例和练习，让学生掌握点斜式方程和一般式方程之间的转化，加深对一次函数的理解和掌握能力。
三、高级拓展题3.1 一次函数的应用在生活中，一次函数的应用非常广泛，包括经济学、物理学和工程学等领域。
这些应用题往往涉及到实际问题的建模和解决，需要学生有较强的数学建模和解题能力。
3.2 特殊题型及解法除了基本的一次函数题，还有一些特殊的题型需要引起重视，包括两条直线的关系、两个一次函数的综合运用等。
这些题型需要学生拓展思维，掌握各种解题方法。
四、总结回顾在学习一次函数这一题型时，学生需要注重基本概念的理解和掌握，加强实例练习，培养解题思维，拓展应用能力。
重点关注易错点，并采取有效的方法加以解决，提高学生对一次函数的理解和应用能力。
个人观点及理解对于一次函数的学习和掌握，我认为重在理解和应用。
初二数学一次函数压轴题分析
初二数学一次函数压轴题分析
线性函数的压轴题很多，主要分为两类。
第一类是给出一个实际情形，再配上一个函数图像，让做题人分析，考察的重点是做题人分析实际情形和运用各种公式的能力（更像物理题）
例题：
第二类是给出平面直角坐标系，给出点坐标并考察已知两点求直线解析式，求直线与x，y轴的交点，平行，对称等一次函数基本知识点。
有时会穿插几何的考查内容
例如：
这种题目等腰三角形和面积是特别热门的考点，重点和核心思想都是进行分类讨论
因为上面两个问题很简单，所以不做回答。
主要研究下面这道难度较大的压轴题
总结：这道题涵盖了比较多的知识点，前面两道题考察了基本的一次函数知识以及基本的面积求法，最后一道题形式新颖，利用全等和多次利用勾股定理列出方程和求出长度，辅助线的设计（尤其是平行线那一条）很大胆，看到45°毫不犹豫做等腰直角三角形
热门考点面积求法：
（1）普通的规则图形，例如三角形，使用底乘高÷2，矩形，使用长乘宽
(2)切割法，将一个三角形或一个四边形分成两个三角形，然后计算面积。
（3）补法，把一个三角形放在一个矩形里面，再通过矩形减去剩下的三个小三角形，就得出了面积（本题第二道题里面使用了这个方法）
热门考点等腰三角形：注意分三种情况，三条边a，b，c分别有a=b，b=c，a=c等情况，需要逐一讨论
如果这个点会移动，记得把点的坐标设为未知数，再通过线段加减或者勾股定理来求出这个线段关于x的表达式，再列出方程。
【常考压轴题】专题06 一次函数图像的五种考法(解析版)八年级数学上册压轴题攻略
专题06一次函数图像的五种考法类型一、图像的位置关系问题例．直线y kx k =-与直线y kx =-在同一坐标系中的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据直线y kx k =-与直线y kx =-图像的位置确定k 的正负，若不存在矛盾则符合题意，据此即可解答．【详解】解：A 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以A 选项符合题意；B 、y kx =-过第二、四象限，则0k >，所以y kx k =-过第一、三、四象限，所以B 选项不符合题意；C 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以C 选项不符合题意；D 、y kx =-过第一、三象限，则0k <，所以y kx k =-过第二、一、四象限，所以D 选项不符合题意．故选A ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图像：一次函数0y kx b k =+≠（）的图像为一条直线，当0k >，图像过第一、三象限；当0k <，图像过第二、四象限；直线与y 轴的交点坐标为()0b ，．【变式训练1】在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．．．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．k>，故由一次函数图像与【详解】A、由正比例函数图像可知0，即0点的上方，故选项A不符合题意；．．．．【答案】B【分析】先根据直线1l，得出k然后再判断直线2l的k和b的符号是否与直线．B．．．【答案】C【分析】根据一次函数的图象性质判断即可；ab>，【详解】∵0同号，A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．类型二、图像与系数的关系则13k≥或3k≤-，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握数形结合思想是解题关键．类型三、图像的平移问题例．将直线y kx b =+向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线2y x =，则（）A ．2k =，8b =-B ．2k =-，2b =C ．1k =，4b =-D ．2k =，4b =【答案】A【分析】根据直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，然后结合得到直线2y x =，即可解出k 和b 的值．【详解】解：直线y kx b =+向左平移2个单位，变为()2y k x b =++，再向上平移4个单位，变为()24y k x b =+++，得到直线2y x =，2k ∴=，240k b ++=，2k ∴=，8b =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式训练1】对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（）．A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4)B ．函数的图象不经过第三象限C ．函数的图象向下平移4个单位长度得2y x =-的图象D ．函数值随自变量的增大而减小【答案】A【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】A 选项：当0y =时，2x =，所以函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)，故A 选项错误；B 选项：函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B 选项正确；C 选项：函数的图象向下平移4个单位长度，得到函数244y x =-+-，即2y x =-的图象，故C 选项正确；D 选项：由于20k =-<，所以函数值随x 的增大而减小，故D 选项正确．故选：C【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，函数图象平移的法则，熟练运用一次函数的图象及性质进行判断是解题的关键．【变式训练2】把直线3y x =-先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为（）A ．3B ．1C ．1-D ．3-【答案】B【分析】由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，计算求解即可．【详解】解：由题意知，平移后的直线解析式为()32333y x x =---=-+，将()0m ,代入得033m =-+，解得1m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点．解题的关键在于熟练掌握图象平移：左加右减，上加下减．类型四、规律性问题例．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形1n n n n A B C C -，使得点1A ，2A ，3A ，…．在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2023B 的坐标为（）A ．()202220232,21-B ．()202320232,2C ．()202320242,21-D ．()202220232,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点11A B 、的坐标，同理可得出2A 、3A 、4A 、5A …及2B 、3B 、4B 、5B …的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律()12,21n n n B --（n 为正整数），依此规律即可得出结论．【详解】解：当0y =时，由10x -=，解得：1x =，∴点1A 的坐标为()1,0，111A B C O 为正方形，()11,1B ∴，同理可得：()22,1A ，()34,3A ，()48,7A ，()516,15A ，…，∴()22,3B ，()34,7B ，()48,15B ，()516,31B ，…，【答案】20222022(21,2)-【分析】先求出1A 、2A 、3A 、4A 的坐标，找出规律，即可得出答案．【详解】解： 直线1y x =+和y 轴交于1A ，1A ∴的坐标()0,1，即11OA =，四边形111C OA B 是正方形，111OC OA ∴==，【答案】()20222,0【分析】根据1A 的坐标和函数解析式，即可求出点34,A A 探究规律利用规律即可解决问题．【详解】∵直线3y x =，点1A 的坐标为∴()11,3B 在11Rt OA B △中，11131,OA A B ==，类型五、增减性问题．B．．．A ．()15,53B ．()15,63C ．()17,53D 【答案】D【答案】40432【分析】根据已知先求出2OA ，3OA ，33A B ，44A B ，然后分别计算出1S ，2S 【详解】解：∵11OA =，212OA OA =，∴22OA =，∵322OA OA =，∴34OA =，∵432OA OA =，。
初二年级一次函数专题讲解
初二年级一次函数专题讲解一、考点、热点回顾考点1：一次函数的概念.一次函数是形如y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的函数，特别的当0=b 时函数为)0(≠=k kx y ，叫正比例函数.考点2：一次函数图象与系数一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是一条直线，图象位置由k 、b 确定，0>k 直线要经过一、三象限，0<k 直线必经过二、四象限，0>b 直线与y 轴的交点在正半轴上，0<b 直线与y 轴的交点在负半轴上.考点3：一次函数的增减性一 次函数)0(≠+=k b kx y ，当0>k 时，y 随x 的增大而增大，当0<k 时，y 随x 的增大而减小.从图象上看只要图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大，经过二、四象限，y 随x 的增大而减小.考点4：图象的平移考点5：一次函数解析式的确定第一种情况：不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的自变量和函数变量之间的数量关系，建立函数解析式。
第二种情况：已知函数是一次函数（直接或间接），采用待定系数法。
（已知是一次函数或已知解析式形式y kx b =+或已知函数图象是直线都是直接或间接已知了一次函数）一、定义型 一次函数的定义：形如y kx b =+，k 、b 为常数，且k ≠0。
二. 平移型 两条直线1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+。
当12k k =，12b b ≠时，1l ∥2l ，解决问题时要抓住平行的直线k 值相同这一特征。
三. 两点型从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式y kx b =+中含两个待定系数k 和b ，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。
考点6：与一次函数有关的几何探究问题二、典型例题例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32 m +（m-4）是一次函数？例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21 D ．m ＞M例7 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例10 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P 点的坐标．例11 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例12 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．例14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．例15 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .三、课后练习1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b （元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？2 已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。
初中八年级数学重点学习课件：压轴：一次函数综合(知识点串讲)(解析版)
专题16 压轴：一次函数综合典例1．（2018秋•太仓市期末）如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，连接AC，且AC＝4，．（1）求AC所在直线的解析式；（2）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF所在的直线的函数解析式．【答案】见解析【解析】解：（1）∵，∴可设OC＝x，则OA＝2x，在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2＝AC2，∴x2+（2x）2＝（4）2，解得x＝4（x＝﹣4舍去），∴OC＝4，OA＝8，∴A（8，0），C（0，4），设直线AC解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC解析式为y x+4；（2）由折叠的性质可知AE＝CE，设AE＝CE＝y，则OE＝8﹣y，在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2＝CE2，∴（8﹣y）2+42＝y2，解得y＝5，∴AE＝CE＝5，∵∠AEF＝∠CEF，∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF＝5，∴S△CEF CF•OC5×4＝10，即重叠部分的面积为10；（3）由（2）可知OE＝3，CF＝5，∴E（3，0），F（5，4），设直线EF的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线EF的解析式为y＝2x﹣6．【点睛】（1）设OC＝x，由条件可得OA＝2x，在Rt△OAC中，由勾股定理可列方程，则可求得OC的长，可得出A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；（2）可设AE＝CE＝y，则有OE＝8﹣x，在Rt△OEC中，可求得x的值，再由矩形的性质可证得CE＝CF，则可求得△CEF的面积；（3）由（2）可求得E、F的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF的函数解析式．本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识．在（1）中求得A、C的坐标是解题的关键，在（2）中求得CF的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的坐标是解题的关键．典例2 ．（2018春•黄陂区期末）如图，直线y＝2x+6交x轴于A，交y轴于B．（1）直接写出A（____，___），B（___，___）；（2）如图1，点E为直线y＝x+2上一点，点F为直线y x上一点，若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E，F的坐标（3）如图2，点C（m，n）为线段AB上一动点，D（﹣7m，0）在x轴上，连接CD，点M为CD的中点，求点M的纵坐标y和横坐标x之间的函数关系式，并直接写出在点C移动过程中点M的运动路径长．【答案】见解析【解析】解：（1）对于直线y＝2x+6，令x＝0，得到y＝6，令y＝0，得到x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，6），故答案为﹣3，0，0，6；（2）∵A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，∴AB＝EF，AB∥EF，设E（m，m+2），则F（m+3，m+8）或（m﹣3，m﹣4），把F（m+3，m+8）代入y x，得到m+8（m+3），解得m＝﹣13，∴E（﹣13，﹣11），F（﹣10，﹣5），把F（m﹣3，m﹣4）代入y x中，m﹣4（m﹣3），解得m＝5，∴E（5，7），F（2，1），当AB为对角线时，设E（m，m+2），则F（m﹣3，6﹣m），把F（﹣m﹣3，4﹣m）代入y x中，4﹣m（﹣m﹣3），解得m＝11，∴E（11，13），F（﹣14，﹣7）．（3）∵C（m，n）在直线y＝2x+6上，∴n＝2m+6，∴C（m，2m+6），∵D（﹣7m，0），CM＝MD，∴M（﹣3m，m+3），令x＝﹣3m，y＝m+3，∴y x+3，当点C与A重合时，m＝﹣3，可得M（9，0），当点C与B重合时，m＝0，可得M（0，3），∴点C移动过程中点M的运动路径长为：3．【点睛】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）因为A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，推出AB＝EF，AB∥EF，设E（m，m+2），则F （m+3，m+8）或（m﹣3，m﹣4），再利用待定系数法求出m即可；（3）求出点M的坐标（用m表示），即可解决问题，利用特殊位置求出点M的坐标，可以解决点C移动过程中点M的运动路径长；本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例3．（2018春•高新区期末）在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y＝﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求点M的函数解析式并写出自变量的取值范围；（3）直线y＝﹣2x+6上所有点的变换点组成一个新的图形L，直线y＝kx+1与图形L有两个公共点，求k的取值范围．【答案】见解析【解析】解：（1）A（5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B（3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C（4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；（2）当a＝b时，a＝b＝2，∵（2，2）的变换点为（2，﹣2），∵当a＜b时，点P（a，b）的变换点坐标为（b，﹣a），∴x＜2，∵（0，6）的变换点为（6，0），∴点P（a，b）的变换点经过（2，﹣2）和（6，0），设点M的函数解析式为y＝kx+m，则有解得，∴y x﹣3（x＜2）.（3）由题意，新的图形L的函数解析式为y新图形L的拐点坐标为（2，﹣2），画出图形如图所示．当y＝kx+1过点（2，﹣2）时，有﹣2＝2k+1，解得：k；当y＝kx+1与y＝2x﹣6平行时，k＝2；当y＝kx+1与y x﹣3平行时，k．结合图形可知：直线y＝kx+1与图形L有且只有两个公共点时，k．【点睛】（1）根据“变换点”的定义解答即可；（2）根据“变换点”的定义得出（2，2），（0，6）的变换点的坐标，进而得出解析式即可；（3）首先确定求出新的图形L的函数解析式，依照题意画出图形，并找出直线y＝kx+1与图形L有且只有两个公共点的临界点，结合图形即可得出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及一次函数图象，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．典例4．（2018春•郾城区期末）已知：直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求△AOB的面积；（2）若点B关于x轴的对称点为C，点D为线段OA上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，求直线CE的解析式；（3）在（2）的条件下，直线CE与x轴交于点F，与直线AB交于点P，当点D在OA上移动时，直线AB上是否存在点Q，使以F，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出Q，D的坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴S△AOB•OA•OB2×4＝4；（2）过E作EG⊥x轴于点G，如图，∵点B关于x轴的对称点为C，∴C（0，﹣4），∴可设直线CE解析式为y＝kx﹣4，由题意可知BD＝ED，∠EDB＝90°，且∠DOB＝∠EGA＝90°，∴∠BDO+∠OBD＝∠BDO+∠EDG＝90°，∴∠OBD＝∠EDG，在△BDO和△DEG中∴△BDO≌△DEG（AAS），∴GD＝OB＝4，EG＝OD，设OD＝a，则EG＝a，OG＝4+a，∴E（﹣a﹣4，a），∵点E在直线CE上，∴a＝k（﹣a﹣4）﹣4，解得k＝﹣1，∴直线CE解析式为y＝﹣x﹣4；（3）要使以F、P、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，则有DA＝F A，P A＝QA，即A为FD和PQ的中点，在y＝﹣x﹣4中，令y＝0可得x＝﹣4，∴F（﹣4，0），且A（﹣2，0），∴D（0，0），联立直线AB和CE解析式可得，解得，∴P（，），∴Q（，）．【点睛】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，则可求得△AOB的面积；（2）过E作EG⊥x轴于点G，由C点坐标可设出CE的解析式，再由条件可证得△DEG≌△BDO，设OD＝a，则可表示出EG和OG的长，则可表示出E点坐标，把E点坐标代入直线CE解析式可求得k 的值，则可求得直线CE的解析式；（3）由条件可知当四边形为平行四边形时，可得到DA＝F A，P A＝QA，则可求得D、Q的坐标．本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质、待定系数法、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得A、B坐标即可，在（2）中用OD的长表示出E点坐标是解题的关键，在（3）中确定出A为平行四边形的中心是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．典例5．（2018春•随县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OBEC的顶点E坐标为（12，6），直线l：y＝x与对角线BC交于点A．（1）求出点A的坐标；（2）如果点D是线段OA上一动点，当△COD的面积为12时，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵直线l：y x，E（12，6）∴直线l经过点E∴点A是BC与OE的交点即点A是矩形OBEC对角线的交点∴A点的坐标是（6，3）．（2）C（0，6），设D（a，a）∵S△COD6•a＝12∴a＝4∴D（4，2），设直线CD的函数表达式为y＝kx+b∵C（0，6），D（4，2）∴，解得，∴直线CD的函数表达式为y＝﹣x+6．（3）存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形．如图所示，分三种情况考虑：①四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1＝90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1＝OC＝6，即P1（6，0）．②当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为（0，6），得到P2纵坐标为3，把y＝3代入直线直线CD的解析式y＝﹣x+6中，可得3＝﹣x+6，解得x＝3，此时P2（3，3）．③当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3＝OC＝CP3＝P3Q3＝6，设P3（x，﹣x+6），∴x2+（﹣x+6﹣6）2＝62解得x＝3或x＝﹣3（舍去），此时P3（3，﹣36），综上可知存在满足条件的点P坐标为（6，0）或（3，3）或（3，﹣36）．【点睛】（1）只要证明点A是矩形的对角线的交点即可解决问题；（2）设D（a，a），利用三角形的面积公式构建方程求出a，可得点D坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（3）分三种情形分别讨论求解即可；本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.典例6.（2018春•武昌区期末）在平面直角坐标系xoy中，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P在直线AB上．（1）如图1，若m1，点P在线段AB上，∠POA＝60°，求点P的坐标；（2）如图2，以OP为对角线作正方形OCPD（O，C，P，D按顺时针方向排列），当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由；（3）如图3，在（1）的条件下，Q为y轴上一动点，连AQ，以AQ为边作正方形AQEF（A，Q，E，F 按顺时针方向排列），连接OE，AE，则OE+AE的最小值为_________．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1所示：过点P作PG⊥OA，垂足为G．∵y＝﹣x+m，∴A（m，0），B（0，m）．∴OB＝OA＝m1．∴∠P AG＝45°．又∵∠PGA＝90°，∴PG＝GA．∵∠POG＝60°，∠PGO＝90°∴PG OG．∴（1）OG1．∴OG＝1，∴PG．∴点P的坐标为（1，）．（2）的值不变．如图2所示，过点O作OM⊥OP交PC的延长线与M，连接BM．∵四边形OCPD是正方形，∴OC＝PC，∠OCP＝90°，∴∠OPC＝45°．∵∠MOP＝90°，∴∠OMP＝∠OPM＝45°，∴OP＝OM．∵A（m，0）、B（0，m），∴OA＝OB＝m．∵∠BOA＝∠MOP＝90°，∴∠POA＝∠MOB．∵OA＝OB，∠POA＝∠MOB，OP＝OM，∴△POA≌△MOB，∴∠OAP＝∠OBM＝135°，∴∠MBP＝90°，∵C为PM的中点，∴BC＝CP OP，∴．（3）如图3所示：过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）．可证明△OAQ≌△KQE．∴OQ＝KE＝a，AO＝KQ1．∴E（a，a1）．∴点E在直线y＝x1上运动，∴点B在直线y＝x1上．设直线y＝x1交x轴与N．∴N（1，0）．∴∠BNO＝45°．作点O关于直线y＝x1的对称点O1，连接AO1，交直线y＝x1与E1，连接OE1、O1N、O1E．∴OE1＝O1E1．∴OE1+AE1＝O1A≤O1E+AE，∴OE+AE的最小值为线段O1A的长．∵∠BNO＝∠BNO1＝45°，ON＝O1N，∴∠ANO1＝90°在Rt△O1NA中，O1A．故答案为：．【点睛】（1）过点P作PG⊥OA，垂足为G．则OB＝OA＝m1，然后可证明PG＝AG，然后再由特殊锐角三角函数值可知PG OG，最后由OG+AG＝OA可求得OG的值，从而可求得点P的坐标；（2）过点O作OM⊥OP交PC的延长线与M，连接BM．接下来，再证明△POA≌△MOB，依据全等三角形的性质可得到∠OAP＝∠OBM＝135°，接下来，再证明∠MBP＝90°，依据直角三角斜边上中线的性质可证明BC＝CP，然后依据OP与CP的比值为定值可得到问题的答案；（3）过E作EK垂直y轴与K，设A（0，a）．可证明△OAQ≌△KQE，则E（a，a1），设直线y＝x1交x轴与N，则∠BNO＝45°，作点O关于直线y＝x1的对称点O1，连接AO1，交直线y＝x1与E1，连接OE1、O1N、O1E，则OE+AE的最小值为线段O1A的长，最后，在Rt △O1NA中依据勾股定理求得O1A的长即可．本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、轴对称的性质，确定出OE+AE取得最小值的条件是解题的关键．巩固练习1．（2018春•岚山区期末）在如图平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A（3，0）、B（0，4）两点，动点P从点O开始沿OA向点A以每秒个单位长度运动，动点Q从点B开始沿BO向点O以每秒个单位长度运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，连接PQ．且点P、Q分别从点O、B 同时出发，运动时间为t秒．（1）请直接写出直线AB的函数解析式：______；（2）当t＝4时，四边形BQPM是否为菱形？若是，请说明理由；若不是，请求出当t为何值时，四边形BQPM是菱形．【答案】见解析【解析】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．把点A（3，0）、B（0，4）分别代入，得解得．故直线AB的函数解析式是：y x+3．故答案是：y x+3．（2）当t＝4时，四边形BQPM是菱形．理由如下：当t＝4时，BQ4，则OQ＝4．当t＝4时，OP，则AP．由勾股定理求得PQ BQ．∵PM∥OB，∴△APM∽△AOB，∴，即，解得PM．∴四边形BQPM是平行四边形，∴当t＝4时，四边形BQPM是菱形．2．（2018春•中山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线AB上有一点C（m，4）．点D（0，n）是y轴上任意一点，连结CD，以CD为边在直线CD下方，作正方形CDEF．（1）填空：m＝___；（2）若正方形CDEF的面积为S，求S关于n的函数关系式；（3）点A关于y轴的对称点为A′，连接A′B，是否存在n的值，使正方形的顶点E或F落在△ABA′的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵C（m，4）在直线y x+8上，∴4m+8，∴m＝3，故答案为3．（2）∵D（0，n），C（3，4），∴S＝CD2＝32+（n﹣4）2＝n2﹣8n+25．（3）①如图1中，当点F在直线BA′上时，作CN⊥y轴于N，FM⊥CN于M．则△CND≌△FMC，∴CN＝FM＝3，DN＝CM＝n﹣4，∴F（7﹣n，1），∵直线A′B的解析式为y x+8，∴1（7﹣n）+8，∴n．②如图2中，当点E落在直线A′B上时，连接EC交OB于R，此时点F在y轴上，DR＝CR＝3，OR ＝4，OD＝7，∴n＝7．③如图3中，当点E落在AA′上时，作CR⊥OB于R．则△CRD≌△DOE，∴DO＝CR＝3，∴n＝3．④如图4中，当点F落在直线AB上时，作CR⊥OB于R，FN⊥CR于N．则△CRD≌△FNC，∴FN＝CR＝3，CN＝DR＝4﹣n，∴F（7﹣n，1），把F（7﹣n，1）代入y x+8得到，1（7﹣n）+8，∴n，综上所述，满足条件的n的值为或7或3或．3．（2018春•南安市期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（12，0）、C（0，9），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．（1）线段OB的长度为____；（2）求直线BD所对应的函数表达式；（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵OA＝12，AB＝9，∴OB15．故答案为15．（2）如图，设AD＝x，则OD＝OA＝AD＝12﹣x，根据轴对称的性质，DE＝x，BE＝AB＝9，又OB＝15，∴OE＝OB﹣BE＝15﹣9＝6，在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即62+x2＝（12﹣x）2，解得x，∴OD＝OA﹣AD＝12，∴点D（，0），设直线BD所对应的函数表达式为：y＝kx+b（k≠0）则，解得，∴直线BD所对应的函数表达式为：y＝2x﹣15．（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，由•OE•DE•DO•EF，得EF，即点E的纵坐标为，又点E在直线OB：y x上，∴x，解得x，∴E（，），由于PE∥BD，所以可设直线PE：y＝2x+n，∵E（，），在直线EP上∴2n，解得n＝﹣6，∴直线EP：y＝2x﹣6，令y＝9，则9＝2x﹣6，解得x，∴P（，9）．4．（2018春•汶上县期末）已知：如图，已知直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+8，与x轴交于点A，与y 轴交于点B．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点P（m，n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接EF，问：①若△P AO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；②是否存在点P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）令x＝0，则y＝8，∴B（0，8），令y＝0，则﹣2x+8＝0，∴x＝4，∴A（4，0），（2）连接OP．∵点P（m，n）为线段AB上的一个动点，∴﹣2m+8＝n，∵A（4，0），∴OA＝4，∴0＜m＜4∴S△P AO OA×PE4×n＝2（﹣2m+8）＝﹣4m+16，（0＜m＜4）；（3）存在，理由：∵PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，OA⊥OB，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP⊥AB时，此时EF最小，∵A（4，0），B（0，8），∴AB＝4∵S△AOB OA×OB AB×OP，∴OP，∴EF的最小值＝OP．5．（2018春•涵江区期末）已知：如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上的一个动点，连接OC，以OC为边在它的左侧作正方形OCDE连接BE、CE．（1）当点C横坐标为4时，求点E的坐标；（2）若点C横坐标为t，△BCE的面积为S，请求出S关于t的函数解析式；（3）当点C在线段AB上运动时，点E相应随之运动，请求出点E所在的函数解析式．【答案】见解析【解析】解：（1）作CF⊥OA于F，EG⊥x轴于G．∴∠CFO＝∠EGO＝90°，令x＝4，y＝﹣4+6＝2，∴C（4，2），∴CF＝2，OF＝4，∵四边形OCDE是正方形，∴OC＝OE，OC⊥OE，∵OC⊥OE，∴∠COF+∠EOG＝90°，∠COF+∠OCF＝90°，∴∠EOG＝∠OCF，∴△CFO≌△OGE，∴OG＝OF＝4，OG＝CF＝2，∴G（﹣2，4）．（2）∵直线y＝﹣x+6交y轴于B，∴令x＝0得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝6，∴A（6，0），∴OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠AOB＝∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠COA，∵OE＝OC，∴△EOB≌△COA，∴BE＝AC，∠OBE＝∠OAC＝45°，∴∠EBC＝90°，即EB⊥AB，∵C（t，﹣t+6），∴BC t，AC＝BE（6﹣t），∴S•BC•EB t•（6﹣t）＝﹣t2+6t．（3）当点C在线段AB上运动时，由（1）可知E（t﹣6，t），设x＝6﹣t，y＝t，∴t＝x+6，∴y＝x+6．6．（2018春•广元期末）如图1，四边形ABCD是正方形，点A、B分别在两条直线y＝﹣2x和y＝kx上，点C、D是x轴上两点．（1）若正方形ABCD的边长为2，试求k的值；（2）若正方形ABCD的边长为m，则k的值是否会发生变化？若不会发生变化，请说明理由；若发生变化，试求出k的值；（3）如图2，在（1）的条件下直线y＝kx沿y轴向下平移得到直线l：y＝ax+b，使直线1经过点C，点P是直线l上的一个动点，当|P A﹣PB|的值最大时，求点P的坐标．【答案】见解析【解析】解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝CD＝BC＝AB，∴点A的横坐标为2，针对于直线y＝﹣2x，令y＝2，∴x＝﹣1，∴点D（﹣1，0），∴C（﹣3，0），∴B（﹣3，2），将点B（﹣3，2）代入y＝kx中，﹣3k＝2，∴k；（2））k的值不会发生变化，理由：∵正方形ABCD的边长为m，∴AD＝CD＝BC＝AB，∴点A的横坐标为m，针对于直线y═2x，令y＝m，∴x m，∴点D（m，0），∴C（m，0），∴B（m，2m），将点B（m，2m）代入y＝kx中，mk＝m，∴k，∴k的值不会会发生变化；（3）由（1）知，k，∵直线1经过点C（﹣3，0），由平移知，直线l的解析式为y x﹣2，当|P A﹣PB|的值最大时，点，A，B，P在同一条直线上，∵AB∥x轴，B（﹣3，2），∴点P的纵坐标为2，∵点P是直线l上的一个动点，直线l的解析式为y x﹣2，∴x﹣2＝2，∴x＝﹣6，∴P（﹣6，2）．。
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初二一次函数压轴题复
习精讲
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初二一次函数压轴题复习精讲
1．如图，直线l1的函数解析式为y=1/2x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，直线l1与l2交于点C．
（1）求直线l2的函数解析式；（2）求△ADC的面积．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B在x轴的负
半轴上，△ABO的面积是3．
（1）求点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；
（3）在线段OB的垂直平分线m上是否存在点M，使△AOM得周长最
短？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A作直线AN与坐标轴交于点N，且使AN=OA，求△ABN的
面积．
3．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6，
动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x
轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2？
（2）求△COB的面积；
（3）是否存在点P，使CP将△COB分成的两部分面积之比为1：
2？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之
间函数关系式．
4．如图，在平面直角坐标系xOy
中，长方形OABC的顶点A C
、的坐标分别为
(3,0)，(0,5).（1）直接写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为1:3两部分，求直线CD的解析式；（3）设点P沿O A B C
---的方向运动到点C
（但不与点O C
、重合），求△OPC的面积y与点P所行路程x之间的函数关系式及自变量x的取值范围
A
C B
x y
O
5．已知直线y kx b =+经过点223,5M ⎛⎫ ⎪⎝⎭、120,5N ⎛⎫ ⎪⎝
⎭.（1）求直线MN 的解析式； （2）当0y >时，求x 的取值范围；
（3）我们将横坐标、纵坐标均为整数的点称为整数点．直接写出此直线与两坐标轴围成的三角形的内部（不包含边界）的整数点的坐标．
6.在平面直角坐标系xoy 中，直线m x y +-=经过点)0,2(A ，交y 轴于点B ，
点D 为x 轴上一点，且1=∆ADB S
(1)求m 的值 （2）求线段OD 的长 （3）当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不
重合），EDA BDO ∠=∠,求点E 的坐标
7．已知一次函数y=kx+b ，y 随x 增大而增大，它的图象经过点(1，0)且与x 轴的夹角为45°，
(1)确定这个一次函数的解析式；
(2)假设已知中的一次函数的图象沿x 轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与y 轴的交点坐标．
8．如图①所示，直线l1：y=3x+3与x 轴交于B 点，与直线l2交于y 轴上一点A ，且l2与x 轴的交点为C （1，0）．
（1）求证：∠ABC=∠ACB ；
（2）如图②所示，过x 轴上一点D （-3，
0）作DE ⊥AC 于E ，DE 交y 轴于F 点，
交AB 于G 点，求G 点的坐标．
（3）如图③所示，将△ABC 沿x 轴向左平
移，AC 边与y 轴交于一点P （P 不同于
A 、C 两点），过P 点作一直线与A
B 的延
长线交于Q 点，与x 轴交于M 点，且CP=BQ ，在△ABC 平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度；若变化，确定其变化范围．
9．设关于x 一次函数y=a 1x+b 1与y=a 2x+b 2，我们称函数y=m （a 1x+b 1）+n （a 2x+b 2）（其中m+n=1）为这两个函数的生成函数．
（1）请你任意写出一个y=x+1与y=3x-1的生成函数的解析式；
（2）当x=c 时，求y=x+c 与y=3x-c 的生成函数的函数值；
（3）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P（a，5），当a1b1=a2b2=1时，求代数式m （a12a2+b12）+n（a22a2+b22）+2ma+2na的值．。