一次函数压轴题专题突破13：一次函数与新定义7(含解析)

一次函数压轴题之新定义

1．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么

称点Q为点P的“伴随点”．

例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．

（1）点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标为．

（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求

函数y＝kx+3的解析式．

（3）在（2）的条件下，点C在函数y＝kx+3的图象上，点D是点C关于原点的对称点，点D的“伴随点为D'．若点C在第一象限，且CD＝DD'，直接写出此时“伴随点”D′的坐标，

2．定义：对于给定的一次函数y＝ax+b（a≠0），把形如y＝的函数称为一次函数y＝ax+b （a≠0）的衍生函数．已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（1，2），C（﹣3，2），D（﹣3，0）．（1）已知函数y＝2x+1．

①若点P（﹣1，m）在这个一次函数的衍生函数图象上，则m＝．

②这个一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点坐标分别为．

（2）当函数y＝kx﹣3（k＞0）的衍生函数的图象与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是．

3．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r（r＞0）的⊙O和点P，给出如下定义：

若r≤PO≤r，则称P为⊙O的“近外点”．

（1）当⊙O的半径为2时，点A（4，0），B（﹣，0），C（0，3），D （1，﹣1）中，⊙O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径为2时，直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O 的“近外点”，直接写出b的取值范围．

4．材料阅读：对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．

如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．

（1）当r＝2时，在P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）中可以成为正方形ABCD 的“等距圆”的圆心的是；

（2）若点P坐标为（﹣2，﹣1），则当⊙P的半径r＝时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线BD的位置关系？并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（8，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．

5．定义：若函数y1与y2同时满足下列两个条件：

①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；

②在自变量范围内对于任意的x1都存在x2，使得x1所对应的函数值y1与x2所对应的函数值y2相等．我们就称y1与y2这两个函数为“兄弟函数”．

设函数y1＝x2﹣2x﹣3，y2＝kx﹣1

（1）当k＝﹣1时，求出所有使得y1＝y2成立的x值；

（2）当1≤x≤3时判断函数y1＝与y2＝﹣x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；

（3）已知：当﹣1≤x≤2时函数y1＝x2﹣2x﹣3与y2＝kx﹣1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

6．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．

（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y＝x+3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．

7．我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．

如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）．

（1）判断直线y＝x+与正方形OABC是否相交，并说明理由；

（2）设d是点O到直线y＝﹣x+b的距离，若直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交，求d的取值范围．

1．【解答】解：（1）x＝2＞0，则y＝1，故点A′为（2，1）；（2）当m≥0时，点B′（m，m+1），即m+1＝2，解得：m＝1，

故点B（1，2），将点B的坐标代入函数y＝kx+3并解得：k＝﹣1，故函数的表达式为：y＝﹣x+3…①；

当m＜0时，则点B（﹣3，﹣2），

同理可得：函数的表达式为：y＝x+3；

（3）①当点C在直线y＝﹣x+3上时，

设点C（a，b），（a＞0，b＞0），则点D（﹣a，﹣b），

则点D′（﹣a，b），CD＝DD'，

则CD′＝DD'，即CD是一、三象限角平分线，

则直线CD的表达式为：y＝x…②，

联立①②并解得：x＝y＝，

故点D′（﹣，）；

②当点C在直线y＝x+3上时，

同理可得：a＝﹣（不符合题意，点C在第二象限，舍去）

综上，点D′（﹣，）．

2．【解答】解：（1）①x＝﹣1＜0，则m＝﹣2×（﹣1）+1＝3，

故答案为3；

②一次函数的衍生函数图象与矩形ABCD的边的交点位置在BC上，当y＝2时，2x+1＝2，解得：x＝，

当y＝2时，﹣2x+1＝2，解得：x＝﹣，

故答案为（，2）或（﹣，2）；

（2）函数可以表示为：y＝|k|x﹣3，

如图所示当直线在位置①时，函数和矩形有1个交点，

当x＝3时，y＝|k|x﹣3＝3|k|﹣3＝0，k＝±1，

k＞0，取k＝1

当直线在位置②时，函数和图象有3个交点，

同理k＝3，

故在图①②之间的位置，直线与矩形有2个交点，即：1＜k＜3．

3．【解答】解：（1）∵⊙O的半径为2，

∴r＝3，

∵A（4，0），

∴OA＝4＞3，

∴点A不是⊙O的“近外点”，

B （﹣，0），

∴OB＝，而2＜＜3，

∴B是⊙O的“近外点”，

C（0，3），

∴OC＝3，

∴点C是⊙O的“近外点”，

D （1，﹣1），

∴OD＝＝＜2，

∴点D不是⊙O的“近外点”，

故答案为：B，C；

（2）∵E（3，4），

∴OE＝＝5，

∵点E是⊙O的“近外点”，

∴，

∴≤r≤5；

（3）如图，

∵直线MN的解析式为y＝x+b，

∴OM＞ON，

①点N在y轴坐标轴时，

当点M是⊙O的“近外点”，此时，点M（﹣2，0），

将M（﹣2，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝2，即：b的最小值为2，

过点O作OG⊥M'N'于G，

当点G是⊙O的“近外点”时，此时OG＝3，

在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，

∴ON'＝＝3，

b的最大值为3，

∴2≤b≤3，

②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣2．综上所述，b的取值范围是：2≤b≤3或﹣3≤b≤﹣2．

4．【解答】解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，

∴⊙P一定过点M，

∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．

∴点M（0，2），

设⊙P的圆心坐标是（x，y），

∴（x﹣0）2+（y﹣2）2＝（2 ）2，

将P1（2，0），P2（﹣4，2），P3（2，2），P4（2﹣2，0）分别代入上面的方程，

只有P1（2，0），P3（2，2）成立，

故答案为：P1（2，0）或P3（2，2）；

（2）由题意可得，

点M的坐标为（0，2），点P（﹣2，﹣1），

∴r＝＝，

即当P点坐标为（﹣2，﹣1），则当⊙P的半径r是时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；故答案为．

此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，

理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，∴点B（﹣2，4），D（2，0），

设过点B（﹣2，4），点D（2，0）的直线的解析式为y＝kx+b，

则，

解得，，

即直线AC的解析式为：y＝﹣x+2①，

∴过点P（﹣2，﹣1）垂直于BD的直线解析式为y＝x+1②，记垂足为G，

联立①②，解得，G的坐标为（，），

∴PG＝

∴点P（﹣2，﹣1）到直线BD的距离为：＜；

∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；

（3）设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，其坐标为（4，6）如图2所示，

∵点E（0，2），N（4，6），点C（﹣2，0），点B（﹣2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，

∴，

解得或

即⊙P的圆心P的坐标是（6﹣2，2）或（6+2，﹣2）．

5．【解答】解：（1）当k＝﹣1时，y2＝﹣x﹣1，

根据题意得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1，

解得：x＝2或x＝﹣1；

∴x的值为2或﹣1．

（2）不是

若＝﹣x+5，

则x2﹣5x+3＝0，

解得：x＝，

∵3＜＜4

∴4＜＜，＜＜1，

两根均不在1≤x≤3，

∴函数y1＝与y2＝﹣x+5不是“兄弟函数”．

（3）∵函数y1＝x2﹣2x﹣3与y2＝kx﹣1是“兄弟函数”，∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣1，

整理得：x2﹣（2+k）x﹣2＝0，

由题意：，

解得k＝﹣1

∴实数k的取值范围：k＝﹣1．

6．【解答】解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，y）．

∵|﹣﹣0|＝≠2，

∴|0﹣y|＝2，

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；

②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC＝AD，

∵C是直线y＝x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点C的坐标为（x0，x0+3），

∴﹣x0＝x0+2，

此时，x0＝﹣，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|＝，

此时C（﹣，）；

②当点E在过原点且与直线y＝x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E（x，y）（点E位于第二象限）．则

，

解得，，

故E（﹣，）．

﹣﹣x0＝x0+3﹣，

解得，x0＝﹣，

则点C的坐标为（﹣，），

最小值为1．

7．【解答】解：（1）相交．

∵直线y＝x+与线段OC交于点（0，），同时直线y＝x+与线段CB交于点（，1），∴直线y＝x+与正方形OABC相交；

（2）当直线y＝﹣x+b经过点B时，

即有1＝﹣+b，

∴b＝+1．

即y＝﹣x+1+，

记直线y＝﹣x+1+与x、y轴的交点分别为D、E，

则D（，0），E（0，1+），

解法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝＝＝，

∴∠EDO＝60°，∠OED＝30度，

过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1，

在Rt△OF1E中，

∵∠OED＝30°，

∴d1＝；

法2：∴DE＝（3+），

过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1，

∴d1＝×（1+）÷（3+）＝，

∵直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣x+1+平行，

法1：当直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与点O、B重合．故直线y＝﹣x+b也一定与线段OF1相交，记交点为F，则F不与点O、F1重合，且OF＝d，

∴当直线y＝﹣x+b与正方形相交时，

有0＜d＜；

法2：当直线y＝﹣x+b与直线y＝x（x＞0）相交时，

有x＝﹣x+b，即x＝，

当0＜b＜1+时，0＜x＜1，0＜y＜1，

此时直线y＝﹣x+b与线段OB相交，且交点不与点O、B重合；

当b＞1+时，x＞1，

此时直线y＝﹣x+b与线段OB不相交．

而当b≤0时，直线y＝﹣x+b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交．

∴当0＜b＜1+时，d随b的增大而增大，则直线y＝﹣x+b与正方形OABC相交，

此时有0＜d＜．