2020-2021学年江苏省高考考前调研测试(5月)数学试卷及答案解析
高三考前调研测试试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．已知{}{}0,1,2,2,4A B ==，则A B ⋃= ▲ ．2．若复数z 满足(2)1i z i -=+，则复数z 在复平面上对应的点在第 ▲ 象限.3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[)80,100，若该校的学生总人数为3000，则成绩不超过60分的学生人数大约为▲ .第5题4．在区间()0,5内任取一个实数m , 则满足34m <<的概率为 ▲ . 5．如图是一个算法流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．函数1()()42x f x =-的定义域为 ▲ . 7．已知双曲线2221(0)20x y a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的焦距为 ▲ . 8．已知1sin ,(0,)32πθθ=∈，则tan 2θ= ▲ . 9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于2π的扇形，则这个圆锥的体积是 ▲ 10．已知圆22:2220(C x y ax y a +--+=为常数）与直线y x =相交于,A B 两点，若3ACB π∠=，则实数a = ▲ .11、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，1040S =， 则n nS 的最小值为 ▲ ． 12．若动直线(x t t R =∈）与函数2()cos ()4f x x π=-，()3sin()cos()44g x x x ππ=++的图第3题象分别交于,P Q 两点，则线段PQ 长度的最大值为 ▲ .13．在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若ABC ∆的面积为2，则2BC MC MB +⋅的最小值为 ▲ .14．已知函数221,(0,1]()1,(1,)kx x x f x kx x ⎧+-∈=⎨+∈+∞⎩有两个不相等的零点12,x x ，则1211x x +的最大值为▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若2222a c ac b +=，10sin 10A =. ⑴求sin C 的值；⑵若2a =，求ABC ∆的面积. 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB=2CD ， AC 交BD 于O ，锐角∆PAD 所在平面⊥底面ABCD ，PA ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ=2QC. 求证：⑴PA ∥平面QBD ；QCDPO⑵BD ⊥ AD.17．（本小题满分14分）如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A 、E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B 、D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离6H =米，圆弧的弓高1h =米，圆弧所对的弦长10BD =米.（1）求弧¼BCD所在圆的半径； （2）求桥底AE 的长.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左顶点(2,0)A -，且点3(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点。
过点A 作斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于另一点B ，直线2BF 交椭圆E 于点C .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若12CF F ∆为等腰三角形，求点B 的坐标； （3）若1F C AB ⊥，求k 的值.19．（本小题满分16分）已知函数2()ln (3+2)f x x a x x =+-，其中a 为参数. （1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；·· F 1 F 2BxyACO（2）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分16分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，1n n n S pa a +=()n *∈N ，p ∈R ． （1）若123,,a a a 成等比数列，求实数p 的值； （2）若123,,a a a 成等差数列，①求数列{}n a 的通项公式；②在n a 与1n a +间插入n 个正数，共同组成公比为n q 的等比数列，若不等式()(1)()n n a n q e ++≤对任意的n *∈N 恒成立，求实数a 的最大值．高三考前调研测试数学Ⅱ（附加题 共40分）21.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵2201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，设曲线C ：22()1x y y -+=在矩阵A 对应的变换下得到曲线C ′，求C ′的方程.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程为cos()6a πρθ+=(a ∈R )和4sin ρθ=.若直线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值.23.(本小题满分10分)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A 、B 两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A 组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B 组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》.⑴若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率； ⑵若从A 、B 两组中各任选2人，设X 为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X 的分布列和数学期望()E X .24. (本小题满分10分)在数列{}n a 中，2cos32n n a =π-⨯（n *∈N ）⑴试将1n a +表示为n a 的函数关系式；⑵若数列{}n b 满足21!n b =n n -⋅（n *∈N ），猜想n a 与n b 的大小关系，并证明你的结论.高三考前调研测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案一、填空题 1．{}0,1,2,42．一3．9004．155． 1206．(],2-∞-7．10 89．3 10．5- 11．32-12．3213． 14．9415. 【解析】⑴由222a cb +=得222cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，所以34B π=， ………………3分因为sin A =B为钝角，所以cos A = ………………6分所以3sin sin()(4C A π=+=+=. ………………8分 ⑵由正弦定理得=sin sin a c A C，所以2sin sin a C c A ⨯== ……… 11分所以ABC ∆的面积112=sin 2222222ABC S ac B ∆=⨯⨯=. ………………14分 16. 【解析】⑴如图，连接OQ ，因为AB ∥CD ，AB =2 CD ， 所以AO =2OC ，又PQ=2QC ，所以PA ∥OQ ， …………………3分 又OQ ⊂平面QBD ，PA ⊄平面QBD ， 所以PA ∥平面QBD. ………………… 6分⑵在平面PAD 内过P 作PHAD ⊥于H ，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD=AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ， …………………9分 又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD ，又PA ⊥BD ，且PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAD ，…………………12分 又AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥ AD. …………………14分17. 解：（1）设弧¼BCD 所在圆的半径为0r r >（）,由题意得222=5(1)r r +-,13.r ∴= 即弧¼BCD所在圆的半径为13米。
…………………4分 （2）以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图的平面直角坐标系。
6H =Q 米，10BD =米，弓高1h =米，(5,5)B ∴-，(5,5)D ，(0,6)C ，设¼BCD所在圆的方程为222()(0)x y b r r +-=> 则22222(6)5(5)b r b r⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩713b r =-⎧∴⎨=⎩ ∴弧¼BCD 的方程为22(7)169(56)x y y ++=≤≤ …………………6分设曲线AB 所在抛物线的方程为：2()y a x m =-， …………………8分Q 点(5,5)B -在曲线AB 上 25(5)a m ∴=+① …………………10分又弧¼BCD与曲线段AB 在接点B 处的切线相同,且弧¼BCD 在点B 处的切线的斜率为512， 由2()y a x m =-得2()y a x m '=-，52(5)12a m ∴--=， 52(5)12a m ∴+=-② …………………12分 由①②得29m =-， (29,0)A ∴-，(29,0)E∴桥底AE 的长为58米 …………………13分答：（1）弧¼BCD所在圆的半径为13米； （2）桥底AE 的长 58米。
（答和单位各1分） …………………14分18. 解：（1）由题意得2222219144a a b c b⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆E 的标准方程：22143x y += …………………4分 （2）Q 12CF F ∆为等腰三角形，且0k >∴点C 在x 轴下方 1° 若12F C F C =，则(0,C ；2° 若122F F CF =，则22CF =，(0,C ∴； 3° 若112F C F F =，则12CF =，(0,C ∴(0,C ∴∴直线BC的方程1)y x =-，由221)143y x x y⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8(,55B ∴ （不讨论扣2分） …………………9分（3）设直线AB 的方程:(2)AB l y k x =+，由22(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=221612234A B B k x x x k -∴⋅=-=+ 228634B k x k -+∴=+212(2)34B B ky k x k ∴=+=+ 2228612,3434k k B k k ⎛⎫-+∴ ⎪++⎝⎭…………………11分 若1=2k ，则32B ∴（1，），3(1,-)2C ∴，,1(-1,0)F Q ，134CF k ∴=-，1F C ∴与AB 不垂直； 12k ∴≠，2(1,0)F Q ，22414BF k k k =-，11CF k k =-， ∴直线2BF 的方程224:(1)14BF k l y x k =--，直线1CF 的方程：11:(1)CF l y x k=-+ 由24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩解得2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩ 2(81,8)C k k ∴-- …………………13分又点C 在椭圆上得222(81)(8)143k k --+=，即22(241)(89)0k k -+=，即2124k = 0k >Q，12k ∴=…………………16分 19. 解析：（1）1y x =- …………………3分（2）2()ln (3+2)f x x a x x =+-，定义域为(0,)+∞21231()(23)ax ax f x a x x x-+'=+-=，设2()231g x ax ax =-+，① 当0a =时，()1g x =，故()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以无极值点. …………………4分 ②当0a >时，298a a ∆=-， 若809a <≤时0∆≤，()0g x ≥，故()0f x '≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，所以无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根为12,x x ，且12x x <， 且1232x x +=，而(0)10g =>，则12304x x <<<， 所以当1(0,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈>>单调递增； 当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增.所以此时函数()f x 有两个极值点； …………………7分 ③当0a <时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根为12,x x ，且12x x <，但(0)10g =>，所以120x x <<，所以当2(0,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈>>单调递増； 当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以此时函数()f x 只有一个极值点。
江苏省扬州市2020下学期调研5月测试高三数学试题含答案
19. 解：(1) 设 h(x) f (x) g(x) x 1 ln x ， x
则 h(x)
1
1 x2
1 x
x2
x x2
1
(x
1)2 2 x2
3 4
0
……………16 分
所以 h(x) 在 0, 上递增，又 h(1) 0 ，所以 0 x 1，
所以 f (x) g(x) 0 的解集为 (0,1) .
2bn bm .
综上所述， q 所有可能的取值构成的集合为{2, 3 5} . 2
……………8 分
(3) 因为 2cn 0 ，所以 2cn cn1 cn cn2 cn1 (cn1 cn ) cn2 2cn1 cn 0 ，
则 cn2 cn1 cn1 cn ，所以 cn 是等差数列. 设 cn 的公差为 d ，则 cn c1 (n 1)d .
都有 2bn bn .
2°若 m n 1 ，则 q2 3q 1 0 ，解得 q 3 5 (舍)或 q 3 5 ，即当 q 3 5 时，
2
2
2
对任意的 n N* ，都有 2bn bn1 .
3 ° 若 m n 2 ， 则 qmn q2 (q 1)2 ， 故 对 任 意 的 n N* ， 不 存 在 m N* ， 使 得
5
15．解：(1) 因为 2S bccos A，所以 2 1 bc sin A bc cos A ， 2
则 sin A cos A ，
因为在 △ABC 中， A0, ，所以 sin A cos A 0
…………………3 分
所以 tan A 1，
…………………5 分
所以 A . 4
……………7 分
45
100
江苏省苏州市吴江区2020届高三数学下学期五月统考试题含解析
在 中，由正弦定理得，
．
所以 ， ，
因此
,
因为 ,所以 ．
所以当 ，即 时， 取到最大值6．
答：两条观光线路距离之和的最大值为6千米．
【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，尤其是辅助角公式要熟练应用，属于中档题。
18。已知椭圆 的离心率为 ,点 椭圆的右顶点.
19。已知函数 , ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间;
（2）若曲线 在点(1，0）处的切线为l：x＋y－1＝0，求a,b的值；
（3）若 恒成立,求 的最大值．
【答案】（1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（2） ;（3） .
【解析】
【分析】
（1）先求导数 ,令 可得增区间,令 可得减区间;
（2）求导数，结合切线方程可求a，b的值；
10.如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点， 为AB的中点,则三棱锥 的体积为.
【答案】
【解析】
试题分析： 。
考点：1.三棱锥的体积;2.等体积转化法.
11.已知x，y为正数,且 ，则 的最小值为________。
【答案】7
【解析】
【分析】
由题设等式有 ，利用基本不等式可求 的最小值,从而可得 的最小值。
所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ；
当 时, ，所以 ，此时无解;
当 时， ，所以 ，解得 ；
故答案为ห้องสมุดไป่ตู้ 。
【点睛】本题主要考查函数的性质和等比数列的性质，发现 恒成立是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养。
二、解答题:本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
江苏省百校2020届高三下学期5月第五次联考数学试题(附答案及解析)
江苏省百校2020届高三下学期5月第五次联考数学试题一、填空题 本大题共14道小题。
1.已知A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且以AB 为直径的圆过F ，当6ABF π∠=，该椭圆的离心率是_______.答案及解析：1.1【分析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出90AFB ∠=，且2AB c =，由于6ABF π∠=，则AF c =，BF =，利用椭圆的定义得2AF BF a +=，即可得出a 和c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】解：由题意知，以AB 为直径的圆过F ，点F 为椭圆的右焦点， 则90AFB ∠=，且2AB c =， 又6ABF π∠=，则AF c =，BF =，设椭圆的左焦点为E ，由椭圆的对称性可得AE BF =由椭圆的定义得2AF BF AE AF a +=+=，则2c a =，即：1==c a ，所以1e =.答案第2页，总29页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故答案为：31-.【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 2.已知集合{}1,2A =，{}1,2,3AB =，则集合中B 必定含有的元素是_______.答案及解析：2.3 【分析】根据题意，结合并集的概念即可得出答案. 【详解】解：∵集合{}1,2A =，{}1,2,3A B =，∴集合中B 必定含有的元素是3. 故答案为：3.【点睛】本题考查对并集概念的理解，属于基础题. 3.已知双曲线2221(0)9x y a a -=>的左、右顶点与点(0，3)构成等腰直角三角形，则该双曲线的渐近线方程是_______.答案及解析：3.y x =±【分析】○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………根据题意，可知双曲线2221(0)9x y a a -=>焦点在x 轴上，且3b =，设左、右顶点为A B 、，点(0，3)为C ，根据双曲线的顶点坐标可知()(),0,,0A a B a -，再结合题目条件得出AC BC ⊥且AC BC =，利用勾股定理222AC BC AB +=，代数求出a 和by x a=±，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题意知，双曲线2221(0)9x y a a -=>焦点在x 轴上，且3b =， 设左、右顶点为A B 、，点(0，3)为C ，如下图， 则()()(),0,,0,0,3A a B a C -，则AO a =，3CO =，29AC a =+，2AB a =， 由于左、右顶点与点(0，3)构成等腰直角三角形， 所以AC BC ⊥且AC BC =， 则222AC BC AB +=，即()()()22222992a a a +++=，解得：3a =，即a b =，所以双曲线的渐近线方程为：by x x a=±=±， 故答案为：y x =±.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和简单几何性质的应用，考查计算能力. 4.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{a n }满足121a a ==，21n n n a a a +-=+，现从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是_______.答案及解析：4.1答案第2页，总29页【分析】根据题意，分别列举出数列的前12项，再列出能被3整除的数，根据古典概型求概率即可得出结果. 【详解】解：根据题意，“兔子数列”满足：121a a ==，21n n n a a a +-=+， 则该数列的前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 其中能被3整除的数有：3，21，144，共3项，故从该数列的前12项中随机抽取1项，能被3整除的概率是31124=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查古典概型的概率的计算，通过列举法列出基本事件解决古典概型问题，对所给定义的理解是解题的关键. 5.已知x ，y 均为正数，且11x y +=，则8yy x+的最小值为_______. 答案及解析：5.16 【分析】由题可知，,x y 均为正数，且11x y +=，则10y x y -=>，代入化简得189(1)101y y y x y +=-++-，再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】解：由于,x y 均为正数，且11x y +=，∴10y x y-=>， 可得：1y >，∴22(1)2(1)18888(1)8111y y y y y y y y y y x y y y-+-++=+=+=+-+---， 19(1)1010161y y =-++≥=-， 即：816y y x+≥，当且仅当43y =时取“＝”，所以8yy x+的最小值为16. 故答案为：16.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，对条件的变形是解题的关键. 6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且2430a a a +=，31S =-，则n a =_______.答案及解析：6.(1)n -【分析】已知{}n a 为等比数列，2430a a a +=，31S =-，利用通项公式和前n 项和公式求出1a 和q ，根据11n n a a q -=即可求出n a .【详解】解：由题可知，{}n a 为等比数列，2430a a a +=，31S =-，2243330,0a a a a a +=∴+=，由于等比数列中0n a ≠，解得：31a =-，31S =-，即：1231a a a ++=-，21111q q--∴+-=-，解得：1q =-， 3121a a q ∴==-， 所以()1111(1)(1)n n n n a a q--==-⋅-=-.故答案为：(1)n-.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，利用等比数列通项公式和前n 项和公式求出基本量，考查化简运算能力. 7.已知函数tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<，它们图象有一个交点的横坐标为π，则ϕ的值是答案第2页，总29页_______.答案及解析：7.4π 【分析】根据两函数的图象有一个交点的横坐标为4π，分别代入两个函数解析式，结合ϕ的取值范围，即可求出ϕ的值.【详解】解：由于tan y x =与sin(3)(0)y x ϕϕπ=-≤<的图象有一个交点的横坐标为4π， 则tansin 3144ππϕ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 32,42k k Z ππϕπ∴⨯-=+∈，解得：2,4k k Z πϕπ=-∈，又0ϕπ≤<，∴4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，以及三角函数求值问题，考查计算能力. 8.已知一组数据1，3，5，7，9，则该组数据的方差是_______答案及解析：8.8 【分析】计算均值，再由方差公式得结论． 【详解】由题意1357955x ++++==，∴2222221[(15)(35)(55)(75)(95)]85s =-+-+-+-+-=． 故答案为：8．【点睛】本题考查方差的计算，掌握方差计算公式是解题基础． 9.若函数()()f x x a =-[1，9]上的最小值为18，则a 的值为_______. 答案及解析：9.78【分析】[]1,3t =∈，则2x t =，将原题转化为函数2()()f t t a t =-⋅在区间[]1,3上的最小值为18，则2()3f t t a '=-，分类讨论a ，通过利用导数研究函数的单调性和最值，即可求出a 的值， 【详解】解：由题可知，()()f x x a =-[1，9]上的最小值为18，[]1,3t =∈，则2x t =，则原题转化为：函数2()()f t t a t =-⋅在区间[]1,3上的最小值为18， 则2()3f t t a '=-，当0a ≤时，2()30f t t a '=-≥恒成立，则()f t 在区间[]1,3上单调递增，则1(1)8f =，解得：78a （舍去）； 当0a >时，令2()30f t t a '=-=，解得：t =t =， 1≤，即03a <≤时，()f t 在区间[]1,3上单调递增， 则1(1)8f =，解得：78a ，符合题意； 3≥，即27a ≥时，()f t 在区间[]1,3上单调递减，答案第2页，总29页则1(3)8f =，解得：21524a =（舍去）； 若13<<，即327a <<时，()f t 在区间⎡⎢⎣上单调递减，在区间⎤⎥⎦上单调递增，则18f =，无正数解， 综上所述：a 的值为78. 故答案为：78. 【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数的单调性和最值，从而求出参数值，同时考查转化和分类讨论思想. 10.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥11B A C D -的体积是_______.答案及解析：10.83【分析】根据题意，得出三棱锥11B A C D -所有棱长都为式即可求出结果.【详解】解：已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则三棱锥11B A C D -所有棱长都为则11AC D ∆的面积为：(1121sin 23A C D S π=⨯⨯=△11AC D ∆的外接圆半径为：23=三棱锥的高为：3h ===， 则三棱锥11B A C D -的体积是：11118333A C D V S h =⋅=⨯=△.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故答案为：83.【点睛】本题考查三棱锥的体积，涉及正方体的性质和三棱锥的性质，考查计算能力. 11.下图是一个算法的流程图，则输出k 的值是_______.答案及解析：11.6 【分析】根据程序框图可知，利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序运行，分析循环中各变量值的变化情况，直到满足条件27100k k -+>，即可得出答案. 【详解】解:根据程序框图，模拟程序运行，输入1k =，继续运行2k =，此时22710272100k k -+=-⨯+=，不满足条件， 执行循环体，3k =，此时227103731020k k -+=-⨯+=-<，不满足条件， 执行循环体，4k =，此时227104741020k k -+=-⨯+=-<，不满足条件， 执行循环体，5k =，此时22710575100k k -+=-⨯+=，不满足条件， 执行循环体，6k =，此时227106761040k k -+=-⨯+=>，满足条件，答案第2页，总29页故输出k 的值是6. 故答案为：6.【点睛】本题考查循环程序框图，解题时应模拟程序框图的运行过程，注意循环条件的判断. 12.已知复数()i a i +的模为1（其中i 是虚数单位），则实数a 的值为_______.答案及解析：12.0 【分析】设i(i)1i z a a =+=-+，再根据复数的模运算，即可求出a 的值. 【详解】解：根据题意，设i(i)1i z a a =+=-+， 由于复数()i a i +的模为1，即：1z =， 则1z ==，0a ∴=.故答案为：0.【点睛】本题考查复数的乘法运算和模的运算，属于基础题. 13.已知角αβ，满足tan 2tan αβ=，若3sin()5αβ+=，则sin()αβ-的值是_______. 答案及解析：13.15【分析】根据题意，由tan 2tan αβ=得出sin cos 2cos sin αβαβ=，由3sin()5αβ+=，根据两角和与差的正弦公式得出3sin cos cos sin 5αβαβ+=，得出2sin cos 5αβ=，1cos sin 5αβ=，从而可求出sin()αβ-的值.【详解】解：由于tan 2tan αβ=，则sin 2sin cos cos αβαβ=， sin cos 2cos sin αβαβ∴=，又3sin()5αβ+=，即：3sin cos cos sin 5αβαβ+=，解得：2sin cos 5αβ=，1cos sin 5αβ=， 211sin()sin cos cos sin 555αβαβαβ∴-=-=-=. 即：sin()αβ-的值为15. 故答案：15. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，涉及同角三角函数商的关系和两角和与差正弦公式的应用，考查化简计算能力. 14.已知当0x >，函数()()ln 0f x a x a =>，且()()f x f x =-，若()2()20g x x m m =->的图像与f (x )的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围是_______.答案及解析：14.()4,4e【分析】根据题意，可知()f x 与()g x 均为偶函数，所以()f x 与()g x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同，则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同，求导得0x >时，()a f x x'=，()4g x x '=，设在第一象限的切点的横坐标为0x ，得出()01,x ∈+∞，则20000ln 24a x x m a x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得0222000144ln 20x a x m x x x >⎧⎪=⎨⎪=-+>⎩，即可求出0x 的取值范围，从而可求出实数a 的取值范围.答案第2页，总29页【详解】解：由题意知：()()f x f x =-和()2()20g x x m m =->，所以()f x 与()g x 均为偶函数，由于()f x 与()g x 的图像在第二象限有公共点，且在该点处的切线相同， 则在第一象限也有公共点，且在该点处的切线也相同， 因为0x >时，()()ln 0f x a x a =>，()2()20g x x m m =->所以0x >时，()af x x'=，()4g x x '=， 设在第一象限的切点的横坐标为0x ，则00()ln0f x a x =>，可得()01,x ∈+∞，则有20000ln 24a x x m a x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，即：02022000144ln 20x a x m x x x >⎧⎪=⎨⎪=-+>⎩，由220004ln 20m x x x =-+>，即()200212ln 0x x ->，则012ln 0x ->，解得：0x <综上可得：01x <，则201x e <<，又因为204a x =，所以44a e <<， 即：()4,4a e ∈. 故答案为：()4,4e .【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想. 一、解答题 本大题共9道小题。
江苏省苏锡常镇四市2020-2021学年高三5月教学情况调研(二) 数学试题+答案+解析
2020~2021注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的2.回答选择题时，选出每小题动，用橡皮擦干净后，再选涂在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共8小题项是符合题目要求的。
1.若a ∈R,则“a=2”是“复数A.充分不必要条件 B.必要不2.若集合A.(- ∞,2] 3.从标有1,2,3,4,5,6的6张卡到标号是4的条件下，第二次A.35 B.4.已知椭圆E: 2222x y a b+＝1(a sin ∠PA 1F 2=35,则E 的离心率A. 12 B. 5.已知a=sin1,b=cos1,则下列不A. log a b<a b <b a C. a b <b a <log a b 6.已知3sin(α-6π)=sin(α+A. 17 B.- 177.我国汉代数学家赵爽为了证个全等的直角三角形和一个正弦图”。
在直角三角形CGD 点P,线段BC 上任取一点A.25 8.已知函数f(x)=x 2-223x x +a 的取值范围是A.(- ∞,7) 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数 学自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写卡交回。
小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中数z=2-ai 的模为”（i 为虚数单位）的必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不x },则A ∩B=B.[2,+ ∞)C.(0,2]D.[0,2]张卡片中，不放回地随机抽取两次，每次抽取一张第二次抽到的标号是奇数”的概率为12 C. 110 D. 1121(a>b>0)的右焦点为F 2,左顶点为A 1,若E 上的点离心率为 25 C. 14 D. 15 下列不等式正确的是B. log a b<b a <a bD. b a <a b <log a b6π),则cos2α= C. 1113 D.- 1113为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，它由四一个正方形所构成（如图），后人称其为“赵爽GD 中，已知GC=4,GD=3,在线段EF 上任取一Q,则AP AD ⋅u u u r u u u r 的最大值为B.27C.29D.3111+.若存在m ∈(1,4)使得不等式f(4-ma)+f(m 2+3m B.(-∞,7] C.(-∞,8) D.(-年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）2021.05答题卡上。
2020-2021学年江苏省高三5月模拟数学试卷及答案解析
江苏省高考模拟检测数学试题注意事项:1．本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟. 2. 答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}22A x x =-<<，集合{}1,2B =，则A B ⋂= ▲．2．已知复数31iz i-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是 ▲． 3．从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[)130,140内的学生人数为 ▲．a4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲．5．从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲． 6．函数()()ln f x x e =-的定义域为 ▲．7．在三棱锥S ABC -中，面,,SAB SBC SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且2AB BC CA ===，则三棱锥S ABC -的表面积是 ▲．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为6，直线1:3l y x =与椭圆E 相交于,A B 两点，210AB =，则椭圆的标准方程为 ▲．9．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式y = ▲． 10．若函数()2,0,ln ,0x x x f x x x x a⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲．FE DC AB11.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．2BE CE ⋅=u u u r u u u r，2BC =，则BF CF ⋅=u u u r u u u r▲．12．过点作直线l 与圆22:1C x y +=交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，则实数t 的取值范围是 ▲．13．设正项等比数列{}n a 首项12a =，前n 项和为n S ，且满足3224a S +=，则满足266166515n n S S <<的最大正整数n 的值为 ▲． 14.在锐角三角形ABC 中，sin c a B =，则实数sin C 的最大值是 ▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角C B A ，，的对边分别为c b a ,,,C b a cos 4=,10103sin =C (1)求角B 的值； (2)若5=b ，求三角形ABC 的面积。
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（二）（5月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0}，B={−1,3}，则A∪B=______．(i为虚数单位)的虚部是________．2.复数z=1+2ii3.某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的学生的人数为___________．4.已知a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为_________________．5.已知高一年级某班有63名学生，现要选1名学生作为标兵，每名学生被选中的概率是相同的，，则这个班男生的人数为若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的1011________．+lg(2x+1)的定义域是______ ．6.函数f(x)=x√2−x7. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则a 1=________．9. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为对角线B 1D 上的一点，M ，N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1． (1)当N 为对角线AC 的中点且DE =√2时，则三棱锥E −DMN 的体积是______ ；(2)当三棱锥E −DMN 的体积为13时，则DE = ______ ．10. 若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=______．11. 已知α为锐角，sinα=45，则tan(α+π4)= ______ ．12. 在△ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2a,0)(a >0)，直线l 1:mx −y −2m +2=0与直线l 2:x +my =0(m ∈R)相交于点M ，且MA 2+MO 2=2a 2+16，则实数a 的取值范围是_________． 14. 已知直线2x −y +1=0与曲线y =ae x +x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值是_______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3acosB =bsinA ．(Ⅰ)求B 的值；(Ⅱ)求sinA +sinC 的最大值．16. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，SA ⊥平面ABCD ． (1)求证：CD//平面SAB ； (2)求证：BD ⊥SC ．17.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．18.如下图所示，两座建筑物AB,CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD=45∘，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD．19.已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n.令c n=(−1)n S n(n∈N∗)，{c n}的前20项和T20=330.数列{b n}满足b n=2(a−2)d n−2+2n−1，a∈R．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n+1≤b n，n∈N∗，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1．(1)求函数f(x)的单调区间，并判断f(x)是否存在极值点．(2)设m>n>0，求证：lnm−lnn>2(m−n)m+n．21.设矩阵M=[m22−3]的一个特征值λ对应的一个特征向量为[1−2]，求实数m与λ的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.设c>0，|x−1|<c3，|y−1|<c3，求证：|2x+y−3|<c．24.如图，正四棱锥P−ABCD中，PA=BD，点M为AC，BD的交点，点N为AP中点．(1)求MN与平面PAD所成角的正弦值；(2)求平面PBC与平面PAD所成的二面角的余弦值．25. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=3，a n+12=3a n +4(n ∈N ∗).设b n =4−a n ，求证：当n ∈N ∗时， (1) 3≤a n <4； (2)b n ≤(37)n−1；(3)S n >4n −74．-------- 答案与解析 --------1.答案：{−1,0，3}解析：【分析】本题考查集合的并集，根据题意利用并集的定义即可求得结果．【解答】解：∵集合A={−1,0}，B={−1,3}，∴A∪B={−1,0，3}．故答案为{−1,0，3}．2.答案：−1解析：【分析】本题考查复数的基本运算与复数的基本概念，考查计算能力．【解答】解：∵z=1+2ii =(1+2i)×(−i)i×(−i)=2−i，∴z的虚部为−1，故答案为−1．3.答案：30解析：【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题目．【解答】解：由题意可得成绩低于60分得频率为10×0.01+10×0.015=0.25，所以成绩不低于60分的人数为40×(1−0.25)=30．故答案为30．4.答案：1解析：【分析】本题考查循环语句以及赋值语句的应用，属于中档题．【解答】解：a n=｜2n−11｜，1≤n≤9，n∈N∗的前9项为9，7，5，3，1，1，3，57，图中伪代码的作用是输出前9个数中的最小值，所以输出1，故答案为1．5.答案：33解析：【分析】本题考查古典概型概率的计算，属于基础题目．【解答】解：根据题意，设该班的男生人数为x，则女生人数为63−x，因为每名学生被选中的概率是相同的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是63−x63，“选出的标兵是男生”的概率是x63，故63−x63=1011×x63，解得x=33，故这个班男生的人数为33．故答案为33．6.答案：(−12,2)解析：解：要使函数有意义，则{2−x >02x +1>0，即{x <2x >−12，即−12<x <2，故函数的定义域为(−12,2)， 故答案为：(−12,2)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7.答案：6解析： 【分析】本题考查了抛物线、双曲线的综合问题，属于中档题．由x 2=2py(p >0)得焦点坐标、准线l 方程，即可得抛物线的准线与双曲线的交点A 、B ，从而可得|AF|=|AB|=√12+p 2，根据p|AF|=sin π3即可求得p 的值． 【解答】解：由x 2=2py(p >0)得焦点F(0,p 2)， 准线l 为y =−p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23−y 23=1的交点A(−√12+p 22,−p2)，B(√12+p 22,−p2)，所以|AB|=√12+p 2， 则|AF|=|AB|=√12+p 2， 所以p|AF|=sin π3，即2=√32， 解得p =6． 故答案为6．8.答案：1解析： 【分析】本题考查等比数列的前n 项和公式以及应用，注意分析q 是否为1.根据题意，由等比数列前n 项和公式可得S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，S 6=a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得1+q 3=9，解可得q 的值，将q 的值代入S 3=a 1(1−q 3)1−q=7，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n }满足S 3=7，S 6=63，则其公比q ≠1， 若S 3=7，则a 1(1−q 3)1−q =7；S 6=63，则a 1(1−q 6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2； 又由a 1(1−q 3)1−q=7，解可得a 1=1．故答案为19.答案：√39；√6解析：解：(1)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，N 是AC 的中点， ∴AC ⊥BD ，DN =√2，∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD =B ， ∴AC ⊥平面BB 1D ，故当N 为AC 的中点时，有MN ⊥平面DEN ， 又DB 1=2√3，BB 1=2，∴sin∠BDB 1=22√3=√33， ∴V E−DMN =V M−DEN =13S △DEN ⋅MN =13×12×√2×√2×√33×1=√39． (2)设三棱锥E −DMN 的高为h ，则V E−DMN =13S △DMN ⋅ℎ=13×12×1×√2×ℎ=√2ℎ6=13，∴ℎ=√2， ∵ℎBB 1=DE DB 1，即√22=DE 2√3，∴DE =√6．故答案为：(1)√39，(2)√6．(1)证明MN ⊥平面DEN ，求出三角形DEN 的面积，代入体积公式计算即可； (2)根据体积求出E 到平面ABCD 的距离，再利用相似三角形求出DE ． 本题考查线面位置关系的判断，棱锥的体积计算，属于中档题．10.答案：516解析：解：∵函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数， 且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1−x),0≤x ≤1sinπx,1<x ≤2，则f(294)+f(176)=f(8−34)+f(4−76)=f(−34)+f(−76)=−f(34)−f(76)=−34(1−34)−sin 76π=−316+12=516． 故答案为：516．通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．11.答案：−7解析：解：∵α为锐角，sinα=45， ∴cosα=35，∴tanα=43，∴tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=−7． 故答案为：−7．利用同角三角函数关系，求出tanα，再利用和角的正切公式，可求tan(α+π4).本题考查同角三角函数关系、和角的正切公式，考查学生的计算能力，正正确运用公式是关键．12.答案：−54解析： 【分析】画出示意图，由BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，代入即可得出． 本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 【解答】 解：如图所示，∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(22−32) =−54． 故答案为：−54．13.答案：[2,1+√17] 解析：【分析】本题考查圆与圆的位置关系的应用．两直线l1，l2联立可得M的轨迹方程x2+y2−2x−2y=0，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，根据题意两圆相交，根据圆心距与半径的关系求解．【解答】解：直线l1:mx−y−2m+2=0与直线l2:x+my=0(m∈R)联立消去m化简可得x2+y2−2x−2y=0，即圆心为(1,1)，半径为√2的圆，且不包括点(2,0)，即为M的轨迹方程，A(2a,0)，(a>0)，设M(x,y)，由MA2+MO2=2a2+16，可得(x−2a)2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2−2ax+y2+a2−8=0，所以M在以(a,0)为圆心，2√2为半径的圆上，由两圆相交可得√2≤√(a−1)2+1≤3√2，解得2≤a≤1+√17则实数a的取值范围是[2,1+√17] ．故答案为[2,1+√17] ．14.答案：1解析：【分析】本题考查了利用导数求解函数的切线方程，属于基础题．设切点为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，又n=ae m+m=m+1，可解a的值．【解答】解：∵y=ae x+x，∴y′=ae x+1．设直线2x−y+1=0与曲线y=ae x+x相切的切点坐标为(m,n)，则y′|x=m=ae m+1=2，得ae m=1，又n=ae m+m=m+1，∴m=0，n=1，a=1．15.答案：解：(Ⅰ)因为√3acosB=bsinA，由正弦定理可得√3sinAcosB=sinBsinA．因为在△ABC中，sinA≠0，所以√3cosB=sinB．因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为A+B+C=π，所以sinA+sinC=sinA+sin(A+π3)．=sinA+(12sinA+√32cosA)．=√3sin(A+π6)．因为0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6．当A+π6=π2，即A=π3时，sinA+sinC有最大值√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得√3sinAcosB=sinBsinA，结合sinA≠0，可求√3cosB=sinB，结合范围0<B<π，可求B的值．(Ⅱ)由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC=√3sin(A+π6)，结合范围0<A<2π3，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.答案：证：(1)在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AB//CD，……(2分)∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，∴CD//平面SAB……(4分)(2)连结AC.∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD……(6分)∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩SA=A，AC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……(9分)∴BD⊥SC.……(10分)解析：(1)推导出AB//CD，由此能证明CD//平面SAB．(2)连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3．因为a 2=b 2+c 2， 所以b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形， 则 PA//MN ，且|PA|=|MN|． 所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)， 所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0， 由Δ>0，得 k 2>12， 且x 1+x 2=−8√3k4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1．所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2．因为|PA|=|MN|， 所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112．经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．18.答案：18m解析：过点A作AE⊥CD交CD于E点，由题意可知：CE=6m,DE=9m,AE=BD,∠CAE+∠DAE=45∘．tan∠CAE=CEAE =6BD，tan∠DAE=DEAE=9BD，由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ，∴tan(∠CAE+∠DAE)=tan∠CAE+tan∠DAE1−tan∠CAE⋅tan∠DAE=tan45∘=1⇒BD=18m19.答案：解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，因为c n=(−1)n S n，所以T20=−S1+S2−S3+S4+⋯+S20=330，则a2+a4+a6+⋯+a20=330则10(3+d)+10×92×2d=330解得d=3所以a n=3+3(n−1)=3n(Ⅱ)由(Ⅰ)知b n=2(a−2)3n−2+2n−1b n+1−b n=2(a−2)3n−1+2n−[2(a−2)3n−2+2n−1]=4(a−2)3n−2+2n−1=4⋅3n−2[(a−2)+12(23)n−2]由b n+1≤b n⇔(a−2)+12(23)n−2≤0⇔a≤2−12(23)n−2因为2−12(23)n−2随着n的增大而增大，所以n=1时，2−12(23)n−2最小值为54，所以a≤54．解析：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用T20=330，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)先求出b n，再根据b n+1≤b n，n∈N∗，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．20.答案：解：(1)已知函数f(x)=lnx−2(x−1)x+1，函数的定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=1x−2(x+1)−2(x−1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2，x∈(0,+∞)，∴f′(x)≥0，在x∈(0,+∞)上恒成立，∴f(x)的单调增区间是(0,+∞)令f′(x)=0，则x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)，f′(x)>0，∴f(x)没有极值点． (2)证明：要证lnm −lnn >2(m−n)m+n,即需证ln mn >2(m n −1)m n+1, 只需证ln m n −2(m n −1)m n+1>0， 设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，由(1)可知ℎ(x)在(0,+∞)单调递增， 因为mn >1，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0， 当x =m n >1时，即ln m n −2(m n −1)m n+1>0，所以原不等式成立．解析：本题主要考查函数的单调性与最值、导数等基础知识，同时考查分析问题和解决问题的能力，属于一般题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断f(x)是否存在极值点． (2)设ℎ(x)=lnx −2(x−1)x+1，根据函数的单调性证明即可． 21.答案：解：由题意得[m22−3][1−2]=λ[1−2]， 即[m −48]=[λ−2λ]， 则{m −4=λ8=−2λ， 解得m =0，λ=−4．解析：此题主要考查二阶矩阵、特征向量，根据特征值的定义可知[m22−3][1−2]=λ[1−2]，利用待定系数法建立等式关系，从而可求m 与λ的值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)， 消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0，所以C 的极坐标方程为ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6)．(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)，θ∈[0,2π]， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=cosθ(√32sinθ+12cosθ)=√34sin2θ+14cos2θ+14=12sin(2θ+π6)+14，当，即当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案： 证明：因为|x −1|<c3，所以|2x −2|<2c 3，故|2x +y −3|=|2x −2+y −1|≤|2x −2|+|y −1|<2c 3+c3=c ，故|2x +y −3|<c ．解析：【分析】 本题考查不等式的证明，属于一般题． 利用绝对值三角不等式证明即可得到结论．24.答案：解：由已知可得，在正四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，且PM ⊥平面ABCD ，则以M 为空间坐标原点，以MA 为x 轴，MB 为y 轴，MP 为z 轴建立空间直角坐标系，设AM =1，则M(0,0，0)，A(1,0，0)，D(0,−1,0)，P(0,0，√3)，N(12,0，√32)，B(0,1，0)，C(−1,0，0)，(1)设平面PAD 的法向量为n 1→=(x,y,z)， 由题意得AD →=(−1,−1,0),PD →=(0,−1,−√3)， ∵{AD →·n 1→=−x −y =0PD →·n 1→=−y −√3z =0，∴{x =−y z =−√33y令y =1，得到n 1→=(−1,1,−√33)，∴cos <MN →,n 1→>=MN →·n 1→|MN →|·|n 1→|=(12,0,√32)·(−1,1,−√33)1×√73=√73=−√217． ∴AM 与平面DEF 所成角的正弦值为√217.(2)设平面PBC 的法向量为n 2→=(u,v,w)， 由题意得BC →=(−1,−1,0),PB →=(0,1,−√3)，∵{BC →·n 2→=−u −v =0PB →·n 2→=v −√3w =0∴{u =−vw =√33v令v =1，得到n 2→=(−1,1,√33)，∵平面PAD 的法向量n 1→=(−1,1,−√33)，平面PBC 的法向量n 2→=(−1,1,√33)，∴cos <n 1→,n 2→>=n 1→·n 2→|n 1→|·|n 2→|=(−1,1,−√33)·(−1,1,√33)√73×√73=5373=57． ∴平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值为57.解析：本题主要考查了利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，注意计算即可，属于中档题． (1)求得平面PAD 的法向量即可解得答案；(2)分别求得平面PBC 与平面PAD 的法向量即可解得答案．25.答案：证明：(1)①当n =1时，3≤a 1<4成立.②假设当n =k 时成立，即3≤a k <4；当n =k +1时，a k+12=3a k +4，即13⩽a k+12<16.∵a k >0，∴√13≤a k+1<4，即3≤√13≤a k+1<4. ∴n =k +1时成立，综合①②有：3≤a n <4成立．(2)由题意得：a n+12−16=3a n −12=3(a n −4).∴(a n+1+4)(a n+1−4)=3(a n −4)． 即4−a n+14−a n =34+a n+1.∴b n+1b n =4−a n+14−a n =34+an+1⩽37 (3⩽a n <4).∴b2b 1⋅b3b 2…b nbn−1⩽(37)n−1，又∵b 1=1． ∴b n ≤b 1⋅(37)n−1=(37)n−1．(3)∵b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1 =(1−(37)n )1−37<74. ∴S n >4n −74．解析：本题主要考查的是数列求和，递推关系式，数学归纳法，是较难题． (1)由数学归纳法即可证得；(2)由a n+12−16=3a n −12=3(a n −4)得4−a n+14−a n =34+a n+1，∴b n+1b n=4−a n+14−a n=34+an+1≤37 ，即b n ⩽b 1⋅(37)n−1=(37)n−1；(3)由b 1+b 2+⋯+b n =4n −S n ⩽(37)0+(37)1+⋯+(37)n−1，即可求解．。
2020-2021学年江苏省三市联考高考数学三模试卷及答案解析
江苏省徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= ．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为．13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，则A∩B= {1，3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|0＜x＜5}，∴A∩B={1，3}，故答案为：{1，3}．2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3+i）z=10i，∴（3﹣i）（3+i）z=10i（3﹣i），∴10z=10（3i+1），化为：z=1+3i，则复数z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．3．如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是 1 ．【考点】茎叶图．【分析】根据讨论x＞4时，求出平均分不是91分，显然x≤4，表示出平均分，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：若x＞4，去掉一个最高分（90+x）和一个最低分86后，平均分为（89+91+92+92+94）=91.6分，不合题意，故x≤4，最高分是94，去掉一个最高分94和一个最低分86后，故平均分是（89+92+90+x+91+92）=91，解得x=1，故答案为：1．4．甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏：甲、乙、丙三人每次都随机出“手心（白）”、“手背（黑）”中的某一个手势，当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时，这个人胜出；其他情况，不分胜负．则一次游戏中甲胜出的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，分析可得甲、乙、丙出的方法种数都有2种，由分步计数原理可得三人进行游戏的全部情况数目，进而可得甲胜出的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23=8种方案，而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，所以甲胜出的概率为=，故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k的值为 3 ．【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件n=1，跳出循环，确定输出k的值．【解答】解：n=13是奇数，n==6＞1，不符，此时k=1，n=6是偶数，n=3＞1，不符，此时k=2，n=3是奇数，n=1=1，符合，此时k=3，故答案为：3．6．已知点F为抛物线y2=4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出A，利用抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，求出A的横坐标，然后求解斜率．【解答】解：由题可知焦点F（1，0），准线为x=﹣1设点A（x A，y A），∵抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，∴x A+=5，∴x A=4，∴y A=4，∴点A（4，4），∴直线AF的斜率为=，故答案为：．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为96πcm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则S侧=π×r×10=60π，解得r=6．∴圆缀的高h==8，∴圆锥的体积V===96π．故答案为：96π．9．若实数x，y满足约束条件，则|3x﹣4y﹣10|的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，而根据点到直线的距离公式可知转化为求阴影内的点到直线l的距离最大，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，直线l的方程为3x﹣4y﹣10=0，点A到直线l的距离最大，由解得，A（，），故点A到直线l的距离d==，故|3x﹣4y﹣10|的最大值为×5=；故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC 的面积为π．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1﹣）=0，解得sinx=0或1﹣=0，即sinx=0或cosx=；又x∈[0，π]，所以x=0或x=π或x=；所以点A（0，0），B（π，0），C（，）；所以△ABC的面积为S=|AB|h=×π×=π．故答案为：π．11．若点P，Q分别是曲线y=与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ长的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出原函数的导函数，得到与直线4x+y=0平行的曲线的切线方程，由平行线间的距离公式求得线段PQ长的最小值．【解答】解：由y==1+，得y′=，由，得x2=1，∴x=±1．当x=1时，y=5，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y﹣5=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣9=0．此时两平行线间的距离为；当x=﹣1时，y=﹣3，则与4x+y=0且与曲线y=相切的直线方程为y+3=﹣4（x+1），即4x+y+7=0．此时两平行线间的距离为．∴曲线y=与直线4x+y=0上两动点PQ距离的最小值为．故答案为：．12．已知，，是同一平面内的三个向量，其中，是相互垂直的单位向量，且（）•（﹣）=1，||的最大值为1+．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），根据向量的坐标运算和数量积运算得到（x﹣）2+（y﹣）2=2，结合图形即可求出最大值．【解答】解：∵，是相互垂直的单位向量，不妨设=（1，0），=（0，1），设=（x，y），∴=（1﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y），∵（）•（﹣）=1，∴﹣（1﹣x）x﹣y（﹣y）=1，∴x2﹣x+y2﹣y=1，∴（x﹣）2+（y﹣）2=2，∴向量的轨迹为以（，）为圆心，以为半径的圆，∴圆心到原点的距离为1，∴||的最大值为1+故答案为：1+13．已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x，y，都有x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0，则实数a的取值范围为（﹣∞，] ．【考点】基本不等式．【分析】依题意，由正实数x，y满足x+y+4=2xy，可求得x+y≥4，由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立，利用双钩函数的性质即可求得实数a的取值范围．【解答】解：因为正实数x，y满足x+y+4=2xy，而4xy≤（x+y）2，代入原式得（x+y）2﹣2（x+y）﹣8≥0，解得（x+y）≥4或（x+y）≤﹣2（舍去）由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0可得a（x+y）≤（x+y）2+1，即a≤x+y+令t=x+y∈[4，+∞），则问题转化为a≤t+，因为函数y=t+在[4，+∞）递增，所以y min=4+=，所以a≤故答案为：（﹣∞，]．14．已知经过点P（1，）的两个圆C1，C2都与直线l1：y=x，l2：y=2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），推导出a，b是方程（1﹣x）2+（）2=的两根，由此能求出．这两圆的圆心距CC2．1【解答】解：设圆心坐标为（x，y），由于圆与直线l1：y=x，l2：y=2x都相切，根据点到直线的距离公式得：，解得y=x，∴圆心只能在直线y=x上，设C1（a，a），C2（b，b），则圆C1的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=，圆C2的方程为（x﹣b）2+（y﹣b）2=，将（1，）代入，得：，∴a，b是方程（1﹣x）2+（）2=，即=0的两根，∴，ab=，∴|C1C2|==•=•=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=1，BD=2，∠CAD=，tan∠ADC=﹣2，求：（1）CD的长；（2）△BCD的面积．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）根据tan∠ADC=﹣2计算sin∠ADC，得出sin∠ACD，在△ACD中使用正弦定理求出CD；（2）根据∠ADC+∠BCD=180°求出sin∠BCD，cos∠BCD，在△BCD中使用余弦定理解出BC，则=．S△BCD【解答】解：（1）∵tan∠ADC=﹣2，∴sin∠ADC=，cos∠ADC=﹣．∴sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC==．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得CD=．（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴sin∠BCD=sin∠ADC=，cos∠BCD=﹣cos∠ADC=．在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2﹣2BC•CDcos∠BCD，即40=5+BC2﹣2BC，解得BC=7或BC=﹣5（舍）．=BC•CDsin∠BCD==7．∴S△BCD16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：（1）平面AMP⊥平面BB1C1C；（2）A1N∥平面AMP．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE∥平面APM，由此能证明A1N∥平面AMP．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，M是BB1的中点，∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C．（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点，∴NE∥BC1∥PM，A1E∥AM，∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM⊂平面APM，A1E、NE⊂平面A1EN，∴平面A1NE∥平面APM，∵A1N⊂平面A1NE，∴A1N∥平面AMP．17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点P（1，）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意设直线AB：y=，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．【解答】解：（1）∵点P（1，）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由题意设直线MN：y=，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，△＞0，，∵四边形POMN是平行四边形，∴|MN|==，解得m=±3，当m=3时，解方程：3x2+9x+6=0，得M（﹣1，），N（﹣2，0）；当m=﹣3时，解方程：3x2﹣9x+6=0，得M（1，），N（2，6）．18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+ a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣x2﹣x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论．【解答】解：（1）若a=，y1=x﹣，y2＞y1，即﹣x2﹣x+1＞x﹣，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y1=x﹣，商品的月销售额等于（x﹣）x，在（1，6）上单调递增，（x﹣）x＜；y2≤y1，即﹣x2﹣x+1≤x﹣，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y2=﹣x2﹣x+1，商品的月销售额等于y=（﹣x2﹣x+1）x，y′=﹣（x﹣8）（3x+28），∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值＞，∴商品的价格为8元时，该商品的月销售额最大；（2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣x2﹣x+1）=x2+（+a）x+a2﹣a﹣1因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，所以f（6）≤0，f（14）＞0，所以0＜a≤．19．已知函数f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的极值；（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可．【解答】解：（1）因为f（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值．…（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e•e1﹣e＞0，所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．…当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意；…当a≠0时，g′（x）=，x∈（0，e]，故必须满足0＜＜e，所以a＞．…此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下：x （0，）（，e]g′（x）﹣0 +g（x）单调减最小值单调增所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），当且仅当a满足下列条件，即，…令m（a）=2﹣a﹣2ln，a∈（，+∞），m′（a）=﹣，由m′（a）=0，得a=2．当a∈（2，+∞）时，m′（a）＜0，函数m（a）单调递减；当a∈（，2）时，m′（a）＞0，函数m（a）单调递增．所以，对任意a∈（，+∞）有m（a）≤m（2）=0，即2﹣a﹣2ln≤0对任意a∈（，+∞）恒成立．由a（e﹣1）﹣2≥1，解得a≥，综上所述，当a∈[，+∞）时，对于任意给定的x0（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0）．…20．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，问是否存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．分别利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），利用导数研究函数的单调性即可得出．②当n为偶数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，化为：n+1=+，即可判断出不成立．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，化为3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），可得1，2，3．分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由a1=1，a2=2，a n+2=（k∈N*）．可得数列{a n}的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列．∴对任意正整数k，a2k﹣1=1+2（k﹣1）=2k﹣1；a2k=2×3k﹣1．∴数列{a n}的通项公式a n=，k∈N*．（2）①当n为奇数时，由2a n+1=a n+a n+2可得：=n+n+2，化为：=n+1，令f（x）=2×﹣x﹣1（x≥1），由f′（x）=××ln﹣1≥﹣1=ln3﹣1＞0，可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f（x）≥f（1）=0，∴当且仅当n=1时，满足=n+1，即2a2=a1+a3．=a n+a n+2可得：2（n+1）=2+2×，②当n为偶数时，由2an+1化为：n+1=+，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立．综上，满足2a n+1=a n+a n+2的正整数n的值只有1．（3）S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3n+n2﹣1，n∈N*．S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n﹣1+n2﹣1．假设存在正整数m，n，使得S2n=mS2n﹣1，则3n+n2﹣1=m（3n﹣1+n2﹣1），∴3n﹣1（3﹣m）=（m﹣1）（n2﹣1），（*）从而3﹣m≥0，∴m≤3，又m∈N*，∴m=1，2，3．①当m=1时，（*）式左边大于0，右边等于0，不成立．②当m=3时，（*）式左边等于0，∴2（n2﹣1）=0，解得n=1，∴S2=3S1．③当m=2时，（*）式可化为3n﹣1=（n+1）（n﹣1），则存在k1，k2∈N*，k1＜k2，使得n﹣1=，n+1=，且k1+k2=n﹣1，从而==2，∴﹣=2，=1，∴k1=0，k2﹣k1=1，于是n=2，S4=2S3．综上可知，符合条件的正整数对（m，n）只有两对：（2，2），（3，1）．三．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD ﹣AE•AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）22．已知矩阵A=，向量=，计算A5．【考点】特征向量的意义．【分析】令f（λ）==λ2﹣5λ+6=0，解得λ=2或3．分别对应的一个特征向量为；．设=m++n．解得m，n，即可得出．【解答】解：∵f（λ）==λ2﹣5λ+6，由f（λ）=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=．设=m++n．解得．∴A5=2×25+1×35=．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C 的交点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将极坐标方程化成直角坐标方程．再利用消去参数的方法化参数方程为直角坐标方程，通过直角坐标方程求出交点即可．【解答】解：因为直线l的极坐标方程为所以直线l的普通方程为，又因为曲线C的参数方程为（α为参数）所以曲线C的直角坐标方程为，联立解方程组得或，根据x的范围应舍去，故P点的直角坐标为（0，0）．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b a＞a b．（提示：可考虑用分析法找思路）【考点】分析法和综合法．【分析】直接利用分析法的证明步骤，结合函数的单调性证明即可．【解答】证明：∵b a＞0，a b＞0，∴要证：b a＞a b只要证：alnb＞blna只要证．（∵a＞b＞e）取函数，∵∴当x＞e时，，∴函数在上是单调递减．∴当a＞b＞e时，有，即．得证．四.[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．25．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，先求出P（B），由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，则P（A）==．…（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，则获得一等奖的概率为=，获得三等奖的概率为P3==，所以P（B）==．…由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=．所以X的分布列是X 0 1 2P所以E（X）=0×+2×=．…26．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）个元素构成集合A m．若A m 的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）﹣g（m）．（1）当n=2时，求F（1），F（2），F（3）的值；（2）求F（m）．【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断．【分析】（1）根据已知条件利用列举法能F（1），F（2），F（3）；（2）分m为奇数和m为偶数两种情况，再根据二项式定理和排列组合的知识即可求出答案．【解答】解：（1）当n=2时，集合为{1，2，3，4}，当m=1时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）=2，g（1）=2，F（1）=0；当m=2时，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，f（2）=2，g（2）=4，F（2）=﹣2；当m=3时，偶子集有{1，2，3}，{1，3，4}，奇子集有{1，2，4}，{2，3，4}，f（3）=2，g（3）=2，F（3）=0；（2）当m为奇数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m﹣1C n1，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m C n0，所以f（m）=g（m），F（m）=f（m）﹣g（m）=0．当m为偶数时，偶子集的个数f（m）=C n0C n m+C n2C n m﹣2+C n4C n m﹣4+…+C n m C n0，奇子集的个数g（m）=C n1C n m﹣1+C n3C n m﹣3+…+C n m﹣1C n1，所以F（m）=f（m）﹣g（m）=C n0C n m﹣C n1C n m﹣1+C n2C n m﹣2﹣C n3C n m﹣3+…﹣C n m﹣1C n1+C n m C n0，一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（C m0+C m1x+C m2x2+…+C m m x m）[C m0﹣C m1x+C m2x2+…+（﹣1）m C m m x m]所以，（1+x）m（1﹣x）m中x m的系数为C m0C m m﹣C m1C m m﹣1+C m2C m m﹣2﹣C m3C m m﹣3+…﹣C m m﹣1C m1+C m m C m0，另一方面，（1+x）m（1﹣x）m=（1﹣x2）m，（1﹣x2）m中x m的系数为（﹣1），故f（m）=（﹣1），综上，F（m）=。
2020-2021学年江苏省百校联考高一下学期5月联考数学试题
2020-2021学年江苏省百校联考高一下学期5月联考数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin15°cos45°+cos15°sin135°=A．-12B．12C．D2．已知平面α，β，直线l，且l⊂α，则“l//β”是“α//β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知两点A（-1，3），B（3，0），则与向量AB同向的单位向量是A．（45，-35）B．（45，35）C．（34，-45）D．（35，45）4．任何一个复数z=a+b i（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=r n（cos nθ+i sin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数（cos π8+i sinπ8）m（m∈N*）为纯虚数，则正整数m的最小值为A．2 B．4C．6 D．85．在空间中，到一圆周上各点距离相等的点的集合表示的图形是A．一个点B．一条直线C．一个平面D．一个球面6．甲、乙、丙、丁四个人参加学校组织的建党100周年诗歌朗诵比赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：丙获奖；乙说：我获奖了；丙说：我没获奖；丁说：我没获奖．成绩公布后表明，只有一位同学获奖，四人中只有一人判断正确，则判断正确的是A．甲B．乙C．丙D．丁7．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为a的正方形，则该圆柱的体积为A．34πaB．3πaC．34πaD．3π4a8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱PC，PB上的点，且满足PC=4EC，AF∥平面BDE，则PB FB=A．32B．2C．3 D．4二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9．对于点A，B，直线l，m与平面α，β，下列命题中正确的是A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB．若A∈l，A∈α，则l∩α=AC．若l⊂α，l⊂β，则αβ=lD．若l⊥α，m⊥α，则l m∥10．已知复数z=2+i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则下列结论正确的是A．z的虚部为-iB．z和z在复平面内对应的点关于实轴对称C．复数z是方程x2-2x+5=0的一个虚根D．若复数z1满足|z1|=1，则|z-z1|的最小值为5-111．如下图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，M，N分别为BC，CD的中点，将长方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是A．三棱锥N-ACM与B-ACD的体积之比为定值B．异面直线AC与MN所成的角为定值C．四面体ABCD的外接球体积为55πD．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，六角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以六角攒尖为例，如下图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．已知此正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ=30°，侧棱长为25米，则A．正六棱锥的底面边长为2米B．正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为1 2C．正六棱锥的侧面积为48平方米D．正六棱锥的体积为163立方米三、填空题：13．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的表面积为________．14．优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出了重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法，“黄金分别”的比值为51-≈0.618，这一比值也可以表示为t=2sin18°，则24t t-=________．15．如下图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．（注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况）16．已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2，则该三棱柱ABC-A1B1C1外接球O的表面积为________；若P为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1的中点，则平面PBC与球O的交线长为________．四、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知点O，A，B，C的坐标分别为（0，0），（1，-2），（-3，4），（2，1）．（1）若（OA tOB+）⊥AC，求实数t的值；（2）是否存在实数t，使得OA tOB OC+=成立?解释你所得结论的几何意义．18．如下图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形B1BCC1是菱形，∠B1BC=60°，AB⊥BC，AB⊥BB1，D为棱AC的中点，E为棱BC的中点．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若AB=BC=2，求点B到平面AB1E的距离．19．在①（a+c）（a-c）=b（b-c），②sin cos 2sinsin cosA AB C C=-，③2b cos A=a cos C+c cos A这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．（1）求角A的大小；（2）若ABC是锐角三角形，c=4，求ABC面积的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，P AD为等边三角形．（1）求证：PB⊥BC；（2）若平面P AD⊥平面PCD，求证：平面P AD⊥平面ABCD．21．如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点．（1）试作出平面A1MC1与平面ABCD的交线l，并说明理由，（2）用平面A1MC1去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为V1，V2（V1≤V2），求12VV的值．22．如下图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=22．（1）求AB1与BD所成角的余弦值；（2）求证：B1C⊥C1D．江苏省百校联考高一年级月考卷数学试卷参考答案1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 6．C7．A 8．C 9．ACD 10．BD 11．ACD 12．BCD13．3π 14．-2 15．CG （或DH ，EH ，FG ） 16．16π3；414π 17．解：（1）因为OA +t OB =（1，-2）+t （-3，4）=（1-3t ，-2+4t ），AC =（2，1）-（1，-2）=（1，3），（OA +t OB ）⊥AC ，所以（OA +t OB ）·AC =（1-3t ）×1+（-2+4t ）×3=0．所以t =59． （2）设存在实数t ，使得OA +t OB =OC ，则（1，-2）+t （-3，4）=（2，1），所以（-3t ，4t ）=（2，1）-（1，-2）=（1，3），从而31,43,t t -=⎧⎨=⎩此方程组无解． 故不存在这样的实数t ，使OA tOB OC +=，即tOB OC OA AC =-=成立．这表明：向量AC 与OB 不平行．18．（1）证明：连结B 1C ，交BC 1于点O ，连结OD ．因为在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面B 1BCC 1是菱形，所以点O 是B 1C 的中点． 在三角形AB 1C 中，D 为棱AC 的中点，所以OD //AB 1．因为AB 1⊄平面BC 1D ，OD ⊂平面BC 1D ，所以AB 1∥平面BC 1D ．（2）解：因为AB ⊥BC ，AB ⊥BB 1，BC ∩BB 1=B ，所以AB ⊥平面BB 1C 1C ．因为B 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1E ．因为四边形B 1BCC 1是菱形，∠B 1BC =60∘，所以三角形BB 1C 为等边三角形．因为E 为棱BC 的中点，所以B 1E ⊥BC ，又因为AB ∩BC =B ，所以B 1E ⊥平面ABC ．因为四边形B 1BCC 1是菱形，∠B 1BC =60°，AB =BC =2，所以BE =1，B 1E 3在直角三角形ABE 中，1ABE S =，所以三棱锥B 1-ABE 的体积V 1B ABE -=13⨯B 1E ×S 3ABE=设点B 到平面AB 1E 的距离为h ，注意到B 1E ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以B 1E ⊥AE ，所以S 112AB E =×B 1E ×AE=12， 因为V 11B ABE B AB E V --=113AB E hS =，所以h， 所以点B 到平面AB 1E． 19．解：（1）选①，由（a +c ）（a -c ）=b （b -c ），得2b +c 2-a 2=bc ．即cos A =222122b c a bc +-=．因为0<A <π，所以A =π3． 选②，由sin cos 2sin sin cos A A B C C=，得sin A cos C =2cos A sin B -cos A sin C ， 所以sin （A +C ）=2cos A sin B ，则sin B =2cos A sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A =12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③，因为2b cos A =a cos C +c cos A ，所以由正弦定理得2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin （A +C ）， 则2sin B cos A =sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A =12， 又因为A ∈（0，π），所以A =π3． （2）由（1）得A =π3，又c =4，所以ABC的面积ABC S ．由正弦定理b=2π4sin sin 32sin sin C c B C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+． 由于ABC 为锐角三角形，故0<B <π2，0<C <π2， 因为B +C =2π3，所以π6<C <π2，故2<b <8，从而ABC S因此，ABC 面积的取值范围是（．20．证明：（1）取AD 的中点M ，连结PM ，MB ．因为三角形P AD 为等边三角形，所以PM ⊥AD ．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD =2BC ，所以DM =BC ，且DM //BC ，所以四边形BCDM 是平行四边形．因为∠ADC =90°，所以四边形BCDM 是矩形，所以BM ⊥AD ．因为PM ∩BM =M ，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBM ，所以AD ⊥平面PBM ，所以AD ⊥PB ．因为AD //BC ，所以PB ⊥BC ．（2）取PD的中点N，连结AN．因为三角形P AD为等边三角形，所以AN⊥PD．因为平面P AD⊥平面PCD，且平面P AD∩平面PCD=PD，AN⊂平面P AD，所以AN⊥平面PCD，所以AN⊥CD．在直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AN∩AD=A，且AN⊂平面P AD，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD．因为CD⊂平面ABCD．所以平面P AD⊥平面ABCD．21．解：（1）作法：如下图，连结AC，在平面ABCD内过M作MN∥AC，交BC于N，则直线MN即为平面A1MC1与平面ABCD的交线l．理由：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，又平面A1MC1∩平面A1B1C1D1=A1C1，平而A1MC1∩平面ABCD=l，所以A1C1∥l．因此，在平面ABCD内过M作MN∥AC，而A1C1∥AC．即MN//A1C1，则直线MN即为所求作的交线l．（2）由（1）知在三角形ABC中，MN//AC，M为棱AB的中点，所以N为棱BC的中点．在正方形AA1B1B中，延长A1M交B1B的延长线于点P（图略），所以B为棱B1P的中点．由于N为棱BC的中点，所以延长C1N交B1B的延长线于点P，所以几何体MBN-A1B1C1是三棱台．设正方体的棱长为a，则MBN的面积S=18a2，111A B C的面积S′=12a2，所以三棱台MBN-A1B1C1的体积V=13（S SS'S′）a=724a3，另一个几何体的体积V′=a3-V=a3-724a3=1724a3，因为用平面A1MC1去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为V1，V2（V1≤V2），所以V1=724a3，V2=1724a3，所以12717VV=．22．（1）解：连结BC1，交B1C于点O，连结OD（图略）．因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面B1BCC1是平行四边形，所以点O是B1C的中点．又D 为AC 的中点，所以OD //AB 1，且OD =12AB 1 所以∠BDO 或其补角为AB 1与BD 所成的角，在三角形BDO 中，BO =BD OD所以cos ∠BDO AB 1与BD （2）证明：取BC 的中点M ，连结DM ，C 1M （图略）． 因为在三角形ABC 中，D 为AC 的中点，所以DM //AB ． 因为AB ⊥BC ，所以DM ⊥BC ．因为侧棱AA 1⊥底面ABC ，DM ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥DM ． 因为AA 1∥BB ，所以BB 1⊥DM ．又因为BC ∩BB 1=B ，所以DM ⊥平面BB 1C 1C ，所以DM ⊥B 1C ．在矩形BB 1C 1C 中，1111B C C C C C CM== 所以Rt B 1C 1C ∽Rt C 1CM ，所以∠CB 1C 1=∠MC 1C ． 因为∠B 1C 1M +∠MC 1C =90°，所以∠B 1C 1M +∠CB 1C 1=90°，即C 1M ⊥B 1C ． 又因为DM ⊥B 1C ．DM ∩C 1M =M ，所以B 1C ⊥平面DMC 1． 又因为C 1D ⊂平面DMC 1，所以B 1C ⊥C 1D ．。
2020年5月江苏省苏锡常镇四市2020届高三下学期调研联考(二)(二模)数学试题(解析版)
绝密★启用前江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次学情调研联考(二模)数学试题(解析版)2020年5月第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，若A B＝{﹣1，a，2}，则a＝_______. 【答案】1【解析】【分析】根据集合A B中的元素，判断出a的值.【详解】∵集合A＝{1，2}，B＝{﹣1，a}，且A B＝{﹣1，a，2}，∴a＝1.故答案为：1【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2.若复数z满足(1﹣i)z＝1＋i，其中i是虚数单位，则z的实部为_______. 【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得z，由此求得z的实部.【详解】2221(1)121(1)(1)1i i i iz ii i i i++++====--+-,∴z的实部为0.故答案为：0【点睛】本小题主要考查复数的除法运算,考查复数实部的概念,属于基础题.3.某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在[50,100]内,将学生成绩分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图,则成绩在[80,90)内的学生人数是_______.【答案】30【解析】【分析】用1减去成绩在[)80,90以外的学生的频率,将所得结果乘以100,求得成绩在[)80,90以内的学生人数.【详解】[1(0.0050.0220.025)10]10030-+⨯+⨯⨯=.故答案为：30点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算,属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的y 的值为_______.【答案】﹣1【解析】【分析】运行循环结构代码,由此计算出输出的y 的值.。
2020-2021学年高考总复习数学(文)5月份高考调研试题及答案解析
最新高三调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．29．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（）B．（﹣]∪[）C．[] D．（）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= ．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= ，y= ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A={x||x|＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1] C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集为R，集合A={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∁R B={x|x≤﹣1或x＞5}则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数z，得到对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：复数z满足（3﹣4i）z=25，可得z===3+4i．对应点为：（3，4），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，是基础题．3．函数y=cos（2x﹣）在区间[﹣，]上的简图是（）A．B．C．D．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：当x=0时，y=cos（﹣）=＞0，排除C，当cos（2x﹣）=0，得2x﹣=+kπ，即x=+，∵x∈[﹣，]，∴x=或﹣，排除A，B，故选：D【点评】本题主要考查三角函数图象的判断，根据三角函数的单调性是解决本题的关键．4．下列函数既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上是单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，f（x）=x3是奇函数，在区间[﹣1，1]上是单调递增，不正确；对于B，f（x）=﹣|x+1|不是奇函数，不正确；对于C，f（﹣x）=ln=﹣f（x）是奇函数，∵=﹣1+在区间[﹣1，1]上是单调递减，∴f（x）=ln在区间[﹣1，1]上是单调递减，正确；对于D，f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，在区间[﹣1，1]上不是单调递减，不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，正确运用函数的单调性与奇偶性的定义是关键．5．设m＞1，x，y满足约束条件，且目标函数z=x+my的最大值为2，则m的取值为（）A．2 B．1+C．3 D．2+【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（）上，由此判断出满足约束条件件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．【解答】解：∵m＞1，由约束条件作出可行域如图，直线y=mx与直线x+y=1交于（），目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（）处取得最大值，由题意可知，又∵m＞1，解得m=1+．故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．如图为某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是2，根据三棱锥的体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是2，高是2的三角形，三棱锥的底面的面积是=2，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是2，∴三棱锥的体积是=故选C．【点评】本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．7．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，给出以下命题：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α，m∥α，则l∥m．其中，正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】①利用线面位置关系可得：l与α平行相交或l⊂α，即可判断出正误；②利用线面垂直的判定定理即可判断出；③利用线面平行的判定定理可得：l∥m或为异面直线，即可判断出正误；④利用线线与线面位置关系即可判断出：可得l∥m、相交或为异面直线，进而判断出正误．【解答】解：①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α不成立（m没有给出是平面内的任意一条直线），例如可能l⊂α，l∥α，l与α相交但是不垂直等；②若l⊥α，l∥m，由线面垂直的判定定理可得m⊥α，正确；③若l∥α，m⊂α，则l∥m或为异面直线，因此不正确；④若l∥α，m∥α，则l∥m、相交或为异面直线．其中，正确命题的个数是1．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系及其判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解方程，可得a，b的关系，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，代入抛物线方程y=x2+1，得x2x+1=0，由相切的条件可得，判别式﹣4=0，即有b=2a，则c===a，则有e==．故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力，属于基础题．9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】向量在几何中的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用平行四边形法则，借助于正弦与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．10．已知f（x）=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为（）A．（﹣）∪（）B．（﹣]∪[）C．[] D．（）【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数的最值，不等式有f（x1）≤g（x2）等价为有f（x）max≤g（x）min即可．【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+≤，当x＞1时，f（x）=﹣log3x＜0，则函数f（x）max=，g（x）=|x﹣k|+|x﹣1|≥|k﹣x+x﹣1|=|k﹣1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则|k﹣1|≥，即k﹣1≥或k﹣1≤﹣，即k≥或k≤，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，求出函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请把答案填在题中横线上11．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a= ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线互相垂直，可得两直线系数间的关系，由此列关于a的方程求得a值．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，且l1⊥l2，∴a×1+2（a﹣1）=0，即a+2a﹣2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，关键是对垂直条件的记忆与应用，是基础题．12．已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．13．如图，已知长方体过一个顶点的三条面对角线的长分别为5，，，则其外接球（长方体的顶点均在球面上）的表面积是50π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出长方体的棱长，再求出它的体对角线即求出外接球的直径，由此据公式即可球的表面积，本题采用了设而不求的技巧，没有解棱的长度，直接整体代换求出了体对角线的长度．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱长的长分别为a，b，c，则a2+b2=25，b2+c2=34，c2+a2=41，得a2+b2+c2=50．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=50．故外接球的表面积为S=4πR2=50π．故答案为：50π．【点评】本题考查长方体的几何性质，长方体与其外接球的关系，以及球的表面积公式，训练了空间想象能．．14．执行如图所示的程序框图，则输出的a为﹣【考点】程序框图．【专题】规律型；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序图的运行过程，找出输出a值的周期，即可得出输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；开始a=3，i=1；第一次循环a==﹣2，i=2；第二次循环a==﹣，i=3；第三次循环a==，i=4；第四次循环a==3，i=5；第五次循环a=﹣2，i=6；…；∴a的取值周期为4，且跳出循环的i值为2015，∴输出的a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果，发现a值的周期是关键．15．将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，则关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意可得（a，b）的所有结果共有36种，每种结果等可能出现，再利用列举法求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根包含的基本事件个数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a，b，基本事件总数n=6×6=36，∵关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根，∴△=a2﹣4b＞0，a=1时，不成立；a=2时，不成立；a=3时，b可以取1，2；a=4时，b可以取1，2，3；a=5时，b可以取1，2，3，4，5，6；a=6时，b可以取1，2，3，4，5，6．满足条件的基本事件个数m=17，∴关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率：p==．故答案为：．【点评】本题考查关于x的方程x2+ax+b=0有两个不相等的实根的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．16．对某种灯泡中随机地抽取200个样品进行使用寿命调查，结果如下：寿命（天）频数频率[100，200）20 0.10[200，300）30 y[300，400）70 0.35[400，500）x 0.15[500，600）50 0.25合计200 1规定：使用寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，小于300天是次品，其余的是正品．（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，求得x= 30 ，y= 0.15 ；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，则n的最小值为 4 ．【考点】频率分布表．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率=，利用频率分布列能求出x，y的值．（2）由频率分布表先求出x，再求出优等品、正品、次品的比例，从而能求出按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），由此能求出n的最小值．【解答】解：（1）由频率分布表得：x=200×0.15=30，y==0.15．故答案为：30，0.15．（2）由已知得x=200×0.15=30，∴由频率分布表得到：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品、次品的比例为50：100：50=1：2：1，∴按分层抽样方法，购买灯泡的个数n=k+2k+k=4k，（k∈N*），∴n的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查频率分布表中未知数的求法，考查按三个等级分层抽样所得的结果相同的n的最小值的求法，是基础题，解题时要注意频率分布表和分层抽样的性质的合理运用．17．对于函数y=f（x），x∈D，若对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M，已知f（x）=x3﹣x2+1，x∈[1，2]，则函数f（x）=x3﹣x2+1在[1，2]上的几何平均数M= ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．我们易得若函数在区间D 上单调递增，则M应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x3﹣x2+1，D=[1，2]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，在{1，2]内f′（x）＞0，则f（x）=x3﹣x2+1在区间[1，2]单调递增，则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时，f（x）取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M==．故答案为：．【点评】此题主要考查了应用新定义分析题意解决问题．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．四、解题题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=n2+n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用数列的通项和求和的关系：当n=1时，a1=S1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1，计算即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n=（﹣），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2；当n＞1时，由S n=n2+n，可得S n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1=n2﹣n，两式相减，可得a n=S n﹣S n﹣1=2n，综上可得a n=2n；（Ⅱ）b n==（﹣），前n项和为T n=（1﹣++﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣）=﹣（+），由于（+）＞0，则T n＜成立．【点评】本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意保留和消掉的项，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=2，求三角形ABC面积的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，运用三角形的面积公式可得到最大值．【解答】解：（Ⅰ）acosC=（2b﹣c）cosA，即为acosC+ccosA=2bcosA，由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，∵B∈（0，π）∴sinB≠0∴cosA=，∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）由余弦定理可得，4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号，∴△ABC的面积S=bcsinA=bc≥，∴当且仅当b=c=2时，S取得最大值，且为．【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=，E是棱A1A的中点，F为棱CC1上的一动点．（Ⅰ）若C1E∥平面ABF，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：A1C⊥平面ABF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由题意可得C1E∥FA，又E是棱A1A的中点，可得F为棱CC1的中点，即可得解．（Ⅱ）由题意可证∠FAC=∠A1CC1，从而可求A1C⊥AF，证明AB⊥平面A1ACC1．即可证明A1C⊥AB，从而得证A1C⊥平面ABF．【解答】解：（Ⅰ）∵C1E∥平面ABF，C1E⊂平面A1ACC1，平面ABF∩平面A1ACC1=AF，∴C1E∥FA，∵E是棱A1A的中点，∴F为棱CC1的中点，∴=；…6分（Ⅱ）设AB=AC=a，则AA1=，∵，∴∠FAC=∠A1CC1，∵∠A1CC1+∠A1CA=90°，∴∠FAC+∠A1CA=90°，∴A1C⊥AF，∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1．∵A1C⊂平面A1ACC1，∴AB⊥A1C．∴A1C⊥AB，A1C⊥AF，∴A1C⊥平面ABF．…13分．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知f（x）=alnx++3x﹣4．（1）当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：+++…+＞ln（2n+1）对一切正整数n 均成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围；（2）由（1）知，x＞0时，不等恒成立，则x＞0时，恒成立．令k=1，2，3，…，n，叠加，即可证明结论．【解答】解：（1）当a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+=f'（x）=0，解得x=或x=1因为x＞0，所以x=1．f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）f'（x）=△=a2+12＞0，则方程3x2+ax﹣1=0有两个异号的实根，设这两个实根为x1，x2，且x1＜0＜x2．∴0＜x＜x2时，f'（x）＜0．f（x）在区间[0，x2]上为减函数，f（x2）＜f（0）=0．∴a＜﹣2不符合要求．∴a的取值范围为[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，x＞0时，不等式﹣2lnx+恒成立，∴x＞0时，恒成立，令，得整理得：∴令k=1，2，3…，n，得…，将上述n个不等式的左右两边分别相加得，∴对一切正整数n均成立．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，巧妙利用两小题之间的关系，是解题的关键．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，过椭圆的右边焦点F作互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B和C、D，且M、N分别为AB、CD的中点．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN过定点，并求出这个定点；（3）当AB、CD的斜率存在时，求△FMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由于椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，检验m=0也成立；（3）由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|，化简整理，再令m+=t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，∴b=，c=a，a2﹣b2=c2，∴解得a2=3，b2=2，∴椭圆方程为．（2）证明：设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣y+1，联立椭圆方程，消去x，得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）=m（y1+y2）+2=，由中点坐标公式得M（，﹣），将M的坐标中的m用﹣代换，得CD的中点N（，），k MN=，直线MN的方程为y+=（x﹣），即为y=（x﹣1），令x﹣1=0，可得x=，即有y=0，则直线MN过定点H，且为H（，0）当m=0，即有x=1，可得直线MN也过定点H；（3）解：由（2）可得，△FMN面积为S=|FH|•|y M﹣y N|=（1﹣）•|﹣﹣|=2||=2||可令m+=t（t≥2），由于6t+的导数为6﹣，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S==在[2，+∞）递减，即有t=2即m=1时，S取得最大值，且为．则△FMN面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用．。