九年级数学解直角三角形测试题
1.4解直角三角形1．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水坡AB 长13米，且12tan 5BAE ∠=，则河堤的高BE 为米．122．上小学五年级的小丽看见上初中的哥哥小勇用测树的影长和自己的影长的方法来测树高，她也学着哥哥的样子在同一时刻测得树的影长为5米，自己的影长为1米．要求得树高，还应测得 ．自己的身高3．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B东号表示）4．在Rt ABC △中，90C∠=，5AC =，4BC =，则t a n A = 45． 5．图1是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 ．B CD EA 第14（第18题）（第15题）C（第17题）（第15题）（图1）（图2）6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tan B=21，则CD∶DB= .1：27、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=10cm，D为AB的中点，则CD= cm.58．已知△ABC中，90=∠C，3cosB=2，AC=52，则AB= ．6 9．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米（答案可保留根号）．4+（第10题第1210．如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.811. 如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米．6012. 如图7，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 7.5 米.ABDC 图8图713. 如图8，在ΔABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，则⊙A 的半径长14．如图10，小明在楼顶A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52°，楼底点D 处的俯角为13°．若两座楼AB 与CD 相距60米，则楼CD 的高度约为90.6（sin130.2250︒≈，cos13≈0.7880≈，cos520.6157≈，tan52 1.2799≈解直角三角形选择题15．已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sin α的值为（ ） A ．12B ．2C ．2D ．116． 60cos 的值等于（ A ） A ．21 B ．22 C ．23D ．117．在Rt ABC △中，90C ∠=，BC =AC =A ∠=（ D ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．3013图1018．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是（ D ）A ．24mB ．25mC ．28mD ．30m19．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ C ）A ．247BC ．724D ．1320．在△ABC中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝ DA ．1010 B ．32C ．43D ．1010321．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于CＡ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒8022．如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ B ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m23．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ D ）A ．43B ．34C ．45D ．3524、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ）A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米25．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根（第9长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ C ）A ．11.5米B ．11.75米C ．11.8米D ．12.25米 26．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于 Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒8027．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =， 则sin B 的值是（ C ）A ．23B ．32C ．34D ．4328．已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值 （A ）A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥129．如图3，利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，如果标杆BE 长为1.2米，测得 1.6AB =米，8.4BC =米．则楼高CD 是（ B ） A ．6.3米 B ．7.5米 C ．8米 D ．6.5米30．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 452=，sin 2252=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-， C ABD （第7题E A BC图由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ C ） A ．12- B．2-C．2-D．31．如图，为了测量河两案A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）．A 、a ·sin αB 、a ·tan αC 、a ·cos αD 、αtan a32.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）伴于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（A ）250m.（B ）250。
3 m.（C ）500。
33 m.（D ）250。
2 m.33．在Rt △ABC 中， ∠C =90︒，AB =4，AC =1，则cos A 的值是 【 B 】 AB ．14CD ．４34．在正方形网格中，ABC △的位置如图2所示， 则cos B ∠的值为（ B ）ABCaα(第08题图)A ．12 BCD35、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ C ） A 、4.8米 B 、6.4米 C 、9.6米 D 、10米36．如图2，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =52°，则拉线AC 的长为D A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D.︒526cos 米37、如图，在Ｒt △ABC 中，∠C ＝900,∠A ＝300,E 为AB 上一点且AE ：EB ＝4：1 ，EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则t AN ∠CFB 的值等于（ ）333A 、 、 、 ＢＣＤ图238. 如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ A ） A. 1239．三角形在正方形网格纸中的位置如图2所示，则sin α的值是C A. 43 B. 34 C. 53D. 5440、如图（3）AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sinB=AA 、513B 、1213Ｃ、35Ｄ、4541．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，三边分别为a b c ，，，则cos A 等于（ ）A ．acB ．a bC ．b aD ．b c42．已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ B ）AFEDBC 60图图2αABD C 图3OA B D C 图1O E H FGB D CA精品资料 欢迎下载A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°43．正方形网格中，AOB ∠如图2放置，则cos AOB ∠的值为（ A ）A ．5 B ．5 C ．12 D ．2A B O 图2。
九年级数学-解直角三角形 单元检测试卷(含答案)
解直角三角形 单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA 的值是（ ） A. 34 B. 35 C. 45 D. 432.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（ ）A. 15B. 16C. 18D. 19 3.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示，若测得BE=90m ，EC=45m ，CD=60m ，则这条河的宽AB 等于（ ）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m 4.等腰三角形的周长为20cm ，腰长为x cm ，底边长为y cm ，则底边长与腰长之间的函数关系式为（ ）A. y=20﹣x （0＜x ＜10）B. y=20﹣x （10＜x ＜20）C. y=20﹣2x （10＜x ＜20）D. y=20﹣2x （5＜x ＜10）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡度为i=1：√3 ， 坝高BC=6m ，则坡面AB 的长度（ ）A. 12mB. 18mC. 6√3D. 12√3 6.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30°，B 村的俯角为60°（如图）则A ，B 两个村庄间的距离是（ ）米．A. 300B. 900C. 300 √2D. 300 √37.如图，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米，他继续往前走3米到达点E 处（即CE=3米），测得自己影子EF 的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米 8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（ ）A. 10B. 12C. 14D. 16 9.如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1：2，AC=3 √5 米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（ ）A. 5米B. 6米C. 8米D. （3+ √5 ）米 10.如图，在□ABCD 中，AB ∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于（ ）A. 3−√66B. √3+3√26C. 3+√66D. √3+2√26二、填空题（共10题；共33分）11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________． 13.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的,则x=________,cosα=________.正切值是4315.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=2，那么AB=________316.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.17.tan________ °=0.7667．18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= √3+1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= 12若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．三、解答题（共8题；共57分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 √3米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：√3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= 45, cos53 °= 35, tan53°= 43，√3≈1.732，结果精确到0.1米）24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（√3=1.7）．25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈ 35，tan37°≈ 34，sin21°≈ 925，tan21°≈ 38）27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB= √32+42=5．∴sinA= 35，故答案为：B．【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。
中考数学专题练习 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣103．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为m．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为cm．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．22．比较大小：sin33°+cos33°1．（可用计算器辅助）23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．三、解答题24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．25．计算：．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）27．计算：．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米（精确到0.1米）．（参考数据：tan55°=1.4281，tan35°=0.7002）．32．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60度．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（精确到0.1米）33．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；（2）求AD的长；（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．34．计算：35．计算：（﹣2）3+（）﹣1×cos60°﹣（1﹣）0．36．计算：﹣22+（）0+2sin30°．37．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）38．如图，有两棵树，一棵高14m，另一棵高10m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？39．如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i=1：2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长．40．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040，cot22°=2.4751．41．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）42．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．43．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC 的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值，即可判断．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC是直角三角形，其中∠C是直角．∴sinA=，cosB=，tanA=，tanB=，故选A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10【考点】等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．【解答】解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x 的值是解题的关键．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=；因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，错误的是b=c•cosB．故选A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】垂线段最短；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4，然后在Rt△ABC中，利用CA=4，BC=8可以求出sinB．【解答】解：如图，∵CA切⊙O于A，∴CA2=CD•CB，又CD=2，BD=6，∴CA=4．在Rt△ABC中，CA=4，BC=8，故sinB==．故选A．【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】由勾股定理易得AC的值，进而根据三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12．则tanA==．故选A．【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，∴AB=6（+1）．故选A．【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．【解答】解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD=AB•sin60°=50；BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故选D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】运用特殊角三角函数值计算．【解答】解：原式===．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为18 m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据AB=AE+EF+BF 即可计算AB，即可解题．【解答】解：如右图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，DE=CF=4m坡度===，∴AE=BF=6m，∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．故答案为 18．【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求AE、BF的长是解题的关键．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为210 cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答．【解答】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．∵坡度!=BD：DC=1：4.5，∴DC=270，∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210（cm）．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为 5.1 m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】树高等于CD与DE的和，利用三角函数求CD长即可．【解答】解：∵∠CAD=30°，AD=6．∴CD=2．∴树的高=1.6+2≈5.1（米）．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 1 ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠ABO==1．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】由题意得，AC：BC：AC=3：4：5，即可求得sinA的值．【解答】解：设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理可得AB=5x，∴sinA=BC：AB=．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点B，C除外）．BE，CE的长分别为两个小正方形的边长．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题；开放型．【分析】①使得a2+b2=52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．【解答】解：①要使得a2+b2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解．22．比较大小：sin33°+cos33°＞1．（可用计算器辅助）【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题．【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与1比较即可．【解答】解：∵sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384＞1．故答案是＞．【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后3位．23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．三、解答题24．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．25．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．27．计算：．【考点】实数的运算．【分析】按照实数的运算法则依次计算．【解答】解：原式==2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算．注意（﹣1）2010=1，|﹣|=，（π﹣2010）0=1．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB，即AB=﹣，求得CD 即可．【解答】解：如图，依题意得∠CBD=60°，∠CAD=45°，AB=20m，设CD=xm，则AB=﹣，20=x﹣x，解得：x=（30+10）m，答：大楼CD的高为（30+10）m．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】本题是一个直角梯形的问题．作CD⊥AB于点D，把求AB的问题转化求AD的长，从而在△ACD中利用三角函数求解．【解答】解：如图，CD=20，∠ACD=60°．在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴=，∴AD=20≈34．又∵BD=1.5，∴塔高AB=34+1.5=35.5（米）．【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此。
初三数学解直角三角形试题
初三数学解直角三角形试题1.如下图，表示甲、乙两山坡的情况, _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)【答案】乙【解析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可．甲的垂直距离为：，坡度为：乙的坡度为：∵∴乙坡更陡．【考点】解直角三角形的应用点评：勾股定理的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.2.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，则tanB=_____。
【答案】【解析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，过A作AD⊥BC于D，则BD=8，在Rt△ABD中，AB=10，BD=8，则所以【考点】锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.3.升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)【答案】8+1.5【解析】先根据仰角的正切函数求得旗杆超过该同学双眼的高度，再加上双眼离地面的高度即可. 由题意得旗杆的高度米.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.4.李红同学遇到了这样一道题：tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】D【解析】由tan(α+20°)=1可得tan(α+20°)，根据特殊角的锐角三角函数值即可得到α+20°=30°，从而求得结果.∵tan(α+20°)=1∴tan(α+20°)∴α+20°=30°∴α=10°故选D.【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为( )A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．1.8sin 80°m D．m【答案】D【解析】根据三角函数的定义结合图形的特征即可求得结果.由题意得∠ACB=80°则挡光板的宽度AC=m故选D.【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，需特别注意.6.计算：cos30°+sin45°；【答案】【解析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果.原式【考点】特殊角的锐角三角函数值点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.7.根据下列条件，求出Rt△ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角.（1）BC=8，∠B=60°；（2）AC=，AB=2.【答案】（1）∠A=30°，AB=16，AC=8；（2）∠A=∠B=45°，BC=【解析】根据特殊角的锐角三角函数值及勾股定理即可求得结果.（1）∵∠B=60°，∠C=90°∴∠A=30°∵，即∴AC=8∴；（2）∵AC=，AB=2∴∴∠A=∠B=45°.【考点】解直角三角形点评：计算能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长.【答案】16，8【解析】在Rt△ACD中，根据∠CAD的余弦函数即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，从而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根据∠B的正弦函数即可求得AB的长，从而求得BC的长.在Rt△ACD中，∵cos∠CAD===，∠CAD为锐角.∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.∴∠B=90°－∠CAB=30°.∵sinB=，∴AB===16.又∵cosB=，∴BC=AB·cosB=16·=8.【考点】解直角三角形点评：解直角三角形的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.9.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m。
中考数学专题练习解直角三角形50题
解直角三角形50题一、选择题：1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.10 米C.15 米D.5 米2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A. B. C. D.3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A.大于B.小于C.大于D.小于6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（）A.1B.C.D.7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A.2mB.2mC.(2﹣2)mD.(2﹣2)m8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（）A. B. C. D.10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米211.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（）Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90°12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（）A.0.4B.C.0.6D.0.813.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A.22.48B.41.68C.43.16D.55.6314.2sin60°的值等于（）A.1B.C.D.15.在Rt△ABC中，∠ABC=90°、tanA=，则sinA的值为（）A. B. C. D.16.已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°17.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端O点30米的B处，测得树顶4的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A.米B.30sinα米C.30tanα米D.30cosα米18.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=4,则sinA的值为（）A. B. C. D.19.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A.kmB.kmC.kmD.km20.如图，要焊接一个等腰三角形钢架,钢架的底角为35°,高CD长为3米,则斜梁AC长为（）米．A. B. C.3sin35°D.二、填空题：21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则sin= ．22.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）23.如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）24.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．25.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．26.如图，李明在一块平地上测山高，现在B出测得山顶A的仰角为30°，然后再向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为60°，那么山高AD为米．27.如图,△ABC中,DE是BC的垂直平分线,DE交AC于点E,连接BE,若BE=5,BC=6,则sinC= ．28.某同学沿坡比为1：的斜坡前进了90米，那么他上升的高度是米．29.如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为米.30.同角三角函数的基本关系为：(sinα)2+(cosα)2=1, =tanα.利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知tanα=2,则= ．31.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan ∠OBC为32.如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处．使斜边CD∥AB，则∠a的余弦值为__________．33.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点.△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosC= ．34. (1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=，tanβ=，则ɑ+β= ；(2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON，使得∠MON=ɑ-β.此时ɑ-β= 度.35.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为．36.在△ABC中，∠C=90°，若BC=5，AB=13，则sinA= ．37.如图所示的半圆中，AD是直径，且AD=3，AC=2，则sinB的值是．38.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF.以下结论：(1)△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为12.其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．39.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为．40.如图,等腰△ABC中,AB=AC，tan∠B=，BC=30,D为BC中点,射线DE⊥AC.将△ABC绕点C顺时针旋转（点A的对应点为A′,点B的对应点为B′）,射线A′B′分别交射线DA、DE于M、N.当DM=DN时,DM长为．三、解答题：41.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=，求sinC的值．42.如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°,求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）43.先化解,再求值:，已知，.44.如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小刘在与BC相距24m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小刘的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）45.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1．6m，CD与地面DE 的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0．8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）46.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．47.如图,小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数）48.如图，某居民小区有一栋居民楼，在该楼的前面32米处要再盖一栋30米的新楼，现需了解新楼对采光的影响，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为37°时，求新楼的影子在居民楼上有多高？（参考数值：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）49.如图，在东西方向的海岸线l有一长为2km的码头AB，在码头的西端A的正西29km处有一观测站P，某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于P的南偏西30°，且与P相距30km 的C处；经过1小时40分钟，又测得该轮船位于P的南偏东60°，且与P相距10的D 处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么该轮船能否正好行至码头AB靠岸？请说明理由．50.在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由参考答案1.A2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.D9.D10.D11.C12.D13.B14.C15.A16.B17.C18.C19.B20.D21.答案为：0.5．22.答案为：（5+5）．23.答案为：10．24.答案为：。
九年级数学第一章《解直角三角形》测试卷(含答案)
第一章《解直角三角形》测试卷班级 姓名 得分一、选择题（每小题4分;共40分）1．在Rt △ABC 中;如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的51;那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A ．都缩小51B ．都不变C ．都扩大5倍D ．无法确定 ∠A 是锐角;且sinA=32;那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° △ABC 中;∠C=90°;tanA=43;BC=8;则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 4. 如图所示;为了加快施工进度;要在小山的另一边同时施工;从AC 上的一点B;取∠ABD=1450; BD=500m;∠D=550; 要A 、C 、E 成一直线;那么开挖点E 离点D 的距离是 ( )A. 500sin550mB. 500cos550mC. 500tan550mD. 500cot550m α>30°时;则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于326. 身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛;三人放出风筝的线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的）;则三人所放的风筝中 ( )同学甲 乙 丙 放出风筝线长（m ） 10010090线与地面夹角040 015 060A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低 D. 丙的最低7．A 、B 、C 是△ABC 的三个内角;则2sinBA +等于（ ） A ．2cos CB ．2sinC C ．C cosD ．2cos BA +8．在Rt △ABC 中;∠C ＝900;32cos =B ;则a ∶b ∶c 为（ ）A ．2∶5∶3B ．2∶5∶3C ．2∶3∶13D ．1∶2∶3 9．如图;小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上;量得CD =8米;BC =20米;CD 与地面成30º角;且此时测得1米杆的影长为2米;则电线杆的高度为( )A ．9米B ．28米C ．()73+米 D ．()3214+米 Rt △ABC 中;∠C ＝900;∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ;且满足022=--b ab a ;则tanA 等于（ ）A 、1B 、251+ C 、251- D 、251± 二、填空题（每题5分;共30分） 1. 在Rt △ABC 中;∠ACB=900;SinB=27则cosB . 2．旗杆的上一段BC 被风吹断;顶端着地与地面成300角;顶端着地处B 与旗杆底端相距4米;则原旗杆高为_________米．3．在坡度为1:2的斜坡上;某人前进了100米;则他所在的位置比原来升高了 米． 4．已知△ABC 中;AB ＝24;∠B ＝450;∠C ＝600;AH ⊥BC 于H ;则CH ＝ ．5. 平行四边形ABCD 中;两邻边长分别为4cm 和6cm;它们的夹角为600;则较短的对角线的长为 cm 。
九年级数学解直角三角形与图形的相似综合过关测试
解直角三角形过关自测卷(90分钟 100分)一、选择题（每题3分，共30分）1．图1，P 是角α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12,5），则tan α等于（ ） A.135 B.1312 C.125 D.512图1 图2 图32．在直角三角形ABC 中，各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值（ ）A.都扩大为原来的2倍B.都缩小为原来的21 C.都不变 D.无法确定3．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =BC ，点D 在AC 上，∠CBD =30°，则DCAD 的值为（ ）A.3B.22C. 3－1D.不能确定 4．1，则菱形的四个角分别为（ ）A.30°、150°、30°、150°B.45°、135°、45°、135°C.60°、120°、60°、120°D.不能确定5．如图2，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4 m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A.5 mB.6 mC.7 mD.8 m6．已知∠A，∠B是Rt△ABC的两个锐角，则方程tan A·x²－2x+tan B=0( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定7．如图3，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶20 n mile到达C地，则A，C两地相距（）A.30 n mileB.40 n mileC.203n mileD.103n mile 8．（2012，四川广安,有改动）如图4，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i=1BC＝50 m，则迎水坡面AB的长度是（）A.100 mB.1003mC.150 mD.503m图4 图5 图69．如图5所示，学校的保管室里，有一架5 m长的梯子OC斜靠在墙上，此时梯子OC与地面所成的角为45°，如果梯子底端O固定不动，顶端C靠到对面墙上的C′点，此时梯子OC′与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为（）A.25（2+1）mB.25（3+2）mC.32mD.25（3+1）m10．（2013,广州）如图6所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tan B 等于（ ）A ．23 B.22 C.411D.55二、填空题（每题3分，共24分）11．（2012，湖北孝感）计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________. 12．在△ABC 中，∠A ,∠B 都是锐角，且(cos A －21)²+|1－tan B |=0,则∠C =__________. 13．若tan α=5,则ααααcos 3sin 2cos -sin +=__________.14．如图7，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因春季受旱缺水的王奶奶家（B 处），AB =80 m ，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是________m.图7 图8 图9 图10 15．（2014，厦门莲花中学模拟）如图8，△ABC 中，∠B =30°， ∠A =15°，若BC 边上的高为2，则BC =__________.16．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sin A =21,tan B =3,AB =10,则△ABC 的面积为___________.17．全市动员修海堤抗台风，某海堤的横断面是梯形，如图9所示，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度i=1∶1.2，堤顶宽DC 为3 m，堤高DF为10 m，则堤底宽AB约为________m.（精确到0.1 m)18．(2013，荆门)如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A=53，则DE=________.三、解答题（19题4分，20题6分，24题8分，其余每题7分，共46分）19．（1）计算：121-⎪⎭⎫⎝⎛+8+|1－2|0－2sin60°·tan60°；(2)计算：sin²30°+cos²45°+2sin60°·tan45°.20．（2013，昭通）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图11所示）．小船从P 处出发，沿北偏东60°方向划行200 m到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1 m）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73）图1121．小明将一副三角尺如图12所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD=2，求AC的长.图1222．（2013,贵阳）在一次综合实践活动中，小明要测某地一座古塔AE 的高度，如图13，已知塔基AB的高为4 m，他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°，然后沿AC方向走5 m到达D点，又测得塔顶E 的仰角为50°．（人的身高忽略不计）（1）求AC的距离；（结果保留根号）图13（2）求塔高AE．（参考数据：tan50°≈1.2，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，3≈1.73，2≈1.41，结果保留整数）23．如图14，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10 n mile到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离.（2≈1.4, 3≈1.7,结果保留整数）图1424．某过街天桥的截面图为梯形，如图15所示，其中天桥斜面CD 的坡度i=1∶3，CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45.（1）求过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB.（结果精确到0.01 m）图1525．阅读下列材料，并解决后面的问题.如图16所示，在锐角三角形ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b ,c .过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则sin B =c AD ,sin C =b AD，即AD =c ·sin B ,AD =b ·sin C .于是c ·sin B =b ·sin C ,即CcB b sin sin =,同理有,sin sin sin sin B b BAC a BAC a C c =∠∠=，所以CcB b BAC a sin sin sin ==∠. 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.图16（1）在锐角三角形中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，若已知三个元素，a ，b ，∠A ，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c ，∠B ，∠C .请你按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由a ，b ，∠A −−−→−用关系式__________求出∠B ； 第二步：由∠A ，∠B −−−→−用关系式__________求出∠C ； 第三步：由__________−−−→−用关系式__________求出c ；（2）一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮北偏西30°方向上，随后货轮以28.4 n mile/h 的速度按北偏东45°的方向航行，0.5 h 后到达B 处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°方向上（如图17所示），利用上面的结论求此时货轮到灯塔A的距离AB.（结果精确到0.1 n mile，参考数据：sin40°≈0.643,sin65°≈0.906,sin70°≈0.940,sin75°≈0.966)图17参考答案及点拨一、1．C 2．C 3．C4．C 点拨：设较大内角为α，则tan2α =3,所以2α=60°,所以α=120°.5．A 6．B 点拨：因为b 2－4ac =（－2）2－4·tan A ·tan B =4－4×1=0，故方程有两个相等的实数根.7．C 8．A 9．A10．B 点拨：过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，如答图1，易知四边形ABFD 是平行四边形，∴BF =AD =6，DF =AB =4，∵AB ⊥AC ,DF ∥AB ，∴DF ⊥AC ，又∵CA 是∠BCD 的平分线，∴CD =CF ，∠DCA =∠ACB ，又∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ，∴∠DAC =∠DCA .∴DC =DA =6，∴CF =6，∴BC =BF +CF =12.易求得AC =82,∴tan B =AB AC =428=22. 答图1二、11．1 点拨：cos 245°+tan30°·sin60°=222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+33×23=21+21=1. 12．75°13．83 点拨：原式=3cos sin 2cos sin +-αααα=3tan 2tan +-αα=3525＋－=83.14．4015．32－2 点拨：设BC 边上的高为AD ，由题意知，AD =2，∠ACD =∠B +∠BAC =45°，∴tan 45°=CD AD =CD 2=1,∴CD =2, ∴tan B =BD AD =22－BC =33，解得BC =23－2. 16．2325 点拨：在该题中，并没有直接指明△ABC 是直角三角形，所以需先判断其为直角三角形，然后才能利用解直角三角形的知识解题.17．32.318．415 点拨：由题易证△AED ∽△ABC ，在△ABC 中，BC =6,sin A =53，可求得AB =10，AC =8.利用相似三角形的性质可求得DE 的长. 三、19．解：（1）原式=2+22+1－2×23×3=2+22+1－3=22. （2）原式=221⎪⎭⎫ ⎝⎛+222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2×23×1=41+21+26=43+26. 20．解：过P 作PC ⊥AB 于C ，如答图2，在Rt △APC 中，AP =200 m ，∠ACP =︒90，∠P AC =60°.∴PC =200×sin60°=200×23=1003（m ）.∵在Rt △PBC 中，sin ︒37=PB PC ,∴PB =︒37sin PC ≈6.073.1100⨯≈288（m ）. 答：这时小亮与妈妈相距约288 m.答图221．解：在Rt △BCD 中，∠BCD =45°，CD =2，cos ∠BCD =BC CD ,∴BC =BCD CD ∠cos =︒45cos 2=22.在Rt △ABC 中，∠BAC =60°，sin ∠BAC =AC BC ,∴AC =BAC BC ∠sin =︒60sin 22=2322=364.∴AC 的长为364. 点拨：△ABC 和△BCD 都是有特殊锐角的直角三角形，所以利用特殊角的三角函数值便可求得AC 的长.22．解：（1）在Rt △ABC 中，AB =4 m ，∠BCA =30°，由tan ∠BCA =ACAB ,得AC =BCA AB ∠tan =︒30tan 4=334=43（m ）. ∴AC 的距离为43 m.（2）设AE=x m ，在Rt △AED 中，由tan50°=ADx ，得AD =︒tan50x ≈1.2x （m ）， ∵CD =AD －AC =5，∴1.2x －43≈5,解得x ≈14， ∴塔高AE 约为14m.23．解：由题意知：∠BAC =53°－23°=30°，∠C =23°+22°=45°.过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ,则CD =BD .∵BC =10 n mile ，∴CD =BD =BC ·cos45°=10×22=52 (n mile)，∴AD =325332530tan ⨯==︒BD ≈5×1.4×1.7=11.9(n mile).∴AC =AD +CD ≈11.9+25≈11.9+7.0=18.9≈19（n mile ）.答：此时小船与码头之间的距离约为19 n mile.24．解：（1）在Rt △AGB 中,∠ABG =45°,所以AG =BG .所以AB 的坡度为AG ∶BG =1∶1.（2）在Rt △DEC 中,tan C =33=EC DE ,所以∠C =30°.又因为CD =10 m, 所以DE =CD ·sin30°=5 m.（3）由（1）（2）知,AG =BG =DE =5 m,在Rt △AFG 中,∠AFG =30°,tan ∠AFG =FGAG ,即5533-=FB .所以FB =35－5≈3.66 （m ）. 答：此改建需占路面的宽度FB 约为3.66 m.25．解：（1）Bb A a sin sin =;∠A +∠B +∠C =180°；a ,∠A ，∠C ；Cc A a sin sin = （2）根据题意，得∠ABC =180°－45°－70°=65°，∠A =180°－（30°+45°+65°）=40°，BC =0.5×28.4=14.2（n mile ）.因为︒=︒40sin 2.1475sin AB ，所以AB ≈643.0966.02.14⨯≈21.3（n mile ），所以此时货轮到灯塔A 的距离AB 约为21.3 n mile.图形的相似过关自测卷(90分钟100分)一、选择题(每题3分,共24分)1．已知：a=0.2，b=1.6，c=4，d=1，则下列各式中正确的是（）2A.a∶b=c∶dB.a∶c=d∶bC.a∶b=d∶cD.a∶d=c∶b 2．下列命题中：①所有的等腰三角形都相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③四个角对应相等的两个梯形相似；④所有的正方形都相似，正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.43．如图1，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为（）A.8 cmB.20 cmC.3.2 cmD.10 cm 4．如图2，已知△ABC的BC边上有两点D、E，且△ADE是正三角形，则下列条件不一定能使△ABD与△AEC相似的是（）A.∠BAC=120°B.AC²=EC·EBC.DE²=BD·ECD.∠EAC+∠B=60°图1 图2 图35．如图3，AD是△ABC的高，EF⊥BC，F为垂足，E是AB边的中点，DC=1BF，若BC=10，则DC的长是（）2A.310B.25C.2D. 45 6．如图4，在平行四边形ABCD 中，过点B 的直线BF 与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对图4 图5 图67．如图5，小东用长为3.2 m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点相距8 m ，与旗杆相距22 m ，则旗杆的高为（ ）A.12 mB.10 mC.8 mD.7 m8．（2013，新疆）如图6，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC = 60°，BC =2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.2B.2.5或3.5C.3.5或4.5D.2或3.5或4.5二、填空题(每题3分,共24分)9．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________.10．如图7，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，BDAD =2，则ADE S △︰ABC S △=_________．图7 图8 图9 图1011．如图8，△ABC 中，点D 在AB 上，请填上一个你认为适合的条件_______________，使得△ACD ∽△ABC ．12．（2013，淄博）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图9，∠A =36°，AB =AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有___________条．13．如图10，光源P 在横杆AB 的上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，已知AB =2 m ，CD =6 m ，点P 到CD 的距离是2.7 m ，那么AB 与CD 间的距离是__________.14．如图11，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =90°，AD ∥BC ，AD =4，AB =5，BC =6，点P 是AB 上一个动点，当PC +PD 的和最小时，PB 的长为____________．图11 图12 图1315．（2013，南通）如图12，在□ABCD中，AB=6 cm，AD=9 cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂cm，则EF+CF的长为_________cm．足为G，BG16．（2013，苏州）如图13，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为___________．三、解答题(23题10分,其余每题7分，共52分)17．如图14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，求AB∶BC的值．图1418．（2013，怀化）如图15，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°．求证：△ABC∽△DEF．图1519．如图16，已知△ADE∽△ABC，∠A=70°，∠B=45°，AE=3cm，EB=4cm，AD=4cm，求∠AED的度数及AC的长．图1620．（2013，滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正视图如图17所示，其中BA=CD，BC=20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm，过B点作BH⊥AD，分别交EF，AD于M，H，过C点作CG⊥AD，分别交EF，AD于N，G．为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）．图1721．如图18，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）BH=CG；图18（2）FC ²=BF ·GF ；（3）22AB FC =GB GF ．22．如图19，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB 的顶点O 、A 、B 均在格点上，且O 是直角坐标系的原点，点A 在x 轴上． （1）以O 为位似中心，将△OAB 放大，使得放大后的△11B OA 与 △OAB 对应线段的比为2∶1，画出△11B OA （所画△11B OA 与△OAB 在原点两侧）；图19（2）求出线段11B A 所在直线对应的函数关系式．23．（2013，遵义）如图20，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1 cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2 cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？．图20（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由参考答案及点拨一、1．C 点拨：∵a =0.2，b =1.6，c =4，d =21，且0.2×4=1.6×21，∴ac=bd ,∴a ∶b =d ∶c ,故选C ．2．B 点拨：①所有的等腰三角形形状不一定相同，故不一定都相似，故此选项错误；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似，根据已知可得出三角形两对对应角相等，故此选项正确；③在梯形内，做一腰的平行线，得一小梯形，显然小梯形与原梯形不相似，故此选项错误；④所有的正方形的四个角都是直角，对应边成比例，所以所有的正方形都相似，此选项正确，故正确的有2个，故选B ． 3．B 点拨：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，位似比为2∶5，三角尺的一边长为8 cm ，∴投影三角形的对应边长为：8÷52=20（cm ），故选B ．4．B 点拨：本题在根据各选项中条件判定△ABD 与△AEC 相似时，易不理解判定定理2中“两边成比例且夹角相等”这一条件而出错. 5．C 点拨：∵AD 是△ABC 的高，EF ⊥BC ，F 为垂足，E 是AB 边的中点,∴EF ∥AD ，∴BF=DF ,∵DC =21BF ，BC =10,∴25BF =10,∴BF =4,∴DC =2．故选C ．6．B 点拨：题图中相似三角形有△ABC ∽△CDA ，△AGE ∽△ABC ，△AFE ∽△CB E ，△BGE ∽△BAF ，△AGE ∽△CDA 共5对，理由是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=CD ，∠D =∠ABC ，∴△ABC ≌△CDA ，即△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，∴△AGE ∽△ABC ∽△CDA ，∵GE ∥BC ，AD ∥BC ，∴GE ∥AD ，∴△BGE ∽△BAF ，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，故选B ． 7．A 点拨：如答图1，∵ED ⊥AD ，BC ⊥AC ，∴ED ∥BC ，∴△AED∽△ABC ，∴BCED =AC AD，而AD =8 m ，AC=AD+CD =8+22=30（m ），ED =3.2 m ，∴BC=AD AC ED ∙ =8302.3⨯=12（m ），∴旗杆的高为12 m ，故选A ．答图18．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =2 cm ，∴AB =2BC =4 cm ，∵BC =2 cm ，D 为BC 的中点，动点E 以1 cm/s 的速度从A 点出发，∴BD =21BC =1 cm ，BE=AB －AE ，若∠BED =90°，当A →B 时，∵∠ABC =60°，∴∠BDE =30°，∴BE =21BD =12cm ，∴t =3.5，当B →A 时，t =4+0.5=4.5．若∠BDE =90°，当A →B 时，∵∠ABC=60°，∴∠BED =30°，∴BE=2BD =2 cm ，∴t =4－2=2，当B →A 时，t =4+2=6（舍去）．综上可得：t 的值为2或3.5或4.5，故选D ．二、9．28 点拨：设另一个多边形的周长是x ，依题意，有x ∶（1+2+3+4+5+6）=8∶6，解得x =28，故另一个多边形的周长是28． 10．4∶9 点拨：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，又∵AD ∶DB =2∶1，∴AD ∶AB =2∶3，∴S △ADE ∶S △ABC =4∶9．11．∠2=∠ACB 点拨：要使△ACD ∽△ABC ，已知有一对公共角，则可添加∠2=∠ACB 或∠1=∠B ，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，答案不唯一．12．3 点拨：如答图2，过P 点作PD ∥BC 交AC 于D ，过P 点作PE ∥AC ，交BC 于E ，当PD ∥BC 时，△APD ∽△ABC ；当PE ∥AC 时，△BPE ∽△BAC ；连接PC ，∵∠A =36°，AB=AC ，点P 在AC 的垂直平分线上，∴AP=PC ，∠ABC=∠ACB =72°，∴∠ACP =∠P AC =36°，∴∠PCB =36°，∴∠B =∠B ，∠PCB =∠A ，∴△CPB ∽△ACB ，故过点P 的△ABC 的相似线最多有3条，故答案为3．答图213．1.8 m 点拨：∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，设CD 到AB 距离为x m ，则7.27.2x －=CD AB ，又∵AB =2 m ，CD =6 m ，∴7.27.2x －=31，∴x =1.8，故答案为1.8 m ．14．3 点拨：延长CB 到E ，使EB =CB ，连接DE 交AB 于P ．则DE 就是PC+PD 的和的最小值，如答图3．∵AD ∥BE ，∴∠A =∠PBE ，∠ADP =∠E ，∴△ADP ∽△BEP ，∴AP ∶BP =AD ∶BE =4∶6=2∶3，∴PB =23P A ，又∵P A+PB=AB =5，∴PB =53AB =3．答图315．5 点拨：∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ；又∵AD ∥BC ，∴∠BEA =∠DAE =∠BAE ，∴AB=BE=6 cm ，∴EC =9－6=3（cm ），∵BG ⊥AE ，垂足为G ，∴AE =2AG ．在Rt △ABG 中，∵∠AGB =90°，AB =6 cm ，BG =42 cm ，∴AG =2BG ＡＢ—２ =2 cm ，∴AE =2AG =4 cm ；∵EC ∥AD ，∴EF AE EF + =AD EC =CD FC FC + =93=31，∴4+EF EF =31，6+FC FC =31,解得：EF =2 cm ，FC =3 cm ，∴EF+CF 的长为5 cm ，故答案为5．16．（2，4－22） 点拨：∵四边形OABC 是边长为2的正方形，∴OA=OC =2，OB =22，∵QO=OC ，∴BQ=OB －OQ =22－2，∵AB ∥OC ，∴△BPQ ∽△OCQ ，∴OC BP =OQBQ，即2BP =2222—，解得BP =22－2，∴AP=AB －BP =2－（22－2）=4－22，∴点P 的坐标为（2，4－22），故答案为（2，4－22）．三、17．解：如答图4，过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，∠BA C=120°，∴∠B =∠C =30°，BC =2BD ，设AD=x ，则AB =2AD =2x ，根据勾股定理，BD =22AD AB — =()222x x — =3x ，∴BC =23x ，∴AB ∶BC =2x ∶23x =1∶3．答图418．证明：在△DEF 中，∠D =180°－∠E －∠F =180°－79°－54°=47°，∵∠C =∠F =54°，∠A =∠D =47°，∴△ABC ∽△DEF . 19．解：∵∠A =70°，∠B =45°，∴∠C =180°－∠A －∠B =180°－70°－45°=65°，∵△ADE ∽△ABC ，∴∠AED =∠C =65°；AE ∶AC=AD ∶AB ，而AE =3 cm ，EB =4 cm ，AD =4 cm ，∴AB=AE+EB =4+3=7（cm ）,∴AC =473 =421（cm ）．∴∠AED 的度数为65°，AC 的长为421cm ． 20．解：由题意得，MH =8 cm ，BH =40 cm ，则BM =32 cm ，易知四边形ABCD 是等腰梯形，AD =50 cm ，BC =20 cm ，∴AH =21（AD －BC ）=15 cm ．∵EF ∥AD ，∴△BEM ∽△BAH ，∴AH EM =BHBM ，即15EM =4032，解得：EM =12 cm ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，且EF ∥AD ，∴EF=EM+NF+BC =2EM+BC =44 cm ． 答：横梁EF 应为44 cm ．21．证明：（1）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∵在正方形ABCD 中，∠ABH +∠CBG =90°，∠CBG +∠BCG =90°，∠BAH +∠ABH =90°，∴∠BAH =∠CBG ，∠ABH =∠BCG ，AB=BC ，∴△ABH ≌△BCG ，∴BH=CG .（2）∵∠BFC =∠CFG ，∠BCF =∠CGF=90°，∴△CFG ∽△BFC ，∴BF FC =FCGF，即FC 2=BF ·GF ； （3）∵BF ⊥AE ，CG ∥AE ，∴CG ⊥BF ，∴∠CBG+∠BCG =90°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD =90°，∴∠CBG +∠BFC =90°，∴∠BCG =∠BFC ,∵∠CBG =∠FBC ,∴△BCG ∽△BFC ，∴BFBC=ＢＣＢＧ,BC 2=BG ·BF ，∵AB =BC ，∴AB 2=BG ·BF ，∴22AB FC =BF BG BF FG ⋅⋅，即22ABFC =GB GF．22．解：（1）如答图5，△OA 1B 1为所求作的三角形．答图5（2）由（1）可得点A 1、B 1的坐标分别为A 1（4，0）、B 1（2，－4），故设线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为y=kx+b （k ≠0）， ∴⎩⎨⎧+=+=,24,40b k b k － 解得⎩⎨⎧==.82－，b k故线段A 1 B 1所在直线对应的函数关系式为：y =2x －8． 23．解：∵如答图6，答图6在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4 cm ，BC =3 cm ．∴根据勾股定理，得AB =22BC AC — =5 cm ．（1）以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：①当△AMP ∽△ABC 时，AB AM =AC AP ，即54t —=425t —，解得t =23；②当△APM ∽△ABC 时，AC AM =AB AP ，即44t —=525t—，解得t =0（不合题意，舍去），综上所述，当t =23时，以A ，P ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似.（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．如答图6，过点P作PH ⊥BC 于点H ．则PH ∥AC ，∴△BPH ∽△BAC ，∴AC PH =BABP，即4PH =52t ，∴PH =58t cm ，∴S =S △ABC －S △BPN =21×3×4－21×（3－t ）·58t =54(t －23)2+521（0＜t ＜2.5）．∵54＞0，∴S 有最小值．当t =23时，S 最小值=521．答：当t =23时，四边形APNC 的面积S 有最小值，其最小值是521cm 2.。
九年级数学(下)第一章解直角三角形测验卷(含答案)
第一章 解直角三角形（一）班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共30分。
）1.（2013·天津中考）tan 60︒ 的值等于（ ）A.1B.2C.3D.2 2.（2013·重庆中考）计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.53.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34B.34C.35D.454.在ABC △中，90C =︒∠，如果2,1AB BC ==，那么sin A 的值是( ) A.21 B.55C.33 D.23 5.在ABC △中，90C =︒∠，5,3,AB BC ==则sin B = ( )A. 34B. 53 C. 43 D. 456.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 8.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）阶段性学业评价试卷九年级(下)数学 第7题图第3题图ACBA. 5B.37C. 7D. 389.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12B ．2C ．52 D ．55二、填空题（每题3分，共24分）11.（2013·广东中考）在Rt △ABC 中， 90,3,4=︒==ABC AB BC ∠，则sin A =______. 12.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）14.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_ ．17.如图，在四边形ABCD 中，609069=︒==︒==A B D BC ,CD ∠,∠∠,,则AB =__________. 18.如图，在△ABC 中，已知324530,∠,∠AB B C ==︒=︒，则AC =________． 三、解答题 （本题共有7小题，共46分）ABC第9题图ACB第18题19．（5分）计算：(1)()42460sin 45cos 22+- ； （2）2330tan 3)2(0-+--.20．（5分）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若12sin 13A =,求cosA, sinB, cosB.21．（6分）等腰梯形的一个底角的余弦值是223，腰长是6，上底是22求下底及面积22．（6分）某工程队修建一条高速公路,在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB(如图),为了预算造价,应测出隧道AB 的长,为此,在A 的正南方向1500米的C 处,测得∠ACB=620,求隧道AB 的长.(精确到1米,供选用的数:sin620=0.8829,cos620=0.4695,tan620=1.881,cot620=0.5317)23．（6分）已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。
初中数学专题《解直角三角形》测试题
初中数学专题《解直角三角形》测试题1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ）A ．53 B. 54 C. 43 D. 553.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ） A ．12 BCD4、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=15.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）（A ） 600（B ） 900（C ） 1200（D ） 15006.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设A 7..如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214Ｃ．km 7 Ｄ．km 148.在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ）（A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：39.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为（ ）A ．12秒．B ．16秒．C ．20秒．D ．24秒．10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A.αsin 1 B. αcos 1 C. αsin D. 1 二、填空11.04sin 45(3)4︒+-π+-= 12. 已知：tanx=2 ，则sinx+2cosx2sinx －cosx＝____________.13.锐角A 满足2 sin(A-150则∠A= .14. 当x ＝ 时，xx xx cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ）15. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，53s i n =A ，36=++c b a ，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。
初三数学解直角三角形试题答案及解析
初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。
中考数学关于解直角三角形的18道经典题
中考数学关于解直角三角形的18道经典题1、如图，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米） 解：延长CD 交AB 于G ，则CG=12（千米）依题意：PC=300×10=3000（米）=3（千米） 在Rt △PCD 中： PC=3，∠P=60° CD=PC ·tan ∠P =3×tan60°=33∴12-CD=12-33≈6.8（千米） 答：这座山的高约为6.8千米.2、如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡 角∠BAD=60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈).答案：(10分)解：过Ｂ作BE ⊥AD 于E在Rt △ABE 中,∠BAE= 60, ∴∠ABE= 30 ∴AE ＝21ＡＢ31032021=⨯=∴BE ()()303103202222=-=-=AE AB∴在Rt △BEF 中, ∠Ｆ＝ 45, ∴EF ＝BE ＝30 ∴ＡＦ＝ＥＦ－ＡＥ＝３０－310∵732.13=， ∴AF ＝12.68≈133、施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB =4米，斜面距离BC =4.25米，斜坡总长DE =85米．参考数据cos20°≈0.94， sin20°≈0.34， sin18°≈0.31， cos18°≈0.95AB12千米P C D G60°（1）求坡角∠D 的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?解：(1) cos ∠D =cos ∠ABC =BC AB =25.44≈0.94， …………………………………3分 ∴∠D ≈20°． ………………………………………………………………………1分 （2）EF =DE sin ∠D =85sin20°≈85×0.34=28.9(米) ， ……………………………3分 共需台阶28.9×100÷17=170级． ………………………………………………1分4、在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图， 若 60ABC 10,AC 4,AB =∠==, 求B 、C 两点间的距离.解：过A 点作AD ⊥BC 于点D ， …………1分在Rt △ABD 中，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°. …………2分 ∵AB=4,∴BD=2, ∴AD=23. …………4分 在Rt △ADC 中，AC=10，∴CD=22AD AC -=12100-=222 . …………5分 ∴BC=2+222 . …………6分 答：B 、C 两点间的距离为2+222. …………7分5、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东NM 东北BCAlCBA17cm（第19题） A BCF60°，且与A相距83的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．答案解：（1）由题意，得∠BAC=90°，………………（1分）∴2240(83)167BC=+=．…………（2分）∴轮船航行的速度为41671273÷=时．……（3分）(2)能．……（4分）作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=43，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，……（6分）∴,DF BDEF CE=∴3220343EFEF+=，∴EF=8．……（7分）∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．6、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45)答案（1）如图，作AD⊥BC于点D……………………………………1分Rt△ABD中，AD=AB sin45°=42222=⨯……2分在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°FEDlAC北东M NABE FQ P ∴AC =2AD =24≈6.5………………………3分即新传送带AC 的长度约为6.5米． ………………………………………4分 （2）结论：货物MNQP 应挪走． ……………………………………5分 解：在Rt △ABD 中，BD =AB cos45°=42222=⨯……………………6分 在Rt △ACD 中，CD =AC cos30°=622324=⨯∴CB =CD —BD =)26(22262-=-≈2.1∵PC =PB —CB ≈4—2.1=1.9＜2 ………………………………7分 ∴货物MNQP 应挪走． …………………………………………………………8分7、如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）答案 (1)相等30,6030BEQ BFQ EBF EF BF ∠=∠=∴∠=∴=....................................2分 又6060AF P BFA ∠∠=∴∠=在AEF 与△ABF 中,,EF BF AFE AFB AF AFAFE AFB AE AB=∠=∠=∴≅∴=...........................................................................5分 （2）法一：作AH PQ ⊥，垂足为H 设 AE=x 则AH=xsin74°HE= xcos74° HF=xcos74°+1 ...............................................................................................7分tan60Rt AHF AH HF=中，所以xsin74°=（xcos74°+1）tan60°即0.96x=(0.28x+1)×1.73所以 3.6x≈即AB 3.6km≈法二：设AF与BE的交点为G，在Rt△EGF中，因为EF=1, 所以 EG=3在Rt△AEG中376,cos760.24 3.6 AEG AE EG∠==÷=÷≈答: 两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km8、在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？（2）求风筝A与风筝B的水平距离.(精确到0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中，∵AC﹦20，∠ACD﹦60°，AB45°60°C E D∴AD ﹦20×sin 60°﹦103≈17.32m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴BE ﹦24×sin 45°﹦122≈16.97 m∵17.32>16.97∴风筝A 比风筝B 离地面更高． ……………………………………………3分 （2）在Rt △ADC 中，∵AC ﹦20，∠ACD ﹦60°， ∴DC ﹦20×cos 60°﹦10 m在Rt △BEC 中，∵BC ﹦24，∠BEC ﹦45°，∴EC ﹦BC ≈16.97 m∴EC －DC ≈16.97－10﹦6.97m即风筝A 与风筝B 的水平距离约为6.97m ．…………………………………3分9、为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．解：∵在Rt △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3 ∴DA ＝3 …………2分 在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°∴tan60°=CAAD∴CA =33 …………4分 ∴BC=CA －BA =(33－3)米答：路况显示牌BC 的高度是(33－3)米 ………………………6分10、永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处，测得最高点A 的仰角为60︒． 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB （3 1.732≈，第19题图A45°60°结果保留整数）．解：根据题意，可知45ACB ∠=︒，60ADB ∠=︒，50DC =.在Rt △ABC 中，由45BAC BCA ∠=∠=︒，得BC AB =. 在Rt △ABD 中，由tan ABADB BD∠=， 得3tan tan 60AB AB BD AB ADB ===∠︒. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 又 ∵ BC BD DC -=，∴ 350AB AB -=，即(33)150AB -=. ∴ 11833AB =≈-.答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分11、小明想知道湖中两个小亭A 、B 之间的距离，他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处，测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道l 向东走60米时，到达点N 处，此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向，继续向东走30米时到达点Q 处，此时亭B 恰好位于点Q 的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离．25.连结AN 、BQ∵点A 在点N 的正北方向，点B 在点Q 的正北方向 ∴l AN ⊥ l BQ ⊥--------------------------1分 在Rt △AMN 中：tan ∠AMN=MNAN∴AN=360-----------------------------------------3分 在Rt △BMQ 中：tan ∠BMQ=MQBQ∴BQ=330----------------------------------------5分 过B 作BE ⊥AN 于点E 则：BE=NQ=30∴AE= AN －BQ -----------------------------------8分 在Rt △ABE 中,由勾股定理得：222BE AE AB +=22230)330(+=AB∴AB=60（米）12、我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直.已知装饰画的高度AD 为0.66米， 求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数（精确到1°）；⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC （精确到0.01米）.解：⑴ ∵AD ＝0.66，∴AE ＝21CD ＝0.33. 在Rt △ABE 中，………………1分 ∵sin ∠ABE ＝AB AE ＝6.133.0， ∴∠ABE ≈12°. ………………4分∵∠CAD ＋∠DAB ＝90°，∠ABE ＋∠DAB ＝90°， ∴∠CAD ＝∠ABE ＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12°. ………………5分 ⑵ 解法一：在Rt △∠ABE 中， ∵sin ∠CAD ＝ADCD， ∴CD ＝AD ·sin ∠CAD ＝0.66×sin12°≈0.14. ………………7分ACD EBABCD第19题图解法二： ∵∠CAD ＝∠ABE ， ∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∴△ACD ∽△BEA. ………………6分 ∴AB ADAE CD =. ∴6.166.033.0=CD . ∴CD ≈0.14. ………………7分∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是0.14米.………………8分13、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.第23题图解：过M 作MN ⊥AC ，此时MN 最小，AN ＝1500米1、（2010山东济南）图所示，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC 3求线段AD 的长．解：∵△ABC 中，∠C =90º，∠B =30º，∴∠BAC =60º，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠CAD =30º， ··················· 1分 ∴在Rt △ADC 中，cos30ACAD =︒············· 2分=3×3··········· 3分=2 . ·············· 4分14、热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A 处与高楼的水平距离为60m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ，参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）答案： 解：过点A 作BC 的垂线，垂足为D 点 ……………1分由题意知：∠CAD = 45°, ∠BAD =60°, AD = 60m在Rt △ACD 中，∠CAD = 45°, AD ⊥BC∴ CD = AD = 60 ……………………3分 在Rt △ABD 中，∵BDtan BAD AD∠=……………………4分 ∴ BD = AD ·tan ∠BAD= 603 ……………………5分∴BC = CD+BD= 60+603 ……………………6分≈ 163.9 (m) …………………7分答：这栋高楼约有163.9m ． …………………8分 （本题其它解法参照此标准给分）15、如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并PD CBA求出最大值．22．（1）在Rt ABC ∆中，5sin B =，25AB =， 得5AC AB =，∴2AC =，根据勾股定理得：4BC =． …… 3分（2）∵PD ∥AB ，∴ABC ∆∽DPC ∆，∴12DC AC PC BC == 设PC x =，则12DC x =，122AD x =- ∴2211111(2)(2)122244ADP S AD PC x x x x x ∆=⋅=-⋅=-+=--+ ∴当2x =时，y 的最大值是1． ……… 8分16、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010≈≈≈≈，，，）答案：解：设CD = x ．在Rt △ACD 中，tan37AD CD︒=， 则34AD x=， ∴34AD x =. 在Rt △BCD 中，tan48° = BD CD， 则1110BD x=， ∴1110BD x =. ∵AD ＋BD = AB ， B37° 48° D CA 第19题图∴31180 410x x+=．解得：x≈43．17、在市政府广场进行了热气球飞行表演，如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：,75.037tan,80.037cos,60.037sin≈︒≈︒≈︒73.13≈）解：过A作AD⊥CB，垂足为点D．………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．∴AD=31233660tan==︒CD≈20.76．……5分在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=37tan⨯AD≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）．………8分答：气球应至少再上升15.6米．…………………………9分18、图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的长．【答案】解：根据题意得：DE=3.5×16=56,AB=EF=16∵∠ACB=∠CBG－∠CAB=15°，∴∠ACB ＝∠ CAB∴CB=AB=16.∴CG=BCsin30°=8CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.∴塔吊的高CH的长为69m.BACD。