数学建模作业

分析，我们仅利用1x 和2x 来建立y 的预测模型。

四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
（1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图 y 与x1的关系 程序代码：
x1=[ 0 0 ]; y=[ ]; A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go')
y 与x2的关系
x2=[ ]; y=[ ]; A=polyfit(x2,y,2) x3=::;
y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)
图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图
从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1）
拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲
线是用二次函数模型 2
01122y x x βββε=+++ （2）
拟合的。

综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型
2
0112232y x x x ββββε=++++ (3)
(3)式右端的1x 和2x 称为回归变量（自变量），2
0112232x x x ββββ+++是给定价格差1x ，广告费
用2x 时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中，如果，模型选择的合适，ε应大致服从均值为0的正态分布。

五、模型求解
（2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）； 程序代码：
x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)
b = bint = stats =
得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信区间α=）、检验统计量2
2
,,,R F p s 的结果见表2
参数
参数估计值
参数置信区间
0β
[, ]
广告费用2x 的二次关系由回归系数2β，3β确定，而不依赖与价格差1x ，同样，y 的均值与1x 的线性关系由回归系数1β确定，不依赖于2x 。

根据经验可参想，1x 和2x 之间的交互作用会对y 有影响，简单的用1x ，2x 的乘积代表他们的交互作用，将模型（3）增加一项，得到：
2
0112232412y x x x x x βββββε=+++++ （5）
在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为22232412x x x x βββ++，由系数2β，3β，4
β确定，并依赖与价格差1x 。

（3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）； 程序代码：
x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)
b = bint =
如果取价格差1x =元，代入（6）可得
∧
y
1x = = 2x +2x （7）
再取1x =元，代入（6）可得
∧
y
1x = = 2x +2x （8）
它们均为2x 的二次函数，其图形见图7，且
∧
y
1x = -
∧
y
1x = = 2x （9）
由（9）式可得，当
2x < 时，总有
∧
y
1x = >
∧
y
1x =,即若广告费用不超过大约百万元，价格
差定在元时的销售量，比价格差定在元的大
，也就是说，这时的价格优势会使销售量增加。

完全二次多项式模型
y =β0 +β11x + β22x + β31x 2x + β41x 2 + β5 2x 2 + ε (10)
（4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。

程序代码：
x1=[;;;0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;0;;]; x2=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; xtu8=[x1,x2];
y=[;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;]; rstool(xtu8,y,'quadratic' )
从左下方的输出Export 可以得到模型（10）的回归系数的估计值为
∧β=(∧β0 ，∧β1 ，∧β2 ，∧β3，∧β4 ，∧
β5)
= ，，，，， 在图下方的窗口内输入，可改变1x 和2x 的数值，当1x =，2x =时，左边的窗口显示∧
y =，预测区间为±与模型（5）相差不大。