多滑面块体的分块极限平衡分析法
边坡极限平衡分析方法及其局限性
边坡极限平衡分析方法及其局限性1.引言边坡稳定性问题是边坡工程中最常见的问题，边坡稳定性分析的核心问题是边坡安全系数的计算。
边坡稳定性分析的方法较多，极限平衡分析计算方法简便，且能定量地给出边坡安全系数的大小，方法本身已臻成熟，广为工程界接受，仍然是当今解决工程问题的基本方法。
本文比较分析边坡极限平衡方法中最常用的几种方法，同时对极限平衡法中的若干重要问题及其局限性进行探讨。
2. 极限平衡法基本原则边坡的滑面可以是圆弧、组合面( 比如圆弧和直线的结合) 或者由一系列直线定义的任意形状的面。
图1[3]以最一般的形式显示了作用于一个组合滑面上的所有力。
图1 条块受力分析[3]注: W为条块的总重力; N为条块底部作用的总法向力; S m为条块底部作用的切向力; E为条间的水平法向力( 下标L、Ｒ分别指土条的左、右侧) ; X为条间的竖向剪力; D 为外加线荷载; k W为通过每一条块的水平地震荷载; A为合成的外部水压力;Ｒ、f、x、e、d、h、a、ω、α为几何参数。
一般边坡经合理简化后均可看作是该模型的特殊形式。
在边坡稳定分析方法中，极限平衡原理主要包含以下四条基本原则[1,5]。
(1)刚体原则极限平衡法最基本的原则就是将滑体简化为刚体，即不考虑滑体的变形，不满足变形协调条件，这种破坏是以平面破坏模式为主。
(2)安全系数定义将土的抗剪强度指标c 和tan φ 降低一定的倍数，比如降低FS 倍，则土体沿着此滑裂面达到极限平衡。
安全系数为：⎰⎰+=ll s dl dl c F 00''tan τϕσ (1)，c 和tan φ两个强度参数共用同一安全系数F S ，即按照同一比例衰减。
上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法被广泛采用。
(3)摩尔—库仑准则当土体达到极限平衡时， 正应力c ′和剪应力tan φ′满足摩尔-库仑强度准则。
如式(2)所示：''tan )sec (sec ϕααx u N x c T ∆-+∆=(2)，式中，α 为土条底倾角，tan α=dy/dx ；u 为孔隙水压力。
多结构面三维块体极限稳定分析新方法
圈２ 程序启动界面图
算时 Ｋ Ｋ， Ⅱ＝ 进一步求 出下传滑动力 Ｐ 。考虑下 Ⅱ 传滑动力 Ｐ 的作用后 ， Ⅱ 根据滑 动模式试算底部三
小块体的安全系数 Ｐ ， Ⅲ 直到 Ｐ ＰⅡ＝ 一 试 Ⅲ＝ （
的滑 动方 向上 。
２ 复杂三维块体稳定新算法
一
般地 ， 由于复合块体形状不规则、 荷载作用计
算困难 ， 标准楔体理论不能直接应用 ， 用平面计算解
决三维稳定 问题可信度低 。本文借用三维块体理论 的某些基本假定和 刚体分块平衡原理 ， 阐述 多结构 面复杂块体稳定 的新方法 ， 并成功开发了计算分析 软件 ， 在国内多个 大型边坡稳定分析 中取得成功应 用， 基本计算原理如下。 基本假定 ： ①根据块体理论 ， 静止状态块体上所 有作用力在形心上可 以合成为一个合力 ， 且转动力 矩为零； ②块体为不 变形 刚体 。 人为切分后 ， 各分块 体通过切分面完全传力。 以两条 滑动棱 线且具有底滑面 的复杂块体 为 例， 说明计算原理 。根据刚体分块极 限平衡法 ， 切分 后， 假定分块体具有各 自的滑 动趋势 和相 同的稳定
ｌ 概 述
岩石边坡二维稳 定分析方 法和程序较多， 而具 有多结构面三维复杂块体极 限稳定分析的方法和程 序很少。通常采用基于强度折减 的数值分析法得到 块体稳定安全系数 ， 但这种方法计算 的安全系数与
个底滑面， 不能按标准楔体直接计算 ， 需要作进一步 的切分和计算假定 ， 沿底滑面两侧边做两铅直截面
维普资讯
云南水力发 电
ＹＵＮＮＡＮ Ｗ Ａ１ Ｒ ＩＷＥＲ Ｐ） 第 ２ 卷 ３ Nhomakorabea第１ 期
极限平衡法介绍
极限平衡法介绍————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法,根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦-普瑞斯（Mor ｇｅns ｔern-P ｒice ）法、毕肖普（B ｉshop ）法、简布（Janbu ）法、推力法、萨尔玛（Sarma ）法等。
摩根斯坦－普瑞斯（Mor ｇens ｔｅrn-Pri ｃe)法该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Ｊanb ｕ推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法(即微增量法),滑面形状任意,通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
Z i +1Z il i b iKWi WiNi EiXiXi +1 δ i α i Ei+1Tiyx图12—1 力学模型示意图根据其力学模型和几何条件以及静力平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00Y X可解得平衡条件:（12—1)式中：sii si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=23111212311121e e e e P e e P e P P e e e e e e e K n n n n n n n n n n n n n n n n c •••++••+•+•••++••+•+=-------- αααα)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•= 11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式(12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
滑坡计算方法(极限平衡法)
6.3 极限平衡法•6.3.1 概述•6.3.2 简单（瑞典）条分法•6.3.3 简化毕肖甫法•6.3.4 Janbu法•6.3.5 Spencer方法•6.3.6 Morgenstern-Price方法•6.3.7 陈祖煜的通用条分法•6.3.8 总结•6.3.9 孔隙水压力的考虑•6.3.10 最小滑裂面的搜索6.3.1 概述•极限平衡法是建立在（刚体）极限状态时的静力平衡基础上；•不考虑变形协调条件与变形过程；•假设滑裂面（圆形或者任意）；•由于求解条件不足，需要一些假设；R M =∫()n n l σσ=其中是未知函数syxE 方程数：静力平衡＋力矩平衡＝3n滑动面上极限平衡条件＝n 未知数：条块间力＋水平力作用点位置＝2(n -1)+(n -1) ＝3n -3滑动面上的力＝2n 安全系数F＝14n5n -2未知数－方程数＝n-2q图6－64忽略土条体底部力N i 的作用点位置yE i i安全系数定义：条块底部：F c c =e ee e ef tg sec tg ϕαϕτi i i i i i N x c N l c l T +∆=+=⋅=Fϕϕtg tg e =en e f tg ϕστ+=c 极限平衡条件图6－65几种极限平衡法iq方程数：未知数：(5n -2)-3(n -1)=2n +14n图6－66h瑞典条分法0方程数：未知数：(5n-2)-(n -1)=4n -14nE iq图6－69毕肖普法(cos sin )(sin cos tg )(eee e =−∆−∆+∆−+∆+∆+∆∑∑∑R h Q x q W tg x c x q W i i i i i i i ααϕααϕFcc =e Fϕϕtg tg e =一个方程，一个未知数F ，可解，需试算。
6.3.4Janbu 法假定：假定各土条间推力作用点连线为光滑连续曲线↔“推力作用线”方程数：未知数：(5n -2)-(n -1)=4n -14ni qh i 即假定了条块间力的作用点位置Janbu 法)}tg()()]tg(tg 1[{eee=−∆−∆+∆+−+∆−∆∑ϕαϕααiiiiiiX x q W x c Q 此式可用于迭代求解安全系数F s ，但尚须先得到∆X i6.3.5 Spencer 法假定：假定土条间的切向力与法向力之比为常数，即方程数：未知数：(5n -2)-(n -1)+1=4n 4niqX i / E i = tg β= λSpencer 法补充一个方程：根据力矩平衡条件得到两个未知数：F 、β]cos sec )cos()sin()[sec(eeeee=∆−−∆+−∆−−∑ϕαϕαϕαϕβαiiiiiix c QW 1)(,0)()()(tan 1010==+=x f x f x f x f λβV 6.3.6 Morgenstern-Price 方法yxMorgenstern & Price 待求，f 1(x )为人为假定函数其中k 、m 为常数f 1(x )=1 Spencer 方法f 1(x )=0 Bishop 方法6－81Morgenstern-Price方法两个未知数F λ、两个方程，于是可以求解6.3.7yx假定：陈祖煜在Morgenstern & Price 方法的基础上，提出了更具一般性的方法其中λ待求，f 0(x )、f (x ) 为人为假定函数6.3.8 总结图6－97 几种计算方法小结极限平衡法边坡稳定分析的一些结论Duncan 关于边坡稳定分析方法的结论（1980、1996）：（1）瑞典条分法所得安全系数较小，在圆弧中心角较大和孔隙水压力较大时，安全系数的误差较大。
高等土力学教材 第六章 土工数值分析(一)土体稳定的极限平衡和极限分析
土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。
很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。
Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。
Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。
W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。
但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。
下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。
有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。
4.路基稳定性的分析与计算
设作用于分条上的水平 总合力为Qi，则： 取滑面上能提供的抗滑 力矩为Mr，与滑动力矩M0之 比为安全系数k，则有：
其中：
15
瑞典法存在的问题： 滑面为圆弧面及不考虑分条间作用力的2个假设， 使分析计算得到极大的简化，但也因此出现一定误差: 1.滑动面的形状问题 现实的边坡破坏，滑动面并非真正的圆弧面。但大 量试验资料表明，均质土坡的真正临界剪切面与圆弧 面相差无几，按圆弧法进行边坡稳定性验算，所得的 安全系数其偏差约为0.04。但这一假定对非均质边坡， 则会产生较大的误差。 2.分条间的作用力问题 无论何种类型的边坡，坡内土体必然存在一定的应 力状态；边坡失稳时，还将出现一种临界应力状态。 这两种应力状态的存在，必然在分条间产生作用力， 通常包括分条间的水平压力和竖向摩擦阻力。
根据这一假定滑动面上的抗滑阻力t根据图在滑动面上沿着x轴建立平衡式这时滑动面上的下滑力s当边坡达到极限平衡状态时滑动面上的抗滑阻力与下滑力相等可根据上列两式相等的条件求得分条两侧边的土压力增值e21按竖直方向上的平衡条件可以求得滑动面上的法又根据水平方向的平衡条件可求得整个边坡的安全系数为
1
边坡滑坍是工程中常见的病害之一。路基的稳定 性包括:①边坡稳定；②基底稳定；③陡坡上路堤整体 稳定。 这一讲主要介绍边坡稳定性分析方法。此外，还 将介绍浸水路堤以及地震地区路基稳定性问题。
分析时，可按单向固结理论进行计算。当边坡上的地 表不存在附加荷载或附加荷载下地基已达到完全固结， 或者是计算岩质边坡的稳定性时，则不必考虑超水压 力对边坡稳定性的影响。 地下水渗透压力的计算比较麻烦，在工程设计中， 通常有2种作法，即精确解和简化计算法。 1.精确解 通过对流线的数学分析或 根据试验，计算出各点的流速， 可得到比较精确的解。但计算 比较麻烦，工程中通常不采用。 2.简化计算法 基于任一点的渗透压力等于静水压力来进行分析， 简化计算法能满足工程设计要求，常被工程设计 18
工程中块体的强度、刚度和稳定性分析
工力09-1班
焦波波 李海东 高清毅 邓戎龙
第一节 块体理论
1.1块体理论介绍 1.2块体的分类 1.3块体理论的基本假设
1.1块体理论介绍
块体理论是基于自然界中岩体(含大量结构面的岩石所组成的 结构体)针对过去将岩体作为弹性的均质连续体而提出的一种完全 不同的认识。块体理论认为，岩体是被断层、节理裂隙、层面以 及软弱夹层等结构面切割许多坚硬岩块所组成的结构体而形成的 非均质连续体。运用该理论对岩体进行稳定分析时，把岩体看作 是刚性块体组成的结构体，破坏机理为刚性块体沿软弱结构面滑 移，力学模型为刚性平移。
引入内摩擦角，并定义 f tan ，这个准则在平面上 是一条直线。当此应力圆与式(3-1)所表示的直线相切时， 即发生破坏 。 根据材料力学： ( 1 3 ) ( 1 3 ) cos 2
1 ( 1 3 ) sin 2 2 库仑准则在主应力平面上的表示:
第三节 块体的强度及刚度计算
3.1强度及刚度介绍 3.2岩石的强度理论 3.3岩体的强度分析
3.1强度及刚度介绍
强度是指材料承受外力而不被破坏(不可恢复的变形也属 被破坏)的能力.根据受力种类的不同分为以下几种: (1)抗压强度--材料承受压力的能力。 (2)抗拉强度--材料承受拉力的能力。 (3)抗弯强度--材料对致弯外力的承受能力。 (4)抗剪强度--材料承受剪切力的能力。
摩尔库伦准则在主应力平面上的关 系
对于莫尔—库仑准则，需要以下指出三点： （1）库仑准则是建立在实验基础上的破坏判据。 （2）库仑准则和莫尔准则都是以剪切破坏作为其物理 机理，但是岩石试验证明：岩石破坏存在着大量的微破 裂，这些微破裂是张拉破坏而不是剪切破坏。
岩土工程稳定性--边坡稳定性分析方法综述
③优势面理论分析法及其发展应用
采用优势面理论分析法可确定岩坡的控稳优势面，并进行优势面 组合分析 ，找出其试算安全系数最小的优势分离体，确定边坡破坏模 型，并采用极限平衡分析法分析计算优势分离体的安全度及边坡稳定 安全系数，以此判断边坡整体稳定状况 ，从而克服和弥补经典极限分 析法中要假定滑动面、反复计算 比选最小的安全系数及相应的滑动面 的不足，提高了最小安全系数的可靠性。 在采用优势面理论分析法时，在确定控稳优势面时，一般首先要 通过野外地质调查来对研究体内的结构面加以分类，确定各候选优势 面的综合权重值，还需进一步确定优势面的力学参数，所有这些过程 都或多或少的带有经验性，都要不同程度的受到主观性的影响，但恰 恰这两方面是确定其分析结果可靠程度的关键问题，因而优势面理论 分析法存在一定的缺陷性 。因此，优势面理论分析法中引入了层次分 析法，在一定程度上提高了控稳优势面的选定客观性。
弹塑性极限平衡法从分析边坡体的应力和变形入手，由边 坡体的应力和变形特征来确定边坡体的极限平衡状态，从而避 免对边坡体最小安全系数的反复计算及比选，达到减少工作量 和提高准确率的目的。 弹塑性极限平衡法中采用强度折减法，即逐渐降低材料强 度(即降低材料抗剪强度参数c和 的方法来逼近系统的极限平 衡状态，并以屈服区的贯通来表征极限平衡状态的到达，把材 料强度折减系数(Zi)定义为系统的整体稳定安全系数(Fs)。在 地质条件、材料参数、屈服准则和本构关系正确的前提下，能 够保证由此得到的稳定安全系数为真实稳定安全系数的下限。 弹塑性极限平衡法不必假设土条间的作用力和破坏面的位 置和形状，因此，该方法能处理复杂几何轮廓和边界条件，有 广泛的适用性和良好的应用前景。
基于极限平衡法和强度折减法的边坡稳定性对比分析
基于极限平衡法和强度折减法的边坡稳定性对比分析摘要：为分析某矿露天开采时最终边坡的稳定性，分别采用极限平衡法和强度折减法计算边坡的安全系数，采用理正软件和FLAC3D软件作为计算工具，建立边坡模型，分别运用Morgenstern-Price法和强度折减法对最终边坡的稳定性进行计算，依据《非煤露天矿边坡工程技术规范》(GB51016-2014)对最终边坡的稳定性进行评价。
分析结果表明：采用Morgenstern-Price法和强度折减法对边坡的稳定性分析结果基本一致，该矿山最终边坡稳定性较好。
关键词：边坡稳定性；Morgenstern-Price法；强度折减法0引言边坡稳定性一直是露天矿山面临的重大问题，时刻影响着矿山的安全生产，边坡稳定性分析中，先后发展了工程地质分析法、类比法、极限平衡法、数值分析方法和不确定性分析方法(可靠性方法、模糊数学方法、灰色理论方法、神经网络方法等)，随着计算机技术的发展，数值分析方法运用越来越广，目前国内外边坡稳定性分析法主要以极限平衡法和数值分析法为主。
极限平衡法主要有瑞典条分法、Bishop法、Janbu法、Spencer法、Morgenstern-Price法、Sarma法、平面直线法和不平衡推力传递法。
极限平衡法把边坡上的滑体视为刚体，利用滑体的静力平衡原理分析边坡在各种极限破坏模式下的受力状态，并以边坡滑体上的抗滑力和下滑力之间的比值定义为安全系数。
强度折减方法的基本原理是将岩土材料的黏聚力和内摩擦角等抗剪强度参数进行折减，用折减后的参数进行边坡的稳定性分析计算，不断降低强度参数直至边坡失稳破坏为止，破坏时的折减数值即为边坡的安全系数。
极限平衡法中，Morgenstern-Price法既能满足力平衡又满足力矩平衡条件，是国际公认的最严密的边坡稳定性分析方法[1]。
数值分析方法有如有限元法（ANSYS、Plaxis、ABAQUS）、离散元法（PFC、3DEC）、边界元法（BEM）和拉格朗日元法（FLAC），FLAC3D是基于连续介质快速拉格朗日差分法编制而成的数值模拟计算软件, 是目前岩土工程界应用最为广泛的数值模拟软件之一，该程序采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程，并应用了混合单元离散模型，可以准确地模拟材料的屈服、塑性流动、软化直至大变形，尤其在材料的弹塑性分析、大变形分析以及模拟施工过程等领域有其独到的优点。
极限平衡法介绍
si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=)cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=)tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ)tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=11cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕbi ϕ——条块底面摩擦角bic ——条块底面粘聚力si ϕ——条块侧面摩擦角sic ——条块侧面粘聚力式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。
该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。
Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。
在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。
Bishop 法概述：目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。
瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。
当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为T i =c i l i F s+N i tanφiF s（1）如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得∑W i x i −∑T i R =0 (3)图1 毕肖普法计算图将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(4)实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}∑W i sinαi(5)所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出P i+1−P i=1F sW i cosαi tanφi+c i l iF s−W i sinαitanφiF ssinαi+cosαi(6)代入式(5)，简化后得F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1tanφi sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(7)当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1tanφi′sinαi F s+cosαi⁄∑W i sinαi(8)在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。
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面没有法向支持力(如结构面不抗拉，采用块体理论
分析得到该面将脱开)，全部重力作用在编号为 0 的 面上。这种情形实际上是满足 rr ⋅ vri ≤0[2]( rr 为合力 矢量，在此为重力)的非临空面只有 1 个。
当编号为 0 的非临空面多于 1 个时，稳定计算
存在不同程度的问题。如图 1(a)所示，块体的 3 个
各分块的垂向力平衡和滑动方向上的总体力平衡，求解特定滑动方向的稳定系数。然而，由于块体往往不对称，
人为很难给定真实的滑动方向，与滑动方向垂直的水平方向上存在不平衡力。通过改变滑动方向(0°～360°)，当
不平衡力为 0 时，计算达到 3 个正交方向上的力平衡，并由此确定出块体实际的潜在滑动方向。此时的稳定系数
非临空面的编号均为 0。根据块体理论分析，失稳
模式为沿面 1 的单面滑动，面 2 及 3 不起作用，而
实际上，面 2 和 3 存在法向支持力(从块体是变形
体而非绝对刚体更易理解)，简化模式如图 2(a)所
示。稳定系数 Fs 计算误差随着面 2/面 3 的倾角变 缓及面积增大(块体的重心甚至位于面 2/面 3 之上，
但是，当滑面不对称时，计算模式及结果存在 不足之处。非对称双面滑动包括两方面的含义：(1) 滑面倾角、面积不对称；(2) 滑面抗剪强度参数不 相等。以滑面倾角及面积不对称为例，如图 3 所示， 当面 2 的面积逐渐减小时，从工程意义角度可以预 见，块体的滑动模式及稳定系数应逐渐向单面滑动 过渡。然而，采用经典块体理论分析时，图 3(d)的 滑面上的法向力大小与图 3(a)是一样的；当面 2 的 面积很小时(只要其存在)，块体仍为双面滑动(这也 是基于“刚体”、“平动”的假设进行的几何学分析 必然得到的结果)。
为最小值或接近最小值，其含义类似潘家铮最大最小原理。该法可以很好地解决多滑面块体的稳定分析问题。通
过考题验证，与传统块体理论进行对比，解释非对称双面滑动向单面滑动渐变过渡时稳定系数与滑动方向的连续
变化。最后，通过实例对该法进行应用。
关键词：岩石力学；块体理论；多滑面块体；块体稳定；分块极限平衡；三维极限平衡；滑动方向
块体理论从几何学而言，理论是完备的、封闭 的，这一点从全空间赤平投影图及平衡区域图(P. Londe 图)可以看出。全空间赤平投影图中，每个节 理面(广义地称为不连续面)的赤平投影圆将赤平面 分割成不同区域，每个区域对应一个节理锥，每个 节理锥对应一个失稳模式，因而全空间赤平投影构 成了块体理论的基础。平衡区域图中，对于某个特 定的节理锥，当合力方向的投影位于不同区域中 时，对应一种特定的失稳模式，并且在不考虑滑面 黏聚力的假设(该假设很大程度上限制了其工程应 用)下，给出了块体稳定时所需的滑面摩擦角。平衡 区域图体现了块体的失稳模式和稳定性随合力而变 化的规律：一方面，合力方向变化致使块体由单面 滑动向双面滑动过渡时，新增的滑面上的法向力是 逐渐增大的，因此在不考虑黏聚力时块体的稳定系 数呈连续变化；另一方面，当合力方向在某一个对 应特定失稳模式的区域内变化时，块体为达到稳定 所需的摩擦角也连续变化。这种连续变化反映了理 论的完善性，同时也能合理解释工程问题。平衡区 域图可称为块体理论的高峰。
(1) 单面滑动情形。当块体的非临空面为 1 个
的单面滑动时，计算结果是正确的。当只有 1 个非
临空面的“面上”(面的编号为 0，指向块体内部的
法下矢”(vr编i 与号面为的1向，上vri 法与矢nri
nri 一致)，其余非临空面的“面 相反)构成块体时，计算结果
也是正确的，因为重力作用下，编号为 1 的非临空
第 26 卷 第 8 期 2007 年 8 月
岩石力学与工程学报 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering
Vol.26 No.8 Aug.，2007
多滑面块体的分块极限平衡分析法
张奇华
(长江科学院 水利部岩土力学与工程重点实验室，湖北 武汉 430010)
如图 2(b)所示)，以及面 1 与面 2/面 3 的抗剪强度
差异性增大而变大。
(a) 单面滑动
(b) 双面滑动
(c) 自稳
图 1 块体理论计算稳定系数存在问题的典型情形 Fig.1 Typical problems of stability factor calculation in
traditional block theory
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岩石力学与工程学报
2007 年
method is validated；and the continuous change of factor of stability and sliding direction with gradual transition from non-symmetrical double-face sliding to single-face sliding can be interpreted properly. At last，a practical
摘要：单面滑动块体存在 2 个及以上非临空面，双面滑动块体存在 3 个及以上非临空面，且这些非临空面的面上
构成块体时，传统的块体理论在计算稳定系数时可能存在问题。基于此，提出分块极限平衡分析法，该方法沿非
临空面交棱将块体进行分块，在忽略分块间的垂向剪力(即可考虑分块间的水平法向力和剪切力)前提下，通过满足
Abstract：When single-plane sliding block has more than one joint face，double-plane sliding block has more than two joint faces，and the block is above these joint faces，some defections of stability calculation in traditional block theory may occur. So，block-dividing limit equilibrium analysis method is presented. The method divides block along the intersection edge of joint faces and neglects the vertical shear force between dividing-blocks i.e. takes horizontal normal force and shear force into account；as to an assumed sliding direction，by satisfying vertical force equilibrium of every dividing-block and whole force equilibrium in the sliding direction，the factor of stability can be solved. However，the non-equilibrium force in the horizontal direction perpendicular to the assumed sliding direction is always existent, because the block is usually non-symmetrical and the assumed sliding direction is not the practical one. By changing the sliding direction from 0°to 360°，when the non-equilibrium force gets to zero，the solutions satisfy force equilibrium in three othogonal directions；and the actual potential sliding direction can be determined rather than assumed. In this case，the factor of stability is minimum or close to minimum，whose meaning is similar with Pan′s principle of the maximum and the minimum. The method can solve well the stability analysis of multiple sliding-planes block. By contrasted with traditional block theory，the
中图分类号：TU 45
文献标识码：A
文章编号：1000–6915(2007)08–1625–08
BLOCK-DIVIDING LIMIT EQUILIBRIUM ANALYSIS METHOD WITH MULTIPLE SLIDING-PLANES
ZHANG Qihua
(Key Laboratory of Geotechnical Mechanics and Engineering of Ministry of Water Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan，Hubei 430010，China)
engineering case is studied. Key words：rock engineering；block theory；block with multiple sliding-planes；block stability；block-dividing limit equilibrium；three-dimensional limit equilibrium；sliding direction