极限平衡法介绍

si i si i bi i i Q e ϕδϕαϕsec )[cos(-+-=
)
cos(i ei i a i W Q P αϕ-•=
)
tan (si i i si i PW d C S ϕ•-•=
)(11111+++++•-•=si i i si i tn PW d C S ϕ
)
tan sec (bi i i i bi i u b C R ϕα•-•=
1
1cos )sec(+++-=si si i bi i Q ϕϕαϕ
bi ϕ——条块底面摩擦角
bi
c ——条块底面粘聚力
si ϕ——条块侧面摩擦角
si
c ——条块侧面粘聚力
式（12—1）分成n 块滑体达到静力平衡的条件。

该式物理意义是：使滑体达到极限平衡状态，必须在滑体上施加一个临界水平加速度Kc 。

Kc 为正时，方向向坡外，Kc 为负时，方向向坡内，Kc 的大小由式（12—1）确定。

在对该方法应用中，对其进行了进一步完善，充分考虑了分层作用，并使不同层位赋予不同的强度参数，同时它还要求对解的合理性进行校核，使分析计算更趋合理，从而显示了该方法很强的适用性。

Bishop 法概述：
目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius 法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。

瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。

当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分， 并与切向力T i 相平衡，见图 1(a)，其算式为
T i =
c i l i F s
+
N i tanφi
F s
（1）
如图 1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得
N i =[W i +(H i+1−H i )]cos αi −(P i+1−P i )sin αi （2）
当整个滑动体处于平衡时（图 1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得
∑W i x i −∑T i R =0 (3)
图1 毕肖普法计算图
将式(2)代入式(3)，且x i=R sinαi，最后得到土坡的安全系数为
F s=∑{c i l i+[(W i+H i−H i+1)cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}
∑W i sinαi
(4)
实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即H i+1−H i=0，式(4)将简化为
F s=∑{c i l i+[W i cosαi−(P i+1−P i)sinαi]tanφi}
∑W i sinαi
(5)
所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即∑F x=0,∑F y=0,并结合摩擦力之差为零，得出
P i+1−P i=
1
F s
W i cosαi tanφi+c i l i
F s
−W i sinαi
tanφi
F s
sinαi+cosαi
(6)
代入式(5)，简化后得
F s=∑(c i l i cosαi+W i tanφi)1
tanφi sinαi F s+cosαi
⁄
∑W i sinαi
(7)
当采用有效应力法分析时，重力项W i将减去孔隙水压力u i l i，并采用有效应力强度指标c i′,φi′有
F s=∑(c i′l i cosαi+W i tanφi′)1
tanφi′sinαi F s+cosαi
⁄
∑W i sinαi
(8)
在计算时，一般可先给F s假定一值，采用迭代法即可求出。

根据经验，通常只要迭代3~4次就可满足精度要求，而且迭代通常总是收敛的。

简布（janbu）法
简布（janbu）法是假定条块间的水平作用力的位置，每个条块都满足全部
的静力平衡条件和极限平衡条件，滑动土体的整体力矩平衡条件也满足，而且它适用于任何滑动面而不必规定滑动面是一个圆弧面，所以又称为普遍条分法。

简布（janbu ）法条块作用力分析。

i+1
P i
i
i
P i
（a ） （b ） （c ） 其中：
i 1
(tg )i i i i s
T c l N F φ=
+ （8-1） 1i i i P P P +∆=- （8-2）
1i i i H H H +∆=- （8-3）
第i 条块力平衡条件：
0Z
F
=∑ 得 cos sin i i i i i i W H N T θθ+=+ （8-4） 0X
F
=∑ 得 cos sin i i i i i P T N θθ=- （8-5）
将8-1式、 8-2式、8-3式和8-5式代入到8-41式中，得
[]2i i i
sec 1
cos ()tg ()tg 0tg tg 1i i i i i i i ii i s a P c l W H W H F F θθθθθϕ=++-+=+ （8-6）
条块侧面的法向力P ，显然有11P P =，21212P P P P P =+=+， 依次类推，有i
i i j i P P ==∑
若全部条块的总数为n ，则有
10n
n i i P P ===∑ （8-7）
将8-6式代入8-7，得
[]2i sec ()tg 1tg tg /()tg i
i i i i i i s
s i i i c l W H F
F W H θθθφθ+++=
+∑∑ （8-8） 由以上公式，利用迭代法可以求得普遍条分法的边坡稳定性安全系数。

其步骤如下：
（1）假定0i H ∆=，利用8-8公式求得第一次近似的安全系数F s1 。

（2）将F s1和0i H ∆=代入8-6式，求相应得i P ∆（对每一条块，从1到n ）。

（3）用公式8-7，求条块的法向力（对每一条块，从1到n ）。

（4）将i P 和i P ∆代入公式8-2和8-3种，求得条块间的切向作用力i H （对每一条块，从1到n ）和i H ∆。

（5）将i H ∆重新代入到8-8公式中，迭代求新的稳定安全系数F s2。

如果21s s F F ->，为规定的安全系数计算精度，重新按照上述步骤进行新的一轮计算。

如是反复进行，直到()(1)s k s k F F --≤为止。

此时()s k F 就是假定滑面的安全系数。

Sarma 法
Sarma 法属于刚体极限平衡分析法，其基于以下的6条假设：
（1）将边坡稳定性问题视为平面应变问题；
（2）滑动力以平行于滑动面的剪应力和垂直于滑动面的正应力集中作用于滑动面上；
（3）视边坡为理想刚塑性材料，认为整个加荷过程中，滑体不会发生任何变形，一旦沿滑动面剪应力达到其剪切强度，则滑体即开始沿滑动面产生剪切变形；
（4）滑动面的破坏服从Mohr-Coulomb 破坏准则，即滑动面强度主要受粘聚力和摩擦力控制；
（5）条块间的作用力合力（剩余下滑力）方向与滑动面倾角一致，剩余下滑力为负值时则传递的剩余下滑力为零；
（6）沿着滑动面满足静力的平衡条件，但不满足力矩平衡条件。

图7-1 Sarma 法岩体破坏形式 图7-2 Sarma 法力学破坏模型 将上一条块剩余下滑力向下一条块滑动面逐块投影法计算边坡的稳定性及滑坡推力，滑坡的稳定性及推力计算同时满足当剩余下滑力小于零时令其等于零的条件。

即条块间不出现拉应力的条件。

单元极限平衡公式为：
（7.1）
第i 条块剩余下滑力：
（7.2）
当小于零时，令，此时
（7.3）
公式8-9也可表达为
cos sin st W tg CL
I F W αβα
+=
111sin()cos()i i i i st i st i st i i i i st tg E F E F T F E R F ααααα---⎡⎤
-=⨯=⨯+⨯---⎢⎥⎣⎦i E 0i E =11i st i i E F T R ++=⨯-
（7.4）
则稳定系数F st 计算公式如下：
（7.5）
当所有1至n 条块的剩余下滑力均大于等于零时，利用数学归纳法可以证明：
（7.6）
11111111sin()sin()cos()cos()i n n n n i n n n n
st n n n st n n n n st n
E tg R E tg R I
F E F T E F T ααφααφαααα---------+-+=
=-+-+1111sin()cos()i n n n n
st n n n n
E tg R
F E T ααφαα-----+=
-+1
11
11
11
1
()()n n i
j
n
i j st n n i
j
n
i j R R F T T ψ
ψ
--==--==+=
+∑∏∑∏。