矩阵论3.7
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矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支,它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中,矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中,通常用大写字母表示矩阵,如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成,可以表示为A = [aij],其中i表示行的编号,j表示列的编号,aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中,还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算,最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵,即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1,其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则:(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用,可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则:矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A,(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则:矩阵乘法满足结合律,但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC),但一般来说,AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算,行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质:对于任意矩阵A,都有A + 0 = A,0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
研究生矩阵论

研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支,它研究的对象是矩阵及其性质。
研究生在学习矩阵论时,需要深入理解矩阵的基本概念和性质,并掌握一些重要的定理和推论。
本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容,以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。
矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。
矩阵的行和列分别代表其维度。
在矩阵论中,我们通常用大写字母表示矩阵,如A、B、C等。
矩阵中的每个元素用小写字母表示,如a、b、c等。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
这些运算满足一定的性质,如结合律、分配律等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置矩阵的性质有:(A^T)^T = A,(A + B)^T = A^T + B^T,(kA)^T = kA^T,其中A、B是矩阵,k是数。
矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A,存在一个方阵B,使得AB = BA = I,其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵,我们称其为奇异矩阵。
逆矩阵的性质有:(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T,(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1},其中A、B是可逆矩阵,k是非零数。
矩阵的秩是指矩阵中非零行(列)的最大个数。
矩阵的秩具有一些重要的性质:如果矩阵A的秩为r,则A的任意r阶子式不等于0,而r+1阶子式等于0。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个方阵A,如果存在一个非零向量x,使得Ax = \lambda x,其中\lambda是一个数,那么\lambda称为A的特征值,x称为对应于特征值\lambda的特征向量。
特征值和特征向量具有一些重要的性质:矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值;A的特征值之和等于A 的迹,即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。
矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。
对于两个方阵A和B,如果存在一个可逆矩阵P,使得P^{-1}AP = B,那么我们称A和B 是相似的。
矩阵论基础知识总结

矩阵论基础知识总结一、引言矩阵论是线性代数的重要分支,广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义:矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表,常用大写字母表示,如A、B。
2. 元素:矩阵的每个数称为元素,用小写字母表示,如a、b。
一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。
3. 阶数:矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数,记作m×n,其中m表示行数,n表示列数。
4. 主对角线:从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
三、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法:两个相同阶数的矩阵相加,即对应元素相加。
2. 矩阵的数乘:一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。
3. 矩阵的乘法:若矩阵A的列数等于矩阵B的行数,则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵,其中C的行数等于A的行数,列数等于B的列数。
四、特殊类型矩阵1. 零矩阵:所有元素都为0的矩阵,用0表示。
零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。
2. 对角矩阵:主对角线以外的元素都为0的矩阵。
对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。
3. 单位矩阵:主对角线上的元素都为1,其余元素为0的对角矩阵。
单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。
4. 转置矩阵:将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
5. 逆矩阵:对于方阵A,若存在一个方阵B,使得A与B的乘积等于单位矩阵,则称B为A的逆矩阵。
五、矩阵的应用1. 线性方程组:矩阵可以用于求解线性方程组,通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程,从而求解未知数的值。
2. 向量空间:矩阵可以表示向量空间中的线性变换,通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3. 数据处理:矩阵可以用于数据的存储和处理,通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。
4. 图像处理:图像可以表示为像素矩阵,通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
矩阵的判定条件汇总

关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学(师范)专业2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质;第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵;定义;性质;判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix;definition;property;discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支,矩阵是高等代数中的重要组成部分,而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
矩阵论知识要点范文

矩阵论知识要点范文矩阵论(Matrix theory)是线性代数的一门重要分支,研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用,如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点:1.矩阵表示:矩阵由行、列组成,可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定,常用的表示方法是用大写字母表示矩阵,如A、B、C等。
2.矩阵运算:矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加,矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置:矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵,转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆:对于一个可逆矩阵A,存在一个矩阵B,满足AB=BA=I,其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵,记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩:矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质,与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量:对于一个n阶矩阵A,如果存在一个非零向量x使得Ax=λx,其中λ为一个常数,则称常数λ为矩阵A的特征值,非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性:如果存在一个可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质,如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解:矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式,常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹:矩阵的迹是主对角线上各个元素的和,记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程:矩阵方程是形如AX=B的方程,其中A、B为已知矩阵,X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
矩阵论矩阵的分解

对称和反对矩称矩阵阵:A,T=A,则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵?
在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn、 Cnn, 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题,涉及:
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n,AT=–A,证明
定理3 .6(P.73)设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1, 2, , s}。
74 )对矩阵A Cn n,存在酉矩阵U和上三角矩阵T,使得
nn LU分解:A Fn n, 有下三角形矩阵L ,上三角形矩阵U ,使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论:正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明:源于Schmidt正交化方法(P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解(P.61)
LU分解:AFnn, 有下三角形矩阵L ,上 三角形矩阵U ,使得A=LU。
LDV分解:AFnn, L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV。
已知的方法:Gauss-消元法
矩阵论简明教程习题答案
由此可得 与 故 (sinia)A==sinA 与 5. 对A求得 P= , P=, PAP= 根据p69方法二, e=Pdiag(e,e,e)P= sinA=Pdiag(sin(-1),sin1,sin2)P= 6. D()==, D()=D()=1, A~J=. 现设 r(,t)=b+b+b, 则有 b=1, b=2e-te-2, b=te-e+1. 于是 e=r(A, t)=bI+bA+bA=I+(2e-te-2)+(te-e+1) = 同理,由 b=1, b=tsint+2cost-2, b=1-tsint-cost. 将其代入 cosAt=bI+bA+bA, 求出 cosAt= 7. 设 f(A)=,S=.则 f(A)=并且由于 (S)== 所以, f(A)==f(A). 8, (1) 对A求得 P=, P=P , J= 则有 e=PP= sinAt=PP= (cosia)I==cosA.
10. 利用定理2.12得 . 11. A= cond(A)=; cond(A)=. 12.设x是对应于的特征向量, 则A.又设 是C上与矩阵范数相容的向量范 数,那么 ≦ 因 >0, 故由上式可得 ≦≦. 习 题 三 1. , 当﹤1时, 根据定理3.3, A为收敛矩阵. 2. 令S=, =S , 则 . 反例: 设 A=, 则因 发散, 故 发散, 但 =O. 3. 设 A=, 则 ≦行和范数=0.9<1, 根据定理3.7, =(I-A)=. 4. 我们用用两种方法求矩阵函数e: 相似对角化法. , 当 ia时, 解方程组 (ia-A)x=0, 得解向量 p=(i, 1). 当 =-ia时, 解方程组 (ia+A)x=0, 得解向量 p=(-i, 1).令 P=, 则P=, 于是 e=PP=. 利用待定系数法. 设e=(+a)q()+r(), 且 r()=b+b, 则由 b=cosa , b=sina .于是 e=bI+bA=cosa+sina=. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设 f()上面的分解变形可得 A= = = 3.对A的第1列向量, 构造Householder矩阵使得 ,
同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.7
证明:Im T
2
= Im T .
(1) 显然有 Im T 2 ⊂ Im T . 证: (2) 由 Im T + ker T = V , 及 dim Im T + dim ker T = n,
知 Im T ⊕ ker T = V . 取 ker T 的基α 1,α 2, α n − r , 扩充成 V 的基α 1, , α n − r , α n − r +1 , α n . 则有 ∀α ∈V , Tα ← {Tα n− r +1 , , Tα n }, 结合 Im T ⊕ ker T = V, 可得 T α n − r +1 , , T α n 是ImT的一个基. 则有 α1, , α n− r , Tα n− r +1 , , Tα n 是V的一个基. 于是
(是V 中同一向量在基 α1 , α 2 , , α n 下的坐标) 注:求T 的特征值、特征向量时,可以先求其矩阵的特 征值、特征向量;T 的特征多项式、最小多项式就 是它的矩阵的特征多项式的最小多项式.
6
例: 设T 是数域F上n维线性空间V 的线性变换,且满足
Im T + ker T = V .
由α ∈ ker T 知, Tα = 0. 由α ∈ ImT 知, 存在β ∈V,使得T β = α . 1 2 1 1 于是 α = T β = T β = T (T β ) = T α = 0. 3 3 3 即 Im T ∩ ker T = {0}.
又 故
8
dim Im T + dim ker T = n,
T ( β ) = T (T (α ) ) ∈ Im T (2) ∀α ∈ Ker T,T (α ) = O ∈ Ker T
矩阵论引论
矩阵论引论矩阵论是现代数学中的一个重要分支,它研究了矩阵及其相关性质和运算规律。
矩阵论具有广泛的应用领域,包括线性代数、概率论、统计学、物理学、工程学等等。
本文将介绍矩阵论的基本概念、运算规则以及其在实际问题中的应用。
1. 矩阵的基本概念矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
一个矩阵由m行n列的元素组成,记作A=[a_ij]_(m×n),其中a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素。
矩阵的大小由其行数和列数决定,可以是任意的正整数。
2. 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法等。
矩阵的加法和减法遵循相同的规则,即对应位置的元素相加或相减。
数乘指的是将矩阵中的每个元素与一个标量相乘。
矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的一种运算,它不同于数乘。
矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律,即AB≠BA。
3. 矩阵的特殊类型矩阵可以分为方阵、对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等不同类型。
方阵是指行数和列数相等的矩阵,对称矩阵是指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵,上三角矩阵是指主对角线以下的元素全为0的矩阵,下三角矩阵是指主对角线以上的元素全为0的矩阵。
4. 矩阵的性质和定理矩阵具有许多重要的性质和定理,如矩阵的转置、矩阵的迹、矩阵的秩等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
矩阵的迹是指矩阵主对角线上元素的和。
矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行(或列)的最大个数。
5. 矩阵的应用矩阵论在实际问题中有广泛的应用。
在线性代数中,矩阵论用于解线性方程组、求矩阵的逆和特征值等。
在概率论和统计学中,矩阵论用于描述和分析随机变量之间的关系。
在物理学中,矩阵论用于描述量子力学中的算符和态矢量的变换。
在工程学中,矩阵论用于信号处理、图像处理、控制系统设计等领域。
总结:矩阵论是一门重要的数学学科,它研究了矩阵的基本概念、运算规则以及其在各个领域中的应用。
矩阵论的研究为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
通过对矩阵的深入理解和应用,我们可以更好地理解和分析复杂的现象,并为实际问题的解决提供有效的解决方案。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容,是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧,也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块,可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算,同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰,从而能够大大简化运算步骤,或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明,将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算,几类特殊的分块矩阵,讨论了分块矩阵的初等变换,接着介绍了分块初等矩阵及其性质,最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用,包括在在行列式计算中的应用,在证明矩阵秩的问题中的应用,在矩阵求逆问题中的应用,在解线性方程组问题中的应用,在线性相关性及矩阵分解中的应用,在特征值问题中的应用,在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想,说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化,所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra,it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time,it makes the structure of the original matrix look simple and clear,so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning,this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix,then,it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last,it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds,including the use in the calculation of determinant,the testify of the problem of the rank of matrix,the answer of the inverse of matrix,the answer of system of linear equations,the linear correlation and the dividing of matrix,the problem of the eigenvalue,the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix,It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上(下)三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列(行)向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一,有极其实用的价值。
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⎛ Y1T ⎞ ⎜ T⎟ Y P −1 = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ T⎟ ⎜Y ⎟ ⎝ n ⎠
Y1T X n ⎞ ⎟ Y2T X n ⎟ ⎟ ⎟ T Yn X n ⎟ ⎠
⎛ Y1T ⎞ ⎜ T⎟ Y E = P −1 P = ⎜ 2 ⎟ ( X 1 , X 2 , ⎜ ⎟ ⎜ T⎟ ⎜Y ⎟ ⎝ n ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
BiC i
这样 即 所以 即为 所以
rankEi = rank ( Bi Ci ) ≤ rankBi = ri
∑ rankE
i =1
s
i
≤
s
∑r
i =1
s
i
=n
而 即
≤ r1 + r2 +
,s
E = ∑ Ei
i =1
s
s
rankE ≤
∑ rankE
i =1
i
n ≤ ∑ rankEi
i =1
r a n k E i ≤ ri
r1 + r2 + + rs ≤
∑E
i =1
s
i
+ rs
rankE i = ri
i = 1, 2,
西安理工大学
12
矩阵论
实对称矩阵和Hermite矩阵的谱分解 (1)求 A 的特征值和正交单位特征向量,并记
9
矩阵论
证明(3)
( Ei E j = ( X 1( i ) , X 2i ) ,
⎛ Y1( i )T ⎜ ( i )T Y (i ) ⎜ 2 , X ri ) ⎜ ⎜ ( i )T ⎜ Yr ⎝ i
⎛0 ⎜ (i ) ⎜ 0 , X ri ) ⎜ ⎜ ⎝0
⎞ ⎟ ⎟ ( X ( j) , X ( j) , 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⎠
k =1
(1) (1)T k k
+
+ ∑ X k( s )Yk( s )T = E1 +
k =1
+ Es
西Байду номын сангаас理工大学
10
证明(5) ˆ 设 E和 E 是A 的对应于λ 的满足(1)~(4)的谱阵 首先证明 E A = AE
i
矩阵论
i
i
i
i
Ei A = Ei ∑ λk Ek = λ1 Ei E1 +λ2 Ei E2 +
的谱阵和谱分解.
解: 特征值为 λ1 = 4, λ2 = 2i, λ3 = −2i ⎛ −1 ⎞ 对应的特征向量为 X = ⎜ −1 ⎟ , X ⎜ ⎟
1
λ E − A = (λ − 4)(λ 2 + 4)
则
P −1
⎛ 1 ⎜−2 ⎜ 1− i =⎜ ⎜ 4 ⎜ ⎜1− i ⎜ ⎝ 4
1 2 1+ i − 4 1+ i 4 −
, λn )
2
西安理工大学
则有
矩阵论
Yi T A = Yi T Pdiag (λ1 , λ2 , = ( 0,
, λn ) P −1 ⎛ λ1 ⎜ λ2 , 0) ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ Y1T ⎞ ⎟⎜ T ⎟ ⎟ ⎜ Y2 ⎟ = λ Y T i i ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ λn ⎠ ⎜ YnT ⎟ ⎝ ⎠
i =1 i
s
i
Ei E j = O
i≠ j
i, j = 1, 2,
,s
(2) (4) ∑ E
s i =1 i
E i2 = E i
i
i = 1, 2, i = 1, 2,
,s ,s
= E
(5)满足(1)-(4)的谱阵 E 是唯一的.
rankE i = ri
i = 1, 2, ,s
西安理工大学
k =1
s
+λs Ei Es
= λi Ei Ei = λ1 E1 Ei +λ2 E2 Ei +
= ( ∑ λ k E k ) E i = AE i
s
+λs Es Ei
其次证明 由于 有 所以
k =1
ˆ Ei E j = O
AEi = λi Ei Ei = λi Ei
ˆ (λi − λ j ) Ei E j = O
西安理工大学
1
矩阵论
定理3.15 若A 是单纯矩阵,则 A 与对角阵相似. 证明:设 X , X , , X 是 A 的分别对应于特征值
1 2 n
λ1 , λ2 ,
, λn
的线性无关的特征向量, 则
P
记
P = (X1, X2, , Xn )
可逆. 令
由于
∑λ A
i =1 i
n
i
3
矩阵论
定义3.17设 n 阶单纯矩阵 A有 s个互异的特征值
λ1 , λ 2 ,
, λs
, rs
其重数分别为
r1 , r 2 ,
其中 ∑1 ri i=
s
= n
对应于 λ i 的 ri 个线性无关的特征向量为
( X 1(i ) , X 2i ) ,
, X r(ii )
, Yri(i )T
8
矩阵论
证明:(2) 因为
( Ei = ∑ X k( i )Yk( i )T = ( X 1( i ) , X 2i ) , k =1 ri
所以
( E i2 = ( X 1( i ) , X 2 i ) ,
⎛ Y1( i )T ⎞ ⎜ ( i )T ⎟ Y , X r(ii ) ) ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ( i )T ⎟ ⎜Y ⎟ ⎝ r ⎠
A
−1 T 1
Yi T ,这里
T 2
YnT )
T
Ei = ∑ X k(i )Yk(i )T
k =1
ri
(4)写出
A
的谱分解:
A=
∑λE
i =1 i
s
i
西安理工大学
5
矩阵论
例3.14 求
⎛3 3 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 −2 ⎟ ⎜ −3 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠
T 2
⎞ 0 ⎟ T ⎟ ⎛ Y1 ⎞ i ⎜ ⎟ − ⎟ = ⎜ Y2T ⎟ 2⎟ ⎜ T ⎟ Y ⎟ 1 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎟ 2 ⎠
⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ i ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −1⎟ , X 3 = ⎜ −i ⎟ ⎜ i ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
从而 Y T = (− 1 , − 1 ,0)
则有
A = Pdiag (λ1 , λ2 ,
= ( X 1, X 2 ,
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, λn ) P −1
λ2
⎞ ⎛ Y1T ⎟⎜ T ⎟ ⎜ Y2 ⎟⎜ ⎟⎜ λ n ⎠ ⎜ YnT ⎝ ⎞ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ λ1 ⎜ , Xn)⎜ ⎜ ⎜ ⎝
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7
矩阵论
谱阵的性质 定理3.15 设 λ1 , λ2 ,
r1 , r2 , , rs
, λs 是 n
s i =1
阶单纯矩阵 A 的重数为 ,E 是 A 的对应于 λ i
i
的特征值,∑
ri = n
的谱阵,则有: (1) (3) (6)
A=
∑λE
)
( i )T k
左特征向量为 Y1(i )T , Y2(i )T , A = ∑ λ (∑ X Y 使得
s ri i =1 i k =1 (i ) k
∑ λ E ……(1)
i =1 i i
s
Ei = ∑ X k(i )Yk(i )T i = 1, 2, , s
ri
称(1)式为 n 称(2)中的 n
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
( = ( X 1(i ) , X 2i ) ,
⎛1 ⎜ 1 (i ) ⎜ , X ri ) ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎛ Y1(i )T ⎞ ⎟ ⎜ ( i )T ⎟ ⎟ ⎜ Y2 ⎟ = E i ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ 1 ⎠ ⎜ Yr(i )T ⎟ ⎝ ⎠
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11
ˆ ˆ Ei = Ei E = Ei ( E1 + E2 +
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矩阵论
证明(6)
E i = ( X 1( i ) , X
(i) 2
,
⎛ Y1 ( i ) T ⎜ ( i )T Y , X r(i i ) ) ⎜ 2 ⎜ ⎜ ( i )T ⎜Y ⎝ r
⎧ 1, i = j Yi T X j = δ ij = ⎨ ⎩ 0, i ≠ j
⎛ Y1( i ) T ⎜ ( i )T ( i ) ⎜ Y2 , X ri ) ⎜ ⎜ ( i )T ⎜Y ⎝ r
⎞ ⎟ ⎟ ( X (i ) , X (i ) , 2 ⎟ 1 ⎟ ⎟ ⎠
⎛ Y1( i ) T ⎜ ( i )T ( i ) ⎜ Y2 , X ri ) ⎜ ⎜ ( i )T ⎜Y ⎝ r
⎛ 1+ i ⎜ 4 ⎛ i ⎞ ⎜ i+1 ⎜ ⎟ 1− i 1+ i 1 = ⎜ −i ⎟ ( , , ) = ⎜− ⎜ 4 2 4 ⎜ 1 ⎟ 4 ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 1− i ⎜ ⎝ 4
⎛ 1 ⎜ 2 ⎛ −1⎞ ⎜ 1 1 1 ⎜ ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ ( − , − , 0) = ⎜ ⎜ 2 2 ⎜ 1 ⎟ 2 ⎜ ⎝ ⎠ ⎜− 1 ⎜ ⎝ 2
⎞ ⎟ ⎟=O ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
i≠ j
证明(4) 设 则有 从而
−1
(1) P = ( X1(1) , X 2 ,
(1)T 1
r1
, X r(1) , 1