离散型随机变量的均值第2课时
新人教版高中数学选择性必修第三册7.3.1 离散型随机变量的均值课件
70%
10%
15%
5%
各门诊就诊人次
占李村总就诊人
次的比例
第七章 随机变量及其散布
已知一个结算年度内每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门 诊就诊的平均费用分别为50元、100元、200元、500元,且李村一个结算年度内去 门诊就诊总人次为2 000. (1)李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中,60岁以上的人次占了8 0%,从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次,恰好2人次都是60岁以上人次的概 率是多少? (2)如果将李村这个结算年度内各门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概 率,求李村这个结算年度内每人次用于门诊实付费用(报销后个人应承担部分)X的 散布列与期望. 解析 (1)由表2可得李村一个结算年度内去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三 甲医院门诊就诊的人次分别为2 000×70%=1 400,2 000×10%=200,2 000×15%=300, 2 000×5%=100,
考试情况
男学员
Байду номын сангаас
女学员
第1次考科目二人数
1 200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
第七章 随机变量及其散布
以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、 女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现 有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试.
第七章 随机变量及其散布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过实例理解离散型随机变量的均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均 值. 2.理解离散型随机变量的均值的性质. 3.会利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题.
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
离散型随机变量的均值与方差(二)
例3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环 境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两 个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次 数的分布列分别为
0 1 2 3 0.2 2 0.4
0.3 0.3 0.2 0 0.1 1 0.5
试评定这两个保护区的管理水平．
选修2—3 第二章 概率
离散型随机变量的均值 与方差（二）
离散型随机变量的数学期望怎样计算？它有怎样 的性质？
特别地 性质
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但 有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也 可能很大。我们需要另一个数来反映随机变量取 值的集中情况。
方差越小，随机变量的取DX ( x1 EX )2 p1 ( x2 EX )2 p2
( xn EX )2 pn
例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面 的点数的均值、方差．
例2 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射 击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一 次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手 一律另加 2 分．已知射手小李击中目标的概率为 0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
2.5.1离散型随机变量的均值
nM E( X ) = N
基础训练3： 基础训练 ：
1．一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 个 ．一个袋子里装有大小相同的 个红球和2个 黄球，从中无放回地取 次 黄球，从中无放回地取4次，则取到红球次 数的数学期望是
2.4
.
2． 口袋中有大小相同的若干个白球和若干个 ． 红球，某学生一次从中摸出8个球，摸出红 红球，某学生一次从中摸出 个球， 个球 球数X的数学期望为 ， 球数 的数学期望为2，则若该学生从中摸出 的数学期望为 7个球，摸出白球的数学期望为 5.25 . 个球， 个球
结论2： 结论 ： X
nM H ( n, M , N ) ⇒ E ( X ) = N
某课外活动小组有4名男生和 名女生， 名男生和6名女生 例3. 某课外活动小组有 名男生和 名女生，现 要从中选3人组成一个调查小组 人组成一个调查小组， 要从中选 人组成一个调查小组，设其中男 生人数为X． 生人数为 ． (1)求X的分布列； (2)求X的期望 的分布列； 的期望. 求 的分布列 求 的期望 一般地，如果随机变量 服从超几何分布 服从超几何分布， 一般地，如果随机变量X服从超几何分布， 即X～H(n，M，N)，则 ～ ， ， ，
基础训练1： 基础训练 ：
1．随机变量ξ 的分布列是 随机变量 ξ 1 3 P 0.5 0.3 (1)则E(ξ)= 2.4 . 则 (2)若 η=2ξ+1，则E(η)= 5.8 若 ， 2．随机变量 的分布列是 ．随机变量ξ的分布列是 7 a E(ξ) =7.5, 则a= 0.1 ξ P 4 0.3 9 b b= 0.4 10 0.2 . 5 0.2 .
思考1.某商场的促销决策： 思考1.某商场的促销决策： 1.某商场的促销决策
新人教A版高中数学《7.3.1 离散型随机变量的均值》教学设计
7.3.1 离散型随机变量的均值教学设计一、内容与内容解析1.内容：离散型随机变量均值的定义，随机变量的均值与样本均值的联系与区别，离散型随机变量均值的性质，利用组合数解决实际问题.2.内容解析：（1）离散型随机变量均值的定义：我们的目的是构造一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.设取有限个值的离散型随机变量X ，它的分布列为p i =P(X=x i )，i=1，2，…，n.可以直接构造以p i 为x i 的权重的加权平均数∑x i p i n i=1，来描述X 取值的平均水平.由于随机变量的均值和方差都是度量性的概念，而度量因比较而产生，因此教科书并未直接给出均值的定义，而是以比较两名运动员的射箭水平为问题情境，以频率稳定到概率为依据，由X 观测值的频率分布稳定到X 的分布列，观测值的平均数（样本均值）稳定到∑x i p i n i=1，将样本均值的稳定值定义为随机变量的均值．这种方法揭示了样本均值与随机变量均值（总体均值）的关系，为用样本均值估计随机变量均值提供了依据． 随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的．如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计．（2）随机变量的均值与样本均值的联系与区别：了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义．为此教科书设置了一个观察栏目，以掷骰子为例，已知出现点数X 的均值为3. 5，利用计算机模拟掷骰子重复60次和300次的试验各进行6组，用图形表示掷出点数的平均数．观察图形可以看到掷出点数的平均数具有随机性，但随着试验次数的增大，点数的平均数逐渐稳定到3. 5实际上，频率稳定到概率是样本均值稳定到随机变量均值的特殊情形．在教学中，还可以再多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系．（3）离散型随机变量均值的性质：随机变量的均值有许多性质，我们主要研究其线性运算性质E(aX+b)=aE(X)+b. 该性质根据定义不难直接证明．在教学中，可引导学生类比平均数的性质或根据均值的意义，先猜出结果再计算证明．在后面的学习中，包括求随机变量的均值、方差及探究方差的性质，都可以进行这方面的训练，这是培养学生直观想象素养的重要途径．在教学中，教师可根据学情向学生提出以下问题：设X,Y 都是离散型随机变量，如何求E(X 十Y ）？让学生根据均值的意义，猜出结果．也可以进行掷两枚般子的试验，通过求点数之和X十Y的均值，发现结论．一般地，有E(X +Y)=E(X)+E(Y).（4）利用均值解决实际问题：本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有着承前启后的作用.随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，本节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程.3.教学重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用．二、目标与目标解析1.目标：（1）理解离散型随机变量的均值的意义和性质．（2）能够根据离散型随机变量的分布列求出均值．（3）运用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）能根据定义求解离散型随机变量的均值.（2）能掌握两个随机变量的均值公式，并熟练求解.（3）可以快速有效的解决常见离散型随机变量的均值应用问题.三、教学问题诊断解析1.问题诊断：（1）让学生理解离散型随机变量均值的定义是教学的难点.实际上我们构造了一个数值，用来描述随机变量取值的平均水平.因为随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的，学生如果不能体会到为什么引入权重计算加权平均数，不明白为什么要学习离散型随机变量均值，可能会产生对定义公式的陌生感．解决方案：以比较两名运动员的射箭水平为具体的问题情境，通过比较两名运动员的射箭成绩均值，从而感知引入均值概念的必要性.（2）让学生体会随机变量的均值与样本均值的联系与区别是第二个教学问题，也是教学的难点.了解随机变量均值与样本均值的关系，可以进一步深入理解随机变量均值的意义．随机变量的均值（数学期望）是样本均值的稳定值，它是客观存在的．如果随机变量的分布列已知，期望值唯一确定；如果随机变量的分布列未知，可由样本均值进行估计．解决方案：在教学中，还可以多进行几次模拟试验，类比事件的频率稳定到概率，了解样本均值的特点及其与随机变量均值的关系.2.教学难点：对离散型随机变量均值的意义的理解．四、教学支持条件希沃白板软件五、教学过程 一、 问题导学对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差.本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值.二、 探究新知探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n 次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：甲n 次射箭射中的平均环数当n 足够大时，频率稳定于概率，所以x 稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9, 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.1、离散型随机变量取值的平均值.一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为：则称E(X)=x 1p 1+x 2p 2+⋯+x i p i +⋯+x n p n为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.312478910.n n n nx n n n n=⨯+⨯+⨯+⨯三、典例解析例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X 的均值是多少?分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X =1,不中时X =0,因此随机变量X 服从两点分布,X 的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 解：因为P(X =1)=0.8，P(X =0)=0.2，所以E(X )=1×P(X =1)+0×P(X =0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X 的均值是0.8. 一般地，如果随机变量X 服从两点分布， 那么： E(X)＝1×p +0×(1−p)=p ．设计意图：例1的教学重点是通过教学活动使学生认识到，对于一般的0-1分布，均值就是事件A 的概率，样本均值是事件A 发生的频率． 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X 的均值. 分析:先求出X 的分布列,再根据定义计算X 的均值. 解：X 的分布列为P (X=k)= 16,k=1,2,3,4,5,6 因此,E(X)= 16(1+2+3+4+5+6)=3.5. 求离散型随机变量X 的均值的步骤：(1)理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求出X 取每个值时的概率； (3)写出X 的分布列(有时也可省略)； (4)利用定义公式E (X )=∑x i p i n i=1求出均值探究2. 已知X 是一个随机变量，且分布列如下表所示.设a,b 都是实数且a ≠0,，则Y =a X + b 也是一个随机变量，那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢？P p 1p2…p i…p n离散型随机变量的均值的性质若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.歌曲A B C猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立P(X=0)=P(A)=0.2, P(X=1000)=P(A B)=0.8×0.4=0.32,P(X=3000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.6=0.288,(X=6000)=(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192.X的分布列如下表所示：X0100040006000P0.20.480.1280.192X的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336.思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？解：如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立; (X=0)=(A)=0.2,(X =1000)=(A C )=0.8×0.4=0.32,P (X =3000)=P (A C B )=0.8×0.4×0.4=0.128, (X =6000)=(A CB)=0.8×0.4×0.6=0.192. X 的分布列如下表所示： X 0 1000 3000 6000 P 0.20.320.2880.192X 的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.48+4000×0.128+6000×0.192=2144.按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大设计意图：通过解决实际问题，了解风险决策的原则及一般方法.对于例3，选择不同的猜歌顺序，X 的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序，这称为期望值原则．猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜．对于教科书边空中的问题，可以让学生列出所有不同的猜歌顺序，分别求出X 的分布列和均值，通过比较进行验证．实际上，猜3首歌有6 种不同的顺序，不同顺序及其E(X)如表所示．例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元.方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水. 方案3：不采取措施，希望不发生洪水. 工地的领导该如何决策呢?解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元,猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元 ABC 2336 BCA 2112 ACB 2144 CAB 1904 BAC2256CBA1872因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3800,E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2能使总损失减到最小,不过,因为洪水发生的随机性,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的.设计意图：例4也是利用期望值决策的问题．在教学中，重点是使学生领悟利用期望值决策的思想方法，同时也要了解期望值决策的局限性．随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则是一个合理的决策原则．例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔金额的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义．如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其他的决策原则．四、小结1. 期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n2. 期望的意义：离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平.3. 期望的计算公式：E(aX+b)=aE(X)+b4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：(1)确定取值：理解X 的实际意义，写出X 全部可能取值； (2)求概率：求出X 取每个值时的概率； (3)写分布列：写出X 的分布列(有时也可省略)； (4)求均值：利用定义公式∑x i p i n i=1求出均值 5.特殊随机变量的均值(两点分布的期望)：E(X)=p.五、课后作业P66-67练习1、2、3题 P71习题7.3的2、3、4、6题六、教学反思本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得.为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标.进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.。
离散型随机变量均值与方差(二)
它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动， 它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动， 集中与离散程度。Dξ越小，稳定性越高，波动越小 集中与离散程度。 越小，稳定性越高，
1)当a=0时, 2)当a=1时, 3)当b=0时, D(b)=0 D(ξ+b)=Dξ D(aξ)=a2Dξ
甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下: 乙两名射手在同一条件下进行射击，
1)意义:
方差反映了ξ取值的稳定与波动， 取值的稳定与波动， 集中与离散程度 2)计算公式： 计算公式：
(1 ) D ( a ξ + b ) = a 2 D ξ 2 2 2 ( 2 ) D ξ = E (ξ − E ξ ) = E ξ − ( E ξ )
(3)若ξ~B（n,p）
(1) E (aξ + b) = aEξ + b
复习回顾： 复习回顾： 1、期望的含义： 期望的含义： 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2、期望公式： 期望公式： Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + L + x n pn + L 3、求期望的步骤 ： (1)列出相应的分布列 (1)列出相应的分布列 (2)利用公式 (2)利用公式 4、随机变量函数η=aξ+b的期望 随机变量函数η=aξ+b的期望 η=aξ+b Eη = E (aξ + b) = aEξ + b
xn pn
… …
二、方差的概念
Eξ = x1 p1 + x 2 p2 + L + x n pn + L 1)意义: 期望反映了ξ取值的平 均水平。 均水平。 2)计算公式： 计算公式：
(2)若ξ~B（n,p）
高中数学选修2-3精品课件：2.3.1 离散型随机变量的均值
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
3 8
3 8
1 8
1 8
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则 P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18. 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P(A1A2A3)＝1－(18)3＝1－5112＝551112. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是551112.
且事件 E 与 F，E 与 F ， E 与 F， E 与 F 都相互独立.
(1)记 H＝{至少有一种新产品研发成功}，则 H ＝ E F ， 于是 P( H )＝P( E )P( F )＝13×25＝125， 故所求的概率为 P(H)＝1－P( H )＝1－125＝1135.
(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X 万 元 ， 则 X 的 可 能 取 值 为
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
解 X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有 P(X＝10)＝C13×(21)1×(1－21)2＝83， P(X＝20)＝C23×(21)2×(1－21)1＝83， P(X＝100)＝C33×(12)3×(1－12)0＝18， P(X＝－200)＝C03×(21)0×(1－21)3＝81.
1234
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B 队最后所得总分分别为X，Y. (1)求X，Y的分布列； 解 X的可能取值分别为3,2,1,0. P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2785， P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25， P(X＝0)＝13×35×35＝235； 根据题意X＋Y＝3，
【高中数学】离散型随机变量的均值 课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
8
9
10
张娟娟射中的
概率
0.1
0.2
0.3
0.4
朴成贤射中的
概率
0.15
0.25
0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢?
追问1：解决问题从哪里入手呢？
假设张娟娟射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分布表：
环数X
7
8
9
10
频数
1
2
3
4
频率
n3
n1
n2
n4
所以，甲n次射箭射中的平均环数为 x 7 8 9 10 .
名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A, B, C歌名的概率
及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
猜对的概率
A
0.8
B
0.6
C
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下: 按照A, B, C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下
一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
追问3：从平均值角度比较，谁的射箭水平高？
张娟娟的射箭水平比乙高.
当n足够大时，
频率稳定于概率
概念形成
随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
P
x1
p1
x2
p2
‧‧‧
‧‧‧
xn
pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
7.3.1离散型随机变量的均值2课件(人教版)
这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆
之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个
城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费，不足5分钟的部分不计费)，这个司机
分钟的学生中分别抽取3人和4人，共7名学生进行座谈，了解各学科的
作业布置情况，并从这7人中随机抽取2名学生聘为学情调查联系人，
设[20,30)分钟的学生被聘的人数为X，求X的散布列与数学期望．
C42 2
C41C31 4
C32 1
[解] 由题意知 x＝0,1,2，P(x＝0)＝C 2＝7P(x＝1)＝ C 2 ＝7，P(x＝2)＝C 2＝7
C21 C22
2
P(X＝2)＝C 1·C 2＋C 1· C 2 ＝45，P(X＝3)＝C 1·C 2＝225
5
10
5
10
5
10
X
0
∴X的散布列为 P 28
75
1
2
3
104
225
7
45
2
225
28
104
7
2
180 4
E(X)＝0×75＋1×225＋2×45＋3×225＝225＝5
典型例题
X －2
P
1
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
A配方的频数
8
20
42
22
8
4
12
42
32
10
B配方的频数
离散型随机变量的均值和方差
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE b
即 E(a b) aE b
离散型随机变量的均值的理解
(1) 均 值 是 算 术 平 均 值 概 念 的 推 广 ， 是 概 率 意 义 下 的 平 均．
(2)E(X)是一个实数，是由X的概率分布唯一确定的，它 描述X取值的平均状态．
8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信
2
件数ξ的数数学期望Eξ＝_____3___.
若ξ~B(n，p)，则Eξ= np
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
第二课时：随机变量取值的方差和标准差
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数 学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
x1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题:离散型随机变量 的均值第2课时
授课:张贤华 学校:衡阳市第八中学 时间:201机变量均值的概念： 若离散型随机变量X的分布列为
x2 … xi … xn P p1p2 … pi … pn 则 称 EX ＝ x1p1 ＋ x2p2 ＋ … ＋ xipi ＋…＋ xnpn 为随机变量X的均值
作业布置
P69习题2.3A组：2，3.
B组：1，2.
应用举例
例3 (2012.浙江理)已知箱中装有4个 白球和5个黑球,且规定:取出一个白 球得2分,取出一个黑球得1分.现从该 箱中任取(无放回,且每球取到的机会 均等)3个球,记随机变量 X 为取出3球 所得分数之和. 13 (1)求X的分布列; (2)求X的数学期望E(X). 3
应用举例
例4 根据气象预报,某地区近期有小洪水的 概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地 区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时 要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000 元.为保护设备,有以下3种方案： 方案1：运走设备,搬运费为3800元. 方案2：建保护围墙,建设费为2000元,但围 墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好. 方案2为好
X x
1
或数学期望.
知识要点
2.离散型随机变量均值的性质： (1)E(aX＋b)＝aEX＋b； (2)若随机变量X服从两点分布,则 EX＝p； (3)若随机变量X～B(n,p),则EX＝
np.
应用举例
例1 一次单元测验由20个选择题构成, 每个选择题有4个选项,其中仅有一个 选项正确.每题选对得5分,不选或选错 得0分,满分100分.学生甲选对任意一 题的概率都为0.9,学生乙则在测验中 对每题都从各选项中随机地选择一个, 分别求甲、乙两个学生在这次测验中 所得成绩的期望值.
学生甲：90分；学生乙：25分.
应用举例
例2（2009.湖南卷)为拉动经济增长,某市 决定新建一批重点工程,分为基础设施工程, 民生工程和产业建设工程三类,这三类工程 所含项目的个数分别占总数的1/2,1/3,1/6, 现有3名工人独立地从中任选一个项目参与 建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的 1 P = 概率； 6 (2)记ξ 为3人中选择的项目属于基础设施 工程或产业建设工程的人数,求ξ 的分布列 Eξ ＝2 和数学期望.
应用举例
例5 (09浙江卷)在1,2,3,…,9这九个 自然数中,任取3个数. (1)求这3个数中,恰有一个是偶数的 10 概率； 21 (2)记ξ 为这三个数中两数相邻的组 数(例如：若取出的数为1、2、3，则 有两组相邻的数1、2和2、3,此时ξ 的值是2),求随机变量ξ 的分布列及 2 E 其数学期望. 3