3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时)

分 当 co s co s 0时 ， 子 分 母 同 时 除 以 co s co s
t a n ( α +β ) = tanα+ tanβ 1 - tanα tanβ
记 ： T( + )
t a n ( α +β ) =
tanα+ tanβ 1 - tanα tanβ
上式中以代得
练习课本 P132 6、7
6 (3) sin x cos x 4 4 4 4 2
练习
练 2、已知 tan( ) 求 tan(
4 5
, tan(

4
)
1 4
,

4
)的值.
练习
5 5、已知x 0, ，求函数y cos( x) cos( x)的值域. 2 12 12
sin x
a a b
2 2
cos x 2 2 a b b
令

a b
2 2 2
cos sin
b a b
2 2

sin x cos cos x sin
a b cos x
2 2
a b sin x
五.小结
sin ( ) sin co s co s sin
sin ( ) sin co s co s sin
t a n ( α +β ) = tanα+ tanβ 1 - tanα tanβ
作业：
课本P137 5—10
P146 1、2、4、 7
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
复习
cos ( – ） =cos cos + sinsin
co s( ) ?
cos cos – sin sin
sin ( ) ?
sin ( ) ?
二、公式的推导
sin

sin ( ) ?
两角和与差的正弦公式
sin

sin co s co s sin
简记：S( )
sin ( ) ?
用 代
sin ( ) sin [ ( )] sin co s( ) co s sin ( )
2 sin cos( x) cos sin( x) 4 12 4 12 2 sin ( x) 4 12
2 sin(

6
y
x)
2 2 sin x , 2 6 2
sin ( ) sin co s co s sin
简记：S( )
两角和的正切公式：
tan ( )

s i n ( α +β ) c o s ( α +β )
sinα cosβ+ cosα sinβ cosα cosβ- sinα sinβ
(3) 1 ta n 1 5 1 - ta n 1 5
。 。 。
。
。
。
。
。
0
。 。

。
ta n 4 5
。
ta n 1 5
。 。
1 - ta n 4 5 ta n 1 5 3
ta n ( 4 5
1 5 ) ta n 6 0
练习课本 P131 2、3、 4、5
补充 练 习
1、化简： ( 1 ) t a n ( α +β ) ( 1 - t a n α t a n β )
(1 tanα tanβ ) = tan tan t a n ( )
例3′、△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
∵ tan(A+B)=
tan A tan B 1 tan A tan B ,
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
解： y cos( x ) cos( ( x )) x 0, 2 12 2 12
cos( x ) sin( x) 12 12
x

6

2 , 6 3


x
1 sin x ,1 2 6
2 2

4
4 5
cos cos
2 2 ( 3 5

4
s in
2
)
7
;
10
cos(

4
) co s
2 2

4
4 5
co s sin
2 2 ( 3 5

4
sin
7 2 ;
)
10
ta n 1 1 ta n
t a n (

4
),

4
), tan (

解 ： 由 sin =cos
4 3
5
, 是 第 四 象 限 的 角 ， 得
2
1 sin
s in cos
1 ( )
3 5 2
4 5
,
所 以 ta n
于是有 sin(

3 4

4
) s in
t a n ( α -β ) =
tanα- tanβ 1 + tanα tanβ
变形：
t a n α + t a n β = t a n ( α +β ) ( 1 - t a n α t a n β )
t a n α - t a n β = t a n ( α -β ) ( 1 + t a n α t a n β )
3 + tan75
o
答案:
(1) 1
(2) -1
求下列各式的值：
(1)
1 tan 75 1 tan 75

(2) tan17+tan28+tan17tan28

解：1原式=
tan 45
tan 75


1 tan 45

tan 75

tan( 45


75 ) tan 120

4
ta n ta n ) 1 ta n ta n 3 4 1 ( 3 4 ) 1

4

4
7
例 3： 利 用 和 （ 差 ） 角 公 式 计 算 下 列 各 式 的 值 ： （ 1 ) s i n 7 2 c o s 4 2 c o s 7 2 s in 4 2 ; ( 2 ) c o s 2 0 c o s 7 0 s in 2 0 s in 7 0 ; (3) 1 ta n 1 5 1 - ta n 1 5
2
统一函数名:
a sin x b cos x a b sin( x )
2 2
其中
a a b
2 2
cos ,
b a b
2 2
sin .
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 sin cos
3 2 1 2
(2)
sin
cos
。 。 。 。 。 。 。 。 。
。
.
解 ： （ 1)由 公 式 得 ： sin72
。
cos 42
。
cos 72
。
s in 4 2 1 2 ;
。
s in (7 2
。
4 2 ) s in 3 0
。 。
。
。
( 2 ) c o s 2 0 c o s 7 0 s in 2 0 s in 7 0 cos(20 70 ) cos 90


3
2 ∵ tan( 17
28 )
tan 17
tan 28


1 tan 17
tan 28

∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
( )
2注意公式的结构，尤其是符号。
三 、公式应用
例 ：不查表求sin105 、sin15 、tan15 . 1

解： 1 ） in 1 0 5 （ s
s in 6 0 4 5 ） （ = s in 6 0 c o s 4 5 c o s 6 0 s in 4 5 3 2 6 4 2 2 2 1 2 2 2
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1)
3 2
sin
1 2
cos
(2)sin cos
(3)a sin x b cos x
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
a sin x b cos x