【全国百强校首发】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)答案
2019年湖南长郡中学高三理科数学月考高考模拟试卷(附答案)
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理科数学试题!长郡版"第!" 页!共"页"
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湖南省2019届高三三模数学(理)试卷附答案
湖南省2019届高三三模数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合{}R x x y y M ∈-==,12，{}R x x y x N ∈-==,32，则MN 为A ．]3,3[-B ．]3,1[-C ．φD ．]3,1(- 2.下列命题中，正确的是①{}也成等差数列，项和，则是其前是等差数列，已知n n n n n n n S S S S S n S a 232,--； ②“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件； ③复数321,,Z Z Z ，若()()0232221=-+-Z Z Z Z ，则31Z Z =；④命题“02,020>--∈∃x x R x ”的否定是“02,2<--∈∀x x R x ”A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．92B ．275C ．31D ．324555.在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边 关于y 轴对称．若3tan 5α=，则()βα-tan 的值为 A ．0 B ．1715 C ．169 D ．8156.已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点D C B A ，，，的距离都大于1的概率为A.π B.π C.π223- D.1π- 开始7.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同， 如图所示，记甲的体积为甲V ，乙的体积为乙V ，则有 A ．乙甲V V < B ．乙甲V V =C ．乙甲V V >D ．乙甲、V V 大小不能确定8.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12展开式的各个二项式系数的和为128，则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中2x 的系数为A ．44B ．560C ．7D ．359.已知点P 为双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，右支上一点，点2,1F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是21F PF ∆的内心，若恒有212131F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，3]D ．(1，3]10.设函数x x f lg )(=，若存在实数b a <<0，满足)()(b f a f =，则8log 222b a M +=,221log ⎪⎭⎫⎝⎛+=b a N ，21ln e Q =的关系为A ．Q N M >>B ．N Q M >>C ．M Q N >>D ．Q M N >>11.如图，GCD ∆为正三角形，AB 为GCD ∆的中位线，AE AB 3=,BF BC 3=,O 为DC 的中点，则向量FE ，夹角的余弦值为A.21 B.21- C.22- D.2212.已知函数234)(,132)(23+-=+-=x a x g ax ax x f ，若对任意给定的[]2,0∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间[]2,0上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1]B.(0，1)∪{－1}C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡181， D.(－1，0)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛181， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.某学校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法，从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为______．14.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若Z 的最小值是9-，则Z 的最大值为 ．15.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面，4,2,60,====∠︒AC PA AB BAC ABC 则三棱锥ABC P -外接球的体积为 ．16.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)1(),1()21(=-=+f x f x f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(124+∈=-N n S a n n ，则)()(63a f a f +＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2π≠A ，且 ,sin cos 62sin B A A b =（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若3π=A ，求ABC ∆周长的取值范围．18.（本小题满分12分）政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机 抽样的方法抽取110人进行统计，得到如右列联表：(Ⅰ)用独立性检验的思想方法说明有多少的把握认为不买房心理预期与城乡有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（Ⅱ）某房地产中介为增加业绩，决定针对买房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面， //,1, 4.DC EB DC EB AB === （Ⅰ） ACD DE 平面求证：⊥;（Ⅱ）.值所成的锐二面角的余弦与平面，求平面若ABE AED BC AC =20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．（Ⅰ）若2=x 是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设,m n 为正实数，且m n >，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22，23两题中任选一题作答。
2019年湖南长郡中学高三理科数学第三次月考高考模拟试卷(附答案)
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题 Word版含解析
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得因为PF1∥QF2，所以，从而，选C. 【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
2019届长郡高三月考试卷(三)理数
!%!!本小题满分!#分" 某学校用简单随机抽样方法抽取了!$$名同学&对其日均课外阅读时间 !单位#<;:"进行调查&结果如下#
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三第三次调研考试数学(理科)试题(解析版)
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由 得 ，
作图可得 ,其中
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选B.
【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.
11.已知椭圆 的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列 函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得 的最大值，即得 的最大值.
【详解】因为 ，所以 ,
因此 ,
因为 ,所以 .即 的最大值为
【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.
因为 PCD为正三角形，所以 ， ，
因为PB＝PE＝ BE＝4，所以 ，
因为四边形BCDE为等腰梯形，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ，因此平面 平面 ,
（2）因为 ABE为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，所以 三点共线，
过M作 于 ,则 ,
④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会
其中正确结论的编号为
A. ①③ B. ②④ C. ② D. ③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.
【详解】甲同学平均值为 ，
方差为
乙同学平均值为 ，
方差为 ，
尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题(精编含解析)
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再化简不等式，最后根据唯一整数解确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，因此，所以，即，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及不等式整数解，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题. 11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
【百强名校】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)答案
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炎德英才大联考2019届长郡中学高三月考理数(答案)
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2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(A B = )A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]22．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．153．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( )A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．25．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．216．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．210．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．911．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．212．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( )A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数． 类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 ．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = ． 二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯．（1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(AB =)A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]2【解答】解：{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，33{|(32)1}{}22e B x ln x x -=-<=<<，3{|1}[12AB x x ∴=<=…，3)2．故选：B ．2．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．15【解答】解：由(2)1811z i i -=+， 得1811(1811)(2)582(2)(2)i i i z i i i i +++===+--+， ∴4512z i i -=-，则|4|13z i -=． 故选：C ．3．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( ) A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成是首项为103，公差为13的等差数列，则10313(1)1390a n n =+-=+，记其前n 天路程和为1S ，则113(1)1032n n S n -=+； 驽马走的路程可以看成是首相为97，公差为0.5-的等差数列，则97.50.5b n =-，记其前n 天路程和为2S ，20.5(1)972n n S n -=-， 所以1225200(1)4S S S n n n =+=+-． 由题输出时9n =，所以当8n =时，1950S m =<；9n =时，2250S m =…． 所以19502250m <…． 故选：C ．4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．2【解答】解：当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1． f ∴（6）f =（1），当11x -剟时，()()f x f x -=-， f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-， (1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=， f ∴（6）2=．故选：D ．5．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．21【解答】解261116203a a a a a ---+=， 22061611()()3a a a a a ∴+-+-=， 113a ∴=-， 21112163S a ∴==-，故选：C ．6．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【解答】解：若命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则“[1x ∀∈，2]，212x ax +>，即2111()22x a x x x+<=+恒成立，11()12x x x x+=， 1a ∴<，即实数a 的取值范围是(,1)-∞，故选：C ．8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称【解答】解：将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数2()cos(2)sin 236y g x x x ππ==+-=-的图象， 故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确； 当12x π=时，1sin62y π=-=-，故C 错误；当3x π=时，2sin3y π=-=D 错误， 故选：B ．9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．2【解答】解：由约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……作可行域如图，联立10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：(2,1)A ．化目标函数为直线方程得：(0)a zy x b b b=-+>．由图可知，当直线a zy x b b =-+过A 点时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小．2a b ∴+=即20a b +-=．则22a b +的最小值为24=．故选：B ．10．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：由(2)(2)f x f x -=+得，()(4)f x f x =+，()f x ∴的周期为4， (0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，(0)0f =，当20x -<<时，2()(1)f x ln x x =-++， ∴当22x -<<时，22(1),02()(1),20ln x x x f x ln x x x ⎧-+<<=⎨-++-<⎩…， 当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±， 由于()f x 的周期为4，∴当[0x ∈，8]时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8共7个．故选：C ．11．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【解答】解：由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选：A ．12．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( ) A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +【解答】解：2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()0f x ∴>恒成立；()[()]f x g f x e m ∴==，()f x lnm ∴=； 作函数()f x ，y lnm =的图象如下，结合图象可知，存在实数(01)m m <…，使122x x e m ==故1212x x m lnm -=-，令1()2g m m lnm =-，则1()12g m m'=-，故()g m 在(0，1]2递减，在1(2，1)递增，111()()2222g m g ln ∴=+…，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = 2【解答】解：||||cos120||a b a b b =︒=-，||2a =，|2|27a b -=，∴2222(2)4444||4||28a b a a b b b b -=-+=++=，解得||2b =或||3b =-（舍去）． 故答案为：2．14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 6 【解答】解：正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得21121116m n m n a a a q q a --==，2216m nm n q qq++-∴==，即422m n q q +=．且7652a a a =+，6541112a q a q a q ∴=+，即 22q q =+，∴正整数2q =，6m n +=． ∴12512512526125261()(125)()106666666m n m n m n m n m n n m n m ++=+=+++=+++=…， 当且仅当25m nn m=时，等号成立，故125m n+的最小值为6， 故答案为：6．15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数．类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 1(,)e+∞ ．【解答】解：设()()g x lnf x xlnx ==， 则()1g x lnx '=+， 令()0g x '>， 则1x e>，即()g x 在1(,)e +∞上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则， (0)x y x x =>的单调增区间为1(,)e +∞，故答案为：1(,)e+∞．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = 3 ． 【解答】解：ABC ∆中，1sin cos()sin 2B BC C =+，∴1cos()2b B C c =+，即cos 02bA c=-<， A ∴为钝角，cos cos 0A C ∴≠；由sin sin()sin cos cos sin 2cos sin B A C A C A C A C =+=+=-， 可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 133tan tan A C CB AC A C tan CC C+∴=-+=-===-++…，当且仅当tan C =时取等号；B ∴取得最大值时，1c b ==，6C B π==． 23A π∴=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：a =，三角形的周长为3a b c b b ++=++=．解得：b =，可得：3a =．故答案为：3．二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】（本小题满分14分）解：（1）由()f x a b =及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得2()s i n s i n c o s f x x x x =+⋯（2分） 1cos21sin 222x x -=+ ⋯（3分）1)242x π=-+ ⋯（4分） 令2242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（5分） 所以，()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（6分） （2）[6x π∈，]3π，∴5212412x πππ-剟．⋯（7分） 又sin y x =在[0,]2π上是增函数，5sinsin(2)sin12412x πππ∴-剟．⋯（8分） 又5222sin sin()sin cos cos sin 12343434πππππππ=-=-12==，⋯（9分）()f x ∴在[6x π∈，]3π，时的最大值是1()2max f x =+=．⋯（11分）不等式()2f x m -<恒成立，即()2f x m -<恒成立，⋯（12分）∴2m -<，即m >所以，实数m 的取值范围是)+∞．⋯（14分） 18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=． 则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-∠， 则：2214(4)2(4)2x x x x =+---， 整理得：2312120x x -+=， 解得：2x = 故：2AC =．（Ⅱ）由于2AC =，4AP AC +=， 所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形．由于：APB ∆的面积是则：1sin 2AP BP BPA ∠= 解得：4BP =． 在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-∠，解得：AB = 在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：4sin BAP =∠解得：sin BAP ∠=19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）定义域为R 的函数()f x 是奇函数， (0)0f ∴=，当0x <时，0x ->， ()23x xf x ---=-， 又函数()f x 是奇函数， ()()f x f x ∴-=-，∴()23x xf x -=+， 综上所述2(0)3()0(0)2(0)3x x x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩．（2）5(1)(0)03f f =-<=，且()f x 在R 上单调， ()f x ∴在R 上单调递减，由22(2)(2)0f t t f t k -+-<， 得22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，22(2)(2)f t t f k t ∴-<-， 又()f x 是减函数，2222t t k t ∴->-即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴△4120k =+<得13k <-即为所求．20．（12分）（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯． （1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，（2分）1110a -≠，∴*110()nn N a -≠∈，（3分） ∴11211()33n n a --=⨯， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．（4分）（2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．（5分） 1212111111111332()211333313n n n n n S n n n a a a +-=+++=++++=+=+--，（7分）若100n S <，则111003nn +-<，99max n ∴=．（9分） （3）假设存在，则2m n s +=，2(1)(1)(1)m n s a a a --=-，（10分）332n n na =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m sn m s --=-+++．（12分） 化简得：3323m n s +=，（13分）233323s m n m n +=+…，当且仅当m n =时等号成立．（15分）又m ，n ，s 互不相等，∴不存在．（16分）21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．【解答】解：（1）由题可知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()x x af x x +-'=， 因为函数()f x 在区间[1，)+∞上为增函数， 所以()0f x '…在区间[1，)+∞上恒成立， 等价于2()min a x x +…，即2a …，所以a 的取值范围是(-∞，2]．（4分） （2）由题得，2()g x xlnx ax a x =-+-， 则()2g x lnx ax '=-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ， 所以112lnx ax =，222lnx ax =，欲证2312x x e >等价于证2312()3ln x x lne >=， 即1223lnx lnx +>， 所以12322ax ax +>， 因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+，由112lnx ax =，222lnx ax =，可得22112()x ln a x x x =-，则21212()x lnx a x x =-，由可知，原不等式等价于21211232x lnx x x x x >-+， 即22211211213(1)3()221x x x x x ln x x x x x -->=++， 设21x t x =，则1t >，则上式等价于3(1)(1)12t lnt t t->>+，令3(1)()(1)12t h t lnt t t -=->+， 则2(1)(41)()(12)t t h t t t --'=+，因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以当1t >时，()h t h >（1）0+，即3(1)12t lnt t->+， 所以原不等式成立，即2312x x e >．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值． 【解答】解：()I 曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．消去参数t 可得普通方程：4320x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=，可得22cos sin ρθρθ=，可得直角坐标方程：2x y =． ()II 点P的极坐标为)4π-，可得直角坐标(2,2)P -．直线1C 的参数方程化为标准方程：325(425x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）． 代入方程：2x y =．可得：29801500t t -+=， 12809t t ∴+=，121509t t =． ∴12121280111189150||||||||159t t PA PB t t t t ++=+===．。
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长郡中学 # 三" $ " % 届高三月考试卷 !
数学 ! 理科 " 参考答案
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理科数学试题参考答案! 长郡版" !" !
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