【全国百强校】云南师范大学附属中学2016届高三适应性月考卷(二)数学(文)试题

云南师大附中2016届高考适应性月考卷（二）文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数f(x)＝ln （2x 一1)的定义域为A. ( 0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（一1，1）D.（一∞，一1）U （1，＋∞） 2、已知复数(1)(2),z i i =+-则｜z ｜＝A B C 、 D 、2 3、函数212()log (215)f x x x =+-的单调递增区间是A.（－1，＋∞）B.（3，＋∞）C.（－∞，－1）D.（－∞，－5） 4、要得到sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数的sin 2y x =图象A 、向左平移6π个单位 B 、向左平移3π个单位 C 、向右平移6π个单位 D 、向右平移3π个单位5、已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a 与b 的夹角为60°，且||||2a b ==，则a c ＝A 、B 、－6C 、6D 、－6、一个棱锥的三视图如图1所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是A 、13B 、2C 、3D 7.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（一1，2），则C 的离心率为A BC D 8、执行如图2所示的程序框图，若输入a ＝1，则输出的k ＝A 、8B 、9C 、10D 、119、已知三棱锥O －ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O －ABC 的体积为A 、2 B 、3 C 、23 D 、1310、已知,*,()2x a b N f x e x ∈=-，则“()()f a f b >”是“a b >”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 11、已知1sin ,50n n a n π=12,*n n S a a a n N =∈++?+ 则在122016S S S ，，…，中值为正数的个数为 A 、2016 B 、2015 C 、1003 D 、100812、已知函数ln |1|,1(),()(2)(2)0,1x x f x g x a x a x a x -≠⎧==+-+⎨=⎩，若f （x ）与g （x ）同时满足条件：①,()0()0x R f x g x ∀∈>>或；②000(,1],()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则实数a 的取值范围是A 、（－∞，－1）（12，2） B 、（－∞，－1）（0，23）（23，2） C 、（－∞，0）（12，2） D 、（－∞，0）（0，23）（23，2）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（20分）13、已知等比数列｛n a ｝中，2952a a a =，则6a =A 、－4B 、－3C 、－2D 、13-14、已知,*x y N ∈且满足约束条件1225x y x y x -<⎧⎪->⎨⎪<⎩，则x y +的最小值为15、已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜||2,||3,,x y x y Z ≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜1122(,),(,)x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 16．已知圆C ：22(1)(2)2x y -+-=，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则｜PC ｜的最大值为三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

已知a ＝1，A ＝4π，sin()sin()144b Cc B ππ+=++。

（I ）求B ，C 的值；（II ）求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n 名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为7． （I ）求频率分布直方图中a 的值及抽取的学生人数n ；（II ）现从跳绳次数在［179.5，199.5］内的学生中随机选取2人，求至少有一人跳绳次数在［189.5，199.5］之间的概率。

19·（本小题满分12分）如图3，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB／／cD，AD⊥CD，AB＝2，CD＝4，直线BE与平面ABCD（I）求证：平面BCE⊥平面BDE；（II）求多面体体ABCDEF的体积。

20.（本小题满分12分）已知F是抛物线C：2y＝2px(0＜p＜2)的焦点，点P(1，t)在抛物线C上，且3 ||2 PF=·（I）求p，t的值；（II)设O为坐标原点，抛物线C上是否存在点A（不考虑点A为C的顶点），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB交x轴、y轴于点D、E，S△OAB表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积，满足S△OAB＝32S△ODE?若存在，求点A的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数f(x）＝e x ( 2x一1），g(x)＝a x一a(a∈R)．（I）若y＝g(x)为曲线y＝f(x)的一条切线，求a的值；（II)若对任意的实数x都有f(x）≥g（x），求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22.（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】如图5，已知AB 是O 的一条弦，延长AB 到点C 使AB ＝BC ，过点B 作DB ⊥AC 且DB ＝AB ，连接DA 与O 交于点E ，连接CE 与O 交于点F. （I)求证：DF ⊥CE ；（II ）若ABDFBE.23.（本小题满分10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】已知在直角坐标系x0y 中，曲线C 1：sin cos x y θθθθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）。

在以平面直角坐标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C 2：sin()16πρθ+=。

（I ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（II)曲线C 1上恰好存在三个不同的点到曲线C 2的距离相等，分别求这三个点的极坐标。

24.（本小题满分一10分）【选修4一5：不等式选讲已知()2|2||1|f x x x =-++（I)求不等式.f （x ）＜6的解集；（II ）设m ，n ，p 为正实数，且m ＋n ＋p ＝f （2），求证：mn+np+pm ≤3.云南师大附中2016届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由题意得210x ->，即(1)(1)0x x +->，所以1x <-或1x >，故选D ． 2．由题意得3i z =+，所以||z B ．3．22150x x +->∵，5x <-∴或3x >，()f x ∴的定义域为(,5)(3,)x ∈-∞-+∞，2215u x x =+-∵在(5)-∞-，上是减函数，12log y u =在(0)+∞，上是减函数，∴根据复合函数的单调性的判断，得()f x 在(5)-∞-，上是增函数，故选D ．4．由ππsin 2sin 236y x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位后得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选A ．5．由题意，得c a b =--，22()||||||cos606a c a ab a a b a a b =--=--=--︒=-∴，故选B ． 6．由三视图可得四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为h =，且底面积111S =⨯=，所以11133V Sh ==⨯=，故选D ．7．∵点(12)-，在直线b y x a =-上，∴2222224b b a b a c a a ====-，，，25c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，e =∴A ．8．依据程序框图，得1112211212kkS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，111000S -<∵，1121000k ⎛⎫< ⎪⎝⎭∴，21000k >∴，又k ∈Ν∵，1021024=，10k ∴≥，故选C ．9．21(sin sin )2AOC BOC S S r AOC BOC +=∠+∠△△∵，∴当90AOC BOC ∠=∠=︒时，AOC BOC S S +△△ 取得最大值，此时OA OC ⊥，OB OC ⊥，OC ⊥∴平面AOB ，O ABC C OAB V V --=∴11sin 32OC OA OB AOB =∠=，故选B ． 10．由()e 20x f x '=-=得，ln 2x =，所以()f x 在(ln 2)-∞，上单调递减，在(ln 2)+∞，上单调递增，又ln21<，所以当*a b ∈N ，时，“()()f a f b >”是“a b >”的充要条件，故选C ． 11．依题意知，1250515210000a a a a a a ，，…，≥，，，…，≤，考虑到1n的递减性及正弦函数的周期性，有15125200a a a a +>+>，，…，知12100S S S ，，…，均为正数，以此类推，可知122016S S S ，，…，均为正数，故选A ．12．如图1，由()f x 的图象可知，当(0)(2)x ∈-∞+∞，，时，()0f x >，为满足条件①，可得()0g x >在[02]，上恒成立；为满足条件②，由于在(1]-∞-，上总有()0f x >，故0(1]x ∃∈-∞-，，0()0g x <；当0a =时，()0g x =，不满足 条件；当0a ≠时，考虑函数()g x 的零点2x a =-，2x a =-；当0a <时，22a a ->-，为满足条件得2022a a -<⎧⎨->⎩，，解得1a <-；当0a >时，（ⅰ）当203a <<时，22a a ->-，为满足条件，得2120a a -<-⎧⎨-<⎩，， 解得01a <<，203a <<∴；（ⅱ）当23a >时，22a a -<-，为满足条件，得2021a a -<⎧⎨-<-⎩，，解得122a <<，223a <<∴；（ⅲ）当23a =时，224()033g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≥，不满足条件．综上所述，得22(1)0233a ⎛⎫⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1【解析】13．2955662,2a a a a a a ===∵∴．14．如图2，画出可行域，注意到x ，*y ∈N ，在点(3,3)处取得最优解，所以min ()6x y +=．15．由题意知，{(10)(00)(10)(01)(01)}A =--，，，，，，，，，， B 中有5735⨯=个元素，当11()(00)x y =，，时， B 中的元素都在M 中；当11()(10)(10)x y =-，，，，时， M 中元素各增加7个；当11()(01)(01)x y =-，，，，时，M 中元素各增加5个，所以M 中元素共有35775559++++=个．16．方法一：如图3，连接AC ，BC ，设CAB θ∠=，连接PC 与AB 交于点D ，AC BC =∵，PAB △是等边三角形， ∴D 是AB 的中点，PC AB ⊥∴，∴在圆C ：22(1)(2)2x y -+-=中，圆C||AB θ=，||CD θ，∴在等边PAB △中，|||PD AB θ==，||||||PC CD PD θθ=+∴π3θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤．方法二：设||(0AD x x =∈，，则||P C x =，记()f x x ，令()0f x '==，得(0x =，max ()f x f ==⎝⎭∴． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）πππ1sin sin 1sin 444a b C c B c B a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，∴， ππsin sin sin sin sin 44B C C B A ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，图3图2π4A =∵，(sin cos )(sin cos )B C C C B B +=++， sin cos cos sin 1B C B C -=∴，sin()1B C -=∴，又(0π)B C ∈∵，，，π2B C -=∴． 又ππ4A B C A ++==∵，，5ππ88B C ==∴，． ………………………………（6分）（Ⅱ）由sin sin a b A B =，得sin 5πsin 8a Bb A =，15πππππ1sin sin sin 2888844ABC S ab C =====△∴． ………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由直方图知，(0.0080.040.0160.008)101a ++++⨯=， 0.028a =∴，所以抽取的学生人数为7250.02810n ==⨯(人)． …………………………………（6分）（Ⅱ）跳绳次数在[179.5199.5]，的学生人数有25(0.0160.008)106⨯+⨯=(人)， 其中跳绳次数在[179.5189.5]，的学生人数有250.01610=4⨯⨯(人)，记为1234a a a a ，，，； 跳绳次数在[189.5199.5]，的学生人数有250.00810=2⨯⨯(人)，记为12b b ，， 从跳绳次数在[179.5,199.5]的学生中随机选取2人，基本事件有：12()a a ，，13()a a ，，14()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，24()a a ，，21()a b ，，22()a b ，， 34()a a ，，31()a b ，，32()a b ，，41()a b ，，42()a b ，，12()b b ，，共15种， 其中至少有一人跳绳次数在[189.5199.5]，之间的基本事件有9种， 故至少有一人跳绳次数在[189.5199.5]，之间的概率为90.615=． ……………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ∩平面ABCD AD =，ED AD ⊥，ED ADEF ⊂平面，ED ⊥∴平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，BC ED ⊥∴． ED ⊥∵平面ABCD ，EBD ∠∴为BE 与平面ABCD 所成的角，设ED a =，则AD a BD =，在Rt EDB △中，tan ED EBD BD ∠===， 2a =∴，在DBC △中，4BD BC CD ===， 222BD BC CD +=∴，BC BD ⊥∴，又BD ED D =，BC ∴⊥平面BDE ，又BC BCE ⊂平面，∴平面BCE ⊥平面BDE ． ……………………………………（6分） （Ⅱ）解：同理得AB ADEF ⊥平面，AB ∴为棱锥B ADEF -的高，1822233B ADEF V -=⨯⨯⨯=∴，AD CD AD ED CD ED D ⊥⊥=∵，，，AD CDE ⊥∴平面，AD ∴为棱锥B CDE -的高，118422323B CDE V -=⨯⨯⨯⨯=∴，8816333ABCDEF B ADEF B CDE V V V --=+=+=∴．……………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线的定义，得3||122p PF =+=， 1p =∴， 22y x =∴． 将点(1)P t ，代入C ：22y x =，得22t =，t =∴ …………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意，直线OA 的斜率存在且不为0，根据抛物线的对称性，现考虑点A 在第一象限，如图4所示， 设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，OA OB ⊥，则直线OB 的方程为1y x k =-．由22y x y kx ⎧=⎨=⎩，， 得222k x x =， 0x =∴（舍去）或22x k =，点222A kk ⎛⎫⎪⎝⎭，；由221y x y x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，，得222x x k =，0x =∴（舍去）或22x k =，点2(22)B k k -，．∵当1k =时，A B x x =，AB y ⊥轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为222222(2)22k k y k x k k k ++=--， 即222(2)1k y k x k k +=--，2201k E k -⎛⎫ ⎪-⎝⎭∴，． 11||||||||22OAB A B S OD y OD y =+△∵， 1||||2ODE E S OD y =△，32OAB ODE S S =△△， 3||||||2A B E y y y +=∴，又A y ∵与B y 异号，3||||||||2A B A B E y y y y y +=-=∴， 即2232221k k kk -+=-，212k=∴或2，(4A ∴，或(1,A ．又由抛物线的对称性，得点(4A ±，或(1,A ． ……………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()f x 与()g x 的定义域为R ， ()e (21)x f x x '=+，设切点000(e (21))x x x -，，则切线斜率00e (21)x k x =+，∴切线为：00000e (21)e (21)()x x y x x x x --=+-， ()y g x =∵恒过点(1,0)，且斜率为a ，000000e (21)e (21)(1)x x x x x --=+-∴，0302x =∴或，0320e (21)14e x a x =+=或．………………………………………（4分）（Ⅱ）()()f x g x ≥可化为e (21)(1)x x a x --≥， 当10x -=，即1x =时，e 0>恒成立，a ∈R ；当10x ->，即1x >时，e (21)1x x a x --≤恒成立，令e (21)()1x x F x x -=-，则22e (23)()(1)x x x F x x -'=-， 33()122F x ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴在，上递减，在，上递增，32min3()4e 2F x F ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，324e a ∴≤；当10x -<，即1x <时，e (21)1x x a x --≥恒成立，令e (21)()1x x F x x -=-，则22e (23)()(1)x x x F x x -'=-，()(0)(01)F x -∞∴在，上递增，在，上递减， max ()(0)1F x F ==∴，1a ∴≥，综上所述：3214e a ≤≤．…………………………………………………………（12分）另解：由题意得()y f x =的图象在()y g x =的上方，令()e (21)0x f x x '=+=得12x =-，当12x >-时，()0f x '>，当12x <-时，()0f x '<，11()22f x ⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴在，上递减，在，上递增，12min1e ()22f x f -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∴，令()0f x =，则函数()f x 存在唯一零点12x =． 作出函数()y f x =与()y g x =的大致图象，如图5所示，由（Ⅰ）知1a =或324e 时，()y f x =与()y g x =相切，故由图象可得()y f x =的图象在()y g x =的上方时，3214e a ≤≤． …………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图6所示，∵CA 与⊙O 交于点B ，CE 与⊙O 交于点F ， ∴由割线定理，得CA CB CF CE =， AB BC DB ==∵，DB AC ⊥，DA DC ==∴，45CDB ADB ∠=∠=︒， CDA ∴△是等腰直角三角形，即90CDA ∠=︒，222CA CB CB DC CF CE ===∴，即DC CECF DC=． 又DCE DCF ∠=∠∵， CDE CFD ∴△∽△， 90CFD CDE ∠=∠=︒∴，即DF CE ⊥． ……………………………………………………………………（5分）图5图6（Ⅱ）解：在等腰Rt CDB △中，AB BC DB ===CD =∴ 在Rt DFC △中，DF =1sin 2DF DCF CD ∠==∴， 30DCF ∠=︒∴，∴在Rt CDE △中，4cos CD CE DCE ===∠．又453015ECB DCB DCE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵，cos cos15cos(4530)ECB ∠=︒=︒-︒=∴ ∴在BCE △中，2222cos 10BE BC CE BC CE BCE =+-∠=-即BE =……………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由题意，得2222223cos sin cos 3sin cos cos x y θθθθθθθθ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩，，∴曲线1C 的普通方程为224x y +=．∵曲线2C：π1sin sin cos 162ρθθρθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴曲线2C的直角坐标方程为20x -=．…………………………………（5分）（Ⅱ）∵曲线1C 为圆1C ，圆心1(0,0)C ，半径为2r =，曲线2C 为直线， ∴圆心C 1到直线2C 的距离1d =，∵圆1C 上恰好存在三个不同的点到直线2C 的距离相等， ∴这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上， 如图7所示，设1l 与圆1C 相交于点E ，F ， 设2l 与圆1C 相切于点G ，∴直线1l ，2l 分别与直线2C 的距离为211r d -=-=， ∴1l：0x =， 2l：40x -=．由2240x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，得1x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1)E -，(1)F ；由22440x y x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，，得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即(1G ，∴E ，F ，G 这三个点的极坐标分别为11π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π23⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：不等式2|2||1|6x x -++<等价于不等式组 1336x x <-⎧⎨-+<⎩，， 或1256x x -⎧⎨-+<⎩≤≤，，或2336x x >⎧⎨-<⎩，， 解不等式组，得x ∈∅或12x -<≤或23x <<， 所以不等式2|2||1|6x x -++<的解集为(13)x ∈-，． …………………………（5分）（Ⅱ）证明：3m n p ++=∵，2222()2229m n p m n p mn np mp ++=+++++=∴， ∵m ，n ，p 为正实数，∴由均值不等式，得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 222n p np +≥（当且仅当n p =时取等号）， 222p m pm +≥（当且仅当p m =时取等号），222m n p mn np pm ++++∴≥（当且仅当m n p ==时取等号）， 2222()2229333m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=++∴≥，3mn np pm ++∴≤（当且仅当m n p ==时取等号）． …………………………（10分）。