2015-2016学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1
3.4 生活中的优化问题举例 课件(人教A版选修1-1)
2:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径 应 怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2. V 2 由V=πr h,得 h 2 ,则 pr V 2V 2 S ( r ) 2pr 2 2pr 2pr 2 . pr r V V V 2V · 3 令S ( r ) 2 4pr 0 ,解得 r ,从而h 2 pr 2p V 2 r 3 p( )
4 3 解：∵每个瓶的容积为: pr ( ml ) 3 4 3 ∴每瓶饮料的利润： y f ( r ) 0.2 pr 0.8pr 2 3 3 r = 0.8π( - r 2 ) (0 r 6) 3
令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r ) 0，得r = 2
2
r f '( r) f (r)
课前探究学习
2 3 6 x
课堂讲练互动
活页规范训练
例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传， 现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的 宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm
列表讨论如下：
x S '(x) S (x) (0，16) 16 0 (16，+∞)
减函数↘
+
增函数↗
极小值
∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点 ∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm， 宽为8dm时，S(x)最小 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的 空白面积最小。
高中数学3.4生活中的优化问题举例课件新人教A版选修1-1
面积、容积最值问题
[例1] 如图，要设计一矩形广告牌，该广告 牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影 部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空 白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌 的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
[活学活用] 用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在 四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成 (如图所示)．
广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改
造．经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额
约为－
1 3
x3＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该
公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．
7.导数在实际问题中的应用
问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多 少？
用料最省(成本最低)问题
[例2] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥 墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程 费用为(2＋ x )x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
利润最大问题
[例3] 某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用
于广告促销．经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售
额约为－t2＋5t(单位：百万元，且0≤t≤5)．
2015-2016学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1
2015-2016学年高中数学 3.4生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1►基础梳理1. 优化问题．生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的基本思路．3．利用导数解决优化问题的一般步骤．(1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系．(2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )．(3)求解：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0，并比较区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，得出函数的最值．(4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案． ►自测自评电动自行车的耗电量y 与速度x 有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为40．1. 为了保证容积一定的圆柱形金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与其底面半径之比是(D )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V ＝πr 2h (V 是定值)，即h ＝Vπr2，因此，所使用材料总面积为S ＝2πr 2＋2πrh ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫πr 2＋V r ，则S ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πr －V r 2，由S ′＝0，得2πr 3＝V ，可以证明此时的r 能使S 最小．进而得到h ＝2r .点评：本题是含字母的运算，对计算能力要求较高，注意运用整体思想和设而不求．2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，(0≤x ≤390)当x ＞390时，R (x )＝90 090，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(D)A ．150B ．200C ．250D ．300解析：∵总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，90 090－100x －20 000，x ＞390，由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.3．某养鸡场是一面靠墙，三面用铁丝网围成的矩形场地．如果铁丝网长40 m ，那么围成的场地面积最大为________．解析：设靠墙的一面长x m ，围成的场地面积为y m 2，此时矩形的宽为40－x 2＞0.∴y ＝x ·40－x 2＝－12x 2＋20x .(0＜x ＜40)y ′＝－x ＋20，令y ′＝0得x ＝20， 当0＜x ＜20时，y ′＞0. 当20＜x ＜40时，y ′＜0.∴x ＝20时，y 最大＝20×10＝200.答案：200 m 24．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为8 m 2.问x 、y 分别为多少时用料最省(精确到0.001 m)?解析：由题意，得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－14x 2x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料总长度为l ＝2x ＋2y ＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2x ＋16x .求导得，l ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2－16x2，由l ′＝0.得x ＝8－4 2.可以证明，当x ＝8－42时，用料最省．此时，x ＝8－42≈2.344，y ＝22≈2.828. 故当x 为2.344 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．点评：本题也可以用基本不等式求解，但计算量较大．1．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，焊成一个正四棱形柱容器，则当所做的容器的体积最大时，被截去的小正方形的边长是(B )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm解析：设小正方形的边长为x (0＜x ＜24)，则容器的容积为V ＝x (48－2x )2. 根据导数，不难得出，当x ＝8时，V 最大．故选B.2．曲线C ：y ＝4－x 2(x ＞0)上的点与点P (0，2)的最短距离是(C )A.32B.52C.72 D.32解析：设Q (x ，4－x 2)(x ＞0)是曲线C 上任意一点，则PQ 的距离为|PQ |＝（x －0）2＋（4－x 2－2）2＝x 4－3x 2＋4，令f (x )＝x 4－3x 2＋4(x ＞0)，根据导数可求得，当x ＝32时，f (x )min ＝74，从而|PQ |min＝72. 3．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x (x ∈N *)满足y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(C )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵总利润y (万元)与营运年数x 之间的关系为y ＝－x 2＋12x －25，∵平均利润y x ＝－x －25x＋12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12， ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ′＝25x 2－1，令25x 2－1＝0，解得x ＝5.故选C.4．要做一个母线长为20 cm 的圆锥形漏斗，使其体积最大，则它的高等于(D )A.33 cmB.1033 cmC.1633 cm D.2033cm 解析：设圆锥的高为h (0＜h ＜20)，则底面半径为202－h 2，它的体积为V ＝13πh (202－h 2)，于是V ′＝13π(202－3h 2)，令V ′＝13π(202－3h 2)＝0，得h ＝2033.可以证明，当圆锥的高为2033cm 时，其体积最大．5．如右图，在半径为r 的圆O 的一侧作一内接梯形ABCD ，使其下底为圆的直径，其他三边为圆的弦．当梯形的面积 最大时，梯形的上底长为(D )A.12rB.32r C.33r D ．r解析：如题图，设∠AOD ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 则∠BOC ＝x ，∠COD ＝π－2x ，于是梯形的面积为S ＝2·12r 2sin x ＋12r 2sin(π－2x )＝r 2(sin x ＋sin x cos x )，那么，S ′＝r 2(cos x ＋cos2x )＝r 2(2cos 2x ＋cos x －1)．令S ′＝0，解得，cos x ＝12或cos x ＝－1(不合题意，舍去)，即x ＝π3.易知，当x ＝π3时，梯形面积最大．相应地，△OCD 为正三角形，所以梯形的上底长是r .6．某工厂生产某种商品x 单位的利润是C (x )＝500＋x －0.001x 2，则生产该商品________单位时，所获得的最大利润是________．解析：由于C (x )是二次函数，所以可以求导或者配方或者直接用公式即可得到，生产该商品500单位时，所获得的最大利润是750.答案：500 7507．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时，用料最省．解析：设水箱高为x 分米．则底面正方形的边长是16x分米，那么总用料面积是S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋4·x ·16x ＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，求导后，得到，当 x ＝4分米时，用料最省． 答案：48．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成 一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．解析：设一段细铁丝为x cm(0＜x ＜12)，则另一段为(12－x )cm ，那么这两根细铁丝各自围成的两个正三角形面积的和是S ＝f (x )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32＝336(2x 2－24x ＋144)＝318[(x －6)2＋36]．于是，当x ＝6 cm 时，这两个正三角形面积之和的最小值是2 3 cm 2. 答案：2 3 cm 29．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位该产品，成本增加100元，已知每月总收益R 与月产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400，若要使公司每月的总利润最大，该产品的月产量是多少？解析：依题意，可以求得，总利润为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫400x －12x 2－（100x ＋20 000），0≤x ≤400，80 000－（100x ＋20 000），x ＞400，即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，－100x ＋60 000，x ＞400.(1)若0≤x ≤400，可求得当x ＝300时，L (x )max ＝25 000；(2)若x ＞400，显然L (x )＜20 000.因此，该产品的月产量为300单位时，总利润最大．10．某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格f (x )＝12(x 2－12x ＋69)(x ∈N ，x ≤12，价格单位：元)，且第x 月该商品的销售量g (x )＝x ＋12(单位：万件)．(1)2011年的最低价格是多少？(2)2011年的哪一个月的销售收入最少？解析：(1)f (x )＝12[(x －6)2＋33]，∴当x ＝6时，f (x )取得最小值，即第6个月的价格最低，最低价格为16.5元．(2)设第x 月的销售收入为y (万元)，依题意有y ＝12(x 2－12x ＋69)(x ＋12)＝12(x 3－75x＋828)，y ′＝12(3x 2－75)＝32(x ＋5)(x －5)，所以当1≤x ≤5时y ′≤0，y 递减；当5≤x ≤12时y ′≥0，y 递增，所以当x ＝5时，y 最小，即第5个月销售收入最少． 答案：2011年在第5月的销售收入最低．11．已知某工厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)．(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品每件以500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解析：(1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x2x ＝25 000x ＋200＋140x (x >0)，y ′＝－25 000x 2＋140(x >0)，令y '＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数L ＝500x －⎝⎛⎭⎪⎫25 000＋200x ＋140x 2＝300x －25 000－140x 2. L ′＝300－120x .当x ∈(0，6 000)时，L ′(x )＞0；当x ∈(6 000，＋∞)时，L ′(x )＜0.∴x ＝6 000时，L ′(x )取得极大值，即函数在该点取得最大值．令L ′＝0，得x ＝6 000.因此要使利润最大，应生产6 000件产品．12. 如右图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，设CD ＝2x ，梯形面积为S .(1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值．分析：先建立直角坐标系，设出椭圆的方程，表示出梯形面积的函数关系，利用导数的有关知识解决问题．解析：(1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系Oxy (如右图)，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标y 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，解得y ＝2r 2－x 2(0<x <r )， S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )·r 2－x 2，其定义域为{x |0<x <r }． (2)记f (x )＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0<x <r ，则f ′(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝r2.因为当0<x <r 2时，f ′(x )>0；当r2<x <r 时，f ′(x )<0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2是f (x )的最大值．因此，当x ＝r2时，S 也取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2＝332r 2. 即梯形面积S 的最大值为332r 2.点评：本题主要考查解析几何知识、函数知识以及导数在实际问题中的应用．解题思路是将已知的几何关系数量化，再借助导数研究其性质．本题巧妙地将实际问题与解析几何、函数、导数结合起来，非常具有新意．►体验高考 1．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f ()x ＝()560＋48x ＋2 160×10 0002000x ＝560＋48x ＋10 800x()x ≥10，x ∈N *， f ′()x ＝48－10 800x2，令 f ′()x ＝0，得x ＝15. 当x >15时，f ′()x >0 ； 当10<x <15时，f ′()x <0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f ()15＝2 000.答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．2．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式．(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解析：(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x ) ＝ －256m x 2 ＋ 12mx －12＝ m2x2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时f ′(x )<0，f (x )在区间(0，64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0. f (x )在区间(64，640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．3．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解析：(1)如下图所示，设矩形的另一边长为a m ，y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360，由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)y ′＝－3602x2＋225，令y ′＝0得x ＝24(x ＝－24舍去)．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．4．某企业拟建造如下图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r ，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元，设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解析：(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r .由于 l ≥2r ，因此 0<r ≤2，所以建造费用 y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c ，因此 y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π（c －2）r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以 y ′＝8π（c －2）r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m ，2)时，y ′>0.所以 r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2即3<c ≤92时，当r ∈(0，2)时，y ′<0，函数单调递减． 所以 r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92，建造费用最小时r ＝2；当c >92，建造费用最小时r ＝ 320c －2.5．(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总本本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本(200πrh ＋160πr 2)元，又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。
高中数学34《生活中的优化问题举例》新课标人教A版选修PPT课件
• 汽油的使用效率G=汽油的消耗量w/汽车行 使路程s,
即:G=w/s
• 求G的最小值问题.
问题2:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
例2 磁盘的最大存储量问题:
问题3:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 吗?
• 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗?
3.4 生活中的优化问题举例
整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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2
问题1:汽油的使用效率何时最?
我们知道,汽油的消耗量w(单位:L)与汽车的 速度v(单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的 消耗量w是汽车的速度v的函数.根据生活经 验,思考下列两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大? (2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?
意见，也请写在上边
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感谢聆听
The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation and make it into a film
讲师：XXXX
日期：20XX.X月
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优化问题的答案
用导数解决数学问题
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
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结束语
感谢参与本课程，也感激大家对我们工作的支 持与积极的参与。课程后会发放课程满意度评 估表，如果对我们课程或者工作有什么建议和
高中数学3-4生活中的优化问题举例课件新人教A版
课堂合作探究
问题导学
一、面积、容积的最大值、最小值问题
活动与探究 1 请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正 方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形, 再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成 一个正四棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰 直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm).
������ 系:C(x)=3������+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万
元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.
解:(1)设隔热层厚度为 x cm,
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何 值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值? 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
思路分析:用 x 表示出包装盒的底边长、高,再运用数学知识 求最值. 解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm). 由已知得 a= 2x,h= (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V'=6 2x(20-x). 由 V'=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V'>0;当 x∈(20,30)时,V'<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. 此时 = .即包装盒的高与底面边长的比值为 .
高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修11
(2)瓶子半径(bànjìng)多大时，每瓶饮料的利润 最 小？
第十三页，共25页。
解:由于瓶子的半径为r, 所以(suǒyǐ)每瓶饮料的利润是
y f (r) 0.2 4 r3 0.8r 2
3
0.8
r3 (
r 2 ),0
解:设容器(róngqì)底面短边长为xm,则另一边 长为
(x+0.5)m,容器(róngqì)的高为 [14.8-4x-4(x+0.5)]/4=3.2-2x.
由问题的实际意义,要求(yāoqiú)x>0,3.22x>0, 解得x的取值范围是0<x<1.6.
第二十一页，共25页。
记容器(róngqì)的容积为ym3, 则y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0<x<1.6). 即有y=-2x3+2.2x2+1.6x (0<x<1.6).
r
6.
3
令 f (r) 0.8 (r 2 2r) 0
当r 2时, f (r) 0.
当r (0,2)时, f (r) 0;当r (2,6)时, f (r) 0
第十四页，共25页。
从图中，你 还能看出什
么吗？
y f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
2
o
3
r
从图中可以(kěyǐ)看出:
(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司(ɡōnɡ sī) 的利润
越大？
第十二页，共25页。
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶子 的半径，单位是厘米(lí mǐ)，已知每出售1 ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商 能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
《3.4 生活中的优化问题举例》课件高中数学人教A版版选修
h
9
[注] 对于型如 y ax b (ab 0) 的函数最值问题， x
要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些 方法的要点。
基本不等式法： “一正、二定、三相等”；
导数法： “ 一定义域、二导数符号、三单调性”。
h
10
小 数 无 日 生 地 化 火 粒 宇结 学 处 月 活 球 工 箭 子 宙：
例2、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本
是0.8 r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的
饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm。
问：（1）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
h
7
练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
2、当半径为6cm时，利润最大.
h
17
❖你是否注意过,市场上等量的小包装 的物品一般比大包装的要贵些?你想 从数学上知道它的道理吗?
❖是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润
越大?
h
14
小结：
在解决优化问题的过程中，关键在于建立数学模型 和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、 意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要 注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。
不之之之之之之之 用繁谜变巧速微大
作业：课本P104 A组 1、 5某厂每天生产x件产品的成本为
c25000200xx2 (元 ) 40
变式2：若产品以每件500元售出，要使得利润 最大，每天应生产多少件产品？
h
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题型二：利润最大
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
c 25000 200x x2 (元) 40
高中数学 34生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修1-1
2
∴函数在(0，1000)上是减函数
当x 800时，y取最小值
故每天应生产800件产品
练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
x c 25000 200 x (元) 40
变题2：若产品以每件500元售出，要使得利润最大， 每天应生产多少件产品？
2
b [注] 对于型如 y ax (ab 0) 的函数最值问题， x
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
1 3 100 3 h( x ) ( x x 8). 128000 80 x 1 2 800 15 x (0 x 120) 1280 x 4
x 800 x3 803 h '( x) 2 (0 x 120) 2 640 x 640 x
• [例] 在边长为60cm的正方形铁片的四角 上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线 折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的 边长是多少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
• [ 解析 ] 设箱高为 xcm ，则箱底边长为 (60 －2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， • V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) • ＝4x3－240x2＋3600x. • ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， • 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) • 当0<x<10时，V′(x)>0， • 当10<x<30时，V′(x)<0. • ∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值 就是V(x)的最大值V(10)＝16000(cm3)
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
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a 即 V(x)＝4x －4ax ＋a x,0<x<2.
3 2 2
实际问题归结为求 先求
a V(x)在区间0，2上的最大值点．为此，
a V(x)的极值点．在开区间0，2内，
V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 1 1 解得 x1＝6a，x2＝2a(舍去)．
积S，然后利用导数求最值．
设 AD＝2x(0<x<2)，则 A(x,0)， AB＝y＝4－x2， ∴矩形面积为 S＝2x(4－x2)(0<x<2)， 即 S＝8x－2x3， S′＝8－6x2，令 S′＝0， 2 2 解得 x1＝ ，x2＝－ (舍去)． 3 3
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
导数及其应用
第三章 3.4 生活中的优化问题举例
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
课 时 作 业
Байду номын сангаас
自主预习学案
1.了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如
使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实 际问题中的作用． 2．能利用导数求出某些特殊问题的最值．
其基本流程是
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几
何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示
为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线 y ＝ 4 － x2 在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和 宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面
[答案] D
[解析] 由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利 x2 300x－ －20 000 0≤x≤400 2 润为 P＝R－C＝ ， 60 000－100x x>400
300－x P′＝ －100
0≤x≤400 ， 令 P′＝0， 当 0≤x≤400 时， x>400
面积、容积最大问题
有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个 角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容 器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解析] 设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则 做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， a V(x)＝(a－2x) x,0<x<2.
a 1 x1＝6a 在区间0，2内，x1 可能是极值点．且
当 0<x<x1 时，V′(x)>0； a 当 x1<x<2时，V′(x)<0.
因此
a x1 是极大值点，且在区间0，2内，x1
是唯一的极值
1 点，所以 x＝6a 是 V(x)的最大值点． 1 即当截下的小正方形边长为6a 时，容积最大．
的幅度变小了，但还是增加的．
4．在周长为l的矩形中，面积的最大值为__________.
[答案] l2 16
[解析]
1 设一边长为 x，则另一边长为2(l－2x)，其面积 S
1 l ＝2x(l－2x) (0<x<2)， 1 l2 l 由 S′＝2l－2x＝0 得 x＝4，此时 S＝16.
典例探究学案
重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
优化问题 思维导航 1 ．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小， 利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题，
这些问题通常统称为优化问题，解决这些问题的基本思路、途
径、过程是什么？
新知导学 1 ．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系式给予表示 ， 还应确定函数关系式中 自变量 的取值范围． __________ 2 ．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是 最优 点． __________
[点评]
利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x
的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的 符号才能确定．
2．某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产 一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 与年产量 x 的关 1 400x－ x2 0≤x≤400 2 系是 R(x)＝ ，则总利润最大时，每 80 000 x>400 年生产的产品是( A．100 C．200 ) B．150 D．300
3．解决优化问题的基本思路：
牛刀小试 1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－3x ＋81x－234，则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 ) B．11 万件 D．7 万件
[答案] C
1 3 [解析] ∵y＝－3x ＋81x－234， ∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令 y′＝0 得 x＝9，令 y′<0 得 x>9，令 y′>0 得 0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当 x＝9 时，函数取得最大值．故选 C．
得 x＝300；当 x>400 时，P′<0 恒成立，易知当 x＝300 时，总 利润最大．
3 ．某公司的盈利 y( 元) 和时间x(天 ) 的函数关系是 y ＝f(x) ，
假设f(x)>0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明
第20天与第10天比较( A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大 C．公司在亏损且亏损幅度变小 D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 [答案] D [解析] 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加 )
[ 方法规律总结 ]
1. 利用导数解决实际问题中的最值的一
般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小) 者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情 况并下结论．