厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学(理科)试卷

厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1．已知直线10ax y ++=经过抛物线24y x =的焦点，则该直线的倾斜角为（ ） A ．0 B ．4π C ．2π D ．34π2．若0,a b >>集合{|},{}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（ ）A ．{|x b x <B ．{|}x b x a <<C ．{}2a b x x +<D ．{|}2a bx x a +<<3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边 在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．455．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．7C ．125D ．1276．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A B C D8．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n n n a a a ，n S 为}{n a 的前n 项和，若4612=-k S ，则k 等于（ ）A ．14B ．13C ．12D ．119．若函数1,0(),0x x f x x a e bx x ⎧<⎪=+⎨⎪-≥⎩ 有且只有一个零点，则实数b 等于（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知复数ln 2z m i =+是纯虚数，则⎰等于 ．12．已知函数||()2x a f x -=关于直线3x =对称，则二项式3(ax +展开式中各项的系数和为_______________．13．如图13，在ABC ∆中，3AB =，5AC =，若O 为ABC ∆的外心，则BC AO ⋅的值是____________．14．如图14是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为 ．15．若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立则称数列{}n a 为周期数列,周期为T ,已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩则有下列结论： ①若34a =,则m 可以取3个不同的值；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③对任意的T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列； ④存在m Q ∈且2m ≥,使得数列{}n a 是周期数列. 其中正确的结论有 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 16．（本小题满分13分）某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程a x b yˆˆ+=，根据表中数据已经正确算出6.0=b ，试求出a ˆ的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。

记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ，求X 的分布列和数学期望。

17．（本小题满分13分）已知等腰Rt ABC ∆，BC AC ⊥，将ABC ∆绕着边AB 旋转θ角到ABC '∆，连接CC '，D 为线段CC '的中点，P 是线段AB 上任一点。

（Ⅰ）求证：CC DP '⊥（Ⅱ）当三棱锥B ACC '-的体积达到最大时，点P 在线段AB 的什么位置时，直线AC与平面CDP 所成的角最大？为多少？18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(),a b ，点B 的坐标为()cos ,sin x x ωω，其中220a b +≠且0ω>.设()f x OA OB =⋅ ．（Ⅰ）若a =1b =，2ω=，求方程()1f x =在区间[0,]π内的解集；（Ⅱ）根据本题条件我们可以知道，函数()f x 的性质取决于变量a 、b 和ω的值. 当x R ∈时，试写出一组a ，b ，ω值，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值” ．（请说明理由）19．（本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域是(0,),+∞且当0x >时，满足()().f x f x x'> （Ⅰ）判断函数()f x y x=在(0,)+∞上的单调性，并说明理由； （Ⅱ）三个同学对问题“已知m 、n ∈N *且2,n m >≥证明(1)(1)n m m n +>+”提出各自的解题思路.甲说：“用二项式定理将不等式的左右两边展开，运用放缩法即可证明”乙说：“通过转化，构造函数，利用函数的单调性即可证明” 参考上述解题思路，结合自己的知识，请你证明此不等式．C20．（本小题满分14分）的圆柱被与其底面所成角为30︒的平面所截，其截面是一个椭圆C ． （Ⅰ）求该椭圆C 的长轴长；（Ⅱ）以该椭圆C 的中心为原点，长轴所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，求椭圆C 的任意两条互相垂直的切线的交点P 的轨迹方程； （Ⅲ）设（Ⅱ）中的两切点分别为B A ,，求点P 到直线AB 的距离的最大值和最小值．21．本题有(1)(2)(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则安所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵 2 30 1A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线:1l x by '+=. （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若点00()P x y ，在直线l 上，且0000x x A y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求点P 的坐标．（2）（本题满分7分）选修4- 4坐标系与参数方程已知直线l ：2334x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）；椭圆1C ：2cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）（Ⅰ）求直线l 倾斜角的余弦值；（Ⅱ）试判断直线l 与椭圆1C 的交点个数。

（3）（本题满分7分）选修4-5不等式选讲已知函数()(0),f x x a a =->且不等式()1f x x ≥+的解集为{1|}2x x ≤. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设函数()()21g x f x x =++，若不等式233()m m m g x ++-≥⋅对任意m R ∈且0m ≠恒成立，求x 的取值范围．厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷参考答案【解析】视角一:观察载体图:重叠部分面积始终不为0，排除C 。

因圆的最初位置的重叠部分面积最大，故面积是由最大开始减少的，排除A 。

由最初位置，圆滚动时露在三角形外的弓形面积每相同前移动量增加就越多，是非线性的，排除D 。

故选B.视角一:函数图像应具以下特征:周期性变化，函数值不为0，从初始位置开始是先减少的，非线性变化，故选B 。

视角三:从最多共性入手，从初始位置开始函数值是先减少的有B 、C 、D ，非线性的有A 、B 、C ，函数值不为0的有A 、B 、D ，可见共性最全的只有B ，故选B.二、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．4π 12．64 13．8 14 15．①②③三、解答题（本大题共6小题，满分80分）16．解：（1）3)54321(51=++++=x 3)66544(51=++++=y …… 2分 且6.0ˆ=b，代入回归直线方程可得2.3ˆ=a ……4分 （2）X 的取值有0,1,2,3425)0(3935===C C X P 2110)1(391425===C C C X P 145)2(391524===C C C X P 211)3(3934===C C X P ……8分 其分布列为：X0 1 2 3P425 2110 145 2113432112145121100425)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………12分17．（1）证明：,'AB O OC OC 取中点，连结'',''''''',''''CB CA C B C ACO AB C O ABOC OC O AB COC CC COC CC AB BC BC D CC BD CC BD AB B CC ABD DP ABD CC DP==⊥⊥=⊥⊂⊥=⊥=⊥⊂⊥∴∴∴∴∴∴ ，又面面为中点面面(2)由(1)得''13B ACC OCC V S AB -=⋅ '''1'sin '2'=2',OCC OCC B ACC S OC OC COC COC S OC OC V π-=⋅∠∠⊥∴ 当时，取得最大值，此时达到最大，,',,,-OC OC OB x y z O xyz 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,11(0,0,),2,(0,0,1),(0,0,1),(1,0,0),'(0,1,0),(,,0)22P m AB A B C C D =-设则11(1,0,1),(,,0),(1,0,)22AC CD CP m ==-=- ，设(,,)CDP n x y z = 面的法向量为()1100,1,=,,12200n CD x y z x y m n m m n CP x mz ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪===⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩∴ 则令则∴ []max cos ,()1,11'('()02111,,'(m)0,(),,1,'(m)0,()221()()22n AC n AC n AC f m m f m f m m m f f x m f f x f m f ⋅<>==⋅=∈-==⎛⎫⎛⎫∈->∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==法一：令令得∴[]()1121,1,,,f(m)f()123f m m m ==⎛⎫∈-∈+∞≥= ⎪+⎝⎭法二：∴()max ,sin cos ,1sin 2134143AC CDP n AC m BP ABBP AB AC CDP θθθπθπ=<>====设直线与平面的夹角为则∴当时，此时，，∴当，直线与平面所成的角最大，为18.解：（1）由题意()sin cos f x OA OB b x a x ωω=⋅=+，当a =1b =，2ω=时，()sin 222sin 213f x x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 1sin 232x π⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭，则有2236x k πππ+=+或52236x k πππ+=+，k Z ∈. 即12x k ππ=-或4x k ππ=+，k Z ∈.又因为[0,]x π∈ []0,2x π∈，故()1f x =在[]0,2π内的解集为11{,}412ππ. （2）解：因为()()sin cos f x OA OB b x a x x ωωωϕ=⋅=+=+ ，设周期2T πω=.由于函数()f x 须满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”.因此，根据三角函数的图像特征可知，221364264T n n T ππππω+⎛⎫-=+⋅⇔= ⎪⎝⎭63n ω⇒=+，N n ∈.又因为，形如()()f x x ωϕ=+的函数的图像的对称中心都是()f x 的零点，故需满足sin 03πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，而当63n ω=+，N n ∈时， 因为()6323n n πϕππϕ++=++，N n ∈；所以当且仅当k ϕπ=，k Z ∈时，()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；此时，sin 0,cos 1.ϕϕ⎧==⎪⎪⎨⎪==±⎪⎩0a ⇒=，1b b =±. （i ）当0,0b a >=时，()sin f x x ω=，进一步要使6x π=处()f x 取得最小值，则有sin 166f ππω⎛⎫⎛⎫=⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212362k k ππωπω⇒⋅=-⇒=-，k Z ∈；又0ω>，则有123k ω=-，*N k ∈；因此，由*63,N,123,N ,n n k k ωω=+∈⎧⎨=-∈⎩可得129m ω=+，N m ∈； （ii ）当0,0b a <=时，()sin f x x ω=-，进一步要使6x π=处()f x 取得最小值，则有sin 166f ππω⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212362k k ππωπω⇒⋅=+⇒=+，k Z ∈；又0ω>，则有123k ω=+，N k ∈；因此，由63,N,123,N,n n k k ωω=+∈⎧⎨=+∈⎩可得123m ω=+，N m ∈；综上，使得函数()f x 满足“图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在6x π=处()f x 取得最小值”的充要条件是“当0,0b a >=时，129m ω=+（N m ∈）或当0,0b a <=时，123m ω=+（N m ∈）”.19. 解：（1）2)()(])([x x f x f x x x f y -'='=' 又),()(x f xx f '> 所以当0>x 时，).()(x f x x f '> ,0)()(2<-'∴xx f x f x 即.0<'y 因此函数xx f y )(=在),0(+∞上是单调递减函数。