直线及其投影
第二章 直线的投影
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
直线的投影
例1.判断下列几组直线是否垂直：
b′
b′
a′
c′
a′
c′
a c
b
(a)
a′
c′ b′
b
c
bc
a ( b ) a′
c′ b′ b c
a
(d)
a
a′ (b′ c′ )
d′
b
c
d
a
(c)
d′
d (e)
例2 .已知侧平线AC为菱形对角线，B点在Z轴上，试完成菱形的三面投影。
z
分析：
d’
作图：
① 作出a′′c′′，过中 点o′′作中垂线交OZ 于b′′
（2）在这条投影连线上，从新投影轴 向新投影面一侧，量取点的被更换的 投影与更换的投影轴之间的距离，就 得到该点所求的新投影。
非机类
b1’ V1 a1’
X1
a’ XV
H a
思考: 变换H面?
a1’ α
实长
b’
X1∥ab
b b1’
例4 求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ， 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。
非机类
六 一边平行于投影面的直角的投影
a′
b′
a’
b’
c’
A
c′
x
X
C
OB a
a
o
c
b
b
c
证 结明论：：
⑴已当知直A角B⊥的A一C边, 平AB行∥于H投，影则面A时B⊥, 该Aa投，影则面A上B⊥的平投面影A反ac映C直; 角 ; 反之 , 两直线之一平行于投影面且在该面两直线投影成直角 , 则 ⑵ 两因直a线b∥在A空B间，的故夹ab角⊥也平一面定Aa是cC直，角则。ab⊥ac 。
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
4-5投影原理-线的投影
1．投影面垂直线的投影
在三投影面体系中，当直线垂直于某一个 A
投影面时，则必同时平行于另两个投影面，
这样的直线称为投影面垂直线。 共有三种投影面垂直线： 直线⊥投影面 H：铅垂线 B
P
a（ b ）
直线⊥投影面 V：正垂线
直线⊥投影面 W：侧垂线
（1）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
z a
a
A
b
a
b
b
a
X
O
YW
B
b
a
a b 投影特性：1．ab OX ; ab OYW 2． ab=AB 3．反映、 角的真实大小
b
YH
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b a B b
b
a
a
b a
O
A
X
YW
a
b
a
b YH
2.4 线的投影
一、直线在单一投影面上的投影
A C D B P
a（ b ）
E F
P c
P
e
f
d
• 直线垂直于投影面：直线在该投影面上的投影积聚为点 • 直线平行于投影面：直线在该投影面上的投影反映实长 • 直线倾斜于投影面：直线在该投影面上的投影缩短
二、直线在三投影面体系中的投影
直线与投影面夹角的规定名称
（1）． 求直线的实长及对 水平投影面的倾角角
AB
|zA-zB|
|zA-zB|
ab
|zA-zB |
AB
AB |zA-zB| ab
第3章 直线的投影【画法几何】.
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
基本要素的投影-直线的投影
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
各种位置直线地投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴,c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
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直线及其投影
直线的确定――两点或一点加方向。
直线对投影面的相对位置
直线在三面投影体系中位置，可分为三种情况：
一：投影面垂直线――垂直于一个投影面的直线
垂直线分三种铅垂线――⊥Ｈ面
正垂线――⊥Ｖ面
侧垂线――⊥Ｗ面
投影特性－－以铅垂线为例。
见图１，投影见图２
（１）有积聚性
（２）a¹b¹∥ＯＺ，a¹¹b¹¹∥ＯＺ，反映实长。
判别：有积聚性
二：投影面平行线――平行于一个投影面，但倾斜于另外两个投影面的直线。
（如平行于另
外两个投影面，则成为投影面垂直线）
平行线分三种水平线――∥Ｈ面
正平线――∥Ｖ面
侧平线――∥Ｗ面
投影特性－－以水平线为例。
见图３，投影见图４
（１）a¹b¹∥OＸ水平，a¹¹b¹¹∥ＯＹＷ
（２）ab倾斜反映实长，既ab=AB
（３）反映β、γ角实形
判别：有一个投影平行于投影轴，另一个
投影倾斜于投影轴。
三：一般位置直线――对三个投影面都倾斜的直线。
见图５
投影特性
（１）由于倾斜于投影面，故投影小于实长，
大于零。
满足ab=AＢcosα，a¹b¹=
AＢcosβ，a¹¹b¹¹=ＡＢcosγ
（２）α、β、γ在投影图中都不反映实形，
既不互补，又不互余。
（３）各投影面上的投影都倾斜于投影轴。
见图６
判别：二面投影倾斜于投影轴的直线一定是一般线。
（第三投影也一定倾斜于投影轴）。
例：判别下列直线对投影面的相对位置，并画出第三投影，反映倾角实形处用αβγ表示。
直线上的点
性质――直线上点的投影一定该直线的同面投影上，且满足定比关系：AB:CD=ab:cd= a¹b¹:c¹d¹见图８，投影见图９
例１：已知线段ＡＢ的投影，试将ＡＢ分成2:3段，求点Ｋ的投影。
见图１０
例２：求直线ＡＢ上点Ｃ的Ｈ投影。
（用二种方法）
线段的实长和倾角
一般线不反映线段的实长和倾角，如图1，a¹b¹和a¹¹b¹¹都
不反映实长，∠b¹a¹c¹≠α。
用直角三角形法求实长和倾角
如图２所示，三角形ＡＢＣ构成直角三角形，其中直角边ＡＣ为直线的Ｈ投影，ＢＣ为ＡＢ的高差，斜边为线段ＡＢ的实长，高差ＢＣ对应的角∠ＢＡＣ为直线ＡＢ对Ｈ面的夹角α的实形。
规律：
对Ｈ投影而言，缺少高度差，则以高度差为另一直角边，对应为α角，斜边为实长。
见图３对Ｖ投影而言，缺少宽度差，则以宽度差为另一直角边，对应为β角，斜边为实长。
见图４对Ｗ投影而言，缺少长度差，则以长度差为另一直角边，对应为γ角，斜边为实长。
见例1
例：在线段ＡＢ上求一点Ｋ，使ＡＫ长度为定长Ｌ
例：已知线段ＲＳ的长度为Ｌ，求水平投影rs
提示：求出宽度差即可
例４：已知如图，且α＝３０，补全Ｖ投影
分析：α对应高差，求出高差
注意：本题有两解
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有：相交、平行、异面（交叉）三种。
一：相交二直线
性质：相交二直线在同一投影面上的投影也相交，见图１，投影见图２
注意：在两直线中有一条为投影面平行线时，则在判断它们是否相交时应特别注意。
可考虑侧面投影或比例。
见图３
例１：给出平面四边形ＡＢＣＤ的Ｖ投影及其二边的Ｈ的Ｈ投影，完成整个Ｈ投影。
例２：已知正平线ＣＤ与直线ＡＢ相交于Ｋ，ＡＫ长度为２０，且ＣＤ与Ｈ面夹角为６０°，试完成ＣＤ的投影。
二：平行二直线
性质：平行直线的投影仍平行，反之，若投影都互相平行，则这二直线平行
注意：若两直线同时平行于某一投影面，则在判断它
们是否平行时应用另外方法。
方法１：考察它们在第三投影上是否互相平行。
见图
８
方法２：连结ＡＣ、ＢＤ，判断ＡＣ、ＢＤ是否相交
例：求直线ＡＢ，使与已知直线ＣＤ、ＥＦ相交，且平行于ＧＨ
分析：相交难以着手，先考察平行
三：交叉二直线――既不平行，又不相交的
直线
交叉二直线的同面投影可能平行，见图
１、图２，但不可能同时对三面投影都互相
平行，否则为平行线。
交叉二直线的同面投
影也可能相交，但这个交点只不过是二直线
上位于同一条投影线上而又分别属于二直
线上的一对重影点的投影。
见图３
利用重合投影，可以判断两直线的相对位置，见图３
一边平行于投影面的直角投影
一般来说，要使一个角不变形地投射在某一投影面上，必须使此角的两边都平行于投影面。
直角投影定理：对直角来说，只要有一边平行于投影面，则直线在该面上的投影的夹角仍旧是直角。
见图１
逆定理：两直线中，如果有一条线为投影面平行线，且投影的夹角为直角，则该两直线垂直。
例１：过点Ｋ作直线ＫＦ，使于直线ＣＤ正交。
提示：利用第三投影
例２：求下列两题中点Ａ到直线ＢＣ的距离。
例３：已知菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ的投影和另一对角线ＡＣ端点Ａ的水平投影a，试完成菱形的投影
提示：利用菱形的对角线互相垂直平分。