第3章 点、直线、平面的投影 复习思考题答案
《画法几何与阴影透视》第3章 直线与平面、平面与平面的相对位置 复习思考题答案
第3章直线与平面、平面与平面的相对位置复习思考题答案3.1.直线与平面的相对位置有哪几种？其中有哪些对作图有利的特殊状态？答：直线与平面的相对位置有平行和相交，相交的特殊情况是垂直。
对作图有利的特殊状态是指直线、平面的投影具有积聚性。
3.2.平面与平面的相对位置有哪几种？如何进行判断？答：平面与平面的相对位置有平行和相交，相交的特殊情况是垂直。
同一平面内的两相交直线，若分别平行另一平面内的两相交直线，则两平面平行。
两平面不平行就相交。
如果一平面内包含另一个平面的垂直直线，那么这两个平面垂直。
3.3.直线与平面相交，交点有何特性？如何判断可见性？答：直线与平面相交，交点有是平面与直线的共有点。
可见性判断直接根据直线与平面边界的重影点的可见性来判断。
3.4.平面与平面的交线如何求得？可见性判断有哪些方式？答：平面与平面的相交有两种情况：一是有平面投影具有积聚性，此时积聚投影的共有部分就是交线的该面投影，再利用交线是两个平面的共有线求得其它投影：二是两个一般位置平面相交，此时交线就用线面相交法或三面共点法求作。
具体见章节3.2.43.5.空间几何元素的距离如何确定？特殊位置的平面在确定距离的题目中起何作用？答：距离是平行的空间元素之间的间距，空间几何元素的距离都会经过这三步：作垂线，求交点，求垂线段的实长。
特殊位置的平面是指具有积聚性，或直线平行于投影面。
当平面积聚时，其垂线与平面所垂直的投影面平行，其垂线在此投影面的投影长度就是真实距离；当两直线与投影面平行时，可以直接使用直角投影定理找到公垂线，此时只需要用直角三角形法求公垂线实长即可得到此种情况下平行二直线的距离。
所以，作图关键在于找到平面的积聚投影，或直线的显实投影。
第三章点、直线及平面的投影详解
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
画法几何点、直线与平面的投影
点的投影
例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X
a'
b
c' c
O
C
a A
二、点的三面投影
1.三面投影体系
2.点的三面投影 Z
（X，Z） a '
a"（Y，Z）
X
X
ax
（X，Y）a
Z
O
Y
aYw
点的三面投影规律：
YW
a 'a " OZ
aYH
aYHO = aYwO
b'
a' X
b1'
O
b
a
30º
二、直线上的点
点在直线上，点的投影必在直线的同名投影上
定比性：AC：CB=a 'c ':c 'b '=ac:cb=a"c" :c "b "
d' b' c' e' a'
X
O
d'
D
a
e
cd
d
b
例题5 例题3-8: 在直线AB上找一点K,AK:KB=3:2。
b'
3
2
k' a'
c b
a d
c'
a'
b'
d' c
a
b
d
例题3-17：求两直线AB与CD之间的距离。
公垂线
b'
c'
e'
f'
a'
第三章 点、直线、平面的投影
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V
Z a b ab B W O a Ha X O YW a b Z a(b)
A X
b YH
b
Y
侧面投影积聚为一点；水平投 影及正面投影平行于OX轴，且 反映实长。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下：
（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；
c'
c
例3：已知C点在直线AB上，求作C点的水平投影。
1、用等比分割作图 2、利用侧面投影作图
a" c" b"
c c
例4：根据投影图判断C点是否在直线AB上。
求解一般位置直线的实长及倾角
根据一般位置直线的投影求解其实长及 倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本 问题之一，也是工程实际中经常需要解决的 问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最 为简便、快捷。
一、直线投影的形成
连两 影 一 况 即个 ， 直 下 可点 只 线 仍 由 。的 需 ， 为 于 投作故直直 影出要线线 ，已获，的 再知得且投 将直直两影 它线线点一 们上的决般 相的投定情
V
a'
b'
B
X
A
O b a H
直线的分类
投影面垂直线 特殊位置直线
直 线
投影面平行线 一般位置直线
二、特殊位置直线
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
a
ay YH
可得出点的投影特性如下： （1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。
（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。
【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″ 解: 作图步骤如下
现代工程图学(第三版)习题集答案(第3章)
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侧平线
侧垂线
水平线
A
正垂线
B
一般位置直线
3-2.2、作 出下列直线 的三面投影
01.
答案
02.
正平线AB,在点B在点A之右上方， γ=30°，AB=20mm。
b）正垂线CD，点D在点C之 右后，CD=18mm。
答案
答案
3-2.3、在直线AB上取一点K， 使AK：KB=3：2；
答案
在直线CD上取一点E使CE： ED=2：1.
3-2.4、在直线EF上取一点p，使P点与H面、 V面距离之比为3：2
答案
3-3.1、判别直线AB和CD的相对位 置（平行、相交、交叉）
交叉
相交
交叉
相交
2.作一正平线MN,使其与已知直线AB、CD和EF均相交。
答案
3.作一直线L,与直线AB、GH相交,并与直线MN平行。
5.在直线AB、CD上作对正面投影的重影点E、F和对侧面 投影的重影点M、N的三面投影，并表明可见性。
2.已知平面图形的两个投影，求作第三个投影，并判断平面的空间位置。
三角形是
面
1
5
平面图形是
面
4
2 水平 3 侧垂
第一章节
3-4.3、已知矩形ABCD⊥H面， β=45°，完成其水平投影。
1.作出△ABC平面内三边形DEM的水平投影。
2.完成平面图形ABCDEF的正面投影。
3.已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面投影。
4.判断点K是否在平面上。
3-5.5、求平面上点K与点 N的另一投影。
单击此处添加小标题
三角形是
面
单面图形是
面
单击此处添加小标题
机械制图点直线平面的投影习题答案
2-22 已知CD为水平线,完成平面ABCD的正面投影。
2-23 完成平面图形ABCDEFGH的三投影并回答 下面的问题。
平面ABCDEFGH是 一般位置 面。 直线EF是 水平 线。 直线FG是 侧平 线。
2-24 判断下列各图中的直线与平面是否平行（将“是” 或"否"填于括弧中）。
⑴
⑵
( 是)
2-1 求各点的未知投影。
2-2 已知点B距点A15；点C与点A是对V面的重影点；点D
在点A的正下方15。求各点的三面投影。
2-3 已知点A(25,15,20)；点B距W、V、H面分别为20、10、15； 点C在点A之左10、之前15、之上12；点D在点A之上5、与H、
V面等距、距W面12。求作各点的三面投影并填写下表。
2-8 判断两直线的相对位置（平行、相交、交叉、垂直相交、 垂直交叉）并将答案填写在下面的括号内。
2-9 由点A作直线AB与直线CD相交并使交点 距H面12。
2-10 求直线AB、CD的交点K。
2-11 过点C作直线CD与已知直线AB平行。
2-12 作与已知直线AB、CD平行且相距为15的直线MN，并使MN的 实长为20，点M距W面30，点N在点M之右（任求一解）。
2-13 作正平线EF距V面15,并与直线AB、CD相交 （点E、F分别在直线AB、CD上）。
2-14 作直线EF平行于OX轴,并与直线AB、CD相交 （点E、F分别在直线AB、CD上）。
2-15 过点C作一直线与直线AB和OX轴都相交。
2-16 作一直线MN，使其与已知直线CD、EF相交，同时 与已知直线AB平行(点M、N分别在直线CD、EF上)。
2-4 已知直线AB的实长为15，求作其三面投影。
工程制图第3章答案
3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
机械制图复习思考题
13、绘制连接圆弧图时，应确定（ ）。 （a）切点的位置； （b）连接圆弧的圆心； （c）先定圆心再定切点； （d）连接圆弧的大小。
2021/7/17
5
《机械制图》复习思考题
——第一章 制图的基本知识（4）
（c）尺寸界线、尺寸线和尺寸数字； （d）尺寸线、箭头和尺寸数字。
2021/7/17
4
《机械制图》复习思考题
——第一章 制图的基本知识（3）
10、图形上标注的尺寸数字表示（ ）。 （a）画图的尺寸； （b）机件的实际尺寸； （c）随比例变化的尺寸； （d）图线的长度尺寸。
11、标注角度的尺寸时，角度数字应（ ）注写。 （a）水平方向书写； （b）竖直方向书写； （c）与线性尺寸数字的方向一致； （d）向心方向书写。
8、能用直角三角形法求一般位置直线实长的一组已知条件是（ ）。
（a）ab，b'； （b） ab ,a' b' ； （c）ab，a‘；
（d）a'b'，a。
9、在下列两直线的V、H面投影中，不能直接判断其平行的是（ ）。
（a）两水平线； （b）两正平线；
（c）两侧平线； （d）两侧垂线。
10、在V、H面投影中，相交的两直线是（ ）。
（b）必须用点画线画出；
（c）当体小于一半时才不画出； （d）当体小于等于一半时均不画出。
11、轴线垂直于H面的圆柱的正向最外轮廓素线在左视图中的投影位置在（ ）。
（a）左边铅垂线上；
（b）右边铅垂线上；
（c）轴线上；
（d）上下水平线上。
12、圆锥的4条最外轮廓素线在投影为圆的视图中的投影位置（ ）。
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第3章点、直线、平面的投影复习思考题答案
3.1 简述为什么不能用单一的投影面来确定空间点的位置？
答：确定空间点的位置需要三个坐标，而单面投影只能确定点的两个坐标值。
所以，由点的单面投影，可对应无数的空间点，故不能用单一的投影面来确定空间点的位置。
3.2 为什么根据点的两个投影便能作出其第三投影？具体作图方法是怎样的？
答：在三面投影体系中，任意一个投影面上投影都能确定点的两个坐标值，任意两个投影面共一个投影轴，都能反映三个方向的坐标，所以在三面投影体系中，只要给出一个点的任意两个投影，就可以求出其第三个投影。
具体的作图方法是利用点的投影规律（“三等关系”）求得第三面投影。
3.3 如何判断重影点在投影中的可见性？怎么标记？
答：看重影点的不同的第三个坐标值的大小，坐标值大的就是可见的，反之不可见。
重合投影中不可见的点的投影用括号“（）”标记。
3.4 空间直线有几种？
答：两大类七小种：一般位置直线和特殊位置直线。
而特殊位置直线有分为平行线和垂直线。
平行线又分为正平线、水平线和侧平线；垂直线分为铅垂线、正垂线和侧垂线。
3.5 如何在投影图上判断点是否属于直线？
答：利用从属性和定比性都可判定。
从属性：如点在直线上，点的投影一定在直线的同名投影上；定比性：点分线段成比例，其各面投影也一定成相同比例。
3.6 什么是直线的迹点？在投影图中如何求直线的迹点？
答：直线的迹点是直线与投影面的交点。
迹点既是直线上的点，又是投影面上的点，所以，迹点的投影总会有一个是在某投影轴上，同时也一定会在直线的同名投影上（即找直线的一个投影与坐标轴的交点），这样就可得到迹点的一面投影，再根据点在直线上的从属性，在直线的另一投影上求得迹点的另一投影。
3.7 试叙述直角三角形法的原理，即直线的倾角、实长、距离差、投影长的之间的关系。
答：直角三角形法是根据已知直角三角形的两个直角边，就可以画出直角三角形斜边的原理，将直线对同一个投影面的距离差、投影长作为两个直角边，画直角三角形，其斜边即为实长。
实长与投影长的夹角即为直线对该投影面的倾角。
3.8 两直线的相对位置有几种？它们的投影各有什么特点？
答：两直线的相对位置有：平行，相交，交叉。
平行二直线的各面投影都平行；
相交两直线的交点同时属于两直线，交点的投影一定在两直线各面投影的交点上，并满足“三等关系”；
交叉二直线的投影不满足两直线平行或相交的条件。
3.9 试简述直角投影定理。
答：空间相互垂直的两条直线中，如果一直线与某投影面平行，则此两直线在该投影面上的投影仍然反映垂直；反之，如果两直线的某面投影构成直角，且其中一条直线与该投影面平行，则该两直线在空间一定相互垂直。
3.10 平面的表示法有哪些？什么叫平面的迹线？
答：平面的表示法有两种：一种是用点、直线和平面的几何图形的投影来表示，称为平面的几何元素表示法；另一种是迹线表示法。
平面与投影面的交线称为平面的迹线。
3.11 教学楼中，最常见的是哪些平面（如门、窗、坡屋面等）？
答：如果忽略以上元素的厚度，门窗的位置多为正平面或侧平面，也可以是铅垂面；坡屋面多为正垂面或侧垂面，也可以是一般位置平面。
3.12如何在平面上取点和取直线？
答：一直线若过平面上的两点，则此直线属于该平面。
欲取平面内的直线，必先在平面内找两个已知点的投影，点的同名投影连线即得到平面上的直线。
若点在平面上的一条直线上，则点在此平面上。
故欲取平面内的点，必先在平面上取一直线，再对该直线上取点。
3.13 在一般位置平面内，能否包含垂直线？为什么？
答：一般位置平面内不可能包含垂直线。
可以用反证法推得。
假设一般位置平面包含垂直线，那么平行的两条垂直线可以构成一个平面，垂直线投影积聚，该平面也必然积聚，而一般位置平面投影没有积聚性，假设不成立。
那么，一般位置平面内就不可能包含垂直线。
3.14 什么是最大斜度线？怎么在平面上作最大斜度线？
答：平面上与该平面上投影面平行线垂直的直线即为平面上的最大斜度线。
由于最大斜度线垂直于平面上的投影面平行的直线。
把垂直于平面上水平线的直线，称为对Ｈ面的最大斜度线；把垂直于平面上正平线的直线，称为对Ｖ面的最大斜度线；把垂直于平面上侧平线的直线，称为对Ｗ面的最大斜度线。
所以，根据直角投影定理，V面的最大斜度线的V面投影垂直于平面内的正平线的V面投影；Ｈ面的最大斜度线的H面投影垂直于平面内水平线的H面投影；W面的最大斜度线的W面投影垂直于平面内侧平线的W面投影。