高二数学圆锥曲线试题及答案解析
1
椭圆
1. 椭圆上有两点P、Q ，O为原点，若OP、OQ斜率之积为，则 为（ ）
A . 4 B. 64 C. 20 D。 不确定
答案: C 解析： 设直线方程为 ,解出,写出
2。 过椭圆的焦点F（c, 0)的弦中最短弦长是 （ )
A. B。 C. D.
答案： A
3。 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B。 C. D.
答案： D
4. 过原点的直线与曲线C：相交，若直线被曲线C所截得的线段长不大于，则直线的倾斜角的取值范围是
( ）
A B C D。
答案: D 解析: 用弦长公式
5. 如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线与BF交于D,且，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
答案： B
6。 椭圆上离顶点A(0,)最远点为 （0,成立
的充要条件为( )
A B C D。
答案： C 解析： 构造二次函数。
7. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距)，有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是
( )
A B C D
答案: A 解析: 解齐次不等式:,变形两边平方.
8. 已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 （ ）
A (1， +∞） B C D
答案: D
解析： 焦三角形AFO,如图： 为锐角。转化为三角函数问题.
9。 P是椭圆上一定点，是椭圆的两个焦点，若,则
解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.
10。(2000全国高考) 椭圆的焦点为,点P为其上的动点,当为钝角时,点P横坐标的取值范围是 解析： 焦半径公式.
11. 圆心在轴的正半轴上,过椭圆的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为
12. 已知为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若, 则此椭圆的离心率为 解析: 同填空（1)
13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆，则此椭圆离心率为
解析： 求
14. 如果满足则的最大值为 解析： 三角代换.
16。 设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程。
解：设椭圆方程为， 为椭圆上的点，由得
若,则当时最大,即, ，故矛盾.
若时，时, 所求方程为
17.已知曲线按向量平移后得到曲线C.
① 求曲线C的方程；
②过点D(0, 2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设，求实数的取值范围。
解:① 由已知设点P（满足,点P的对应点Q(
则 。
② 当直线的斜率不存在时，，此时; 当直线的斜率存在时，设ｌ：代入椭圆方程得: 得
设，则 ,
又 则 。 .
2
又
由 ，得,即即，又
综上:
双曲线
1。 已知是双曲线的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过,且倾斜角为，则的值为
( )
A. B。 8 C。 D。 随的大小变化
答案: A 解析: 用双曲线定义列方程可解
2。 过双曲线的右焦点作直线交曲线于A、B两点，若则这样的直线存在( ）
A。 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
答案: D解析： x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条； 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条。
3。 直线与曲线的交点个数是 ( )
A. 0个 B. 1个 C。 2个 D. 3个.
答案： D
解析: (0， 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线,当直线斜率不为0时，直线必与每个曲线交于两点。
4. P为双曲线上一点,为一个焦点,以为直径的圆与圆的位置关系为
( ）
A。 内切 B。 外切 C。 内切或外切 D. 无公共点或相交.
答案: C 解析： 用两圆内切或外切的条件判断
5. 已知是双曲线的离心率,则该双曲线两条准线间的距离为( ）
A。 2 B。 C. 1 D。
答案: C 解析:
6. 设,则二次曲线的离心率的取值范围是 ( )
A。 B. C. D。
答案： C 解析：
7。 设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足，
则的面积为 ( ）
A。 1 B. C。 2 D。
答案： A 解析： 勾股定理,双曲线定义联立方程组。
8. 设是双曲线的左、右焦点,P在双曲线上，当的面积为1时,
的值为 ( )
A. 0 B。 1 C. D. 2
答案： A
解析: 不妨设由,
， ,
9.设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为
10。 双曲线两条渐进线方程为,一条准线方程为，则双曲线方程为
解析: 可设双曲线方程为: （
11。 设双曲线的半焦距为，直线过点,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为 2 解析： 由
12. 已知双曲线中心在原点，以坐标轴为对称轴且与圆相交于A（4, —1),若此圆在点A的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为
解析:设双曲线方程为： ，再用待定系数法。
3
13. 直线和双曲线的左支交于不同两点,则的取值范围是 解析: 用判别式和韦达定理
14。 是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足, 则 解析: 列方程组解.
15。 以圆锥曲线的焦点弦AB为直径作圆，与相应准线有两个不同的交点，求证：
①这圆锥曲线一定是双曲线;
②对于同一双曲线， 截得圆弧的度数为定值.
解：①如图：， ，
所以圆锥曲线为双曲线.
②为定值所以弧ST的度数为定值.
16. M为双曲线上异于顶点的任一点,双曲线
的焦点为,设，求的值。
解：
,
17。(2000全国高考)已知梯形ABCD中,，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点,当时,求双曲线离心率的取值范围.
解：如图建系：设双曲线方程为：
则B(c,0)， C（，A(-c,0）
,代入双曲线方程得：
,
抛物线
1。 过点（0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C。 3条 D。 无数条.
答案： C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点.
2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为 ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径的范围为 （ )
A. B。 C。 D.
答案: C 解析： 设圆心A(0，t），抛物线上的点为P(x,y), 列出转化为二次函数问题.
3. 抛物线 的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是 ( ）
(A） （B) (C) (D）
答案： D解析： 可证弦AB通过焦点F时，所求距离最短。
4。 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则（ ）
A。 4 B。 2 C。 D。
答案: A解析: 所截线段长恰为通径
5. (2000全国高考）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于（ )
A. B。 C。 D.
答案: C解析： 考虑特殊位置，令焦点弦PQ平行于轴，
6. 设抛物线的轴和它的准线交于E点，经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直),则与的大小关系为 （ )
A。 B。 C。 D. 不确定
答案: C 解析： 向量解法： 由A、F、B共线得（重要结论）,进而得出
7. 已知抛物线上一定点和两动点P、Q ,当P点在抛物线上运动时，，则点Q的横坐标的取值范围是 ( )
A。 B. C。 [—3, -1] D。
答案: D 解析： 均值不等式
8. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B，若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ）
4
A。 B. C. D。
答案： C
解析: 如图,
因为A、F、B三点共线 所以
9. 一动点到轴距离比到点(2， 0）的距离小2,则此动点的轨迹方程为
解析： 用抛物线定义.
10。 过点P(-2， —4)的抛物线的标准方程为 解析: 考虑两种可能。
11。 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为
米 解析： 坐标法
12。 以椭圆的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则 解析： 略
13。 设A、B为抛物线上的点,且（O为原点)，则直线必过的定点坐标为
解析： 设直线方程为 ,解出A点坐标,再写出B点坐标;写出直线方程。
实验中学高二数学圆锥曲线测试题(含答案)
1 实验中学高2019届高二上学期数学检测试题（圆锥曲线）
一、选择题:
1.在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )
A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)
2.椭圆1422yx的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆交于点P，||2PF=
（ ）
A．23 B．3 C．27 D．4
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
4.设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件621PFPF，则点P的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
5.设椭圆1422myx的离心率为21，则m的值是（ ）
A．３ Ｂ．316或３ Ｃ．316 Ｄ．316或２
6.设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程1,023Fyx、F2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1PF，则||2PF（ ）
A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9
7.椭圆141622yx上的点到直线022yx的最大距离是（ ）
A. 1053 B．11 C．22 D．10
8.在同一坐标系中，方程12222byax与)0(02babxay的曲线大致是 ( )
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题
、选择题：
2. （2006全国 II）已知△ ABC的顶点 B、C在椭圆 x32＋y2＝1上，顶点 A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点
3
在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A）2 3 （B）
二、填空题：
1
设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II）已知双曲线 a2 b2 （C）54
A)53 x2 y2 4
1的一条渐近线方程为 y＝ 3x，则双曲线的离心率为（
(D)32
C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（
A． 4
3 ．3
4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2
y2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等
于( )
22
A. 2 B. C. 2 D. 4
5. 2006 辽宁卷）方程 2x2 5x 0 的两个根可分别作为（
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
6. 2006 辽宁卷）曲线
10 m 2
y
6m 2
1(m 6) 与曲线 x
5m 2
y 1(5 m 9) 的( )
9m
7．
8. （A）焦距相等 （B） 离心率相等 （C）焦点相同 （D）准线相同
2 2x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y2 2 px的焦点与椭圆 6
A． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（
22
2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y2 18k2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
9. （2006 全国卷 I）双曲线 mx2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m
10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F（ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） , 2
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题
一、解答题
1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）证明：
由题意设直线的方程为，
由消去y整理得，
设，，
要使其为定值，需满足，
解得.
故定点的坐标为.
点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物线2:2Cypx（0,pp为常数）交于不同的两点,MN，当12k时，弦MN的长为415.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1,1B，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）24yx;（2）直线NQ过定点1,4
【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；
（2）由（1）可设2221122,2,,2,,2MttNttQtt，则12MNktt，
则11:220MNxttytt；
同理： 22:220MQxttytt
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(新文化与压轴30题专练)解析
第2章圆锥曲线（新文化与压轴30题专练）
一、单选题
1．（2021·上海·高二专题练习）开普勒第二定律的内容是“在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等”，如图，已知行星绕恒星运动的轨道是一个椭圆，恒星在椭圆的一个焦点F处.从行星位于长轴端点P这一位置开始计算，它再次运行到点P所经过的时间为T.根据开普勒第二定律，从P开始经过4T时间，行星的位置可能在（ ）
A．A点处 B．B点处 C．C点处 D．D点处
【答案】A
【解析】
根据开普勒第二定律即可得
【详解】
因为在相等的时间内，行星与恒星所连线段扫过的面积相等，P点到F的距离较远，经过4T时间，14BPFSS椭圆，所以4T时间后未到B点，可能在A处
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆对称性的应用，属于基础题.
2．（2020·上海市进才中学高二期末）若直线y=x+b与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是
A．1,122 B．122,122
C．122,3 D．12,3
【答案】C
【详解】
试题分析：如图所示：曲线234yxx即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，
直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得232b=2，
∴b=1+22，b=1-22
当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1
结合图象可得122≤b≤3
故答案为C
3．（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高二期末）设点M、N均在双曲线22:143xyC上运动，1F、2F是双曲线C的左、右焦点，则122MFMFMN的最小值为（ ）
A．23 B．4 C．27 D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据向量的运算，化简得|𝑀𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑀𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2𝑀𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|𝑁𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，结合双曲线的性质，即可求解.
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)
1 / 20word.
高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)
1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)
设圆x2 + y2 + 2x — 15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B
作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求 四边形MPNQ面积的取值范围.高二数学专题学案
2 / 20word.
x2 y2 2、（2015全国I卷）（14） 一个圆经过椭圆7十 一 二 1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程 16 4
为。
3、（2014全国I卷）
20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E ：上+ y2 = 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆 a2 b2 2
的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.
（I）求E的方程；
（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.
4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分） 高二数学专题学案
3 / 2oword.
平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点
F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中 点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为Sj ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值
2
时点P的坐标.
八 - x 2 Y 2 一， ， 〜
5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ： — + ） = 1（a > b > 0） a 2 b
高二数学 人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案
第二章
2.4
2.4.1
一、选择题
1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线 C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] ∵点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．
2．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D.
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，
∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为42＋4－12＝25＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
4．抛物线y2＝mx的焦点为F，点P(2,22)在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线准线的距离为( )
A．1 B．32 C．2 D．52
[答案] D
[解析] ∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，
∴m＝4，P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，
∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )
A.12 B．1 C．2 D．4
[答案] C [解析] 抛物线的准线为x＝－p2，
将圆方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p＝2，故选C.
圆锥曲线章末检测(附答案)
圆锥曲线的方程
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．116，0 D．0，116
2．过椭圆x225 ＋y29 ＝1左焦点F1引直线l交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是( )
A．20 B．18
C．10 D．16
3．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝33 x，则该双曲线的离心率为( )
A．12 B．32
C．2 D．233
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且PF→ ＝4FQ→ ，则点P到准线l的距离为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36 cm，则|AD|＝( )
A．1210 cm B．638 cm
C．38 cm D．637 cm
6．已知椭圆mx2＋5my2＝5的一个焦点坐标是(－2，0)，则m＝( )
A．5 B．2
C．1 D．32 7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，以O为圆心的圆交抛物线于A、B两点，交准线于M、N两点，若|AB|＝42 ，|MN|＝25 ，则抛物线方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝10x
8．已知F1，F2是椭圆C：x24 ＋y23 ＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2的内切圆半径为( )
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第2章圆锥曲线(单元基础卷)解析
第2章圆锥曲线（单元基础卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（2022·上海·高三专题练习）双曲线2213xy的焦点到渐近线的距离为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离公式求得.
【详解】
双曲线的焦点为(±2，0),渐近线方程为33yx,即30xy，
焦点到渐近线的距离为21,13
故答案为：1.
2．（2022·上海·高三专题练习）若点(2021,)Pt在抛物线24yx上，点F为该抛物线的焦点，则PF的值为_______.
【答案】2022
【解析】
由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF等于点(2021,)Pt到准线的距离即可求解.
【详解】
由24yx可得其焦点1,0F，准线为1x，
因为点(2021,)Pt在抛物线24yx上，
所以点(2021,)Pt到焦点的距离等于到准线1x的距离，
所以202112022PF，
故答案为：2022.
3．（2022·上海·高三专题练习）椭圆2231xy的短轴长为___________
【答案】233
【解析】
【分析】
将椭圆方程化为标准形式，进而求出答案．
【详解】
由题可得椭圆的标准方程为22113yx，
则21a即1a，213b即33b,
所以短轴长为233．
新高考数学-圆锥曲线中的四点共圆20题解析
一、解答题
1．（2024·广西来宾·一模）已知双曲线22
22:10,0xy
Cab
ab
的右焦点为
6,0
，渐近线方程为2
2yx.
(1)求C的方程；
(2)记C的左顶点为A，直线2
:
3lx
与x轴交于点B，过B的直线与C的右支于P，Q
两点，直线AP，AQ分别交直线l于点M，N，证明O，A，M，N四点共圆.
【答案】(1)22
1
42xy
；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）根据双曲线中a
，b，c
的关系以及双曲线渐近线的方程，可求a
，b，得到双曲
线的标准方程.
（2）设直线PQ
的方程，与双曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系列出相关
结果，再把四点共圆转化成1
APONkk
，代入相关点的坐标，化简整理即可.
【详解】（1）
由题意可得22
6
22ab
b
a
，解得24a，
22b，
所以C的方程为22
1
42xy
.
（2）
如图：
设直线PQ的方程为2
3xmy
，
11,Pxy
，
22,Qxy
，
代入C的方程整理可得：
229212320mymy
，
220m，且
2
212492320mm
，故216
9m
且22m.
12
24
32m
yy
m
，
12
232
92yy
m
，
因为P，Q在C的右支上，
120yy
，22m，综上，216
2
9m
C的左顶点为
2,0A
，故直线AP与AQ的方程分别为：
1
12
2y
yx
x
，
2
22
2y
yx
x
，可得1
128
,
332y
M
x
，2
228
,
332y
N
x
.
要证O，A，M，N四点共圆只需证πAMNAON
，
即证AMNBON
，即证MAB与BON互余
即只需证1
APONkk
，
因为
121212
2
12
2
12
1212444
88
22
88
33
33APONyyyyyy
kk
xx
mymy
myymyy
，
高二数学选修1-1试卷及答案
绝密★启用前
圆锥曲线复习题
憋说话，你的对手正在做题！
；考试时间：100分钟；命题人：MJW
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
得分
分卷I
分卷I 注释
评卷人 得分
一、单选题（注释）
1、如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，
∴a＝＝，∴e＝＝＝.
2、过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋. 由得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1·x2＝，
∴|AB|＝＝.
分卷II
分卷II 注释
评卷人 得分
二、填空题（注释）
3、已知椭圆经过点(，0)且与椭圆＋＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____．
【答案】＋＝1
【解析】椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且c＝＝，故所求椭圆的焦点在y轴上，
又它过(，0)，所以b＝，故a2＝b2＋c2＝3＋5＝8，
故所求方程为＋＝1.
4、椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
【答案】7
【解析】依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，∴|PF2|＝|y1|＝.