七杆机构运动学分析

七杆机构运动学分析Guowu Wei, Jian S. Dai英国伦敦WC2R 2 ls伦敦大学,伦敦国王学院, 机械工程系摘要这篇文章探讨一个七连杆3固定旋转节点机构并且提出一种基于从链路参数变化演变出不同类型的可旋转标准进行系统的分类。

将机构分成两个封闭环路分别提供端部执行机构的位置和方向。

封闭形式的运动学方程被用作两个四杆解析方程依次对机构进行几何分析。

文章进一步推导出了该机制的雅可比矩阵，并且提出来运动学分析。

在此机制的扩展上，此文章探讨了四种典型的机制，检查他们的工作区域以及基于所述的雅可比矩阵的奇异性和实现条件数分析确定各向同性分布。

关键词三固定旋转节点分类运动学工作空间奇异性各向同性1.前言采用闭环的连杆机构作为机械手在已经过去的二十年中很受欢迎，闭环机构在消除出轮系上提供优势并且使通常要求使用开环机构的驱动传输便利。

采用闭环平面连杆机构，特别是在机器人领域采用两自由度闭环平面连杆机构开始于20世纪80年代末。

1985年，Asada和Ro[1]引入直接驱动的两自由度五杆平面机构以克服所面临额开环机构的问题。

1986年Bajpai和Roth[2]分析了相同的两自由度五杆机械手作用链路长度对工作空间的影响并对其进行分类分类，1992年，Ting[3]进一步提出了浮动节点的定位方向对工作空间的影响。

20世纪90年代以来，更多的两自由度平面五杆机构被提出并对它们的几何学和运动学进行了分析[4-8]。

机器人这一领域开始对七杆机构作为一种类型的双自由度平面机构有了兴趣。

1996年，Gosselin [9]通过在Watt II六杆机构中增加一个曲柄以形成具有3杆平面并联机构并且有一个复合铰链的七杆机构，并对其进行运动学和静态特性分析。

利用基本杆组Innocenti[10,11]提出了三环7杆机构关于其装配配置的位置分析[12,13]。

Fang和Zou[14]剃除提出合成型的有固定曲柄的双自由度七杆机构并揭示了四种类型连杆的联系。

继此，Balli和Chand[15]提出的三曲柄平面七杆的合成方法利用死点位置可变的拓扑结构分析，以降低解空间的机制。

2003年，Du 和Guo[16]提出了六转动副和一个移动副的双自由度七杆机构的一种新的金属压力机。

2005年，Luo 和Dai[17]提出了一种有平行四边环的七杆机构并进行几何分析。

2006年，Tong[18]利用正交路径的概念，研究了从Stephenson III六杆机构发展而成的三环七杆机构。

在机构的分析过程中，分类有助于确定其共同特征。

Willis[19]首次提出机制分类的概念，当时，对于平面连杆机构，最有用的分类方法是用Grashof[20]标准。

Bajpai 和Roth[2]提出了一种典型分类方式，在五杆机构根据其驱动连接的可旋转性[21,22]分为两种类型。

每种类型被进一步分成两种类型。

Dai和Paresh[23]通过引入虚拟链路和运动链将可转动性研究扩展到运动学链然后根据其可旋转性分类。

McCarthy[24]根据由一个四杆机构的二次方程式推导来确定格拉斯霍夫机构和非格拉斯霍夫机构的参数T1; T2; T3用8种类型对平面4R连杆机构分类。

其特征的组合被用于确定在分类的曲柄摇杆条件。

通过枚举过程已经提出只存在3种双自由度七杆运动链[25-27]。

以上研究，除了[17]以外。

都是基于只有两个链接在每个固定的固定旋转单联联系旋转接头。

大多数这些机制或者是通过添加一个链到WattII 形成的机制和StephensonIII6杆机构[28,29]，或通过在所有非同型联动方式的基本五连杆双自由度机构增加一个双连杆杆组形成。

本文提出了由两个环结合产生的一种三曲柄7杆机构，两个环其中之一是利用链路收缩运作在一个双自由度机构中并保留一定程度的自由性能。

利用连杆的收缩，它的两个固定支点位于同一个点形成的铰链出。

因此，第二回路呈现一个减弱链路作为七杆机构的一部分的五连杆。

该七杆机构的另一部分是由一个曲柄和一个耦合器与框架一起形成四杆机构并且用于改变该机制的端部执行器连接的位置。

七杆机构的两个输入因此去耦一个提供位置一个提供方向。

该机制提供非圆形轨迹并且可能用在折纸折叠[30]并且还可以被用于机器人手指[17]和机械手。

本文通过把其分成两个环路研究和分析了此机制，从而将其分成32种类型。

基于此分类，本文挑选出可能被用作机器人的四种典型类型，并探讨其工作空间，奇异性和各向同性分布。

2.机制的分类此双自由度三曲柄7杆机构如图1所示该机制的一个固定支点在A ，其他两个固定支点在D ，D 是一个复合铰链。

1杆到7杆的长度命名为7654321,,,,,,l l l l l l l 杆DG 命名为'3l ，7杆的延长杆为'7l 。

此七杆机构可分为两个封闭环路。

第一个ABCDA(1-4)作为一个驱动环路，第二个DEFGD(3,5-7)作为定向环路用来控制耦合杆或执行杆7和其延长杆7’。

第二个环路是一个收缩了的五杆机构。

要注意的是杆 3 是两个环共有的，其姿态由第一个环路决定。

一旦它被安装在第一个环路上，第二个环路就成了四杆机构。

在此装制中，机构的工作空间由耦合器/末端执行杆7决定。

耦合器连杆7的位置由第一环路的曲柄1和连杆2决定。

这些环节构成了四连杆从而与第二环路的主五杆机构构成了具有3曲柄的七杆机构。

基于两个分开的环路，分类可以由两个环路的联合来呈现。

对于第一环路，考虑分类的方便与简洁，此机制分为四种驱动模型1-4，与格拉斯霍夫连杆：曲图1 公共杆柄摇杆、双曲柄、摇杆曲柄和双摇杆一致。

表1对于第二个环路，下面是用三个参数表示的二次联动方程参数组合（T1; T2; T3）可以通过确定曲柄的存在来确定类型I 和类型II 的联系，此结论可应用在八个基本杆组中。

前面三种连杆组合遵循格拉斯霍夫标准归为类型I ，后面五种归为二类型II 。

类型II 包括一个格拉斯霍夫双摇杆机构和四种非格拉斯霍夫双摇杆机构。

也就是说，在第二个环中类型II 没有曲柄。

到目前为止，在第一个环中的每种类型，两大类八种机构都已经提到。

因此，此机制可以分为32种类型并且命名为j i t m (这里i=1,2,3,4对应于环路1的驱动类型，j=1,2…，7,8对应于环路2的8种类型）。

因此，基于对环路1和环路2的分类，机制的分类在如表1所示。

此分类可以作如下解释。

当环路1在表1中为曲柄摇杆驱动方式1时，根据上述参数排列环路2 可分为两种大类里面包含8种类型。

在第一大类，有三种类型分别为312111,,t m t m t m如果环路2是曲柄摇杆机构（+++），此机制命名为11t m 。

如果环路2时双曲柄机构（--+），此机制命名为21t m 。

如果环路2是摇杆曲柄，则命名为31t m 。

考虑到第二大类的分类，有五种类型如下。

当环路2满足格拉斯霍夫准则并且是双摇杆机构（-+-），此机制命名为41t m 。

另外，环路2是非格拉斯霍夫双摇杆机构（---），（++-），（+-+），（-++）,则机制命名分别命名为81716151,,,t m t m t m t m 。

同样的，当环路1时双曲柄作为驱动方式2时，环路2的分类与上述相同。

所有机制的类型为jt m 2（这里j=1,2…，7,8）。

另外，当环路1成为双曲柄或双摇杆机构，也就是机制为驱动方式3和驱动方式4时。

机制的分类为jt m 3和jt m 4（这里j=1,2…，7,8）。

因此，七连杆机构可以演变成32种类型，在此基础上，人们可以方便的从表1中选一种合适的类型作为特殊的应用。

3.机制的几何分析和雅克比矩阵如图2建立坐标系，D 为原点，x 轴与杆4共线。

连杆1、连杆3、连杆5和末端执行件连杆7的的角位移，分别为θ1、θ3、θ5和θ7。

另外连杆1作为机制的主动件，连杆5被用来改变耦合器连杆7方向。

图２在环路1中，杆1作为输入部件，杆3作为输出部件，Ｂ、Ｃ的坐标为这里角位移θ1是环路１杆１的输入角度，角位移θ3是环路１杆３的输出角度假定所有的链接都是刚性的，接地Ｂ和Ｃ的距离在连杆的运动中保持不变。

因此，下面的同一性才存在。

将⑴式代入⑵式，可以推得⑶这里：在式⑶中，正号对应图2当前位置点C，负号对应CD延长端的的位置。

一旦输入角位移θ1确定，输出角位移θ3也就确定了。

一旦杆3的位置确定了，则环2中由五杆机构缩减而成的四杆机构的运动学方程可以如下推导。

与环1的四杆机构相同，E点和F点的位置坐标如下。

这里杆5的角位移θ5是环2的输入角，而θ7是环2的输出角。

考虑到E和F之间距离不变性，下面的同一性存在。

将⑷式代入⑸式，整理参数cos θ 7 和 sin θ7，结合三角函数tan(θ/2)与sin θ、cos θ之间的积分关系。

则角位移θ7就如下所示。

⑹这里这里的θ3由环1求得。

在此机制中，点H 是末端执行点，杆7的定位角θ7可以通过上述方程得到，点G 的坐标可以如下给出。

⑺末端执行点H 的坐标可以表示为⑻将⑻式求导，可得⑼这里是末端执行点H 的速度矢量，73θθ 和是杆3和杆7的角速度。

要提出来的是，在⑼式中，末端执行点的速度与相关而不是与执行件相关。

为表示末端执行点H 相对执行件的速度，采用式⑵和式⑸对时间的导数，可得如下方程。

⑽第八页：因此，此种类型的七杆机构的工作空间如图4描述。

在图4中，阴影部分表示的是H 点的工作空间，两个虚线圆max min C C 和是其边界。

可以从图3中看出，点H 的轨迹在两个同心圆之间。

这就类似于环2的结果[2,3]也可以看出工作空间由一系列圆心在G 点的圆弧构成，这些圆弧都是构成环形的一部分。

此外，由于环2时封闭的曲柄连杆机构并且杆7不能做整周运动，两个圆弧半径r 和R 可以由式⒀和式⒁所得。

应该指出来的是，末端执行点H 的轨迹实际上与两个驱动杆的角速度相关，这里的u 可以是任何实数，在此研究中，假设51θθ 和是不变的则.实际上，H 点的轨迹是一个齿轮五杆机构的曲线，它的曲线程度和几何性质取决于齿轮比[31.32]。

当u=0时，假定杆5静止，那么H 点的轨迹就是六杆机构曲线了。

对于m1t1类型的七杆机构，一个有趣的现象在本文中提出过。

当u=1时，末端执行点的轨迹没有交叉点。

u=2时，轨迹交叉一次。

u=n 时，轨迹交叉n-1次。

简图如图5所示。

在图5中，阴影部分是H 点的工作空间，当u=n 时，曲线的路径是固定的。

这个现象表示可以用来一些特殊的情况比如要轨迹交叉的情况。

考虑到m1t2型七杆机构，环2是双曲柄并且杆7可以整周旋转，构成封闭工作区域两个圆的半径可以从式⒀和式⒁中推导出来'7'3'7'3R l l l l r +=-=和，这与θ7=0和θ7=π一致。