中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义12 一元二次方程(教师版)
2024年中考数学一轮复习提高讲义：一元二次方程
一元二次方程知识梳理1.一元二次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程的特点(1)含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是 2.(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax²+bx+c=0时,应满足a≠0.3.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法.(4)因式分解法.5.根的判别式一元二次方程根的判别式为Δ=b²−4ac.典型例题例 1若关于x 的一元二次方程(m−1)x²+5x+m²−3m+2=0的常数项为0，则 m 的值等于( ).A. 1B. 2C.1或2D.0分析首先为保证( (m−1)x²+5x+m²−3m+2=0是一元二次方程，则m−1≠0;；其次，根据题意，常数项为0，则m²−3m+2=0.解 B例2已知方程x²+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ).A. abB. a/bC. a+bD. a-b分析将根代入方程，得a²−ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+1)=0.解将-a代入原方程,得a(a-b+1)=0因为a≠0所以a-b=-1选 D.例3解下列一元二次方程.①9(x−1)²=(2x+1)²(用因式分解法)②x²−5x+2=0(用公式法)③y²−10y−10=0(用配方法)④(x+2)²−25=0(直接开平方法)解①9(x−1)²=(2x+1)²9(x−1)²−(2x+1)²=0[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0(5x-2)(x-4)=0x1=25,x2=4②x²−5x+2=0△=25-8=17x1=5+√172,x2=5−√172③y²−10y−10=0(y−5)²=35y1=√35+5,y2=−√35+5④(x+2)²−25=0(x+2)=±5x₁=3,x₂=−7例 4已知x²−x−1=0,求−x³+2x²+2014的值.分析 方法一，将 −x³+2x²+2014变形为含有 (x²−x )的形式；方法二，将 x²=x +1代入 −x³+2x²+2014逐次降幂.解 方法一 因为 −x³+2x²+2014=−x³+x²+x²+2014=x (−x 2+x )+x 2+2014⋯;又因为 x²−x −1=0,所以 −x 2+x =−1,将②代入①得原式= x ×(−1)+x 2+2014=−x +x 2+2007=−(−x 2+x )+2014⋯③;将②代入③得原式=-(-1)+2014=2015.方法二 −x 3+2x 2+2014=−x ⋅x 2+2x 2+2014又因为 x²−x −1=0,所以 x 2=x +1将②代入①得原式= −x (x +1)+2(x +1)+2014=−x²+x +2+2014=−1+2+2014=2015双基训练1. 方程 2x 2−1=√3x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3.关于x 的方程( (m −1)x²+(m +1)x +3m +2=0,当 m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程.4.请写出一个根为x=-1，另一根满足-1<x<1的一元二次方程 .5.在方程 (x−1x+3)2−4(x−1x+3)+1=0中，如果设 y =x−1x+3,那么原方程可以化为关于y 的整式方程是 .6.已知 6x²+xy −2y²=0,则Ixy 的值为 .7.关于x 的方程(1)ax²+bx +c =0;(2)x²−4x =8+x²;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k²+1)x²+kx +1=0)中，一元二次方程的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D.48.如果 (m +3)x²−mx +1=0是一元二次方程，则( ).A. m≠-3B. m≠3C. m≠0D. m≠-3且m≠09.已知方程 x²−2(m²−1)x +3m =0的两个根是互为相反数，则m 的值是 ( ).A. m=±1B. m=-1C. m=1D. m=010.关于x 的一元二次方程( (a −1)x²+x +a²−1=0的一个根是0,则a 的值( ).A. 1B. -1C.1或-1D. 1211. 方程( (x −1)²−3(x −1)−4=0的较适当的解法是( ).A.开平方B.因式分解C.配方法D.公式法12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ).A.x²−2x −99=0化为 (x −1)²=100B.x²+8x +9=0化为 (x +4)²=25C.2t²−7t −4=0化为 (t −74)2=8116D.3y²−4y −2=0化为 (y −23)2=109 13.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ).A.若 x²=4,则x=2B. 方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C.若 x²+2x +k =0的一个根为1,则k=-3;D.若分式 x 2−3x+2x−1的值为零,则x=1,214.若(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y 的值是( ). A. -4 或2 B. -2或 4 C.−32或3 D.3或-215.关于x 的方程 2²x²+(2k −1)x +1=( 有实数根，则下列结论正确的是( ).A. 当 k =12时方程的两根互为相反数B.当k=0时方程的根是x=--1C.当k=±1时方程的两根互为倒数D. 当 k ≤14时方程有实数根16.等腰三角形的两边的长是方程 x²−20x +91=0的两个根，则此三角形的周长为( ).A.27B.33C.27 和33D.以上都不对17.用适当的方法解下列一元二次方程①25x²−36=0 ②2(x −1)²=x²−1③2x²−7x +3=0 circle4x 2+2(√2−1)x +3−2√2=018.关于x 的方程 (m −√3)x m 2−1−x +3=0是一元二次方程，则m= .19.如果关于x 的一元二次方程 x²+px +q =0的两根分别为 x₁=3,x₂=1,那么这个一元二次方程是( ). A.x²+3x +4=0 B.x²−4x +3=0C.x²+4x −3=0D.x²+3x −4=0 20.已知 x²+3xy −4y²=0(y ≠0),求 x−y x+y 的值.能力提升21.方程( (x−2)²=9的解是( ).A.x₁=5,x₂=−1B.x₁=−5,x₂=1C.x₁=11,x₂=−7D.x₁=−11,x₂=722.如果关于 x 的方程mx²−2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m−5)x²−2(m+2)x+ m=0的实根个数为( ).A.2个B.1个C.0个D.不确定23. 关于x的方程( (m−2)x m2−2−x+4=0是一元二次方程，则m=.24.用配方法解一元二次方程：. x²−2x−2=0.的值为零，求 x 的值.25.若分式x2−3x−4|x−3|−126. 若3x²−x−1=0,求6x³+7x²−5x+2014的值.27.试证明：不论m 为何值，方程2x²−(4m−1)x−m²−m=0总有两个不相等的实数根.，求它的另一个根和 m 的值.28.已知方程2x²−3x−m=0的一个根是1229.已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.30.当 k 取何值时，一元二次方程x²−(2k−3)x+2k−4=0(1)有两个正根.(2)有两个异号根，且正根的绝对值较大.拓展资源31.简单高次方程的解法(换元法、因式分解法).(1)x¹−x²−20=0(2)(x²−x)²−7x²+7x+10=0(3)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24(4)x³−x²−x+1=0(5)5(x2+1)x+1+6(1+x)x2+1=1732.用配方法求代数式的最大值或最小值.(1)2x²+40x−88(2)12(t+10)(30−t)33.已知关于x 的方程(m−2)x²−2(m−1)x+m+1=0有实数根，求m 的非负整数值.34.若关于x的方程ax²−2ax−3=0有实数根，求a 的取值范围.35.已知关于x的方程x²−2mx−3m²+8m−4=0.(1)求证：当m>2时，原方程总有两实数根.(2)若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.1.2,- √3,--12. x²+2x-1=0,1,2,-13.=1,≠14.x²+x =05.y²−4y +1=06. 12或 −237. B8. A9. B 10. B11. B 12. B 13. C 14. A 15. D 16. C 17.①x=± 65;②x ₁=1,x ₂=3; ③.x ₁= 12,x ₂=3;④x=1- √218.−√3 19. B 20. 53或0. 21. A 22. A 23. -224.x 1=√3+1,x 2=−√3+1 25. x=-1 26.201727. 因为 Δ=(4m −1)²+8(m²+m )=24m²+1>0 28.1,m=-1 29.(1) △=12k+4>0,则 k >−13且 k≠0.(2)不存在.理由如下：因为 1x 1+1x 2=0x 1+x 2x 1x 2=0 k=-1与 k >−13矛盾.所以不存在.30.(1) k>2且≠ 52;(2)32<k <2 31.(1)x =±√5;(2)x 1=2,x 2=−1,x 3=1+√212,x 4=1−√212;(3)x₁=0,x₂=5;(4)x=±1;(5)x =3±√172. 32.(1) 当x=-10时,有最小值-288;(2)当t=10时,有最大值200.33. m≤3,m=0,1,2,334.a≤-3或a>0.35.(1) 提示: Δ=16m²−32m +16=16(m −1)²;(2)m<0或 m >43.。
2012年中考数学一轮复习精品讲义 一元二次方程 人教新课标版
第二十二章一元二次方程本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有三部分．第一部分是一元二次方程的概念：学习一元二次方程的一般形式、成立的条件，一元二次方程的根(或解)，检验一个数值是否是一元二次方程的解的方法；第二部分是一元二次方程的解法：理解一元二次方程的解法的数学思想是降次，由降次的不同方法得出一元二次方程的不同解法，掌握一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)；第三部分是一元二次方程的应用：利用一元二次方程来解答实际应用问题、数学综合问题等。
一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性的作用，它在中考试题中占有一定的比例.小结2 本章学习重难点【本章重点】正确理解一元二次方程的有关概念及二次项系数不为0这一前提条件，掌握化一元二次方程为一般形式的方法及一元二次方程的解法.【本章难点】熟练求一元二次方程的解，并会将实际问题抽象为单纯的数学问题(列一元二次方程)来解决．会用一元二次方程的根与系数的关系求未知字母的系数，掌握一元二次方程根的判别式的应用.小结3 学法指导1. 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，本章遵循了“问题情境——建立模型——应用”的模式.2．在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，理解并掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，并形成利用语言文字规X化地表达方程思想和方程知识的过程.3．通过对一元二次方程解法的探索与思考，进一步体会“化归”与“转化”的数学，思想的重要地位，解一元二次方程实际上是转化为解一元一次方程，达到降次的目的，进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”.4．经历在具体问题情境中估计一元二次方程的解的过程，注意精确解、近似解的含义，并根据具体问题检验解的合理性.5．学好本章的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和利用一元二次方程解决实际问题的方法，在学习过程中随时类比一元一次方程等相关知识，注意一元二次方程根与系数的关系，并在探索过程中体会“化归”与“转化”等数学思想在解决问题中的作用. 知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 一元二次方程的定义【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.例1 已知（m －1）x|m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可. 解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.专题2 一元二次方程的解法一元二次 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未解法（降次） 直接开平方法因式分解法配方法22240404b ac b ac b ac ⎧-⇔⎪-⇔⎨⎪-⇔⎩＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际问题⎧⎨⎩步骤实际问题的答案【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.例2 用配方法解一元二次方程2x 2+1＝3 x . 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x ＝－1， 二次项系数化为1，得231,22x x -=- 配方，得231().416x -=由此可得12311,1,.442x x x -=±∴==【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（）A.x ＝0B.x 1＝0，x 2＝3C. 1210,3x x ==D. 13x = 分析根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1)＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解.故选C.【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12，∴x 1==1211x x ==解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，即（x －1）2＝3，∴x －1＝1211x x ==【解题策略】一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法.专题3 与方程的根有关的问题【专题解读】这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题. 例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：（1）通过填表，你发现这些方程的两个解的和与积与方程的系数有什么关系了吗？（2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.分析这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.解：填表如下：（1）由上表可以发现：上述方程的两根之和等于方程的一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. （2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：∵p 2－4q ≥0，∴方程x 2+px +q ＝0有两个实数根，∴12x x ==∴x 1+x 22,2pp -==-x 1·x 222(4)444p p q q q --===，即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（） A.ab B.baC.a +bD.a －b 分析此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解.把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1.故选C.【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.专题4 一元二次方程的应用【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得.分析本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用.因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）2万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题专题5 一元二次方程的解法技巧【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊的方法.例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是.分析把m +n 看做一个整体求解.设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4.故填±4.例9 解方程（3x +2）2－8（3x +2）+15＝0.分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝13； 当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝13，x 2＝1. 【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝13，x 2＝1. 例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.分析解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程.本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.当y ＝4时，x 2－2x ＝4，∴1211x x ==当y ＝19时，x 2－2x ＝19，∴3411x x =+=-∴原方程的根是1211x x ==3411x x =+=- 2.配方法例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1. ∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2+1＞0，∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x 2－6x +10)最小＝1.例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（） A.－1 B. 0 C分析本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上.由m －n＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2＝0，即（n +4）2+p 2＝0，又∵（n +4）2≥0，p 2≥0，且（n +4）2+p 2＝0，∴400,n p +=⎧⎨=⎩，4,4(4)00.0,n m n p p =-⎧∴++=+-+=⎨=⎩解得故选B.3.构造法例13 解方程3x 2+11x +10＝0.解：原方程两边同时乘3，得(3x )2+11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴125, 2.3x x =-=- 4.特殊解法例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.分析观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.解：方程组19941997,19951996x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x =3991，方程组19941996,19951997xx-=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x=－2，∵原方程最多只有两个实数解，∴原方程的解为x1=3991，x2=－2.【解题策略】解本题也可采用换元法.设x－1995=t，则x－1994=t+1，原方程化为t（t+1）=1996×1997，∴t2+t－1996×1997=0，∴（t+1997）（t－1996）=0，∴t+1997=0,或t－1996=0，∴t1=－1997，t2=1996.当t=－1997时，x－1995=－1997，∴x=－2；当t=1996时，x－1995=1996,∴x=3991.∴原方程的解为x1=－2，x2=3991.三、思想方法专题专题6 建模思想【专题解读】建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到吨，则平均每年下降的百分率是.分析根据题意，设所求百分率为x，则有50（1－x）2，解得x1，x2，而＞1，不合题意，舍去，故x=0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义.在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.2011中考真题精选一、选择题1.（2011某某乌鲁木齐，8，4）关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（）A、－1B、0C、1D、－1或1考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
九年级数学一元二次方程全章复习首师大版知识精讲
初三数学一元二次方程全章复习首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 一元二次方程全章复习1. 一元二次方程的概念、解法及其应用。
2. 可转化为一元二次方程的分式方程和无理方程。
3. 一元二次方程的根的判别式。
4. 一元二次方程的根与系数的关系及其应用。
5. 二元二次方程组的解法。
二. 重点、难点：重点：本章重点是一元二次方程的解法，根的判别式及根与系数的关系。
难点：难点是一元二次方程中的隐含条件，分类讨论。
【例题分析】一、对“元、次”概念的理解：例1. 关于x 的一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k=0有实数根，求k 的取值X 围。
分析：注意隐含条件：二次项系数不等于0。
解：∆.≥⎧⎨⎩⇒--≥⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤⎧⎨⎪⎩⎪⇒≤002140014014022k k k k k k k k ≠≠≠且≠()，∴的取值范围是且≠k k k ≤140。
隐含条件题目的表达方式：（1）关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)，含义是一元二次方程；（2）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0，含义是一元二次方程，隐含a ≠0；（3）关于x 的方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，含义是一元二次方程，隐含a ≠0。
例已知关于的方程有实根，求的取值范围。
2. x ()()a x a x a 2212110-+++= 分析：注意二次项系数要分类讨论，二次项系数为0时，是一元一次方程，若二次项系数不为0时，是一元二次方程。
解：（）当≠，即≠±时，11012a a -∆=[+]--=+≥214188022()()a a a∴a ≥-1∴且≠a a >-11（）当，即±时，21012a a -==当时，a x ==-114当时，方程无解a =-1∴当时，方程有实根。
a =1 综合（1）、（2），a 的取值X 围是a>-1。
二、对“方程的解”概念的理解： 1. 方程的解与根的区别：只有一元方程的解也叫做根，多元方程只叫做解。
中考数学一轮复习课件：一元二次方程
对应练习
练习一 ［2023·聊城］若一元二次方程 mx2+2x+1=0 有实数解，则 m 的取
值范围是 （ D ） A． m≥-1
B． m≤1
C． m≥-1 且 m≠0 D． m≤1 且 m≠0
练习二 ［2022·衡水模拟］若关于 x 的一元二次方程-2x2-3x+n=0 有两个
不相等的实数根，则n 的最小整数解是 （ B ）
类题集训 1.1 小刚在解关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了 a=1，发现 ax2+bx+c 可以分解为（x-2）（x+3），他核对时发现所抄的 b比原方程的 b 值 大 2，c 比原方程的 c 值小2．则原方程的根的情况是 （ B ） A． 不存在实数根 B． 有两个不相等的实数根 C． 有一个根是 x=-3 D． 有两个相等的实数根
将方程化为一般形式，确定 a，
b，c 的值，然后代入求根公 形如 ax2+bx+c=0（a ≠0）且 b2-
公式法
式 x =___________（b2-
4ac≥0 的方程 ，如：2x2-3x-1=0.
4ac≥0）计算.
续表
配方法
把一元二次方程的二次项系数 ①二次项系数化为 1 后，一次项系
化为1；把常数项移到等号右边； 数是偶数的一元二次方程.如：
两边同时加上一次项系数一半 3x2+6x-9=0；
的平方；配方成（x+m）2=n 的 ②各项系数较小且便于配方的方程.
形式，直接开平方求解.
续表
将方程右边化为 0；将方程左 ①缺少常数项，即方程 ax2+bx=0
因式分 解法
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系［课标要求］1. 理解一元二次方程的根的判别式2. 会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况.3. 会根据字母系数的一元二次方程根的情况，确定字母的取值范围.4. 一元二次方程根与系数的关系的简单运用.［要点梳理］1. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式是△＝＿＿＿＿＿＿2. 一元二次方程的ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系＿＿＿＿＿＿［规律总结］1、 判别含字母系数的一元二次方程的一般步骤①把方程化为一般形式，写出根的判别式；②确定判别式的符号；③根据判别式的符号，得出结论.2. 应用根的判别式时应注意二次项系数不为03. 注意结论的正逆两个方面的应用［强化训练］一、选择题1. 关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．0B ．8C ．42±D ．0或82. 一元二次方程x 2+6x +10=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3. 已知2x 2–x –1=0的两根为x 1. x 2，则x 1+x 2为（ ）A ．1B ．–1C ．12D ．12- 4. 如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜21B ．k ＜21且k≠0C ．－21≤k ＜21D ．－21≤k ＜21且k≠0 5. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根6. 使一元二次方程x 2＋7x ＋c ＝0有实根的最大整数c 是（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．137. 已知三角形的两边长分别是3和6，第三边长是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则这个三角形周长是（ ）A ．13B ．11C ．11或13D ．12或158. 已知关于x 的方程（x ＋1）2＋（x －b ）2＝2有唯一的实数解，且反比例函数x b y +=1的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（ ）A ．x y 3-= B ．x y 1= C ．x y 2= D ．x y 2-= 二、填空题9. 若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0无实数解，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿。
九年级数学上册《一元二次方程》全章复习巩固(教师版)知识点+详细解析
《一元二次方程》全章复习—知识讲解【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】一、一元二次方程的有关概念1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么ab x x -=+21，a c x x =21.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.四、列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 3.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+=B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=【答案】C ；【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．2．若方程2(310m m x mx ---=是关于x 的一元二次方程，m= ．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx --=是关于x的一元二次方程时，m =．举一反三：1、关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 2、已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，m= .【答案】1、a =4；a ≠4且a ≠-2.2、依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1， 解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.类型二、一元二次方程的解法3．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=． 【答案与解析】 (1) 1167x =，243x =． (2)13x =，292x =． (3) 1232x x ==-．举一反三：解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．(3)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (4)2(t-1)2+t ＝1.【答案】 (1) 15x =-，232x =-．(2) 13x =，21x =．(3)123x =，21x =．(4)11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用4．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x +l ＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A 、a ＜2B 、a ＞2C 、a ＜2且a ≠lD 、a ＜﹣2 【答案】C ；举一反三：1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 2、k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】1、A ；①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根； ②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠． 综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥． 答案：A2、（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．举一反三：1、已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ． （1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．2、已知关于x 的方程222(2)0x m x m --+=，试探求：是否存在实数m 使方程的两个实数根的平方和 等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．3、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】1、（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1．2、存在．设方程两根为x 1、x 2，根据题意，得122(2)x x m +=-，212x x m =，221256x x +=，而222121212()2x x x x x x +=+-，于是有[]222(2)256m m --=，整理得28200m m --=，解这个方程得110m =，22m =-，当10m =时，△＝ 2224[2(2)]41440b ac m m -=---=-<， 当2m =-时，△＝2224[2(2)]4480b ac m m -=---=>， 所以符合条件的m 的值为-2．3、(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>，所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =．当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．7．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案】1、设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．2、设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．举一反三：1、有一块长方形的土地，如图所示，宽为120m，建筑商把它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形，现计划甲建住宅区；乙建商场；丙开辟公园，公园的面积为3200m2，那么这块地长应为多少?2、甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.3、某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
中考数学一轮复习基础考点专题12一元二次方程(含解析)
中考数学一轮复习基础考点专题12一元二次方程（含解析）中考数学一轮复习基础考点专题12一元二次方程（含解析）专题12 一元二次方程考点总结[思维导图][知识要点]知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
[注意]1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2- =4，④x2=0，⑤x2- +3=0A．①② B．①④⑤ C．①③④ D．①②④⑤[答案]B[详解]①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B.2．（·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26[答案]C[详解]观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；故选C.别为（）A．3、2、5 B．2、3、5 C．2、﹣3、﹣5 D．﹣2、3、5[答案]C[详解]2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.故选C.4．（·湖南中考模拟）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．[答案]C[详解]A. 是分式方程，故此选项错误；B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；C. 是一元二次方程，故此选项正确；D. 是二元二次方程，故此选项错误；故选：C.5．（·湖北中考模拟）下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣1=0 B．x2+3x﹣5=0 C．x3+x=3 D．ax2+bx+c=0 [答案]B[详解]A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B.考查题型一应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（·吉林中考模拟）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（）A． . B． . C． D． .[答案]A[详解]由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．2．（·四川中考模拟）若是关于x的一元二次方程，则a的值是（）A．0 B．2 C．-2 D．±2[答案]C[详解]由题意得：，解得：a=-2.故选C.3．（·重庆中考模拟）若方程是一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．–1[答案]D[详解]因为方程是一元二次方程,所以, ,解得且所以,故选D.4．（·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0[详解]根据一元二次方程的相关概念可知，m-1 0，，解得：m=2.故选：B.考查题型二一元二次方程的根的应用方法1．（·四川中考模拟）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．-1 D．-2[答案]D解：∵ 是关于x的方程的根，∴ ，即n(n+m+2)=0,∵∴n+m+2=0,即m+n=-2,故选D.2．（·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（）[答案]D[详解]把y=0代入（m-1）y2+my+4m2-4=0得：4m2-4=0，即m2-1=0解得：m1=1，m2=-1当m=1时，关于y的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程，所以m=-1．3．（·河北中考模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a﹣3b+6的值为（）A．9 B．3 C．0 D．﹣3[答案]D[详解]∵关于x的一元二次方程的一个根为x=−2，∴化简，得2a−b+3=0，∴2a−b=−3，∴6a−3b=−9，∴6a−3b+6=−9+6=−3，故选D.知识点2：解一元二次方程（重点）方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步骤移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；[注意]：1）当时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
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专题12 一元二次方程考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：20(0)ax bx c a++=≠。
其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
【注意】1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1x=4，④x2=0，⑤x2-3x+3=0A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤【答案】B【详解】①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B.2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ）A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26【答案】C 【详解】观察表格可知ax 2+bx+c 的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x 的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是3.24＜x ＜3.25； 故选C.3．（2019·广东中考模拟）方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．3、2、5 B ．2、3、5 C ．2、﹣3、﹣5 D ．﹣2、3、5 【答案】C【详解】2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5. 故选C.4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++=C ．()()121x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C 【详解】A. 是分式方程，故此选项错误；B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；C. 是一元二次方程，故此选项正确；D. 是二元二次方程，故此选项错误； 故选：C.5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．x ﹣1=0 B ．x 2+3x ﹣5=0C ．x 3+x=3D ．ax 2+bx+c=0【答案】B 【详解】A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；B. 是一元二次方程，故此选项正确；C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B.考查题型一 应用一元二次方程的定义求字母参数的方法1．（2019·吉林中考模拟）若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.【答案】A 【详解】由题意得：m ﹣1≠0， 解得：m≠1， 故选：A ．2．（2019·四川中考模拟）若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．0B ．2C ．-2D ．±2【答案】C 【详解】由题意得：222,20a a -=-≠ ，解得：a=-2.故选C.3．（2017·重庆中考模拟）若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．–1【答案】D 【详解】因为方程()()211120mm x m x +--+-=是一元二次方程,所以212m +=, 10m -≠, 解得1m =±且1m ≠ 所以1m =-, 故选D.4．（2019·汕头市潮南区阳光实验学校中考模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 等于（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0【答案】B 【详解】根据一元二次方程的相关概念可知，m -1≠0，2320m m -+=，解得：m=2. 故选：B.考查题型二 一元二次方程的根的应用方法1．（2019·四川中考模拟）若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】D 【详解】解：∵()n n 0≠是关于x 的方程2x mx 2n 0++=的根， ∴2n mn 2n 0++=，即n(n+m+2)=0, ∵n 0,≠∴n+m+2=0,即m+n=-2, 故选D.2．（2019·中山市杨仙逸中学中考模拟）已知y ＝0是关于y 的一元二次方程（m ﹣1）y 2+my+4m 2﹣4＝0的一个根，那么m 的值是（ ） A ．0 B ．±1C ．1D ．﹣1【答案】D 【详解】把y=0代入（m -1）y 2+my+4m 2-4=0得： 4m 2-4=0，即m 2-1=0 解得：m 1=1，m 2=-1当m=1时，关于y 的方程由于二次项系数为0，不是一元二次方程， 所以m=-1． 故选D ．3．（2018·河北中考模拟）若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ） A ．9 B ．3 C ．0 D ．﹣3【答案】D 【详解】∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2， ∴()()22260a b ⨯-+⨯-+=， 化简，得 2a −b +3=0， ∴2a −b =−3， ∴6a −3b =−9， ∴6a −3b +6=−9+6=−3， 故选D.知识点2：解一元二次方程（重点） 方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤 ➢ 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ➢ 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；➢ 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式； 【注意】：1）当0n <时，方程无解2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” ➢ 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=【答案】D 【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=， 故选D.2.．（2018·浙江中考模拟）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣1=0时，下列变形正确的是（ ） A ．（x ﹣3）2=1 B ．（x ﹣3）2=10 C ．（x+3）2=1 D ．（x+3）2=10 【答案】B 【详解】 x 2﹣6x ﹣1=0方程移项得：x 2-6x=1，配方得：x 2-6x+9=10，即（x -3）2=10， 故选：B ．3.．（2015·湖北中考真题）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x ﹣6）2=﹣4+36 B ．（x ﹣6）2=4+36 C ．（x ﹣3）2=﹣4+9 D ．（x ﹣3）2=4+9【答案】D 【详解】 x 2﹣6x ﹣4=0， x 2﹣6x=4， x 2﹣6x+9=4+9， （x ﹣3）2=4+9， 故选D.方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=【注意】1)若b ≥0，方程有两个实数根。
（若b >0，方程有两个不相等的实数根；若b =0，方程有两个相等的实数根） 2)若b<0，方程无解。
1．（2019·江苏中考模拟）一元二次方程(1)(3)25x x x +-=-根的情况是（ ）A．无实数根B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3D．有两个正根，且有一根大于3【答案】D【详解】（x+1）（x﹣3）=2x﹣5整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1＞3，x2=2根，且有一根大于3．故选D．max,a b表示其中较大的数，则方程2．（2019·四川中考模拟）对于两个实数a，b，用()()⨯-=+的解是（）x x x xmax,21A．1，1+B．1，1C．1-，1+D．1-，1【答案】C【详解】∵max（a，b）表示其中较大的数，∴当x＞0时，max（x，-x）=x，方程为x2=2x+1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2，∴x-，∴∴x＞0，∴；当x＜0时，max（x，-x）=-x．方程为-x2=2x+1x2+2x+1=0，（x+1）2=0，∴x=-1，故方程x×max （x ，-x ）=2x+1的解是-1， 故选C ．3．（2018·福建中考模拟）设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A ．-1＜α＜β＜3 B ．α＜-1且β＞3 C ．α＜-1＜β＜3 D ．-1＜α＜3＜β【答案】B 【详解】x 2-2x -3=m ，（x －1）2=4+m ，∴x －x∵m ＞02，∴α= 11，3，故α＜-1且β＞3．故选B ． 方法三：公式法（常用解法）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ∆=-⏹ 0∆>⇔方程有两个不相等的实根:2b x a-±=（240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点 ⏹ 0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点 ⏹0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点用公式法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤：➢ 把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ➢ 求出b 2-4ac 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;➢ 如果b 2-4ac≥0, 将a 、b 、c 的值代入求根公式：2b x a-=➢ 最后求出x 1，x 21．（2019·广西中考模拟）关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠【答案】A【详解】当a=5时，原方程变形为-4x -1=0，解得x=-14； 当a≠5时，△=（-4）2-4（a -5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根， 所以a 的取值范围为a≥1． 故选A ．2．（2019·福建中考模拟）不解方程，判别方程2x 2﹣3x ＝3的根的情况( ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【答案】B 【详解】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B3．（2019·新疆中考模拟）已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（ ）A ．±B ．C ．2或3D【答案】A 【详解】∵方程2230x kx -+=有两个相等的实根， ∴△=k 2-4×2×3=k 2-24=0，解得：k=± 故选：A ．考查题型三 一元二次方程根的判别式的应用方法1．（2019·河南中考模拟）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +3＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤43且k ≠1 B ．k ≤43C ．k ＜43且k ≠1 D ．k ＜43【答案】A 【详解】解：根据题意得()104430kk ≠∆⨯≥﹣且＝﹣﹣1， 解得43k ≤，所以k 的范围为413k k ≤≠且．故选：A ．2．（2015·四川中考真题）方程(m −2)x 2−√3−mx +14=0有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ．m >52 B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠2【答案】B 【详解】 解：根据题意得 m −2≠0， 3−m ≥0，Δ=(−√3−m)2−4(m −2)×14≥0，解得m ≤52且m ≠2． 故选B ．3．（2019·安徽中考模拟）若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k ＞1 C ．k ＜1 D ．k≤1【答案】D 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4（k ﹣1）2﹣4（k 2﹣1）=﹣8k+8≥0， 解得：k≤1． 故选：D ．4．（2018·广东中考模拟）关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m >且1m ≠ B ．0m > C ．0m ≥且1m ≠ D ．0m ≥【答案】A 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣（m ﹣1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m ﹣1）]=4m＞0，∴m ＞0． 故选B ．5．（2019·湖北中考模拟）关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．94m <B ．94mC ．94m >D ．94m【答案】A 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m =0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×1×m ＞0， ∴m ＜94， 故选A ．方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤： ➢ 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； ➢ 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ➢ 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ➢ 求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解1．（2019·湖州市南浔区南浔锦绣实验学校中考模拟）若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4【答案】C 【详解】∵x=-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a+4）（a -1）=0，解得 a 1=-4，a 2=1． 即a 的值是1或-4． 故选A ．2．（2019·长沙市南雅中学中考模拟）三角形两边长分别为4和6，第三边是方程x 2﹣13x +36＝0的根，则三角形的周长为（ ） A ．14 B ．18C ．19D ．14或19【答案】D 【详解】解：（x ﹣4）（x ﹣9）＝0， x ﹣4＝0或x ﹣9＝0， 所以x 1＝4，x 2＝9，即三角形的第三边长为4或9，所以三角形的周长为4+6+4＝14或4+6+9＝19． 故选：D ．3．（2013·宁夏中考真题）一元二次方程()x x 22x -=-的根是 A ．﹣1 B ．2C ．1和2D ．﹣1和2【答案】D 【详解】()x x 22x -=-⇒ ()()x x 2x 20-+-=⇒()()x 2x 10-+=⇒x 20x 10-=+=⇒或12x 2x 1==-，,故选D.4．（2018·四川中考模拟）已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ） A ．13B ．11或13C ．11D ．12【答案】B 【详解】 x 2-8x+15=0，分解因式得：（x -3）（x -5）=0， 可得x -3=0或x -5=0， 解得：x 1=3，x 2=5，若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC 的周长为11或13． 故选B.方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0（a ≠0，Δ≥0）之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -； 1x •2x ＝ca考查题型四 一元二次方程根与系数关系的应用1．（2017·湖北中考模拟）已知mn≠1，且5m 2+2010m+9=0，9n 2+2010n+5=0，则mn的值为（ ） A ．﹣402 B ．59C ．95D ．6703【答案】C 【详解】将9n 2+2010n+5=0方程两边同除以n 2，变形得：5×（1n ）2+2010×1n+9=0，,又5m 2+2010m+9=0， ∴m 与1n 为方程5x 2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•1n =m n =95．故选：C2．（2019·贵州中考真题）一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】D 【详解】∵x 1为一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的根，∴x 12﹣3x 1+1＝0， ∴x 12＝3x 1﹣1，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1﹣1+3x 2+x 1x 2﹣2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2﹣3， 根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1， ∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3×3+1﹣3＝7． 故选：D ．3．（2017·广东中考模拟）关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5 B ．1C ．5D ．-1【答案】D 【详解】设方程的两根为1x 、2x ，则12x x a +=，122x x a ⋅=，22215x x +=，∴()2121225x x x x +-⋅=， ∴2450a a --=， ∴15a =，21a =-，280a a =-≥，∴1a =-.故选：D .4.（2019·湖北中考真题）关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（ ） A ．74B ．75C ．76D ．0【答案】A 【详解】 解：∵x 1+x 2=4，∴x 1+3x 2=x 1+x 2+2x 2=4+2x 2=5， ∴x 2=12，把x 2=12代入x 2-4x+m=0得：（12）2-4×12+m=0， 解得：m=74，故选：A ．5．（2019·广州市第六十五中学中考模拟）已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（ ） A ．-7 B ．0C ．7D ．11【答案】D 【详解】解：由题意得：2290a a +-=，则29a a a +=-，()()2999211a a b a b a b +-=--=-+=--=，故选择D.知识点4： 一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： ➢ “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ➢ “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；➢ “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。