走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告---文本资料

走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告
2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。

郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。

郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。

数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。

所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。

特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。

报告中郑教授分五个部分进行阐述：
一、从数学抽象谈起
郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。

（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”
子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。

）
“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。

”数学最基本的特性是抽象性。

抽象性在简单的计算中就已经表现出来。

我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。

我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。

学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。

数学是模式的科学。

这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。

帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。

（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。

模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。

二、数学中的分类
分类与思考：数学中分类与生活中分类不同。

什么是数学中的分类？数学中又为什么要进行分类？
分类：1、应具有明确的目的性。

归类是数学抽象的直接基础；不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。

2、分类问题也需要优化。

（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。

）学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。

三、数学中的类比
类比常常被列为最基本的一种数学思维。

也就是说，在数学中我们常常可以通过两类不同对象的比较获得一定的联想，包括由已知的结论引出关于未知对象的新的猜测，以及由已有的知识获得关于如何求解所面临的新问题的有益启示等。

尽管在小学数学教学中我们也可找到类比的诸多应用，但同时又应清楚地看到这样一点：相对于简单的比较与分类而言，类比应当说代表了更为复杂的一种思维形式。

因为作为类比的对象必定是两类不同的对象，尽管在类比时也用到了比较，但我们的目的是“触类旁通”，即如何能够通过找出两类不同对象之间的类似之处从而引出一定的联想，而联想的核心就在于“求同存异”。

“求同”是指，为了应用类比，我们并不需要相关对象在所有各个方面都彼此相似，而只要求两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的；所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，并依据对象的具体情况作出适当的调整。

正因为类比必须以一定的知识作为联想的基础，而且要用到“求同存异”这样一种相当复杂的思维形式，因此，要求小学生，特别是低年级小学生掌握这样一种思维方式是十分困难的；毋宁说，我们应首先要求学生较好地掌握简单的比较与分类。

数学思维的合理发展：归类→分类→类比（联想），成功应用类比联想的关键是求同存异。

为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”，所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异。

另外，以下的真实故事显然也就表明：与所谓的“集合思想”相比，要求小学生掌握分类的思想可能更为恰当。

四、数学思维的学习
作为一线数学教师我们更应加强对于数学方法论(更为一般地说，就是数学思维)的学习。

在数学思维的学习中，应抓住两套主线：①、问题解决与问题提出。

②、概念的生成、分析与组织。

应特别强调这样一点：就所说的学习而言，关键不在于“求全”，而是“求用”。

五、数学思维的教学
我们应当从事数学思维的教学，前提：应当更为清楚地界定，就小学数学的各个学习阶段而言究竟什么是相关的数学思维；相对于专门性的思维教学而言，我们应当更加强调数学思想的渗透，即用数学思想的分析指导、带动具体知识内容的教学。

还是来看一个案例吧。

【案例】“除非它们都能站起来！”
这一故事发生在20世纪60年代，当时“新数运动”作为风靡全球的一次数学教育改革运动正处于高潮之中，而其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造。

由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就不足为奇了。

一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今天学到了什么。

女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。

”数学家觉得这样一个高度抽象的概念，对于女儿这样年龄的孩子来说实在太难理解了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难。

”“这么抽象的概念会这样容易理解吗?”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放心不下，因此又追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“老师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。

”
显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。

因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”女儿迟疑了一会，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”
很天真的孩子，这就是她的理解！我们是否会在发笑过后引发一些思考？
用思维分析带动具体知识内容的教学的关键应该是方法论的重建，从而真正实现化神奇为平凡、化难为易。

我们应该使数学教学真正讲活、讲懂、讲深；使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。

“讲活”，教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；“讲懂”，教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”，教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。

在报告结束时，教授还不忘语重心长地建议我们努力加强数学思维（数学方法论）的学习，强调数学思维学习的关键是不要求全，而要求用，也即应当密切联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。

还希望我们能长期的向着理论指导下的自觉实践方向努力。

郑毓信：培养学科气质，做大气的数学教师
南京大学哲学系教授郑毓信认为，数学的核心是理性精神。

无论课程教学怎么改革，数学教育都要牢牢抓住数学的基本问题。

什么是数学教育的基本问题?数学思想、数学方法和数学教育思想。

目前我们的数学课，在学科气质上仍有许多不足之处。

“比如课堂评价语言。

我们听得比较多的是，很好，你真棒。

这是什么语言?社会性语言。

现在的关键是怎么从社会性的用语向学科性的用语转变。

一个班级讨论文化的塑造必须经历心理的、社会的、科学的发展阶段。

”
而较为严重的问题是，作为学科气质的核心内容，思维的深刻性并未受到重视，最明显的表现是，课堂思考多为即时型，长时思考几乎为空白，而正是长时思考决定了思考的深度。

获诺贝尔奖的日本数学家广中平佑说：
“我认为思考问题的态度有两种，一种是花费较短时间的即时思考型，一种是花费较长时间的长期思考型，所谓的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人，但是现在的教育环境不是一个充分培养长期思考的环境……没有长期思考型训练的
人，是不会深刻地思考问题的……无论怎样训练即时思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。

”
郑毓信教授认为，这段话于我们也有很强的针对性。

然而真正的气质来自数学文化。

“数学教师有三个层次：
仅仅停留在知识层面的，是教书匠；
能够体现数学思维的，是智者；
而能进行无形的数学文化熏陶的，则是大师。

”
他呼吁大家“要做大气的小学数学教师”。