第二章复习题

复习题
1.螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只才能保证每盒有100只以上的好钉的概率不小于80%（提示：用Possion 逼近，设应装100+k 只）
解 设应装k +100只，为使每盒有100个以上的好钉，则每盒中的次品钉个数应1-≤
k ，从而
∑-=-++≥⋅=1
10010080.0985
.0015.0k i i
k i
i
k
C
P
由于k 值不大，有
()5.1015.0100≈⋅+k
由Possoin 定理，5.1=λ
∑-=-≥≈1
05
.180.0!
5.1k i i
e i P 查表得
8088.021==-p k 时，； 5578.011==-P k 时， 取21=-k ，即3=k 。

2.在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0,a]上任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比，试求X 的分布函数。

解 由题意，),0(~a U X
，其概率密度为
⎩⎨⎧<<=其它
00/1)(a x a x f ，故X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=a x a x a x x x F 10/00)(
设有三条直线段，其中有两条长度依次为1，2，而第三条直线段的长度X 是随机变量，其概率密度函数是
⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0
,00,)1()(2
x x x A
x f 求：（1）系数A 的值；（2）求三
条线段能构成三角形的概率。

解 （1）==
⎰∞+∞-dx x f )(1⎰∞
++0
2
)
1(dx x A
1=∴=A A
（2）4/1)
1(1
}31{3
1
2=+=<<⎰dx x X P 4.某机器生产的螺栓长度（cm ）服从参数
06.0,05.10==σμ的正态分布，规定长度在范围
12.005.10±内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。

解 Y 表示螺栓的长度，则)06.0,05.10(~2
N Y
所求概率为
0456
.09772.022)2(22)]2()2([1}
06
.012
.006.005.1006.012.0{1}12.005.1012.005.10{1=⨯-=Φ-=-Φ-Φ-=≤-≤--=+≤≤--=Y P Y P P
5.一台仪器在100个小时内平均发生1次故障，试求在100个工作小时内故障不多于2次的概率。

解 )001.0,100(~B X ，用Possion 逼近，有
999845
.0)1.0()1.0()1.0()2(210=++≈≤P P P X P
6.一口袋中有8个球，分别标有数字-2，-1，1，1，1，2，2，3，从袋中随机取一只，以X 表示球上的数字。

（1）写出X 的分布律；（2）求随机变量122
+=X Y 的分布律。

解（1）X 的分布律为
（2）Y 所有可能的取值为：9，3，19
83}2{}2{}9{=-=+===X P X P Y P
2
1
}1{}1{}3{=-=+===X P X P Y P
8
1
}3{}19{====X P Y P
Y 的分布律为：
7.设随机变量X 和Y 服从相同的分布，X 的概率密度函数
为⎪⎩⎪⎨⎧>>=其它
,002,83)(2x x x f ，已知事件A={X>a}和事件
B={Y>a}相互独立，且4
3
}{=B A P ，求常数a 的值。

解 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=2
1208
100)(3
x x x
x x F X,Y 同分布，故)(1)()(a F B P A P -==
X,Y 独立，从而
4/3)](1[)(22)()()()()(2
=---=-+=a F a F B P A P B P A P B A P
3
348
12/1)(=∴==∴a a a F。