信号与系统第一章(精)
信号与系统第一章习题答案
t 0 > 0 函数式的信号的波形如图 1.2（b）所示. 。
3
cos ωt
1 … …
−
5π 2ω
−
3π 2ω
−
π 2ω
-1
π 2ω
（a）
3π 2ω
5π 2ω
t
cos ωtε (t )
1
ε (t )
1
…
π 2ω
3π 2ω
5π 2ω
t
t
（b）
-1 （c ） 图 1.1
cos ωtε (t − t 0 )
1
P = lim
E =∞
1 T → ∞ 2T
1 ∫ [ε (t )] dt = 2
T 2 −T
（2） ε (t ) − ε (t − 1) 是脉冲信号，其为能量信号，能量为：
E = lim
[ε (t ) − ε (t − 1)]2 dt = ∫0 [ε (t ) − ε (t − 1)]2 dt =1 T →∞ ∫−T
T
2
（4） 3 cos (ω 0t + θ ) 是功率信号，其平均功率为：
P = lim
1 T → ∞ 2T
2 ∫−T [3 cos (ω0 t + θ )] dt = Tlim →∞ T
1 2T
2
∫
T
−T
9
cos 2(ω0 t + θ ) + 1 1 9 9 dt = lim ⋅ ⋅ 2T = T → ∞ 2 2T 2 2
T 2
2ω t 1 − cos 0 1 cos ω0 t + 1 9ω 0t ω t 5 dt = lim + sin − sin 0 + ∫ − T T →∞ 2T 2 20 20 2
信号与系统第一章(重点)
－1
图 1.2-1 连续时间信号
离散时间信号：亦称序列， 其自变量n是离散的， 通常为整数。 若是时间信号 （可为非时间信号）， 它只在某些不连续的、 规定的瞬时给出确定的函数值， 其它 时间没有定义， 其幅值可以是连续的也可以是离散的， 如图1.2-2所示。
x1(n) 2
1
只能取－1,0,1,2
0
t
－1
6. 单位冲激偶函数δ′(t)
单位冲激函数的导数。
(t)
1 lim
0
u(t
)
2
u(t
2)
(t)
d(t)
dt
1 lim
0
(t
)
2
(t
2)
(1.3-30) (1.3-31)
式（1.3-31）取极限后是两个强度为无限大的冲激函数，
0
t
－k
3. 复指数信号
f(t)=kest
s=σ+jω为复数， σ为实部系数， ω为虚部系数。 借用欧拉公式： kest=ke(σ+jω)t=keσt e jωt=keσt cosωt+jkeσt sinωt 复指数信号可分解为实部与虚部。 实部为振幅随时间变化的余弦函数， 虚部为振幅随时间变化的正弦函数。
第1章 信号与系统
1.1 信号与系统概述 1.2 信号及其分类 1.3 典型信号 1.4 连续信号的运算 1.5 连续信号的分解 1.6 系统及其响应 1.7 系统的分类 1.8 LTI系统分析方法
1.1 信号与系统概述
人们每天都与载有信息的信号密切接触:
听广播、看电视是接收带有信息的消息； 发短信、打电话是传送带有信息的消息。
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号与系统绪论第一章
= −
1 a
δ(t)dt
证毕。
1 1 1 ∴ 2δ ( t + ) = 2δ [ ( t + 1 )] = 4δ ( t + 1 ) 2 2 2
作业 2t＋ 的波形。 1、信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。 信号f(t)的波形如图所示。画出信号f f(t)的波形如图所示
f (t )
意义：在同样起始条件 下，系统的响应与激励 输入的时刻无关。
t0
t0 +T
t
0
t0
t
波形不变，仅延时 t0
1.3 系统的描述与分类
例3：判断以下系统是否为非时变系统。
(1) r (t ) = T [e(t )] = ate(t ). (2) r (t ) = T [e(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)] = ae(t )
f (t + t 0 )
左移 1
− t0 − 2 − t0 − t0 + 1
0
f (−t + t 0 )
反转
1
0
f (t )
1
t0 − 1 t0
t0 + 2 t
－2
0 1
t
f (t − t 0 )
1 右移 t0 − 2 t0 t 0 + 1 t
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
= k1 [ ae1 ( t ) + b ] + k 2 [ ae2 ( t ) + b ] = a [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] + bk1 + bk 2
显然 T [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] ≠ k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) 故系统为非线性系统。
《信号与系统》第一章
学习目标
1
掌握信号与系统的基本概念、性质和分类，理解 信号与系统在信息传输、处理和应用中的重要地 位和作用。
2
掌握信号的描述和分析方法，包括时域和频域分 析，理括线性时不变系 统和线性时变系统，理解系统的基本特性、分析 和设计方法。
02
系统的基本概念和分类
阐述了系统的基本概念，系统分类（如线性时不变系统、非线性系统 、离散系统等），以及系统的描述方法。
信号与系统在通信工程中的应用
讨论了信号与系统在通信工程中的重要性，如调制解调、频分复用等 。
信号与系统在控制工程中的应用
探讨了信号与系统在控制工程中的应用，如PID控制器、控制系统稳 定性分析等。
下章预告
傅里叶变换
介绍傅里叶变换的定义、性质 及其在信号处理中的应用。
系统的状态变量分析
通过状态变量法对线性时不变系统 进行分析，包括状态方程的建立、 解法以及系统的稳定性分析。
拉普拉斯变换与Z变换
介绍拉普拉斯变换和Z变换的定 义、性质及其在连续系统和离 散系统分析中的应用。
系统的能控性和能观性
介绍能控性和能观性的概念、 判据以及其在控制系统设计中 的应用。
02
在实际应用中，需要根据具体需求和场景，选择合适的系统和信号处理方法， 以达到最佳的处理效果。
03
深入研究和理解信号与系统之间的相互作用关系，有助于更好地应用信号处理 技术，推动相关领域的发展和创新。
05
CATALOGUE
总结与展望
本章总结
信号的基本概念和分类
介绍了信号的基本概念、信号的分类（如连续信号、离散信号、周期 信号、非周期信号等）以及信号的表示方法。
CATALOGUE
信号的基本概念
(完整版)信号与系统第一章答案
1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t（7）)t=(kf kε(2)（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
信号与系统第1章总结
第一章：信号与系统的基本概念1.1 信号的基本概念一、什么是信号信号是信息的表现形式。
例如，光信号、声信号和电信号等。
二、信号的分类1、确定性信号和随机信号()f t 确定性信号有确定的函数表达式2、周期信号和非周期信号f(t)=f(t+kT) k=1,2,3...周期信号3、连续时间信号和非连续时间信号时间t 连续的是连续时间信号，时间变量t 只取特定值的为离散时间信号4、有始信号和无始信号0t t <若，0()0,f t t =为起始点三、典型的连续时间信号1、正旋信号21()cos(),,,2f t A wt T f w f w T πϕπ=+===AMFMPM A w ϕ不为常数，调幅信号不为常数，调频信号不为常数，调相信号欧拉公式：cos 2sin 2j j e e j j ee jθθθθθθ-+--=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=2、指数信号为实数αα,)(t ke t f =3、复指数信号（一种数学模型）(),st f t ke s jw δ==+4、抽样信号sin (),a ts t t t =-∞<<∞性质1、偶函数，随着t 的增大，幅值减小0sin 2()lim 1a x tt t →==性质：t=0,s3sin 0,1, 2...t t k k π=⇒==±±性质：过零点1.2 信号的运算一、信号的时域变换1、平移（时移）000()()()()()()f t f t t f t f t t f t f t t =±→-→+右移，左移2、反转以纵轴为中心，左右反转()()f t f t =-t 3、展缩{011,()(),a a f t f at <<>=，扩展压缩二、信号的相加、相乘、微分和积分1、相加：对应点相加2、相乘：主要用于信号的截取3、微分：t 4∞、积分：指(-,0)上积分t-(),f d t ττ∞⎰为变量t<0()0t 1()t>1()1t t t f d f d tf d ττττττ-∞-∞-∞=<<==⎰⎰⎰当时，当0时，当时，1.3 奇异信号----------------------------------------------------一种数学模型信号的取值或导数出现了奇异值（极大），趋于无穷一、单位阶跃信号{0,01,0()t t t ε<>=t因果信号{0,0(),0()()t f t t f t t ε<>=二、单位冲击信号----------------也是一种数学模型作用时间极短，但幅值极大{()0,0()1,1t t t dt δδ+∞-∞=∀≠=⎰即冲激强度为性质1：抽样性0000001.()()(0)()2.()()(0)()3.()()(0)()(0)4.()()()()()t t t t f t t f t f t t t f t t f t t d f t d f f t t t d f t t t d f t δδδδδδδδ+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞=-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰性质2：卷积特性1212()()()()()f t f t f t f f t d τττ+∞-∞=*=-⎰0005.()()()()()6.()()()()()f t t f t d f t f t t t f t t d f t t ττδτδτδτδτ+∞-∞+∞-∞*=-=*-=--=-⎰⎰注：一个信号与冲激信号的卷积就是信号本身三、阶跃、冲激信号的关系 {0,01,0()()()()t t t d t d t t dt δττεεδ<-∞>===⎧⎰⎨⎩注：阶跃信号求导即为冲激信号1.4 信号分解为冲激信号的叠加1.5系统及分类一、分类1.连续时间系统：微分方程离散时间系统：差分方程2.线性系统：叠加性、齐次性f(t)→系统→y(t) kf(t)→系统 →ky(t)f1(t)+f2(t)→系统→y1(t)+y2(t)当齐次和叠加只要有一个不满足则是非线性的3.因果系统：响应不早于激励非因果系统4.时变系统是不变系统：输入输出都做相应的变化，并不随时间变化二、线性时不变系统（LTI 系统）性质1：线性、齐次性、叠加性Yzi(t):零输入响应，外部激励为0，仅在初始状态作用下的响应 Yzs(t):零状态响应，仅在外部激励作用下的响应性质2：是不变性性质3：微分、积分性f(t)→系统→y(t)()y ()f t t ''→→系统t -()()tf t dt y t dt-∞∞→→⎰⎰系统 性质4：因果性。
信号与系统第一章
m 0
n
m
令 k n பைடு நூலகம்，则 n
k
k
n
上式的正确性在于 k 仅在 k 0时为1，其余 k时取为0， n时，求和式为 0 所以当 时，求和式为零，而当 n0 1。
T
2t
2
e 4T lim T 2
所以该信既非能量信号又非功率信号
1.2 基本的连续时间和离散时间信号
1.2.1 单位阶跃信号（unit step function）与单位冲激信 号（unit impulse function） 阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函 数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数） 的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
一、阶跃函数
下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列γn(t)如图所示。
若阶跃幅度为 A ，则可记为 A t
若单位阶跃函数跃变点在 t t 0处，则称为延迟单位阶 跃函数
1, t t0 0, t t0 t t0
阶跃函数性质： （1）可以方便地表示某些信号 f(t) = 2ε (t)- 3ε (t-1) +ε (t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间
3.信号（signal） 信号是信息的载体，通过信号传递信息。 为了有效的传播和利用信息，常常需要将信息转 换成便于传输和处理的信号。 信号于我们并不陌生，如刚才的铃声——声信号， 表示该上课了； 十字路口的红路灯——光信号，指挥交通； 电视机天线接收的电视信号——电信号； 日常生活中的文字信号，图像信号，生物电信号 等，都属于信号。
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➢ 现代通信方式：计算机 网络通信、视频电视传 播、卫星传输、移动通 信
0 绪论
0.4 信号与系统的应用举例
➢ 信号与ห้องสมุดไป่ตู้统的分析
电路系统对各种输入信 号的响应
V(t)、I(t) 电路
R(t)
➢ 信号与系统的设计
提取某些特定信号（心 电图中估计心率）
心电图数据 诊断心电图 诊断估值结果 的处理程序
0 绪论
0.5 本课程的基本任务
• 主要研究信号分析及系统分析的方法
➢信号分析：信号中含有的特征分析 (信息、 特征提取)
➢系统分析：系统如何响应各种输入信号，如 电路分析
0 绪论
0.6 本课程研究范围
➢讨论确定性信号的时域和频域分析
➢讨论线性时不变系统的描述与特性
➢讨论确定性信号通过线性时不变系统的时 域分析和变换域分析
第一章 信号的时域分析
1.2 信号的分类
信号分类：
实际信号与理想信号 连续时间信号与离散时间信号 确定信号与随机信号 一维信号与多维信号 周期信号与非周期信号 能量型信号与功率型信号
其它
基带信号、窄带信号 调制信号 载波信号 已调信号
第一章 信号的时域分析
1.2.1 实际信号与理想信号
• 实际信号是 用数学表达 式或波形表 示、在真实 世界中存在 的信号。
➢系统：
对特定信号作出响应，以产生其它信号或某些行为
信号与系统：
信号
系统
信号/行为
0 绪论
0.3 信号与系统的应用领域
应用领域广泛：
➢ 通信系统、航空航 天、电路设计、电 子测量、声学、地 震学、生物工程、 能源产生与分配、 化学过程控制、语 音处理等
通信系统的发展：
➢ 古老通信方式：烽火、 旗语、信号灯
➢ 就整个信息传输过程过程而言，信息和信号可以 清晰地区别，而当传输过程只是一部分时，我们 经常用原始信号、传输信号和处理后信号来区别。
第一章 信号的时域分析
1.1.1 信号与信息
➢ 电信号的传输始于19世纪，1837年发明的莫尔斯 电报和1876年发明的贝尔电话被认为是电信号传 输的里程碑。
➢ 电信号传输的研究和发明以及相关的理论和技术 的发展在经历两次世界大战后，得到了迅速的发 展。
➢ 电信号的传输指标主要表现在快速、准确、有效， 因此避免不了将信息转换成便于传输和处理的信 号。
第一章 信号的时域分析
1.1.1 信号与信息
信号的描述： 数学表达式 时间的函数 函数的图象 波形
信号的数学形态是变量为时间的函数
一方面可以用描述函数的方法来描述信号，包括数学表
达式和函数图像。
另一方面，我们还可以将时间函数进行某些变换，在变 换域中用表达式和函数图像来表示。
里所说的信号也限定在电流信号或电压信号的范畴。
第一章 信号的时域分析
1.1.1 信号与信息
➢ 信号作为载体来传输信息，并不是说信息与信号 的表现形式完全不同。
➢ 当信息为文字时，首先对文字编码，然后将数字 载入信号并对含有信息的信号传输。在接收端， 先将数字从信号中提取出来，再将数字译成文字 信息。这是一个完整信息传输过程。
1.1 信号
➢ 信号是信息的物理表现形式，或说是传递信息的 函数，而信息则是信号的具体内容。例如，交通
红绿灯是信号，它传递的信息是：红—停止， 绿—通行。
➢根据载体的不同，信号可以是电的、磁的、声的、
光的、机械的、热的等各种信号。
➢信号虽然可以有各种形式，在目前阶段，由电子
系统大量处理并广泛应用的仍然是电信号。我们这
➢讨论连续时间信号与系统和离散时间信号 与系统
0 绪论
07 课程具体内容
第1、2、7章：时域分析 第3、4、8章：变换域分析 第5、6章：应用分析 第9章：状态变量分析，为复杂系统的计算
机分析打下基础
0 绪论
0.8 课程特点
➢ 信号分解与系统分析相结合
根据连续信号的不同分解方法，对应推导出线性 系统的分析方法分别是时域分析、频域分析和复频 域分析。离散信号也类似。
湖南工业大学（河西）计通学院 2015年3月
0 绪论
0.1 信号与系统课程的重要性：
➢是一门专业基础课
➢其概念、方法是今后从事通信及控制系统 理论和工程技术研究的必备工具和基础。
0 绪论
0.2 信号、系统及相互关系
➢信号：
“符号”，包含某些物理现象的行为或本质的信息， 可以表示为一个或多个独立变量的函数
➢ 连续与离散相结合
自然界中两类现象都存在 用离散信号描述和处理连续信号是发展趋势
➢ 理论与实践相结合
通过实验课加深理解课程内容，Matlab
0 绪论
09 课程授课安排
➢ 教材：《信号与系统》赵淑清 李绍滨 2008 ➢ 参考1：《信号与系统 第二版》郑君里等，2000 ➢ 参考2： 《Signals & Systems》 Oppenheim, 2nd Edition 1997 ➢ 实验：上机实验，使用Matlab编程 ➢ 上课：注重基本概念的理解、掌握分析工具和分析方法 ➢ 作业：每次课后留作业，每章结束后交一次作业
f (t) f (t nT ) n 0, 1, 2… (任 意 整 数 )
• 理想信号虽然也可以用数 学表达式或波形表示，但 是在实际系统中并不存在 的信号。
• 引入理想信号的目的是对 实际信号的近似，为的是 数学处理方便。
第一章 信号的时域分析
1.2.2 连续时间信号与离散时间信号
除有限不连续点外，对于任意 t(a,b) 都可给出确定的函 数值，这样定义在(a,b)上 的函数就称为连续信号。
如果一个函数是离散信号，那 么除了t=nT外，它的其他函 数值没有意义。
离散信号也称为序列
t
n
012 3 4 5
用圆点和连线表示
第一章 信号的时域分析
1.2.3 周期信号与非周期信号
周期信号与非周期信号对应周期函数与非周期 函数。
但是在实际信号中，真正的周期信号是不存在 的，充其量只能是在相当长时间内按周期重复的 信号。只有理想信号才可能是周期信号，因为它 可以定义在t(-,)，并周而复始的重复。
➢ 考试成绩=平时成绩20%（作业+点到）+实验成绩10%+期末考试成绩70%
第一章 信号的时域分析
● 1.1 信号 ● 1.2 信号的分类 ● 1.3 信号的运算 1.4 双边时间信号 1.5 单边时间信号及有限长信号 1.6 离散时间序列 1.7 信号的时域分解
第一章 信号的时域分析