信号与系统(第一章)
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《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
信号与系统绪论第一章
= −
1 a
δ(t)dt
证毕。
1 1 1 ∴ 2δ ( t + ) = 2δ [ ( t + 1 )] = 4δ ( t + 1 ) 2 2 2
作业 2t＋ 的波形。 1、信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。 信号f(t)的波形如图所示。画出信号f f(t)的波形如图所示
f (t )
意义：在同样起始条件 下，系统的响应与激励 输入的时刻无关。
t0
t0 +T
t
0
t0
t
波形不变，仅延时 t0
1.3 系统的描述与分类
例3：判断以下系统是否为非时变系统。
(1) r (t ) = T [e(t )] = ate(t ). (2) r (t ) = T [e(tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)] = ae(t )
f (t + t 0 )
左移 1
− t0 − 2 − t0 − t0 + 1
0
f (−t + t 0 )
反转
1
0
f (t )
1
t0 − 1 t0
t0 + 2 t
－2
0 1
t
f (t − t 0 )
1 右移 t0 − 2 t0 t 0 + 1 t
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
= k1 [ ae1 ( t ) + b ] + k 2 [ ae2 ( t ) + b ] = a [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] + bk1 + bk 2
显然 T [ k1e1 ( t ) + k 2 e2 ( t )] ≠ k1r1 ( t ) + k 2 r2 ( t ) 故系统为非线性系统。
信号与系统1
− t0 − 1 − t0 − t0 + 2
f (−t − t 0 )
1
t
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
8. 尺度变换（横坐标展缩）
f (t )
f ( 2t )
1 f ( t) 2
−1
0
1
t
−
1 2
0
快速播放
1 2
t
− 2
0
2
t
慢速播放
f（at）
a为常数
|a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍 |a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍
f(n)
(2) (1) (1)
0
12 345
n
0
1 2 3 4 数字信号
n
离散时间信号（抽样信号）
1.1信号的描述与分类
2.按信号能量特点分类：
2 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为 | f (t ) | ，在区间 (–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号f（t）的能量
E = ∫ f (t ) dt
例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
f (5 − 2t ) 2δ (t − 3)
0
3 2
5 2
3
t
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ 分析: f (t ) ⎯压缩 f (2t ) ⎯反转 f (−2t ) ⎯平移 f (5 − 2t ) 5 Q−（t − ） 5 − 2t = 2 2 5 ∴右移 2 求解过程 f (5 − 2t ) → f (−2t ) → f (2t ) → f (t ) :
电脑或终端
调制解调器
电话网
f (−t − t 0 )
1
t
1.2 连续时间信号的基本运算与波形变换
8. 尺度变换（横坐标展缩）
f (t )
f ( 2t )
1 f ( t) 2
−1
0
1
t
−
1 2
0
快速播放
1 2
t
− 2
0
2
t
慢速播放
f（at）
a为常数
|a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍 |a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍
f(n)
(2) (1) (1)
0
12 345
n
0
1 2 3 4 数字信号
n
离散时间信号（抽样信号）
1.1信号的描述与分类
2.按信号能量特点分类：
2 将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为 | f (t ) | ，在区间 (–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号f（t）的能量
E = ∫ f (t ) dt
例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。
f (5 − 2t ) 2δ (t − 3)
0
3 2
5 2
3
t
⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ ⎯→ ⎯ 分析: f (t ) ⎯压缩 f (2t ) ⎯反转 f (−2t ) ⎯平移 f (5 − 2t ) 5 Q−（t − ） 5 − 2t = 2 2 5 ∴右移 2 求解过程 f (5 − 2t ) → f (−2t ) → f (2t ) → f (t ) :
电脑或终端
调制解调器
电话网
信号与系统——第一章 信号与系统概论(1)
图1－1 各类信号：
二、周期信号与非周期信号
如图1-1(c)所示，周期信号是按某一固定周期重 复出现的信号，它可表示为
f (t ) f (t nT )
其中，T为周期，任何周期信号都可表示为仅在 基本周期内取非零值的有限长信号的周期延拓， 即
f (t ) t 0, T f1 (t ) f (t ) f1 (t nT ) t 0, T 0 n
第一章 信号与系统概论
学习要点： 1. 信号与系统课程的重要性； 2. 信号的概念、分类与运算； 3. 系统的概念、分类与联接形式； 4. 系统的线性性、时不变性、因果性和稳定性的定 义与判断。
§ 1-1 引
言
信号与系统是在电工原理的基础上发展起 来的，并随着电子工程、通信工程、计算 机和信息技术的飞速发展而不断地发展与 完善。 在信号与系统学科的发展中，微分方程、 差分方程理论，傅里叶（Fourier）变换、 拉普拉斯（Laplace）变换、离散傅里叶 变换和Z变换等正交变换理论起着十分重 要的作用。 二十世纪四十年代创立的系统论、信息论 与控制论极大地推动了信号与系统学科的 发展。
能量信号和功率信号的判断方法
判断能量信号和功率信号的方法： 先计算信号能量，若为有限值则为能量信号， 同时也必是功率信号；否则，计算信号功率，若 为有限值则为功率信号；若上述两者均不符合， 则信号既不是能量信号，也不是功率信号。
连续时间信号能量：E
f (t ) dt
2
1 连续时间信号功率：P lim T 2T
+ -
T
T
f (t ) dt
2
《信号与系统》第一章 北京理工大学
t ' at b
t 1 ' (t b) a
7移位
t ' t b (a 1) t t' b
若b>0，信号波形左移；b<0，信号波形右移
8 反转
t ' t (a 1, b 0)
P8 图1-11
反转的结果就是使原信号波形绕纵轴反折180度。
9 尺度变换
声音发射接收系统
1.2 信号的定义与描述 1.2.1 信号的定义
信号：载有一定信息的一种变化着的物理量。
1 信号不是信息； 2 信号是物理量，可以是力信号、电信号、声音信号、 图象信号
1.2.2 信号的描述
1 数学公式: 信号可以表示为一个或多个独立变量的函数。 •物理量值为一个独立变量的函数时，称为一维函数 x(t ) •物理量值是两个独立变量的函数，称为二维函数 f ( x, y) •物理量值是三个独立变量的函数，称为三维函数 f ( x, y, t ) 2 波形图形:
1.3 信号的分类
按照x(t)是否按照一定时间间隔重复 周期信号 周期信号和非
周期信号 ：按一定的时间间隔重复变化
周期信号的重复周期由其最小重复间隔确定，连续时 间信号以T表示，序列以整数N表示。
f (t)
f (t)
A … … －4 －2 0 2 4 6 k
－T
T 2
o
T 2 －A
T
u (t )
1, t 0
延迟冲激函数的积分等于延迟阶跃函数，即
(t t 0 ) dt
1, t t 0 0, t t 0
2） 函数等于单位阶跃函数的导数，即 (t ) du(t )
信号与系统基础-第1章
单位阶跃信号是从实际应用中抽象出来的。比如，图1-14中S 的在开t关 0 时刻闭合， 则理想情况下电阻R 上的电压uR (t) (t)
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
第1章-信号与系统(陈生潭)
1 2 3 4 5
k
图 1 3 2 离 散 信 号 的 相 加 和 相 乘
. -
1 2 3 4 5
k
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.3.2 翻转、平移和展缩
将信号 f(t)( 或 f(k)) 的自变量 t( 或 k) 换成 -t( 或 -k) ，得到另一 个信号f(-t)(或f(-k))， 称这种变换为信号的翻转。它的几何意 义是将自变量轴“倒置”， 取其原信号自变量轴的负方向作 为变换后信号自变量轴的正方向。或者按照习惯， 自变量轴 不“倒置”时，可将f(t)或f(k)的波形绕纵坐标轴翻转180°， 即为f(-t)或f(-k)的波形， 如图1.3-3所示。
能量E=∞)，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号
离散信号f(k)的能量定义为
E f (k )
k
2
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.2 信号的基本特性
信号的基本特性包括时间特性、 频率特性、 能量特性和
信息特性。
在一定条件下，一个复杂信号可以分解成众多不同频率的
正弦分量的线性组合，其中每个分量都具有各自的振幅和相位。
2
4 k
t) 第 1 章f ( 信号与系统的基本概念
f (k )
－2
0
2
t
－3
0
3
k
f (t －2)
f (k －2)
0
2
4
t
－2 0
2
4
6 k
f (t ＋2)
f (k ＋2)
－4
－2
0 (a )
t
－6 －4 －2 0 (b )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
信号与系统第一章信号 (1)
01
信号与系统
02
信号的描述分类与典型示例
03
信号的运算
04
阶跃信号与冲激信号
05
信号的分解
不连续点（跳变点） • [定义1]：函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连 奇异信号 续点的情况，这类函数统称为奇异函数或奇异信号。 • （一）单位斜变：Unit Ramp Function
0 t 0 f (t ) t t 0
f (t)
画出 f (2 – t)。
o
1 1 t
注意：是对t 的变换！
法一：①先平移f (t) → f (t +2) ②再反转 f (t +2) → f (– t +2)
左移
f (t +2) 1 -2 -1 o t
法二：①先反转 f (t) → f (– t)
f (t) 1 o 1 t
1 -1
f (- t )
连续时间信号→离散时间信号
在离散时间信号携带了连续时间所有的信息量时，两者就等价了—— 采样定理
Page 13
时 幅 度 间 连续 离散
连 续
Analog
t
t
Digital
离 散
t t
第14页
（一）指数信号 – 表现形式 f t Ke st
t
都是实数
s j
f (t) 1 o 1 t
右移t → t – 1
f (t-1) 1 o 1 2 t
左移t → t + 1
-1
f (t+1) 1 o t
Page 19
（一）移位、反褶与尺度（自变量变换） ② 反褶
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1.3常用典型信号
1、正弦信号
f (t) Asin(t)
（1.7）
其中，A为幅值， 为初相位， 为角频率。
其周期 T，频率 f 与角频率 的关系为
T
1 f
2
（1.8）
2、指数信号
f (t) Aet
（1.9）
其中 A为常数，为常数（实常数或复常数）。
当为实常数时
• 筛选特性 若 f (t在) t 处0 连续，其值为 f (，0)
则有
-
f
(t)
(t)dt
f，(0)类似有
-
f
(t) (t-t0)dt
f
(t0)
• (t为) 偶函数，即 (t) (t)
•
微分特性
du(t) dt
(t)
•
尺度特性
(at)
1 a
(t)
-
f
(t)
(t-t0)dt f
(t0 )
• 冲激偶函数是奇函数，即
(t)dt 0
1.5 系统的描述与分类
1.5.1 系统的描述
为了便于分析系统，需要建立系统模型。所谓
模型，是系统物理特性的数学抽象。
1、连续时间系统的描述
连续时间系统通常用微分方程来描述（代数
方程，一阶或高阶微分方程，非线性微分方程或 微分方程组）。 单输入单输出系统
主值区间。
不满足条件(1.1)或(1.2)的信号称为非周期信号。
例1.1 考察连续信号 f1(t) sin 2t co，s3t f2(t) cos2t sint
判断上述信号是否为周期信号，若为周期信号， 则其周期为多少？
解：对于信号f (t)而言， 1
sin2与t
cos的3t 周期分
如间断连点续t信=1号处在其定义域上连续取值，函数值 定不义一定连f续2(1；)=而(f2连(1续-)+函f2 (数1+)是)/2指=(函1-数1)/值2=连0 续，因 或此定连义续函f2数(1为)=1连, 续f2(信t)=号-1，(1<反t≤之2)却不一定。
（2）离散信号
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散
5、单位阶跃序列
u(n)
1
n0 （1.12）
0
n0
依据单位样值信号与单位阶跃序列的定义，有
(n) u(n)u(n，1)
u(n)
(nk)
k 0
1.4奇异信号
1、斜变函数
R(t)
t
0
t 0 t 0
（1.13）
2、单位阶跃函数
u(t)
(t)
lim
k
k
Sa(kt )
➢ 狄拉克（Dirac）定义
(t) ，0 t 0
(t)dt
1
此定义与(1.16)的定义相符合。
（1.17）
（2）单位冲激函数的性质
• 取样特性 若 f (t在) t 处t0 连续，其值为 f (，t0) 则有 f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
3、 符号函数
sgn(t )
1 1
t 0 t 0
（1.15)
符号函数可用如下双边奇指数信号
的极限来描述
et t 0
f
(t)
et
t0
sgn(t) lim f (t) 0 0
符号函数与单位阶跃信号的关系
sgn(t) 2u(t) 1
4、单位冲激函数
0
,
随f (时t)间t的增加单调增
0
,
随f (时t)间t的增加单调减
0
,
f (t为)直A流信号
当为复常数 j时
f (t) Aet Ae( j)t
利用Euler公式，得
f (t) Ae( j)t Aete jt Aet (cost jsint)
若信号f(t)为能量信号，则其也为功率信号。
工程中常用的一般能量无限信号的平均功 率是有限的。如周期信号为功率信号。
5、一维信号与多维信号
从信号数学表达式来看，信号可以表示为 一个或多个变量的函数，称为一维或多维信号。
语音信号可表示为声压随时间变化的函数， 这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素) 具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维 平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。 视频信号为三维信号，现实生活场景为四维信 号。
y
y
,
Si(
y)
有最大值
y
2
,3
,...
Si(有y)局部极值
抽样信号不是实际物理装置能产生的信 号，但在信号分析中有重要地位。
4、单位样值信号
(n)
1
n=0 （1.11）
0
n0
根据单位样值信号定义，有
(n
m)
1
n=m
0
n m
绪论
课程主要内容： 一、两个系统
连续系统和离散系统。重点讨论线性 时不变时间系统。 二、两种分析方法
时域分析方法和变域分析方法。 三、三大数学变换 1、傅里叶变换 2、拉普拉斯变换 3、Z变换
第1章 信号与系统的基本概念
1.1概述 （1）信息与信号
信息是信号的内容，信号是信息载体 （信息的表现形式）。
对信号f2(t)，按上述判断准则，其为非周期信号。
例1.2 正弦序列 f (n)sin( n为)连续周期信号 0 f (t)sin(t )
等间隔抽样后所得， 试分析该正弦序列为周期序
列的条件， 若为周期序列，其周期？
解：设抽样间隔（抽样周期）为 Ts ，
于是
f
(n)
sin(t
)
100 80 60 40 20 0
-20 -40 -60 -80 -100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
输 入 信 号 f(n)
中位数 滤波器
取{f(n+p)}在 (-q≤ p ≤ q) 2q+1个数的中间值f(m)
g(n) = f(m)
100 80 60 40 20 0
1
0
t 0 t 0
（1.14）
• R(t) tu(t)， dR(t) u(t)
dt
• 利用单位阶跃函数可方便表示单边 信号，如 Aetu(t，) Aet sin(t 等)u(t。)
• 利用单位阶跃信号可用来表示矩脉 冲函数G(t) u(t t0 ) u(t 。t1)
3、周期信号和非周期信号
连续周期信号f(t)满足：
f(t) = f(t + mT)， m = 0,±1,±2,…
(1.1)
离散周期信号f(n)满足：
f(n) = f(n + mN)，m = 0,±1,±2,…
(1.2)
满足上述关系的最小T或整数N称为该信号的周
期。[0，T]，0~（N-1）称为连续和离散周期信号的
由狄拉克函数定义(1.17)，可知
-
f
(t)
(t)d
t
0
f
(t)
(t)d
t
0
f
(t)
(t)d
t
0
0
f
(t)
(t)d
t
f
(0)
t
-
f
( ) ( -t0)d
f
(t0 )u(t
t0 )
例1.3 综合举例
sin(t ) (t)dt 2
（2）信号与系统
系信统号对是的（由产输若生入干、）相传信互输号关、加联加工又工（相和处互处理作理或用离操的不作事开）系, 物统产组 ，生合 系新而 统的成 的（， 特输具定出有功）某能信些是号特用。定其功输能入的 与整 输体 出。 信号的 变换关系来描述的。信号与系统两者间是密不 可分的。
一个简单的信号消噪(平滑)系统：
当 0时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调增。 当 0时，f(t)的实部与虚部分别随t的增加单调减。
3、抽样信号
Sa(t)
sint t
其为偶函数，具有如下特性：
0
Sa(t)dt
/
2
Sa(t)dt
（1.10）
定义
Si(
y)
y
0
Sa(t)dt
,
Si( y) ~
（2）功率信号
对于连续信号f (t)，如果有
TlimT1
T /2
T /2
f
(t) 2dt
对于离散信号 f (n)，如果有
（1.5）
lim
N
1 N
k
N /2
N /2
f
(n) 2
（1.6）
则称f(t)和f(n)为功率信号。不满足式(1.5)
或(1.6)的信号称为功率无限信号。
-20 -40 -60 -80 -100
0
100