2020年北京市海淀区高考数学一模试卷 (解析版)

2020年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2} B ．{1，3} C ．{0，1，2} D ．{1，2，3}3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．c b＞caD ．|b |c ＜|a |c5．在（1x−2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．1606．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．127．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A ．√5B ．2√2C ．2√3D ．√139．若数列{a n }满足a 1＝2，则“∀p ，r ∈N *，a p +r ＝a p a r ”是“{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．形如22n+1（n 是非负整数）的数称为费马数，记为F n ．数学家费马根据F 0，F 1，F 2，F 3，F 4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5不是质数，那么F 5的位数是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010） A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P （1，2）在抛物线C ：y 2＝2px 上，则抛物线C 的准线方程为 ． 12．在等差数列{a n }中，a 1＝3，a 2+a 5＝16，则数列{a n }的前4项的和为 ．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= ．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ ；△ACD 的面积为 ．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1=√3，点E为A1C1的中点．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1（a＞b＞0）的离心率为√32，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数i （2﹣i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 解：∵复数z ＝i （2﹣i ）＝﹣i 2+2i ＝1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是（ ） A ．{1，2}B ．{1，3}C ．{0，1，2}D ．{1，2，3}【分析】根据A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}，即可得出集合B 可能的情况． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{1}， ∴集合B 可以是{1，3}． 故选：B ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 3．已知双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b 即可． 解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的离心率为√5，可得√b 2+11=√5，解得b ＝2，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．b ﹣a ＜c +aB ．c 2＜abC ．cb＞caD ．|b |c ＜|a |c【分析】法1：根据数轴得到c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法2：用特值法带入验证即可．解：（法1）根据数轴可得c ＜b ＜a ＜0且|c |＞|b |＞|a |，对于A ：因为c ＜b ，a ＜0，所以c +a ＜c ，b ﹣a ＞b ，则c +a ＜c ＜b ﹣a ，即c +a ＜b ﹣a ，故A 错误；对于B ：因为c ＜b ＜a ＜0，|c |＞|b |＞|a |，所以c 2＞b 2＞a 2，且b 2＞ab ，所以c 2＞b 2＞ab ，则c 2＞ab ，故B 错误；对于C ：因为b ＜a ＜0，所以1b＞1a，则cb＜ca，故C 错误；对于D ：因为|b |＞|a |，且c ＜0，所以|b |c ＜|a |c ，故D 正确， （法2）不妨令c ＝﹣5，b ＝﹣4，a ＝﹣1，则c +a ＝﹣6＜b ﹣a ＝﹣3，故A 错误；c 2＝25＞ab ＝4，故B 错误；cb =54＜c a=5，故C错误； 故选：D ．【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题． 5．在（1x −2x ）6的展开式中，常数项为（ ）A ．﹣120B ．120C ．﹣160D ．160【分析】先求出通项，然后令x 的指数为零即可．解：由题意得：T k+1=(−2)k C 6k x2k ﹣6， 令2k ﹣6＝0得k ＝3，故常数项为T 4=(−2)3C 63=−160． 故选：C ．【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题． 6．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为（ ）A ．1B ．√32C ．√22D ．12【分析】根据条件可得圆旋转了34个圆，作图可得到△A 'M 'B 是等腰直角三角形，进而可求得M '到A 'M 的距离．解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA =32π=34×2π，故可得A ’位置如图：∠A 'M 'B ＝90°，则△A 'M 'B 是等腰直角三角形，则M '到A 'M 的距离d =√22r =√22，故选：C ．【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f （x ）写成分段函数的形式，分析可得f （x ）在区间（m ，+∞）上为增函数，据此可得m 的取值范围． 解：根据题意，函数f （x ）＝|x ﹣m |与函数g （x ）的图象关于y 轴对称．若g （x ）在区间（1，2）内单调递减，则f （x ）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f （x ）＝|x ﹣m |={x −m ，x ≥m−x +m ，x ＜m ，在区间（m ，+∞）上为增函数，则有m ≤﹣2，即m 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； 故选：D ．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）A．√5B．2√2C．2√3D．√13【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长AB=√22+22+22=2√3．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．若数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．解：“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”，取p＝n，r＝1，则a n+1＝2a n，∴{a n}为等比数列．反之不成立．{a n}为等比数列，则a p+r＝2×q p+r﹣1，a p a r＝22•q p+r﹣2，只有q＝2时才能成立．∴数列{a n}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，a p+r＝a p a r”是“{a n}为等比数列”的充分不必要条件．．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．形如22n+1（n是非负整数）的数称为费马数，记为F n．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．9B．10C．11D．12【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．解：根据题意，F5=225+1＝232+1≈232=10lg232=1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．故选：B．【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为x＝﹣1．【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=−p2，从而得解．解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，∴抛物线的准线方程为x=−p2=−1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．12．在等差数列{a n}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{a n}的前4项的和为24．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，∴2×3+5d＝16，解得d＝2．则数列{a n}的前4项的和＝4×3+4×32×2＝24．故答案为：24．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，则（a →−12b →）•b →= 0 ．【分析】把所给条件平方整理得到a →•b →=12b →2；代入数量积即可求解结论．解：因为非零向量a →，b →满足|a →|＝|a →−b →|，∴a →2=a →2−2a →•b →+b →2⇒a →•b →=12b →2；则（a →−12b →）•b →=a →⋅b →−12b →2=0． 故答案为：0．【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．14．在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2，则AD ＝ 4√2 ；△ACD 的面积为 2√6 ．【分析】先根据正弦定理求得AD ，进而求得三角形的面积． 解：如图；因为在△ABC 中，AB ＝4√3，∠B =π4，点D 在边BC 上，∠ADC =2π3，CD ＝2， 所以：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB⇒AD =4√3×sin π4sin π3=4√2； S △ACD =12•AD •CD •sin ∠ADC =12×4√2×2×sin 2π3=2√6； 故答案为：4√2，2√6．【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．15．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝6．动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f （x ），给出下列三个结论：①函数f （x ）的最大值为12；②函数f （x ）的图象的对称轴方程为x ＝9； ③关于x 的方程f （x ）＝kx +3最多有5个实数根． 其中，所有正确结论的序号是 ①② ．【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析解：由题可得函数f （x ）={3+(x −3)2，0≤x ＜63+(x −9)2，6≤x ＜123+(x −15)2，12≤x ≤18，作出图象如图：则当点P 与△ABC 顶点重合时，即x ＝0，6，12，18时，f （x ）取得最大值12，故①正确；又f （x ）＝f （18﹣x ），所以函数f （x ）的对称轴为x ＝9，故②正确；由图象可得，函数f （x ）图象与y ＝kx +3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，AB ＝BB 1＝2BC ＝2，BC 1=√3，点E 为A 1C 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣E 的大小．【分析】（Ⅰ）证明AB ⊥C 1B ．CB ⊥C 1B ．利用直线与平面垂直的判断定理证明C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．求出平面BCE 的法向量，平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可， 【解答】（Ⅰ）证明：因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，C 1B ⊂平面BB 1C 1C 所以AB ⊥C 1B ．在△BCC 1中，BC ＝1，BC 1=√3，CC 1＝2，所以BC 2+BC 12=CC 12．所以CB ⊥C 1B ．因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以C 1B ⊥平面ABC ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB ⊥C 1B ，BC ⊥C 1B ，AB ⊥BC ， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B ﹣xyz ．则B （0，0，0），E(−12，√3，1)，C （1，0，0）.BC →=(1，0，0)，BE →=(−12，√3，1)． 设平面BCE 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅BC →=0n →⋅BE →=0， 即{x =0，−12x +√3y +z =0. 令y =√3则x ＝0，z ＝﹣3， 所以n →=(0，√3，−3)．又因为平面ABC 的法向量为m →=（0，1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=12．由题知二面角A ﹣BC ﹣E 为锐角，所以其大小为π3．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 17．已知函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ． （Ⅰ）求f （0）的值；（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f （x ）在[−π2，π6]上的最小值，并直接写出函数f （x ）的一个周期．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）的解析式求出f （0）的值； （Ⅱ）选择条件①时f （x ）的一个周期为π，利用三角恒等变换化简f （x ），再求f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 选择条件②时f （x ）的一个周期为2π，化简f （x ），利用三角函数的性质求出f （x ）在[−π2，π6]的最小值． 解：（Ⅰ）由函数f （x ）＝2cos 2ω1x +sin ω2x ， 则f （0）＝2cos 20+sin0＝2；（Ⅱ）选择条件①，则f （x ）的一个周期为π； 由f （x ）＝2cos 2x +sin2x ＝（cos2x +1）+sin2x=√2(√22sin2x +√22cos2x)+1=√2sin(2x +π4)+1；因为x ∈[−π2，π6]，所以2x +π4∈[−3π4，7π12]；所以−1≤sin(2x+π4)≤1，所以1−√2≤f(x)≤1+√2；当2x+π4=−π2，即x=−3π8时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为1−√2．选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；由f（x）＝2cos2x+sin x＝2（1﹣sin2x）+sin x=−2(sinx−14)2+178；因为x∈[−π2，π6]，所以sinx∈[−1，12]；所以当sin x＝﹣1，即x=−π2时，f（x）在[−π2，π6]取得最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以P(A)=9 10．（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0，1，2．且P(X=0)=C52C102=29；P(X=1)=C51C51C102=59；P(X=2)=C52C102=29．所以X的分布列为：X012P295929故X的期望E(X)=0×29+1×59+2×29=1．（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．19．已知函数f（x）＝e x+ax．（Ⅰ）当a＝﹣1时，①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；②求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；（Ⅱ）即证函数g（x）＝e x+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝e x﹣x，则f'（x）＝e x﹣1．所以f'（0）＝0．又f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），令g（x）＝e x+ax+lnx﹣1，则g′(x)=e x+1x+a，由（Ⅰ）中可知e x﹣x≥1，故e x≥1+x，因为a∈（﹣2，0），则g′(x)=e x+1x+a≥(x+1)+1x+a≥2√x⋅1x+a+1=3+a＞0，所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，因为g(1e )=e1e+ae−2＜e12−2＜0，又因为g（e）＝e e+ae＞e2﹣2e＞0，所以g（x）有唯一的一个零点．即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B（0，b ），△A 1BA 2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线A 1B 与直线A 2M 交于点P ，直线A 1M 与直线A 2B 交于点Q ．求证：△BPQ 为等腰三角形． 【分析】（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2.，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（ II ）解法1，设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1，通过联立直线与椭圆方程组，求出M 坐标，Q 坐标，推出|BP |＝|BQ |，即可证明△BPQ 为等腰三角形．解法2，设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =y0x 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．通过联立直线与椭圆方程组，求出P ，Q 坐标，转化推出|BP |＝|BQ |，得到△BPQ 为等腰三角形． 解：（Ⅰ）由题{ ca =√32，ab =2，a 2=b 2+c 2. 解得{a =2，b =1.所以椭圆方程为x 24+y 2=1．（ II ）解法1证明：设直线A 2M 方程为y =k(x −2)(k ≠0且k ≠±12)，直线A 1B 方程为y =12x +1 由{y =k(x −2)，y =12x +1.解得点P(4k+22k−1，4k 2k−1)． 由{y =k(x −2)，x 24+y 2=1.得（4k +1）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣4＝0，则2x M =16k 2−44k 2+1．所以x M =8k 2−24k 2+1，y M =−4k4k 2+1．即M(8k 2−24k 2+1，−4k 4k 2+1).k A 1M =−4k 4k 2+18k 2−24k 2+1+2=−14k ．于是直线A 1M 的方程为y =−14k (x +2)，直线A 2B 的方程为y =−12x +1． 由{y =−14k (x +2)y =−12x +1解得点Q(4k+22k−1，−22k−1)． 于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x 轴． 设PQ 中点为N ，则N点的纵坐标为4k 2k−1+−22k−12=1．故PQ 中点在定直线y ＝1上．从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以|BP |＝|BQ |， 所以△BPQ 为等腰三角形． 解法2证明：设M （x 0，y 0）（x 0≠±2，y 0≠±1）则x 02+4y 02=4．直线A 2M 方程为y =yx 0−2(x −2)，直线A 1B 方程为y =12x +1．由{y =y0x 0−2(x −2)，y =12x +1.解得点P(2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2，4y2y 0−x 0+2)． 直线A 1M 方程为y =yx 0+2(x +2)，直线A 2B 方程为y =−12x +1． 由{y =yx 0+2(x +2)，y =−12x +1.解得点Q(2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2，4y02y 0+x 0+2).x P −x Q =2x 0+4y 0−42y 0−x 0+2−2x 0−4y 0+42y 0+x 0+2=2(x 0+2y 0−2)(2y 0+x 0+2)−2(x 0−2y 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=2[(x 0+2y 0)2−4)−(4−(x 0−2y 0)2](2y 0−x 0+2)(2y 0+x 0+2)=0．于是x P ＝x Q ，所以PQ ⊥x轴.y P +y Q =4y 02y 0−x 0+2+4y2y 0+x 0+2=4y0(4y0+4)(2y0−x0+2)(2y0+x0+2)=4y0(4y0+4)(2y0+2)2−x02=2．故PQ中点在定直线y＝1上．从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，所以△BPQ为等腰三角形．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n ＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，根据a n+1≥a n，可得0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n，结合a n+1≥a n即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即可证明．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．根据{a n}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2a n+1，a2n ﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，可得2（a n+1﹣a n）≥3，可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k ﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，可得a k+1﹣a k≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为a2n−1，a2n，a n∈N∗，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合a n+1，a n∈N∗可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为a k+1−a k∈N∗，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。