1二次函数的定义
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
数学必修一第四章知识点总结
数学必修一第四章知识点总结第四章: 二次函数1. 二次函数的定义和性质：- 二次函数的形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
- 二次函数的图像是一个抛物线（开口向上或开口向下）。
- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
- 当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。
2. 二次函数的图像和特征：- 开口向上的抛物线最小值是顶点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线最大值是顶点的纵坐标。
- 当a > 0时，抛物线在对称轴的两侧单调递增；当a < 0时，抛物线在对称轴的两侧单调递减。
- 抛物线与x轴交点称为零点，可以通过解二次方程求出零点的坐标。
3. 二次函数的图像平移：- 对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，向右平移h个单位的函数可以表示为 f(x - h) = a(x - h)² + b(x - h) + c。
- 向右平移h个单位相当于将函数沿x轴正方向平移h个单位，反之向左平移h个单位。
- 向上平移k个单位相当于将函数沿y轴正方向平移k个单位，反之向下平移k个单位。
4. 二次函数的最值和解析式：- 当a > 0时，二次函数的最小值为顶点的纵坐标；当a < 0时，二次函数的最大值为顶点的纵坐标。
- 通过配方法（完成平方），可以将二次函数的解析式转化为顶点坐标。
5. 二次函数与一次函数的关系：- 二次函数的图像是一条抛物线，一次函数的图像是一条直线。
- 一次函数可以看作是二次函数的特殊情况，即当a = 0时，二次函数变成一次函数。
- 二次函数和一次函数的图像不相交或相切的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有两个解；- 二次函数和一次函数的图像相交的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有一个解；- 二次函数和一次函数的图像重合的情况下，方程 ax² + bx + c = 0 有一个重解。
二次函数(1)
初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ ）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3）， 即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上． 解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
二次函数(一)
二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；
二次函数知识点总结1
九年级数学学案一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型2-32例1.已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 例2.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）例3.已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
专题14二次函数的图象与性质(讲练)-2023年中考一轮复习(原卷版)
2023年中考数学总复习一轮讲练测（）专题14二次函数的图象与性质（讲练）1.理解二次函数的意义，掌握二次函数的表达式，熟练应用待定系数法求二次函数的表达式；2.会画二次函数的图象，掌握二次函数的性质1．二次函数的定义：一般地，形如(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是．(3)交点式：(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．当a＜0时，抛物线开口，这时当x≤－b2a时，y随x的增大而；当x≥－b2a时，y随x的增大而；当x＝－b2a时，y有最值．该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与x轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.考点一、二次函数的定义例1（2022秋•义乌市月考）若函数y＝是二次函数，即m的值是（）A．﹣1B．﹣1或3C．2D．3【变式训练】1．（2022•苏州模拟）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2B．y＝ax2+1C．y＝3x2+5﹣4x D．y＝2．（2021秋•林口县期末）是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣13．（2022秋•禹州市期中）若函数y＝（m﹣3）x|m|﹣1+5是关于x的二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2考点二、二次函数的图象例2（2022秋•舟山月考）在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式训练】1．（2022秋•巧家县期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2022秋•洪山区校级月考）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（b＞0）与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．3．（2022秋•凉州区校级月考）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象为（）A．B．C．D．考点三、二次函数的性质例3（2022秋•淳安县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的图象经过点（﹣2，0）和（2，3），该函数图象的对称轴为直线x＝m，则下列说法正确的是（）A．0＜m≤2B．m＜0C．m＞0D．﹣2≤m＜0【变式训练】1．（2021秋•新会区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表．下列结论错误的是（）x…﹣10123…y…03430…A．函数图象开口向下B．当x＝1时，y取最大值4C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y的值随x的增大而增大2．（2021秋•孝义市期末）对于二次函数y＝﹣x2﹣2x+m（m为常数），当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＞1D．x＞03．（2021秋•榆阳区期末）如表中所列的x，y的5对值是二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的点所对应的坐标：x…﹣2﹣1034…y…1163611…若（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下说法正确的是（）A．该函数的最小值为3B．这个函数图象的开口向上C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当y1＞y2时，x1＜x24．（2022春•沙坪坝区校级月考）一列自然数0，1，2，3，⋯，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）①当原数取50时，原数与对应新数的差最大②原数与对应新数的差不可能等于零③原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大④当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30和70A．①②B．①③C．①④D．②③考点四、二次函数的图象与系数关系例4（2022•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴有个交点（﹣1，0），有以下结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（其中m≠1）．其中所有正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【变式训练】1．（2021秋•昌吉市校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＝0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．a+b+c＞02．（2022春•成都月考）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（）A．abc＜0B．2a﹣b＝0C．3a+c＝0D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y23．（2022•东港区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4a﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点五、二次函数的点的坐标特征例5（2022秋•宁波月考）已知点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）在二次函数y＝﹣2x2﹣8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【变式训练】1．（2022春•九龙坡区校级月考）已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x ﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y22．（2022秋•范县期中）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y23．（2022秋•林州市校级月考）在函数y＝x2﹣2x+a（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y34．（2022秋•闽清县校级月考）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论中，不正确的是（）A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45°C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形考点六、二次函数与几何变换例6（2022秋•拱墅区校级期中）抛物线y＝x2﹣4x+3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移方法正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移7个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移7个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【变式训练】1．（2022•珙县模拟）抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）2．（2022秋•庐阳区校级期中）将抛物线y＝x2先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣3B．y＝（x﹣4）2+3C．y＝（x+4）2+3D．y＝（x+4）2﹣33．（2022秋•林州市月考）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经过变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向左平移8个单位长度D．向右平移8个单位长度4．（2022秋•林州市校级月考）将抛物线y＝（x+1）2的图象位于直线y＝4以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y＝x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（）A．B．C．D．考点七、二次函数的最值例7（2022秋•萧山区月考）已知非负数a，b，c，满足a﹣b＝2且c+3a＝9，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（）A．1B．2C．3D．4【变式训练】1．（2022秋•宁明县月考）二次函数y＝﹣（x+2）2﹣5的最大值是（）A．5B．﹣5C．2D．﹣22．（2022秋•思明区校级期中）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．函数有最小值1，有最大值3B．函数有最小值﹣1，有最大值0C．函数有最小值﹣1，有最大值3D．函数有最小值﹣1，无最大值3．（2022秋•番禺区校级期中）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（）A．3或﹣1B．﹣1C．﹣3或1D．3考点八、二次函数与坐标轴交点例8（2022秋•舟山期中）在研究函数图象的性质时，若将自变量x变为|x|，则函数图象变化为：保留y轴右侧的图象，y轴左侧的图象变为右侧图象关于y轴的对称图形．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象，则对于y＝﹣x2+2|x|+3，当y＞0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3B．﹣1＜x＜1C．﹣3＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3【变式训练】1．（2022秋•庐阳区校级期中）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．﹣B．﹣4C．D．42．（2022•海陵区校级三模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；②b+c＝m．其中正确的是（）A．①B．②C．都对D．都不对3．（2022秋•庐阳区校级期中）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图像与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则下列关于y1，y2的大小关系判断正确的是（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1与y2的大小无法比较考点九、二次函数与方程不等式例9（2022秋•桐庐县期中）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c ＜0的解集为（）A．x＜1或x＞3B．x＞3C．x＜﹣1D．x＜3或x＞5【变式训练】1．（2022秋•朝阳区校级期中）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，有下列4个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝3；④关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＞﹣2．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．42．（2022•罗庄区二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；④当x＞2时，x2+bx+c＞．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43．（2021秋•微山县期末）如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于点A，B．若点A的坐标是．那么不等式x2﹣2x﹣3＜x+b的解集是（）A．B．或C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞34．（2021秋•梁山县期末）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②④⑤D．①③⑤考点十、待定系数法求二次函数解析式例10（2022秋•温州校级月考）如图，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），且图象经过点（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若在y轴正半轴上取一点P（0，m），过点P作x轴的平行线，分别交抛物线于A，B两点（A在B 点左侧），若P A：PB＝1：2，求m的值．【变式训练】1．（2022秋•林州市月考）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式．2．（2022秋•朝阳区校级月考）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．3．（2022秋•宁明县月考）已知抛物线经过点（3，﹣1），顶点坐标为（2，﹣2）．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）若点P（t，y1），（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标．4．（2022秋•西城区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…﹣101 2.53…y＝ax2+bx+c…m1﹣2n﹣2…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，求当﹣1≤x≤3.8时，函数值y的取值范围．考点十一、二次函数的推理计算与证明例11（2022秋•西湖区月考）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．【变式训练】1．（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y＝2x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n）．（1）用含n的代数式表示c．（2）若二次函数y＝2x2﹣bx+c的最小值为，求n的值．2．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．3．（2021•河西区一模）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．。
专题02 二次函数章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
专题02二次函数章末重难点题型【举一反三】【考点1二次函数的概念】二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．【例1】（2019秋•泰兴市校级月考）下列函数关系式中，y 是x 的二次函数是()A ．2y ax bx c =++B ．21y x x=-C ．225y x =++D ．2(32)(43)12y x x x =+--【变式1-1】（2019秋•文水县期中）已知函数：①2y ax =；②23(1)2y x =-+；③22(3)2y x x =+-；④21y x x =+．其中，二次函数的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-2】（2019秋•苍溪县期中）已知函数||(2)1m y m x mx =-+-，其图象是抛物线，则m 的取值是()A ．2m =B ．2m =-C ．2m =±D ．0m ≠【变式1-3】（2019秋•南康区期中）若22(2)32my m x x -=-+-是二次函数，则m 等于()A ．2-B ．2C ．2±D ．不能确定【考点2二次函数与一次函数图象】【例2】（2019秋•花都区期中）在同一直角坐标系中2y ax b =+与(0,0)y ax b a b =+≠≠图象大致为()A ．B ．C ．D ．【变式2-1】（2018秋•厦门期中）在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【变式2-2】（2019秋•沂水县期中）在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2()y a x c =+的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【变式2-3】（2016秋•工业园区期中）如图，一次函数y x =与二次函数2y ax bx c =++图象相交于A 、B 两点，则函数2(1)y ax b x c =+-+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【考点3二次函数的增减性】【例3】（2018春•利津县期末）设1(2,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为()A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>【变式3-1】（2019秋•宣威市校级月考）已知二次函数21572y x x =--+，若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是()A ．123y y y >>B ．123y y y <<C ．231y y y >>D ．231y y y <<【变式3-2】（2018秋•建昌县期中）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过(3,0)A -，(1,0)B ，1(5,)C y -，2(2,)D y -四点，则1y 与2y 的大小关系是()A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定【变式3-3】（2018•南海区期中）已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x⋯0123⋯y⋯5212⋯点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在函数的图象上，则当101x <<，223x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是()A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【考点4二次函数图象的平移】【例4】（2018秋•花都区期中）抛物线22y x =-经过平移得到22(1)3y x =--+，平移方法是()A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位【变式4-1】（2019•天津校级期中）已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为()A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--【变式4-2】（2018秋•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为()A ．22(2)2y x =-+B ．22(2)2y x =+-C ．22(2)2y x =--D ．22(2)2y x =++【变式4-3】（2018秋•襄州区期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数221y x x =-+的图象，用b ，c 的值分别是()A ．14b =，8c =-B ．2b =-，4c =C ．8b =-，14c =D ．4b =，2c =-【考点5二次函数的图象与a ，b ，c 的关系】【例5】（2018秋•渝中区校级期中）已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①0abc >；②0b a c -->；③42a c b +>-；④30a c +>；⑤()(1a b m am b m +>+≠的实数），其中正确的结论有()A ．①②③B ．②③④C ．②③⑤D ．③④⑤【变式5-1】（2018秋•苍溪县期中）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b +2c ＜0；③m （am +b ）+b ≤a ；④（a +c ）2＜b 2；其中正确结论的个数有（）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【变式5-2】（2018秋•江岸区期中）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，过(1，1)(2y ，2)y ．①若10y >时，则0a b c ++>②若a b =时，则12y y <③若10y <，20y >，且0a b +<，则0a >④若21b a =-，3c a =-，且10y >，则抛物线的顶点一定在第三象限上述四个判断正确的有()个．A ．1B ．2C ．3D ．4【变式5-3】（2019•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，有以下结论：①30a b -=；②240b ac ->；③520a b c -+>；④430b c +>，其中错误结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【考点6二次函数与一元二次方程之间的关系】【例6】（2019春•天心区校级期中）函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于一元二次方程220ax bx c ++-=的根的情况是()A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根【变式6-1】（2019春•安吉县期中）如图，抛物线2y x mx =-+的对称轴为直线2x =，若关于x 的一元二次方程20(x mx t t +-=为实数）在13x <<的范围内有解，则t 的取值范围是()A ．﹣5＜t ≤4B ．3＜t ≤4C ．﹣5＜t ＜3D ．t ＞﹣5【变式6-2】（2018秋•福清市期中）函数21y x x =+-中x 与y 的对应关系如下表所示，方程210x x +-=两实数根中有一个正根1x ，下列对1x 的估值正确的是()x⋯0.50.550.60.650.70.75⋯y⋯0.25-0.1475-0.04-0.07250.190.3125⋯A ．10.50.55x <<B ．10.550.6x <<C ．10.60.65x <<D ．10.650.7x <<【变式6-3】（2019秋•萧山区期中）已知关于x 的方程2()()0x m x n +--=，存在a ，b 是方程2()()0x m x n +--=的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是()A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m b n <<<D ．a m n b<<<【考点7二次函数解析式】【例7】经过(4,0)A ，(2,0)B -，(0,3)C 三点的抛物线解析式是．【变式7-1】若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x7-6-5-4-3-2-y27-13-3-353则二次函数的解析式为．【变式7-2】（2019秋•荣成市期中）二次函数在32x =时，有最小值14-，且函数的图象经过点(0,2)，则此函数的解析式为．【变式7-3】（2013秋•潜山县校级月考）抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点为(1,0)-，(3,0)，其形状与抛物线22y x =相同，则抛物线解析式为．【考点8二次函数的应用—销售问题】【例8】（2018秋•鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件)与销售单价x （元)之间的关系可近似的看作一次函数：20800y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w （元)，求每月获得利润w （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【变式8-1】（2019春•宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x 元，每天获利y 元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【变式8-2】（2019春•安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为21000m 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用1y （元)与2()x m 的函数关系图象如图所示，栽花所需费用2y （元)与2()x m 的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+．（1）求1y （元)与2()x m 的函数关系式；（2）设这块21000m 空地的绿化总费用为W （元)，请利用W 与x 的函数关系式，求绿化总费用W 的最大值．【变式8-3】（2019秋•沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件)与时间t （天)的关系如下表：时间t （天)1351036⋯日销售量m（件)9490867624⋯未来40天内，前20天每天的价格y 1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 1＝t +25（1≤t ≤20且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为y 2＝﹣t +40（21≤t ≤40且t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件)与t （天)之间的表达式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【考点9二次函数的应用—面积问题】【例9】（2018秋•开封期中）如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【变式9-1】（2018秋•洛阳期中）为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积ym．相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为2（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【变式9-2】（2018秋•洪山区期中）如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，2，设BE的长为x米，改DG BE造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【变式9-3】（2018秋•鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10)m ，用长为24m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB 的长为()x m ，面积为2()y m ．（1）若y 与x 之间的函数表达式及自变量x 的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为245m ，则AB 的长应为多少？【考点10二次函数的应用—抛物线问题】【例10】（2019秋•南海区校级期中）如图，已知排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处球网的高度AB 为2.4米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.6米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G 建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m 的点F 处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h 的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【变式10-1】（2019秋•台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线21752y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m ．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m ？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m ，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【变式10-2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度()y m 与水平距离()x m 之间满足函数表达式2(4)y a x h =-+，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．（1）当124a =-时，①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为125m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．【变式10-3】（2019秋•萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面209m ，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m 处达到最高4m ．已知篮筐中心距地面3m ，与球出手时的水平距离为8m ，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m ，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【考点11二次函数与图形面积的综合】【例11】如图，抛物线2(1)y a x =+的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB OA =．（1）求抛物线的解析式；（2）若点(3,)C b -在该抛物线上，求ABC S ∆的值．【变式11-1】（2019•新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为(1,3)-，并经过点(2,0)C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线3y x =与该二次函数的图象交于点B （非原点），求点B 的坐标和AOB ∆的面积；【变式11-2】（2019春•利津县期中）如图，抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A ，点B 和点C 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PB PC +的值最小时的点P 的坐标；（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．【变式11-3】如图，二次函数2y ax bx =+的图象经过点(2,4)A 与(6,0)B ．（1）求a ，b 的值；（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为(26)x x <<，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．【考点12与二次函数有关的存在性问题】【例12】已知抛物线2(0)y x bx c c =-++>过点(1,0)C -，且与直线72y x =-只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线3y x =-+与抛物线相交于两点A 、B ，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ABQ ∆是等腰三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【变式12-1】（2019•齐齐哈尔一模）如图，过点(1,0)A -、(3,0)B 的抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，它的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线顶点D 的坐标；（3）若抛物线的对称轴上存在点P 使3PCB POC S S ∆∆=，求此时DP 的长．【变式12-2】如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3,0)，抛物线与直线332y x =-+交于C 、D 两点．连接BD 、AD ．（1）求m 的值．（2）抛物线上有一点P ，满足4ABP ABD S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式12-3】（2018•绥阳县模拟）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线上点B 和点D 之间是否存在一点H 使得四边形OBHC 的面积最大，若存在求出四边形OBHC 的最大面积，若不存在，请说明理由．（3）直线BD 上有一点P ，使得PE PC =时，过P 作PF x ⊥轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．。
26.1.1 二次函数的意义-丁博
2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y (k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k 0 k 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
所求的二次函数是y x 12x 15
2
牛刀小试
5.已知二次函数
y 2( x 1) 4
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4 （2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？
x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量
的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y (cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
2
(o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x² +100x+60000, 总产量最多？
4. 已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y x 2 px q, 得：
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他们的具体关系与边数n有什么关系？
d= 1 n(n-3)
即 d= 21 n2- 3 n
2
2
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
1.把函数y=(5x+7)(x-3)+2x-5 化成一
般形式，写出各项系数。
解: y=(5x+7)(x-3)+2x-5 =5x2-8x-21+2x-5 =5x2-6x-26
它是二次函数,二次项系数 及常数项分别是5,-6,-26
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是
常数，a≠0)的函数叫做二次函数
y=20(1+x)2
即 y=20x2+40x+20
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
（a,b,c是常数）
❖ 我们把形如y=ax²+bx+c(其中
a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二
次函数
1.a≠0,但b,c可以等于0
2.X的最高次数是2次
3.是整式，分母不含有自变 量，根号里不含有自变量。
观察下列函数：
(1)y = 2x+1 (2)y = -x-4
驶向胜利的 彼岸
3y 2 (4)y = 5x2
x
(5)y = -4x (6)y = ax+1
其中，一次函数有_____,其一般形式是 _____;(3)是_____函数，其一般形式是_____； （4）是什么函数？其一般形式是什么？
1、理解二次函数的意义； 2、能判断两个变量之间的函数关系 是否是二次函数关系； 3、能根据实际问题列出二次函数关 系式。
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
知识的升华
已知函数 y (k2 k)x2 kx 2 k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？
(2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
C.
y
1 x2
D. y = (a2+1)x2-ax+a （a是常数）
驶向胜利的 彼岸
B 3.下列函数关系式中,二次函数有 ( )个.
y = (3x-1)2-9x2 y = (x+2)2-4x
y x2 1 x
y = ax2+bx+c
y x3 x
y 5 x2 1 x 5
3
12 6
A. 1个 B.2 个 C.3个 D.4个
k2 k k 0
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时
y是x的二次函数
驶向胜利的 彼岸
本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
二次项: ax2 二次项系数: a
一次项: bx 一次项系数: b
常数项: c
1.若y=(a2-1)x2是二次函数， 则a的取值范围是_____ 2、关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数, 求m的值.
3、若函数 y (m 1)xm23m2 为二次函数，求m的值。
超级链接
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
4.共有两个未知数变量X,y
1、下列函数中,哪些是二次函
(1) y x2 数?
是
(2)
y
1 x2
(3) y x(1 x)
不是
是 y＝-x2＋x
(4) y (x 1)2 x2 不是
y＝x2-2x+1-x2
=-2x+1
先化简后判断
2.下列函数关系式中,是二次函数的是(D)
A. y = 2x
B. y = mx2
认真阅读课本第2页到第3页的内容， 思考解决以下问题（5分钟）
1、思考解决课本引言问题及问题1和 问题2；
2、观察1中所得函数有什么共同特点？ 3、二次函数的一般形式是什么？
1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积
为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，