河南省郑州市高三高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题含答案

2020 年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A = {x｜a+l≤x≤3a- 5} ,B= {x|3<工< 22} , 且A⋂B= A , 则实数a的取值范围是A.(-∞,9]B.(-∞,9)C.[2,9]D.(2,9)2.已知复数z=2+ii3(其中i是虚数单位，满足i2=-1)，则z的共轭复数是A. 1-2iB. 1+2iC. -1-2iD. -1+2i3.郑州市2019年各月的平均气温(︒C)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A.20B.21C. 20. 5D. 234.圆(x + 2)2 + (y-12)2 = 4 关于直线x - y +8=0对称的圆的方程为A. (x+3)2 + (y+2)2=4B. (x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D. (x+6)2+(y+4)2=45.在边长为30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为A. 30 米B. 20 米C. 152米D. 15 米6.若α∈(π2,π),2cos2α=sin(π4-α)，则sin2α的值为A.-78B.78C. -18D.187.在如图所示的程序框图中，若输出的值是4 , 则输入的x的取值范围是A. (2, 十∞)B. (2, 4]C. (4, 10]D. (4,+∞)X8. 为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等· 劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等．记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,s 为△O K L 的面积．将Gini = a S，称为基尼系数 对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y =f (x ),则对∀x ∈(0,1),均有f (x )x>1;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 2(x ∈[0,1]) , 则Gini =14; ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y =x 3(x ∈[0,1]),则Gini =12. 其中不正确的是：A. ①④B. ②③C. ①③④D. ①② ④9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为A. 96B. 84C. 120D. 36010. 已知等差数列{a n } 的 公 差 d ≠0 , 且 a 1 , a 3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +6a n +3的最小值为A. 4B. 3C. 23 - 2D.211. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马".现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.6πB. 2πC.6πD.24π12.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作直线y =-ba x 和垂线，垂足为M ,且交双曲线的左支于N 点，若2FN FM =u u u r u u u u r，则该双曲线的离心率为A. 3B.2C. 5D.7二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分．13. 二项式(x +2x )6的展开式中的常数项为 ．14. 已知函数f (x )＝-π2x ，g ( x ) =x •cos x -sin x , 当x ∈ [- 4π，4π]且x ≠O 时，方程f ( x ) = g ( x ) 根的个数是 .15. 已知四边形 ABCD 中，AD //BC , ∠BAD = 90°. AD =l ,BC =2 ,M 是AB 边上的动点，则｜｜｜MC MD +u u u u r u u u u r ｜ 的最小值为 ．16.设函数32,ln ,x x x e y x x e m ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩ 的图象上存在两点 P ，Q , 使得△POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围是 ．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分17. (12 分）巳知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7=77,且满足a 112=a 1•a 61.(I) 求数列{ a n } 的通项公式 ； ( II ) 若 数 列 { b n .}满足111(*)n n n a n N b b +-=∈ , 且113b =- ,求数列{b n }的前 n 项和 T n .18. (1 2 分）由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”。

现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组．票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组．(I) 在这30 名 学 生 中 ，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？（III ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4 人，用ξ表示所选 4 人中青春组的人数，试写出ξ的 分 布列，并求出 ξ 的 数 学期 望．19. (1 2 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将△ACD 折起，使得点 D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上．4( I ) 求证：平面 ABD ⊥平面 BCD;（II )当ABAD = 2 时，求二 面角 D- AC- B的余弦值i:QA二C20. (12 分）在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点F ( 3, 0) 的距离与 A 到定直线x = 4 距离之比为32．( I ) 求动点 A 的轨迹C 的方程；( II )设点 M , N 是轨迹 C 上两个动点直 线 OM , ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P , Q,且直线 OM ,ON 的斜率之积等于—14 ，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？ 请说明理由．21. (12 分）已知函数ln 1(),()(0)x x f x g x x a x +==> ( I ) 当a = l 时 ，求曲线 y = ()f x x在 x = l 处的切线方程；(II )讨论函数 F (x ) =1()()f xg x -在 ( 0, 十oo ) 上的单调性．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分．22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程] (10 分）在极坐标系中，圆C 的 方程 为ρ = 2a sin θ (a > 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩ ( t 为参数）．(I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程，(II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点，且|AB | ≥3 . 求实数 a 的取值范围．23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分）已知函数 f ( x ) = l x + I l - a |x - 1 |.( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若 f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值．郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 评分参考一、选择题BCCCA ABBBD CC二、填空题13.160； 14.8； 15.3； 16.[1,).e ++∞ 三、解答题17.(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1211172177,(60)(10),+=⎧⎨+=+⎩a d a a d a d ……………………3分解得15,2 3.2,n a a n d =⎧∴=+⎨=⎩ ………………5分(2)由1111111,(2,).n n n n n n a a n n b b b b -+--=∴-=≥∈*N 当2n ≥时，1211122111111111111()()()-----=-+-++-+=++++L L n n n n n n n a a a b b b b b b b b b =(1)(25)3(2).n n n n --++=+ …………………………8分 对113=b 也适合， ………………………9分1111(2)()().22n n n n n N b b n n ∴=+∈∴=-+ …………………10分2111111131135(1)().2324222124(1)(2)n n nT n n n n n n +∴=-+-++-=--=+++++L 12分18. (I)作出22⨯列联表：3分由列联表数据代入公式得22() 1.83()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++，…………………5分 因为1.83<2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分(Ⅱ) 用A 表示“至少有1人在青春组”，则23257()110C p A C =-=. …………… 8分(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为122305=，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布2(4,)5B .………………………10分显然ξ的取值为0，1，2，3, 4 . 且4422()()(1),0,1,2,3,455ξ-==-=kk k P k C k .所以得分布列为：数学期望28455ξ=⨯=E …………………………12分19.（Ⅰ）设点D 在平面ABC 上的射影为点E，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ， ∴DE BC ⊥.………………………………………………………………………2分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC AD ⊥. ………………………………………………………………………………………4分 又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ABD ，∴平面⊥ABD 平面BCD . ………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（Ⅰ）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，3sin DE AD DAB a =⋅∠=， ∴33(0,,)22D a a ，∴13(0,,)22AD a a =-u u u r ，(,2,0)AC a a =-u u u r .………………8分 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即130,220.ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩不妨取1z =，则3y =，23x =，∴(23,3,1)m =u r.而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =r，…………………………………………10分∴cos ,m n u r r ||||m n m n ⋅=u r ru r r 222(23)(3)1=++14=. 故二面角D AC B --的余弦值为14.…………………………………………………12分20.解(I)设(),A x y 22(3)3-+x y ……………………………2分化简得22412+=x y ，…（3分）所以，动点A 的轨迹C 的方程为221.123x y +=… 4分 (Ⅱ)解：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由斜率之积，得121214=-y y x x ，………6分221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点,M N 在椭圆C 上，所以222212123,3.44x x y y =-=-化简得221212+=x x ． …………………………8分 直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线MN 的距离为.)()(2122121221y y x x |y x y x |d -+--=所以，∆MON 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ||21221y x y x -=，……10分所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=221212()144+=x x ，所以12.S =所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． ……………………………………12分21.解析：（Ⅰ）当1=a 时，曲线()().1ln +=⋅=x xx x g x f y ()()()()221ln 1ln ln 1.11x x x x x x y x x ++-++'==++………………………2分 1x =时，切线的斜率为12，又切线过点()1,0所以切线方程为210x y --=…………………………4分（Ⅱ）()()()2111,()1''==+f x ax g x x ， ()()()()()()2221111(),11x ax F x f x g x ax x ax x +-'''=-=-=++………5分 当0a <时，()0F x '<，函数()F x 在()0,+∞上单调递减；………………………7分当0>a 时，令()21211⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭k x x x a a a ，41,a ∆=- 当0∆≤时，即04<≤a ，()0k x ≥，此时()0F x '≥，函数()F x 在()0,+∞上单调递增;当0∆>时，即4>a ，方程212110⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a a a 有两个不等实根12x x <， 所以1201x x <<<，12⎛== ⎝⎭x x此时，函数()F x 在()()120,,,x x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减.……………11分综上所述，当0a <时，()F x 的单减区间是()0,+∞；当4>a 时，()F x的单减区间是2222⎛--+ ⎪⎝⎭a a ，单增区间是220,,22⎛⎛⎫--++∞⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a 当04a <≤时，()F x 单增区间是()0,+∞.………………………12分22.（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()y a x a +=-， ………………………2分消t 得到4350x y -+=………………………………………4分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离12d a ≤即可。