合肥一模理科数学含答案
安徽省合肥市区属中学2025届高考数学一模试卷含解析
安徽省合肥市区属中学2025届高考数学一模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）A ．23B ．25C ．28D ．292．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π 4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t=D ．0.05sin 540000y t = 6．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为22y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( )A ．9B ．5C ．2或9D ．1或5 7．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ． 8．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π 10．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为3Γ的离心率为（ ）A ．2B 23C ．73D 21 11．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 12．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A ．94B ．5C ．5224+D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，故；由，解得，故，因此.故本题正确答案为点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解对数不等式和一元二次不等式，在解对数不等式的过程中，要注意真数大于零.在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集、并集和补集的题目.2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，故的共轭复数为.故本题正确答案为3．要想得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移个单位，再向上平移1个单位C. 向左平移个单位，再向下平移1个单位D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位【答案】B【解析】因为，故只需将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到函数的图象.故本题正确答案为4．执行如图的程序框图，则输出的为（）A. 9B. 11C. 13D. 15【答案】C【解析】由程序框图可知，，由，解得，故输出的的值为.故本题正确答案为5．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（）A. 1B.C.D. 4【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于,所以的面积为，解得.故本题正确答案为6．的内角的对边分别为,若，，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，（为外接圆半径）.利用两角和公式得，即,因为，所以,所以.故的外接圆面积为.故本题正确答案为7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设命题：“若，则”.可知命题是祖暅原理的逆否命题，由命题的性质可知必然成立.故是的充分条件；设命题：“若，则”，对此可以举出反例，若比在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题：“若，则”是假命题，即不是的必要条件.综上所述，是的充分不必要条件.故本题正确答案为8．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线的方程为）的点的个数的估计值为（）A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B【解析】由图象可知，空白区域的面积，故阴影部分的面积；由几何概型可知，落入阴影部分的点的个数的估计值为故本题正确答案为9．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据如图所示的三视图，该几何体为一个正方体的一部分和四分之一个圆柱体，如图所示.则该几何体的表面积为.故本题正确答案为10．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与-18，则展开式所有项系数之和为（）A. -1B. 1C. 32D. 64【答案】D【解析】因为的展开式中项的系数为，所以；又因为的展开式中项的系数为，所以，解得，或，令，故展开式所有项系数之和为.故本题正确答案为11．已知函数在在上的最大值为,最小值为,则（）A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】因为函数，所以，当时，；而，当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，函数在上的最值在端点处取得，因为，，故.故本题正确答案为点晴：本题考查的是导数在研究函数中的应用.解决本题的关键是先求导函数，通过判断导函数的正负，判断原函数的增减情况，得到函数的最值.在本题中当时，，但是当时，，所以不是函数的极值点，即函数在上单调，最值在端点处取到.12．已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据已知条件，作出函数的图象，如图所示.因为方程至多有两个实数解，，则方程有六个不同的实数解等价于存在四个实数，使得，同时存在两个实数使得,由图象可知，，，由韦达定理可知，，则，，故的取值范围是.故本题正确答案为D.点晴：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断.解决本题首先根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，结合方程有六个不同的实数解，并且方程至多有两个实数解，，得到，，再由由韦达定理可知，，可得的取值范围是.二、填空题13．命题：“”的否定为__________．【答案】，【解析】因为命题的否定是将命题的条件和结论全部否定，故原命题的否定为，.故本题正确答案为，.14．已知，，且，则实数__________．【答案】-6【解析】因为，且，，所以，解得.故本题正确答案为.15．已知，则__________．【答案】1或【解析】因为，且，解得，或，.当时，；当，，故或.故本题正确答案为或..16．已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则__________．【答案】2【解析】设，则，所以，则,设，则，当时，.因为的最小值为，故将代入，解得，所以，得，故.故本题正确答案为.点晴：本题考查的是转化与化归思想及导数在研究函数中的应用.首先利用转化与化归思想把图象交点问题转化为新的函数为关于的函数的最值问题，再利用导数知识根据函数的最小值为求得，进而得到.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析: （1）根据已知条件求出的首项和公差，即可求出数列的通项公式. （2）将（1）中求得的代入，利用等差数列和分组并项求和公式即可求出.试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，所以（Ⅱ）∵∴当时，，∴当时，，∴∴点晴：本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据已知条件求出数列的通项公式;第二问中的通项，分成两组求和即可，一组是等比数列，一组是与的奇偶有关，采用分组并项求和即可.18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为．第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 (元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【答案】（Ⅰ）见解析；（2）方案甲较划算．【解析】试题分析: （1）计算出取值时的概率，画出分布列.（2）比较选择方案甲和方案乙进行抽奖所获奖金的均值，选择更大的一种方案.试题解析：，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元）的分布列为0 500 1000（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金的均值若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则抽奖所获奖金的均值故选择方案甲较划算．19．如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，．（Ⅰ）若为中点，求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，又∵为中点∴，由得∴∵底面，底面∴，又∵∴平面（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，得，，∴又∵底面，分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、、、∴，，设平面的一个法向量，则有，令，则∴直线与平面所成角的正弦值．点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.20．已知点为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于两不同点，若，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据已知条件得，，椭圆的方程与直线联立，根据求出的值，即可求出椭圆的方程。
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。
若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)(有解析)
2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|3−x≤0}，则A∪B=()A. {x|−2≤x≤3}B. {x|x≥−2}C. {x|3≤x≤5}D. {x|x≥−5}2.已知复数z=2+i2018(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是()A. 2013年以来，每年参观总人次逐年递增B. 2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C. 2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D. 2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万4.若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a5.在等差数列{a n}中，若a3+a11=6，则其前13项的和S13的值是()A. 32B. 39C. 46D. 786.执行如图的程序框图，如果输入的x为3，那么输出的结果是()A. 8B. 6C. 1D. −17.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f(x)的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数；③f(0)=1；；．其中正确的是()A. ①②③B. ②③④C. ①④⑤D. ②③⑤9.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线和圆x2+y2−4x+3=0相切，则该双曲线的离心率为()A. 2√33B. 43C. √2D. 210.某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y=a⋅0.5x+b.现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为()A. 1.75万件B. 1.7万件C. 2万件D. 1.8万件11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为AD,AA1的中点，则以下说法错误的是()A. 平面EFC截正方体所的截面周长为2√5+3√2B. 存在BB1上一点P使得C1P⊥平面EFCC. 三棱锥B−EFC和D−FB1C体积相等D. 存在BB1上一点P使得AP//平面EFC12.若函数f(x)={ln (x+1)−x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，若a⃗//b⃗ ，则k等于______ ．14.已知直线y=x−1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则弦AB的长为__________．15.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_________种.(用数字作答)三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.已知命题1：设x i，a i=(i=1,2)均为正实数，若x1+x2=1，则a1x1+a2x2≤(√a1+√a2)2；命题2：x i，a i(i=1,2，3)均为正实数，若x1+x2+x3=1，则a1x1+a2x2+a3x3≤(√a1+√a2+√a3)2；由上述两个命题可知，设x i，a i(i=1,2，3，…，n)均为正实数，若(1)，则(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=a2+√3bc，acosB=bcosA(1)求角A，B，C的大小；(2)若BC边上的中线AM的长为√7，求△ABC的面积．18.已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球，一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出3个球，将3个球对应的分值相加后记为该局得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分(n∈N∗)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望E(X)．19.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．(1)求AB的长，并证明：AD1⊥B1D；(2)求平面AA1B1与平面ACD1所成角的余弦值．20.已知F1、F2分别是椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点．4(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−54，求点P 的坐标；(2)若直线l 与圆O ：x 2+y 2=14相切，交椭圆C 于A 、B 两点，是否存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ？21. 设函数f(x)=lnx −ax 2+ax ，a 为正实数．(1)当a =2时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(1a )≤0；(3)若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为{x =2t y =12+√3t (t 为参数)，曲线C 1：{x =2sinφy =2(1+cosφ)(φ为参数)． (1)求直线l 及曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C2：θ=π3(ρ∈R)与直线l和曲线C1分别交于异于原点的A，B两点，求|AB|的值．23.若a>0，b>0，且12a+b +1b+1=1，求a+2b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法以及并集的运算．可解出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：A={x|−2≤x≤5}，B={x|x≥3}；∴A∪B={x|x≥−2}．故选：B．2.答案：A解析：解：∵z=2+i 20181+i =2+(i4)504⋅i21+i=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，∴z=12+12i．∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(12,12)，位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D 中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C ．由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.答案：C解析：a >1，0<b <1，c >1，又a c =log 23log 46=log 2312log 26=2log 63=log 69>1，∴b <c <a ．5.答案：B解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3+a 11=6，∴其前13项的和：S 13=132(a 1+a 13)=132×6=39．故选：B ．由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=132(a 3+a 11)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.答案：D解析：本题考查了循环结构的程序框图，属于基础题．模拟程序运行即可求解．解：由程序框图知：程序第一次运行x =3−2=1；第二次运行x =1−2=−1，满足x <0，∴执行y =(−1)3=−1．∴输出−1．故选：D ．7.答案：B解析：解：当x=0时，f(0)=2−11+2=13，当x=1时，f(1)=0，故排除A，由于f(x)≥0恒成立，故排除C，当x→+∞时，f(x)→1，故排除D，故选：B．利用函数值的变化趋势判断即可．本题考查函数的图象的判断，函数值的变化趋势，考查计算能力．8.答案：C解析：解：由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ)的最小值−|A|=−2，令A>0，则A=2，又∵T4=7π12−π3，ω>0∴T=π，ω=2，∴y=2sin(2x+ϕ)将(7π12,−2)代入y=2sin(2x+ϕ)得sin(7π6+ϕ)=−1即7π6+ϕ=3π2+2kπ，k∈Z即ϕ=π3+2kπ，k∈Z∴f(x)=2sin(2x+π3 ).∴f(0)=2sinπ3=√3，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3).f(π4)=2sin(π2+π3)=1.对称轴为直线x=kπ2+π12，一个对称中心是(5π6,0)，故②③不正确；根据f(x)=2sin(2x+π3)的图象可知，④f(12π11)<f(14π13)正确；由于f(x)=2sin(2x+π3)的图象关于点(5π6,0)中心对称，故⑤f(x)=−f(5π3−x)正确．综上所述，其中正确的是①④⑤．故选C．9.答案：D解析：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．根据圆方程，得到圆心坐标C(2,0)，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径1，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，算出c=2a，即可得出该双曲线的离心率．解：圆x2+y2−4x+3=0可化为(x−2)2+y2=1∴圆心坐标C(2,0)∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为ax±by=0，圆x2+y2−4x+3=0与渐近线相切，∴C到渐近线的距离为|2a|√a2+b2=1，即c=2a因此该双曲线的离心率为e=ca=2故选：D10.答案：A解析：本题主要考查了函数模型的应用，属于基础题．将x=1，2分别带入y=a⋅0.5x+b，联立解出a，b的值，再将x=3代入方程即可求出三月份的产量．解析：解：由题意可得{1=0.5a+b1.5=0.25a+b，解得a=−2，b=2，所以y=−2×0.5x+2，将x=3代入y=−2×0.5x+2得，y=1.75，故选A．11.答案：B解析：本题考查了线面的位置关系的判断，考查了体积的运算，属于中档题．由面面垂直的判定定理结合正方体ABCD−A1B1C1D1的结构可得答案．解：若存在BB1上一点P使得平面EFC，由C1P⊂面BB1C1C，故可得平面EFC⊥面BB1C1C，然而面BB1C1C⊥面ABCD，面BB1C1C⊥面AA1B1B，面BB1C1C⊥面A1B1C1D1，面BB1C1C⊥面DCC1D1，故平面EFC不可能和面BB1C1C垂直，故可知不存在BB1上一点P使得平面EFC，故选B12.答案：C解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用导数求出函数单调性进而求出函数零点，属于基础题．解：根据函数可做出如下图像：−1，当x≥0时，f(x)=ln(x+1)−x，f′(x)=1x+1令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒小于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=0，x=0是一个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的一元二次方程，令f(x)=0，解得x=−1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=−1和x=0两个零点，故选C．13.答案：−12解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗//b⃗ ，∴2k+1=0，．解得k=−12故答案为：−12根据向量平行列方程解出k．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：8解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．解：将直线l：x−y−1=0过(1,0)即抛物线方程y2=4x的焦点坐标，联立直线与抛物线方程，消元y，可得x2−6x+1=0∴x1+x2=6，∴弦AB的长为x1+x2+p=6+2=8．故答案为8．15.答案：480解析：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人全排列，安排在4个座位上，有A44=24种情况，排好后，有5个空档可用，②，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有A52=20种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有24×20=480种；故答案为480．16.答案：x1+x2+x3+⋯+x n=1a1 x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2解析：本题考查归纳推理的应用，属于基础题目．解：由命题①②可归纳为若x1+x2+x3+⋯+x n=1，则a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．故答案为x1+x2+x3+⋯+x n=1；a1x1+a2x2+⋯…+a nx n≤(√a1+√a2+⋯…+√a n)2．17.答案：解：(1)在△ABC中，∵b2+c2=a2+√3bc，∴b2+c2−a2=√3bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =√32，又A∈(0,π)，∴A=π6．∵acosB=bcosA，∴sinAcosB −sinBcosA =0， 即sin(A −B)=0， ∴A −B =0， ∴B =A =π6． ∴C =π−A −B =2π3．(2)∵A =B ， ∴BC =AC ，设CM =x ，则AC =2x ， 又AM =√7， 在△ACM 中，由余弦定理得：AM 2=CM 2+AC 2−2CM ⋅AC ⋅cos 2π3，∴7=x 2+4x 2−4x 2⋅(−12)，解得x =1． ∴AC =BC =2x =2，∴S △ABC =12AC ⋅BC ⋅sin 2π3=12×2×2×√32=√3．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．(1)根据余弦定理求出A ，利用正弦定理将边化角得出A ，B 的关系求出B ，利用内角和求出C ； (2)设CM =x ，在△ACM 中，利用余弦定理列方程解出CM ，得出AC ，BC ，代入面积公式计算面积．18.答案：解：(1)设“在一局游戏中得3分”为事件A ，则P(A)=C 21C 21C 11C 53=25．(2)X 的所有可能取值为1，2，3，4，在一局游戏中得2分的概率为C 21C 22+C 22C 11C 53=310，P(X =1)=C 22C 21C 53=15，P(X =2)=45×310=625，P(X =3)=45×(1−310)×25=28125， P(X =4)=45×(1−310)×35=42125， ∴X 的分布列为X 12 3 4P156252812542125∴E(X)=1×15+2×625+3×28125+4×42125=337125．解析：本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题． (1)根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值;(2)由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．19.答案：解：(1)由题意得AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =t ，则A(0,0，0)，B(t,0，0)，B 1(t,0，3)，C(t,1，0)，C 1(t,1，3)，D(0,3，0)，D 1(0,3，3)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1，0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,3，0)， ∵AC ⊥BD ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2+3+0=0， 解得t =√3或t =−√3(舍去)，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,−3)， ∵AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD 1⊥B 1D . (2)由(1)得AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)， 设n⃗ =(x,y ，z)是平面ACD 1的一个法向量， 则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3y +3z =0，令x =1，得n ⃗ =(1,−√3,√3)， 平面AA 1B 1的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√31×√7=√217． ∴平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值为√217．解析：(1)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量能求出AB 的长，并证明AD 1⊥B 1D .(2)求出平面ACD 1的一个法向量和平面AA 1B 1的法向量，利用向量法能求出平面AA 1B 1与平面ACD 1所成角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆方程为x 24+y 2=1，可知：a =2，b =1，c =√3，∴F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3−x,−y)⋅(√3−x,−y)=x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解得：{x =1y =√32,∴P(1,√32)． (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=14−1516=−1116≠0，此时OA ⊥OB 不成立．②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ， 则由已知可得√k 2+1=12，即k 2+1=4m 2．由{y =kx +m x 2+4y 2=4，可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1⋅x 2=4(m 2−1)4k 2+1．要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0， 即5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2．∴k 2+1=0，此方程无实解，此时OA ⊥OB 不成立． 综上，不存在这样的直线l ，使得OA ⊥OB ．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)设P(x,y)，(x,y >0)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−3=−54，又x 24+y 2=1，联立解出即可得出．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).①若l 的斜率不存在时，l ：x =±12，代入椭圆方程得：y 2=1516，容易得出OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，此时OA ⊥OB 不成立． ②若l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，则由已知可得√k 2+1=12.直线方程与椭圆方程联立可得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，要OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1⋅x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=km(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1⋅x 2+m 2=0，把根与系数的关系代入可得5m 2−4k 2−4=0，又k 2+1=4m 2.解出即可判断出结论．21.答案：(1)解：当a =2时，f(x)=lnx −2x 2+2x ，f′(x)=1x −4x +2，∴f′(1)=−1， ∵f(1)=0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y =−x +1； (2)证明：f(1a )=−lna −1a +1(a >0)， 令g(x)=−lnx −1x +1(x >0)，则g′(x)=1−x x 2，∴0<x <1时，g′(x)>0，函数单调递增；x >1时，g′(x)<0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g(x)≤g(1)=0，∴f(1a)≤0；(3)解：由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为1，则f′(1)=0，即1−2a+a=0∴a=1．解析：(1)求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；(2)构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；(3)由题意可知，函数f(x)有且只有1个零点为(1,0)，则f′(1)=0，即可得出结论．本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l的一般方程为√3x−2y+24=0，直线l的极坐标方程为，曲线C1的标准方程为x2+(y−2)2=4，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)将θ=π3分别代入和ρ=4sinθ得ρA=16√3，ρB=2√3，所以|AB|=|ρA−ρB|=|16√3−2√3|=14√3．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，是中档题．(1)分别化直线与圆的参数方程为普通方程，进一步化为极坐标方程；(2)把曲线θ=π3分别代入直线l和曲线C1的极坐标方程，求出A，B的极径，得|AB|=|ρA−ρB|= |16√3−2√3|=14√3．23.答案：解：设a+2b=t，则a=t−2b，因为a>0，b>0，12a+b +1b+1=1，所以12(t−2b)+b +1b+1=1，即12t−3b +1b+1=1，所以12t−3b =1−1b+1=bb+1.从而2t−3b=b+1b =1+1b，即2t=3b+1b +1⩾2√3b×1b+1=2√3+1，当且仅当b=√33时取等号，所以t⩾2√3+12.故a+2b的最小值为2√3+12．解析：本题主要考查了利用基本不等式求最值，为中档题．设a+2b=t，则a=t−2b，代入12a+b +1b+1=1，得到2t=3b+1b+1，利用基本不等式进行求解即可．。
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案
合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。
2020年安徽合肥市高三理科数学上册一模理数试题卷及答案
又∵sin B 0 ，∴cos B 2. 2源自∵B是三角形的内角，
∴B
3 4
.
………………………………5 分
(2) 在ABM 中， BM 1, AM
5,
B
3 4
,
AB
c
，
由余弦定理得 AM 2 c2 BM 2 2c BM cos B ，∴c2 2c 4 0
P
C32
2 5
2
1 5
C32
1 5
2
2 5
18 125
.
……………………………5 分
(2) X 可能取值为 0，1，2，3.
则PX
0
C30
3 3 5
27 125
，PX
1
C31
2 3 2 5 5
6 5
.
……………………………12 分
或解：
数学试题(理科) 第 1 页（共 4 页）
∵随机变量 X 服从 X ∼
B
3 ，52
，
∴ EX
np
3
2 5
6 5
.
……………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
(1)连结 AC1 .
∵ AA1 AC ，四边形 AA1C1C 为菱形，∴ A1C AC1 .
设平面 ABB1 的法向量为n x
，y
，z
，则n AB，n
2020年合肥市一模数学(理科)试题及答案
合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.-2 14.3π或23π 15.72 ，164n π-(第一空2分，第二空3分)三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=， ∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，∴()sin 10B B ⋅=，又∵sin 0B ≠，∴cos 2B =. ∵B 是三角形的内角， ∴34B π=. ………………………………5分 (2) 在ABM ∆中，31,,4BM AM B AB c π====， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，∴240c -=∵0c >,∴c =∵在ABC ∆中，2a =，34B π=, ∴ABC ∆的面积1sin 12S ac B ==. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，这两种类型都有学校选的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………………5分 (2)X 可能取值为0，1，2，3.则()30332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X ∴01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分 或解：题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B∵随机变量X 服从23 5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∼，， ∴26355EX np ==⨯=. ……………………………12分 19.(本小题满分12分)(1)连结1AC .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，∴11A C AC ⊥.∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =， BC ⊂平面ABC ，,BC AC ⊥∴BC ⊥平面11AA C C .又∵11//BC B C ，∴11B C ⊥平面11AA C C ，∴111B C A C ⊥.∵1111AC B C C = ，∴1A C ⊥平面11AB C ，而1AB ⊂平面11AB C ，∴1A C ⊥1AB . …………………………5分(2)取11A C 中点M ，连结CM .∵1AA AC =，四边形11AA C C 为菱形，160A AC ∠= ，∴11CM A C ⊥，CM AC ⊥. 又∵CM BC ⊥，∴以C 为原点，CA CB CM ，，为正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设1CB =，22AC CB ==，1AA AC =，160A AC ∠= ，∴C (0，0，0)，1A)，A (2，0，0)，B (0，1，0)，1B). 由(1)知，平面11C AB的一个法向量为(110CA = ，.设平面1ABB 的法向量为()n x y z = ，，，则1 n AB n AB ⊥⊥ ，，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ . ∵()210AB =- ，，，(131AB =-，∴2030x y x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 令1x =，得2y z ==，12n ⎛= ⎝ ，.∴111cos ,4CA n CA n CA n ⋅<>===⋅ ， ∴二面角11C AB B --的余弦值为分 20.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为c .2知，b c a ==，. 设圆C '的半径为r，则r ab =，2=，解得b =，∴a =，∴椭圆C 的方程为22163x y +=.……………………………5分 (2)∵M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥.设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，得12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 设()11OM x y = ，，()22OP x y = ，， ∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+ ∴22220m k --=，2222m k =+∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切. 当直线PM 的斜率不存在时，设00(,),M x y 则00(,)N x y -，由条件可知00(,)P x y -, 且2200x y =，又2200163x y +=, ∴202x =， ∴'PM C 与相切 . 同理可得，直线PN 与圆C '也相切.∴直线PM 、PN 与圆C '相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分)(1)由()210x x f x e-==，得1x =±，∴函数的零点01x =±. ()221xx x f x e --'=，()12f e '-=，()10f -=. 曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()21y e x =+.()21f e'=-，()10f =， ∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()21y x e=--.………………………5分 (2)()221x x x f x e --'=.当(() 11x ∈-∞+∞ ，时，()0f x '>；当(()110x f x '∈<时，. ∴()f x的单调递增区间为(() 11-∞+∞，，，单调递减区间为(11. 又当1x <-或1x >时，()0f x <，当11x -<<时，()0f x >.下面证明：当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 2(1)() (11)e x f x x +>-<< 212(1)0x x e x e-⇔++> 110 (11).2x x e x +-⇔+>-<< 易知，11()2x x g x e +-=+在[1,1]x ∈-上单调递增，而(1)0,g -= ∴()0(1,1)g x x >∀∈-对恒成立，即当()11x ∈-，时，()()21e x f x +>. 由()21y e x y m⎧=+⎪⎨=⎪⎩得12m x e =-.记112m x e '=-. 不妨设12x x <，则12111x x -<<<<， ∴121221212m x x x x x x x e ⎛⎫''-<-=-=-- ⎪⎝⎭.要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，∴只要证2112122m x m e e ⎛⎫⎛⎫--≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证21x m ≤-. 又∵2221x x m e -=，只要证222211x x x e -≤-，即()()()222110x x e x -⋅-+≤.∵()211x ∈，即证()2210x e x -+≥. 令()()()11x x x e x x e ϕϕ'=-+=-，.当()10x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为单调递减函数；当()01x ∈，时，()0x ϕ'>，()x ϕ为单调递增函数. ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()2210x e x -+≥， ∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭. …………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，∴2246x y x y +=+， 即曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=. …………………………5分(2)把直线32:12x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线C得22121322⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.∵(2320∆=+>，设12t t ，为方程的两个实数根，则12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，又∵点A （3，1）在直线l 上， ∴1212AM AN t t t t +=+=-===.…………………………10分23.(本小题满分10分) 解：(1)∵()2f x x m x =--+，∴()220f x x m x -=---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥，解得28m +=，即6m =. …………………………5分(2) ∵6m =，∴212a b c ++=，又∵a > 0，b > 0，c > 3，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-= ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1223a b c +=+=-，结合212a b c ++=解得3a =，1b =，7c =时，等号成立. ∴()()()113a b c ++-的最大值为32. …………………………10分。
安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题含答案
2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i i (1)2+=z ，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由题21iz i=+,利用除法法则整理为a bi +的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可【详解】由题,()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-,所以z 在复平面内对应的点为()1,1,故选:A【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用2.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若333,3a S ==，则12S =（）A.144B.120C.100D.80【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前n 项和公式计算即可.【详解】因为3233S a ==，所以21a =，又33a =，所以322d a a =-=，则121a a d =-=-，所以()12121112121202S ⨯=⨯-+⨯=，故选：B .3.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 1.5)P X >等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=,所以(1.52)0.36P X ≤<=，()1( 1.5)10.3620.142P X <=-⨯=，所以( 1.5)10.140.86P X >=-=，故选:D .4.双曲线222:1y C x b-=的焦距为4，则C 的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.15y x =±D.3y x =±【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程以及焦距可得b =，可得渐近线方程.【详解】由焦距为4可得24c =，即2c =，所以2214c b =+=，可得23b =，即b =；则C 的渐近线方程为by x a=±=.故选：B5.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】给()2cos 2b C a c =-两边同时乘以a ，结合余弦定理求解即可.【详解】因为()2cos 2b C a c =-，两边同时乘以a 得：()22cos 2ab C a c =-，由余弦定理可得2222cos a b c ab C +-=，则()22222a b c ac +-=-，所以有2222a c b a c +-=，又2222cos a c b ac B =+-，所以22cos a c ac B =，又因为π3B =，所以1a =.故选：A6.已知四面体ABCD 的各顶点都在同一球面上，若AB BC CD DA BD =====ABD ⊥平面BCD ，则该球的表面积是（）A.100πB.40πC.20πD.16π【答案】C 【解析】【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可.【详解】过三角形ABD 的中心E 作平面ABD 的垂线，过三角形BCD 的中心F 作平面BCD 的垂线，两垂线交于点O ，连接OD ，依据题中条件可知，O 为四面体ABCD 的外接球球心，因为AB BC CD DA BD =====，所以2,1DF OF ==,则OD ==,则该球的表面积为24π20π=，故选：C .7.已知直线:10l x ay --=与22:2440C x y x y +-+-= 交于,A B 两点，设弦AB 的中点为,M O 为坐标原点，则OM 的取值范围为（）A.3⎡+⎣B.1⎤-+⎦C.22⎡-+⎣D.1⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111x y -++=，从而求出动点M 的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM 的取值范围.【详解】22:2440C x y x y +-+-= 即()()22129x y -++=，则圆心为()1,2C -，半径3r =，直线:10l x ay --=，令100x y -=⎧⎨-=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点()1,0，又()()22110249-++=<，所以点()1,0在圆内，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，由22102440x ay x y x y --=⎧⎨+-+-=⎩，消去x 整理得()221450a y y ++-=，显然0∆>，则12241y y a +=-+，则()21212224221a a x x a y y a -++=++=+，所以21222121x x a a a +-+=+，122221y y a +=-+，则212022121x x a a x a +-+==+，1202221y y y a +==-+则()()2222200222111111a a x y a a ⎛⎫--⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，又直线:10l x ay --=的斜率不为0，所以M 不过点()1,0，所以动点M 的轨迹方程为()()22111x y -++=（除点()1,0外），圆()()22111x y -++=的圆心为()1,1N -，半径11r =，又ON ==，所以11ON r OM ON r -≤≤+，11OM -≤≤，即OM 的取值范围为1⎤-+⎦.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M 的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON ，最后根据圆的几何性质计算可得.8.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==，记()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 满足的表达式以及()1e f =，利用赋值法即可计算出,,a b c 的大小.【详解】由()()()()(),1e x y f x y xyf x f y f ++==可得，令12x y ==，代入可得()21111=e 222f f ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，即12a f ⎛⎫==± ⎪⎝⎭，令1x y ==，代入可得()()22221e f f ==，即()2e22b f ==，令1,2x y ==，代入可得()()()23e 32122e e 23f f f ==⨯=，即()3e 33c f ==；由e 2.71828≈⋅⋅⋅可得23e e 23±<<，显然可得a b c <<.故选：A【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件M 表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5D.事件,M N 互为对立事件【答案】BD 【解析】【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，甲机构测评分数的平均分9098909295935x ++++==甲，乙机构测评分数的平均分9395929194935x ++++==乙，所以选项A 错误，对于选项B ，甲机构测评分数的方差2222211[(9093)(9893)(9093)(9293)(9593)]9.65D =-+-+-+-+-=，2222221[(9393)(9593)(9293)(9193)(9493)]25D =-+-+-+-+-=，所以选项B 正确，对于选项C ，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，又50.25 1.25i np ==⨯=，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C 错误，对于选项D ，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件,M N 互为对立事件，所以选项D 正确，故选：BD.10.函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD 【解析】【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2220mf x x x=+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()20f x x '=>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.11.已知椭圆22:142x y C +=的左､右顶点分别为,A B ，左焦点为,F M 为C 上异于,A B 的一点，过点M 且垂直于x 轴的直线与C 的另一个交点为N ，交x 轴于点T ，则（）A.存在点M ，使120AMB ∠=B.2TA TB TM TN ⋅=⋅C.FM FN ⋅ 的最小值为43-D.FMN 周长的最大值为8【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，判断ACB ∠与2π3的大小即tan a OEB b ∠===即可；对于B ,设(),M m n ，(),0T m ，(),N m n -，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C ，求出FM FN ⋅，利用二次函数求最值即可；对于D ，利用椭圆的定义，转化求()8MF MF MN '-+'-的最大值，即可.【详解】对于A ,设椭圆的上顶点为E ，则直角三角形BOE 中，tana OEBb ∠===，则2π3AEB ∠<，故A 错误；对于B ，设(),M m n ，则(),0T m ，(),N m n -，且22142m n +=，即2242m n -=，又()()2,0,2,0A B -,则()()()()2,02,022TA TB m m m m ⋅=--⋅-=-+- ()2242m n =--=-，又222TM TN n ⋅=- ，故2TA TB TM TN ⋅=⋅，则B 正确；对于C ，()F ，()()FM FN m n m n ⋅=+⋅+-((222242m m n m -=+-=+-232m =+，22m -<<，则当3m =-时，FM FN ⋅ 取最小值为43-，故C 正确；对于D ，设椭圆的右焦点为F ',FMN 的周长为：44MF NF MN MF NF MN ++=-+-+''()88MF MF MN =-+-'≤',当且仅当,,M N F '三点共线时，等号成立，故D 正确，故选：BCD .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是__________.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .13.已知函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，则t 的最大值为__________.【答案】π2【解析】【分析】根据条件得到π4ϕ=-，从而得到()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π34x t -=，再利用2sin y t =的图象与性质，即可求出结果.【详解】因为函数()()2sin 3(π0)f x x ϕϕ=+-<<的一条对称轴为π4x =，所以ππ3π(Z)42k k ϕ⨯+=+∈，得到ππ(Z)4k k ϕ=-+∈，又π0ϕ-<<，所以π4ϕ=-，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又当[]0,x t ∈时，()f x 的最小值为，令πππ3,3444x t t ⎡⎤-=∈--⎢⎥⎣⎦，则2sin y t =，由2sin y t =的图象与性质知，π5π344t -≤，得到π2t ≤，故答案为：π2.14.已知点()()1122,,,A x y B x y ，定义AB d =为,A B 的“镜像距离”.若点,A B 在曲线()ln 2y x a =-+上，且AB d 的最小值为2，则实数a 的值为__________.【答案】11+【解析】【分析】依题意求出()ln 2y x a =-+的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.【详解】由函数()ln 2y x a =-+可得()2ln y x a -=-，即2e y x a -=+；所以()ln 2y x a =-+的反函数为2e x y a -=+；由点()22,B x y 在曲线()ln 2y x a =-+上可知点()122,B y x 在其反函数2e x y a -=+上，所以AB d =相当于2e x y a -=+上的点()122,B y x 到曲线()ln 2y x a =-+上点()11,A x y 的距离，即1AB AB d d ==，利用反函数性质可得2e x y a -=+与()ln 2y x a =-+关于y x =对称，所以可得当1AB 与y x =垂直时，1AB AB d d =取得最小值为2，因此1,A B 两点到y x =的距离都为1，过点1,A B 的切线平行于直线y x =，斜率为1，即11y x a'==-，可得()1,ln 122x a y a a =+=+-+=，即()1,2A a +；A 点到y x =的距离1d ==，解得1a =；当1a =()(ln 2ln 12y x a x =-+=-++与y x =相交，不合题意；因此1a =.故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()e x ax b f x +=，当1x =时，()f x 有极大值1e.（1）求实数,a b 的值；（2）当0x >时，证明：()1x f x x <+.【答案】（1）1,0a b ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中条件列出方程组，解出验证即可；（2）变形不等式，构造函数利用函数单调性证明即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为(),∞∞-+，且()ex a b ax f x -='-，因为1x =时，()f x 有极大值1e，所以()()11e 10f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，解得1,0a b ==，经检验，当1,0a b ==时，()f x 在1x =时有极大值1e ，所以1,0a b ==；【小问2详解】由（1）知，()e xx f x =，当0x >时，要证()1x f x x <+，即证e 1x x x x <+，即证：e 1x x >+.设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，因为0x >，所以()e 10xg x ='->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10x x -->，即e 1x x >+，故当0x >时，()1x f x x<+.16.如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，N 为1C E 上一点.（1）证明：BN //平面1A DC ；（2）若11,3AB AC C E C N == ，求直线DN 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）连接1,,BE BC DE ,则有平面1BEC //平面1A DC ，可得BN //平面1A DC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.【小问1详解】连接1,,BE BC DE .因为AB //11A B ，且11AB A B =，又,D E 分别是棱11,AB A B 的中点，所以BD //1A E ，且1BD A E =，所以四边形1BDA E 为平行四边形，所以1A D //EB ，又1A D ⊂平面1,A DC EB ⊄平面1A DC ，所以EB //平面1A DC ，因为DE //1BB //1CC ，且11DE BB CC ==，所以四边形1DCC E 为平行四边形，所以1C E //CD ，又CD ⊂平面11,A DC C E ⊄平面1A DC ，所以1C E //平面1A DC ，因为11,,C E EB E C E EB ⋂=⊂平面1BEC ，所以平面1BEC //平面1A DC ，因为BN ⊂平面1BEC ，所以BN //平面1A DC .【小问2详解】四边形1111,ACC A BCC B 均为正方形，所以11,CC AC CC BC ⊥⊥.所以1CC ⊥平面ABC .因为DE //1CC ，所以DE ⊥平面ABC .从而,DE DB DE DC ⊥⊥.又AB AC =，所以ABC 为等边三角形.因为D 是棱AB 的中点，所以CD DB ⊥.即,,DB DC DE 两两垂直.以D 为原点，,,DB DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设AB =则()(()((110,0,0,0,0,,0,3,0,0,3,,2D E C C A ，所以()(10,3,0,DC DA == .设(),,n x y z =为平面1A DC 的法向量，则100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取()2,0,1n = .因为113C E C N =，所以((0,2,,0,2,N DN = .设直线DN 与平面1A DC 所成角为θ，则||sin |cos ,|10||||n DN n DN n DN θ⋅=〈〉===⋅ ，即直线DN 与平面1A DC所成角正弦值为10.17.2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.【答案】（1）分布列见解析，()56E X =（2）0.4【解析】【分析】（1）根据题意结合超几何分布求分布列和期望；（2）根据题意结合全概率公式运算求解.【小问1详解】由题意知：X 所有可能取值为0,1,2，则有：()0257212C C 70C 22P X ===，()1157212C C 351C 66P X ===，()2057212C C 52C 33P X ===，可知X 的分布列为：X012P 7223566533所以X 的数学期望为：()735550122266336E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】记事件A 为“游客乙乘坐观光车游园”，事件B 为“游客乙骑自行车游园”，事件C 为“游客乙步行游园”，事件M 为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，由题意可知：()()()0.2,0.4,0.4P A P B P C ===，()()()0.8,0.4,0.2P MA P MB P MC ===∣∣∣，由全概率公式可得()()()()()()()0.4P M P A P MA PB P M B PC P M C =++=∣∣∣，所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.4.18.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为()0,1F ，过点F 的直线l 与C 交于,A B 两点，过,A B 作C 的切线12,l l ，交于点M ，且12,l l 与x 轴分别交于点,D E .（1）求证：DE MF =；（2）设点P 是C 上异于,A B 的一点，P 到直线12,,l l l 的距离分别为12,,d d d ，求122d d d的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线12,l l 的表达式，得出,,D E M 三点的坐标，联立直线l 与抛物线方程根据韦达定理得出DE MF =；（2）利用点到直线距离公式可求得122122d d d =≥，可求出122d d d 的最小值.【小问1详解】因为抛物线C 的焦点为()0,1F ，所以2p =，即C 的方程为：24x y =，如下图所示：设点()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知直线l 的斜率一定存在，设:1l y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-.由24x y =，得211,42y x y x '==，所以()1111:2x l y y x x -=-，即21124x x y x =-.令0y =，得12x x =，即1,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理2222:24x l x y x =-，且2,02x E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1212DE x x =-==.由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得21x k y =⎧⎨=-⎩，即()2,1M k -.所以MF ==故DE MF =.【小问2详解】设点()00,P x y ，结合（1）知()1111:2x l y y x x -=-，即2111:240l x x y x --=因为2211004,4x y x y ==，所以21d -==.同理可得22d -=，所以()2222221244kx x x x x x x x d d ⎡⎤--+-++--==又d==所以()()22212222004416112244kx x kd dd kx x--++==-+.当且仅当0k=时，等号成立；即直线l斜率为0时，122d dd取最小值12；19.“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意*n∈N，定义“q-数”1()1nqn q q-=+++利用“q-数”可定义“q-阶乘”()()!(1)(2)(),0! 1.q q q q qn n==且和“q-组合数”，即对任意*,,k n k n∈∈≤N N，()()()!!!qq qqnnk k n k⎛⎫=⎪-⎝⎭（1）计算：253⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：对于任意*,,1k n k n∈+≤N，111kq q qn n nqk k k--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）证明：对于任意*,,,1k m n k n∈∈+≤N N，1.11mn k iiq q qn m n n iqk k k-+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑【答案】（1）155（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题中定义，直接进行计算即可；（2）根据题中定义计算出等式左右两边的值，化简后即可证明；（3）根据题中的定义化简题中的条件，得到111n kq q qn n nqk k k---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用此等式，等到1m+个等式，相加即可.【小问1详解】由定义可知，()()()[][]2222222222222255!(1)(2)(3)(4)(5)33!2!(1)(2)(3)(1)(2)⎛⎫==⎪⎝⎭()()()232342222122212222(4)(5)155(1)(2)112+++++++===⨯+.【小问2详解】因为()()()()()()!()1!!!!!q q q q q q qq n n n n k k n k k n k ⋅-⎛⎫== ⎪--⎝⎭，()()()()()()1!1!1111!!!1!k q q k q q q q q q n q n n n q k k k n k k n k -⋅---⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭()()()1!()()!!q k q q q qn k q n k k n k -⎡⎤=+⋅-⎣⎦-.又()11()()11k k k n k q q k q n k q q q q q ---+⋅-=+++++++ 11()n q q q n -=+++= ,所以111k q q qn n n q k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】由定义得：对任意*N,N ,,q qn n k n k n k n k ⎛⎫⎛⎫∈∈≤= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.结合（2）可知111n k q q q q n n n n q k n k n k n k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n k q qn n q k k ---⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也即111n k q q qn n n q k k k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111n m k q q q n m n m n m q k k k +-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111n m k q q qn m n m n m q k k k +--++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……111n k q q q n n n q k k k -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.上述1m +个等式两边分别相加得：0111m n k i i q q qn m n n i q k k k -+=+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用题中的定义进行运算.。
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35
合计
k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
19(本小题满分 12 分)
四棱锥 E ABCD 中, AD / / BC, AD AE 2BC 2AB 2, AB AD ,平面 EAD 平面
ABCD ,点 F 为 DE 的中点. (Ⅰ)求证: CF / / 平面 EAB ; (Ⅱ)若 CF AD ,求四棱锥 E-ABCD 的体积.
(A) (7+ 2 )
22
(C)
7
(9)若双曲线 C1 :
x2 2
y2 8
1与 C2
(B) (8+ 2 )
(D) (l+ 2 ) +6
渐近线相同，且双曲线 C2 的焦距为 4 5 ，则 b=
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(10)函数 y= sin( x ) 在 x=2 处取得最大值，则正数∞的最小值为 6
:
x2 a2
y2 b2
1(a
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
已知函数 f (x) ex x ln x, g(x) ex tx2 x, (t R) ,其中 e 是自然对数的底数. (Ⅰ)求函数 f (x) 在点（1，f（1））处切线方程; (Ⅱ)若 g(x) f (x) 对任意 x (0, ) 恒成立，求 t 的取值范围.
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
男生
女生
合计
愿意选修英语口语课程有效
25
(Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;
(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?
附: K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
不愿意选修英语口语课程
,其中 n a b c d
合肥市 2016 年高三第一次教学质量检测
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
(1)已知集合 A={0,l,3},B={x|x2-3x=0}，则 A B=
P(K 2 k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
(B). 1 2
(A) 必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)已知直线 x-my -1-m =0 与圆 x2+y2 =1 相切，则实数 m 的值为
(A)l 或 0 (B)0 (C) -1 或 0 (D)l 或-1
(6)执行如图所示的程序框图，如果输出的七的值为 3，则
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S3= -15，且 a1+l，a2+1，a4+1 成等比数列，
公比不为 1．
(I)求数列 {an } 的通项公式； 1
(Ⅱ)设 bn= Sn ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
(A)． {0) (B)．){0,1} (C)．{0,3} (D)．{0,1,3}
(2)已知 z=
2i
1 2i
（i 为虚数单位），则复数 z=
(A) -1 (B)l (C)i (D) -i