2016年贵州大学数学分析考研真题
2016考研数学一真题及解析答案
x
上服从均匀分布，令
（I）写出 ( X ,Y ) 的概率密度； （II）问U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （III）求 Z U X 的分布函数 F (z) .
3x2
（23）设总体 X 的概率密度为 f x,
3 ,0 x ，其中 0， 0,
其他 X1, X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令T max X1 , X 2 , X 3 。
（3）若 y 1 x2 2 1 x2 , y 1 x2 2 两个解，则 q x （ ）
1 x2 是微分方程 y p x y q x
的
A 3x 1 x2
B 3x 1 x2
C
1
x x2
D
x 1 x2
x, x 0
（4）已知函数 f x
1 n
,
n
1
1
x
1 n , n 1,2,
，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点 （B） x 0 是 f x 的第二类间断点
2
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
x t ln 1 t sint dt
（9） lim 0 x0
1
cos x2
__________
（10）向量场 A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度 rotA _________
（ 11） 设 函 数 f u,v 可 微 ， z z x, y 由 方 程 x 1 z y 2 x2 f x z, y 确 定 ， 则 dz 0,1 _________
0 11 2 30 000
（I）求 A
2016年考研数学一试题及解答
B
有唯一解,
X
=
1 0
3a
a a a
+ − +
2 4 2
.
−1 0
21.（本题满分 11 分）
0 −1 1
已知矩阵 A = 2 −3 0 .
000
( I ) 求 A99;
( II ) 设 3 阶矩阵 B = (α1, α2, α3) 满足 B2 = BA, 记 B100 = (β1, β2, β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.
002
0 00
−2 + 299 1 − 299
A99 = (P ΛP −1)99 = P Λ99P −1 = −2 + 2100 1 − 2100
2 − 298 2 − 299 .
0
0
0
( II ) 解 B2 = BA ⇒ B100 = BA99, 即
β1 = (−2 + 299) α1 + (−2 + 2100) α2,
˚Σ (
)
=
∂ (x2 + 1) − ∂ (2y) + ∂ (3z) dV
˚Ω ∂x
∂y
∂z
= (2x + 1) dV ,
注意到 dV
Ω
= (1 − x)2 dx, 于是 I
ˆ =
1
(2x + 1)(1 − x)2 dx =
1 .
0
2
19.（本题满分 10 分）
已知函数
f (x)
可导,
且
f (0)
=
( ξn−1介于xn, xn−1之间 ) ( ξn−2介于xn−1, xn−2之间 )
2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
高数1-2(15-16)(A)答案
4、解：∵，
而 ， ∴
5、解：原方程化为：
方程是一阶线性方程，其通解为 ，
由初始条件，解得 ∴ 特解为
6、解：原方程对应的齐次方程为: ，
特征方程为: ， 特征根为: ，
齐次方程的通解为: . 由于是特征方程的二重根，
设特解 代入所给方程化简, 得，
求得一个特解为: ， 原方程通解为:． 7、解：令 则. 设直线段与围成区域. 由格林公式得：
8、解：设曲面所围成的空间区域为， 由高斯公式得：
＝ =
贵州大学2015-2016学年第一学期考试试卷A卷 高数1-2答案
1、 选择题 1、B 2、D 3、 A 4、C
2Байду номын сангаас 填空题
1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、
二、解答题 1、解：（1）
① 函数在处取得极值，所以. 解得 （2）将代入①式，并令，得驻点
在点处， ，又，所以函数在点处有极小值 在点处，，所以点不是极值点.
2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
贵州财经大学651数学分析+817高等代数2016到2018考研真题
）
Dk
A. I1 0 C. I3 0
B. I2 0 D. I4 0
6、设函数 f ( x, y) 连续
，则二次积分
dx
1 f ( x, y) dy 等于
sin x
2
( ).
A.
1
dy
f ( x, y)dx
0
+arcsin y
B.
1
dy
f ( x, y)dx
0
−arcsin y
C. y = x + cos 1
x
D. y = x2 + cos 1
x
2、
若广义积分
+ 1
dx xk
收敛，则
（
）.
A． k ＞1
B． k ≥1
C． k ≤1
D． k ＜1
3、 函数 f (x, y) 在 (x, y) = (x0, y0 ) 处的偏导数存在是在该处可
微的（ ）条件.
A.充分
B. 必要
贵州财经大学 2016 年硕士研究生入学考试 《数学分析》试题 A 卷
一、选择题(本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.在每
小题给出的四个答案中只有一个是符合要求的，要求把
答案填写在答题纸上)
1、 下列曲线中有渐近线的是 ( ).
A. y = x + cos x
B. y = x2 + cos x
( ) C.
1
+arcsin y
dy
0
f x, y dx
2
D.
( ) 1
−arcsin y
dy
0
f x, 小题 5 分，共 30 分. 要
2016年考研数学一真题及答案解析
( A) 单叶双曲面
(B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 柱面
（7）设随机变量 X 为 X ~ N(, 2 )( 0), 记 p P{X 2}. 则（ ）
( A) p 随着 增加而增加
(B) p 随着 增加而增加
(C) p 随着 增加而减少
(D) p 随着 增加而减少
（8）
随机试验
E
有三种两两不相容的结果
A1,
A2
,
A3,
且三种结果发生的概率均为
1 3
，将试验
E
独
立重复做两次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y 表示两次试验中结果 A2 发生的次数，则
X Y 的相关系数为（ ）
A 1 B 1 C 1
（19）已知函数
f
x 可导，且
f
0 1,0
f
x
1 2
，设数列 xn 满足 xn1
f
xn n 1, 2,
，
证明（1）级数
xn1 xn
绝对收敛；（2） lim n
xn
存在且 0
lim
n
xn
2
。
n1
1 1 1 2 2
2
3
3
D 1
2
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
x t ln 1 t sin t dt
（9） lim 0 x0
1 cos x2
_______ .
( ) ( ) （10）向量场 A x, y, z = x + y + z i + xyj+ zk ，旋度 rotA _______
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
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贵州大学
2016年硕士生入学考试式题
考试科目：数学分析
注：题大多数为靠回忆写的，个别题可能与真题不一样，但类型相同。
一、（共90分）
1、每小题6分，判断正误，并说明理由）
（1）、设0()lim ()
x x f x g x →存在，0lim ()x x g x →存在，则存在。
（2）、设有数列{}n a 满足1lim()0n n n a a +→∞-=，则极限lim 0n n a →∞
=。
（3）、若()f x 在开区间(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续。
（4）、若()f x 在[,]a b 上严格单调递增，则()f x 在(,)a b 内必有()0f x '>
2、求极限dt t dt t x
x x ⎰⎰+→tan 0
sin 00sin tan lim 。
（6分） 3、设)(00cos sin 1)(2x f x x x x xe x f x '>≤⎪⎩⎪⎨⎧--=-，求。
（6） 4、设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数，且12,,,n x x x (,)a b ∈. 证明: 存在(,)a b ξ∈，使得211()(21)()n
k
k f k f x n ξ==-∑.（6分） 5、证明：当x x x x 3sin 2tan 20>+<
<时，π。
（6分） 6、求数列{}n n 中的最大项。
（6分）
7、求dx x ⎰
2cos 。
（6分） 8、设()()dy y x f dx dy y x f dx I x x x x
⎰⎰⎰⎰---+-+=22422204220
2,,，请改变I 的积分次序。
（7分） 9sin cos sin sin cos ,1,;(2),x R y R z R R z z x y x y
θφθφθθθ===∂∂∂∂∂∂∂∂、设，，为常数，
求（）。
(8分)
10、 计算积分1
20ln(1)(1)
x dx x x ++⎰ (15分) 二．（每小题12分，共60分）
1、 求
,)1002cos 2()2sin (dy y e dx y y e x l
x -+-⎰其中l 为单位圆从点（1，0）到点（-1，0）的上半圆周和从点（-1，0）到点（1，0）的直线段组成的闭路。
2、 设)(x f 在[a,b]连续，在（a,b ）有二阶导数。
连接(a, )(a f )和(b, )(b f )的直线段交曲线
)(x f y =于(c, )(c f ), a<c<b 。
证明：在（a,b ）内至少存在一点0)(,=''ξξf 使。
3、 设),2,1(,1,11212 ===⎰+-n dx x a n a n n n n 。
判断级数n n n a 11)
1(-∞=∑-的敛散性，并证明下列极限存在：)ln 1211(lim n n
n -+++
∞→ 。
4、 设)(x f 是[0,1]上的连续函数，且0)1(=f ，证明函数序列
),2,1()
()( ==n x f x x g n n
在[0,1]上一致收敛。
5、 设a 是常数，已知方程2222220z z z x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂（原自变量,x y ）在自变量变换,u x y x ay ν=+=+作用下，可化为关于,u ν的方程220z u
∂=∂，证明1a =-（假定所有一阶二阶偏导都连续）。