第三章 框架内力计算
框架设计内力计算与组合
C
四 框架内力组合 3 梁柱内力调整
强剪弱弯
强剪弱弯、强柱弱梁、强结点弱构件
组合后的调整（有地震组合） 梁剪力调整（有地震组合）
l (M b M br ) V RE b VGb ln
强剪弱弯 强柱弱梁
柱弯矩调整（有地震组合） 柱剪力调整
M
C
C M b
t b V C ( M C MC ) / Hn
强剪弱弯——梁剪力调整
受弯 0.75
受剪 0.85
l (M b M br ) V RE b VGb l n
262 .76 350 .347 0.75
29.703kN/m
292 .59 390 .12 0.75
262 .76 350 .347 0.75
B 5.4m
29.703kN/m
195 .56 260 .747 0.75
A
1.2 260 .747
A B 5.4m
29.703kN/m
1.2 350 .347
左震
135 .799
135 .799
A
B 5.4m
80 .198
80 .198
梁柱
1.2SGk 0.91.4SQK 1.4SWK 1.35SGk 1.4 0.7SQK
1.2SGk 1.4SQk
四 框架内力组合
2 梁柱内力组合
有地震作用效应的组合 rRES≤R
受弯：0.75
受剪： 0.85
SGK
SQK
SEK
屋面荷载取雪荷载 对多层结构，风荷载不参与组合
A
B
M
C
C M b
3框架内力与位移计算4(D值法)
作业题:某三层两跨框架，跨度及层高、尺寸如图，柱截面积尺寸300×350，左跨梁截面为250×500，
右跨梁截面为250×400，现浇梁柱及楼面，采用C30钢筋混凝土（Ec=3.0×104MPa），试用D值法求其 内力（M图）。 0.8kN 3.60m
J
1.2kN
K
L
1.5kN 4.50m
D A
7.80m
第三章 框架结构内力与位移计算
----D值法
水平荷载作用下的改进反弯点法——D值法
当框架的高度较大、层数较多时，柱子的截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线刚度之比往往要小于3， 反弯点法不再适用。如果仍采用类似反弯点的方法进行框架内力计算，就必须对反弯点法进行改进— —改进反弯点（D值）法。 日本武藤清教授在分析多层框架的受力特点和变形特点的基础上作了一些假定，经过力学分析，提出了 用修正柱的抗侧移刚度和调整反弯点高度的方法计算水平荷载下框架的内力。修正后的柱侧移刚度用D表 示，故称为D值法。
反弯点高度比
图给出了柱反弯 点位置和根据柱 剪力及反弯点位 置求出的柱端弯 矩、根据结点平 衡求出的梁端弯 矩。根据梁端弯 矩可进一步求出 梁剪力（图中未 给出）。
作业练习
1．用反弯点法和D值法计算的刚度系数d和D值物理意义是什么？什么区别？为什么？二者在基本假定 上有什么不同？分别在什么情况下使用？ 2．影响水平荷载下柱反弯点位置的主要因素是什么？ 框架顶层和底层柱反弯点位置与中部各层反弯点位 置相比,有什么变化？ 3．D值法的计算步骤是什么？边柱和中柱，上层柱和底层柱D值的计算公式有是区别？ 4．请归纳一下D值法与反弯点法都作了哪些假定？有哪些是相同的？为什么说二者都是近似方法？D值法 比反弯点法有哪些改进？
E
多层框架结构第三节框架结构内力与侧移的近似计算方法
3、修正后的柱反弯点高度 各柱反弯点的位置取决于该柱上下端转角的比值。 若柱上下端转角相同，反弯点则在柱高中点； 若柱上下端转角不同，则反弯点偏向转角大的一端，即偏向约 束刚度较小的一端。 影响柱两端转角大小的因素：侧向外荷载形式；梁柱线刚度比； 结构总层数及该柱所在层数；柱上下横梁线刚度比；上下层层 高变化。
14. 3 计算方法
图14-11
14. 3 计算方法
14. 3 计算方法
梁固端弯矩 梁柱杆端弯矩（节点不平衡弯矩分配） 梁柱杆 端剪力 柱轴力 最后应将各层框架还原为整体框架
14. 3 计算方法
梁固端弯矩 梁柱杆端弯矩（节点不平衡弯矩分配） 梁柱杆 端剪力 柱轴力 最后应将各层框架还原为整体框架
14. 3 计算方法
二、水平荷载作用下的反弯点法
14. 3 计算方法
二、水平荷载作用下的反弯点法
14. 3 计算方法
基本假定： （1）求各柱剪力时，假定各柱上下端都不发生角位移，即认 为梁的线刚度与柱线刚度之比为无限大（一般要求大于3）； ——即各柱的抗剪刚度只与柱本身有关 （2）确定柱反弯点位置时，假定除底层以外的各层柱的上下 端节点转角均相同，即除底层外，假定各层框架柱的反弯点位 于柱高的中点；对于底层柱，则假定其反弯点距支座2/3柱高 处。——即反弯点位置是定值。
当框架梁线刚度 K=∞, =1—反弯点法和D值法的抗侧移刚度相等
求出D值后则得：
V jk
D jk
m
VFj
D jk
k 1
12i jk
V jk
i jk
m
V h
2 j
Fj m
VFj
i jk
12i jk
h
2 j
水平荷载作用下框架内力的计算——D值法资料讲解
水平荷载作用下框架内力的计算——D值法资料讲解D值法是一种常用于计算框架结构在水平荷载作用下的内力的方法。
下面是对D值法进行详细讲解的资料。
一、D值法的基本概念D值法是一种近似计算框架结构内力的方法，其基本思想是通过估算框架结构在水平荷载作用下的刚度来计算内力。
具体而言，D值法通过假设结构刚度的变化与结构的变形呈线性正比关系，将结构的刚度表示为一个D值，再通过对结构的初始刚度和变形的估计，计算出结构在水平荷载作用下的内力。
二、D值的计算步骤（一）计算结构的初始刚度1.根据结构的几何形状和材料特性，计算出结构在初始状态下的刚度矩阵。
2.对刚度矩阵进行变换，得到初始刚度矩阵。
（二）估算结构的变形1.假设结构受到线性弹性变形的影响。
2.估计结构的位移和转角。
（三）计算D值1.根据估算的位移和转角，计算出结构的变形矩阵。
2.根据初始刚度矩阵和变形矩阵，计算出结构的刚度矩阵。
3.将刚度矩阵转化为D值，即刚度指数。
（四）计算内力1.根据D值和水平荷载的大小，计算出结构的内力。
2.对结构的各个部位进行内力平衡计算，得到各个构件的内力。
三、D值法的优缺点D值法在计算框架结构内力时具有一定的优势和局限性。
（一）优点1.简洁易行：D值法不需要进行繁琐的矩阵计算，计算步骤相对简单。
2.适用范围广：D值法适用于一般的框架结构，包括多层和复杂形状的结构。
3.结果可靠：在合理的假设和估计前提下，D值法可以得到较为准确的内力计算结果。
（二）缺点1.假设过于理想化：D值法假设结构的变形与刚度呈线性正比关系，这在实际情况下不一定成立。
2.忽略非线性效应：D值法无法考虑结构中的非线性效应，如材料的非线性和连接件的滑动、屈曲等。
3.精度受限：由于D值法是一种近似计算方法，其精度相对有限，不适用于对结构内力要求较高的情况。
四、D值法的应用领域D值法在实际工程中被广泛应用，特别是在简化计算和快速评估结构内力的情况下。
1.结构抗震设计：D值法常用于抗震设计中，通过快速计算内力，进行结构的抗震性能评估。
3框架内力与位移计算5(水平位移)
（3-22）
N是水平荷载引起的边柱内力。令水平荷载引起的总力矩为M(z)，则 N=±M(z)/B （c） A为边柱截面面积。假定边柱截面沿z轴呈直线变化，令 n＝A顶/A底 A(z)＝[1－(1－n)z／H] A底 （d） A顶及A底分别为顶层柱及底层柱截面面积。
2 把式(b)、(c)、(d)代人式(a)得 EB2 A底
（d）
2 EB2 A底
N j
N j
Hj
( H j z)M ( z) 1 (1 n) z / H
0
dz
（e）
M(z)与外荷载有关，积分后得到的计算公式如下：
V0 H 3 Fn EB2 A底
式中，V0——基底剪力； Fn——系数。 在不同荷载形式下，V0及Fn不同。V0可根据荷载计算。
作 业 练 习
梁、柱杆件的轴向变形、弯曲变形对框架在水平荷载下的侧移变形有何影响？ 框 架为什么具有剪切型侧向变形曲线？
作业题:某三层两跨框架，跨度及层高、尺寸如图，柱截面积尺寸300×350，左跨梁截面为250×500，
0.8kN 3.60m
右跨梁截面为250×400，现浇梁柱及楼面，采用C30钢筋混凝土（Ec=3.0×104MPa），试求其相对侧移δ、 绝对侧移Δ；并比较和分析ΔM 和ΔN 在Δ中所占比例 。
j层侧移 i 1 n M M 顶点侧移 n i i 1
M i
【例3—4 】 求图所示三跨 12 层框架内杆件弯曲产生的顶点侧移 Δn 及最 大层间侧移 δj，层高 h＝400cm，总高 H＝400×12＝4800cm， 弹性模量 E＝2.0×104MPa。各层梁截面尺寸相同，柱截面 尺寸有四种，7层以上柱断面尺寸减小，内柱、外柱尺寸不 同，详见图中所注。
第三章框架结构的内力和位移计算讲课文档
梁柱线刚度比K——标准反弯点高度比
P
P
1
P
P
y
hh h hh h
第三十五页，共42页。
反弯点
均布荷载
倒三角形荷载
§ 3.4 水平荷载作用下内力近似计算方法——D值法
<b>上下梁刚度变化时的反弯点高度比 修正值
i1i2i3i4
当 1(i3i4)/i(1i2)时，
令
当 i1 i 2 i 3 i 4 ,
§ 3.2 分层法－例题
例题：
第十四页，共42页。
§ 3.2 分层法－力学知识回顾 ➢转动刚度——对转动的抵抗能力。端的转动刚度以S表示
等于杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
➢杆端弯矩 方向 +
第十五页，共42页。
§ 3.2 分层法－力学知识回顾
➢传递系数
➢分配系数
第十六页，共42页。
§ 3.2 分层法－计算过程
底2h/3处 4、计算柱端弯矩
反弯点法总结：
➢ 检验运用反弯点法的条件：梁的线刚度与柱的线刚度比≥3 ➢ 计算各柱的抗侧刚度
➢ 把各层总剪力分配到每个柱
第二十五页，共42页。
§ 3.3 水平荷载作用下内力近似计算方法——反弯点法
➢ 根据各柱分配到的剪力及反弯点位置，计算柱端弯矩
上层柱：上下端弯矩相等 底层柱：
➢ 水平荷载：风力、地震作用
➢ 条件：考虑梁的线刚度与柱的线刚度比不满足≥3条件的情况 （梁柱线刚度比较小，结点转角较大）
➢ 假定： （1）平面结构假定；
（2）忽略柱的轴向变形； （3）D值法考虑了结点转角，假定同层结点转角相等
第二十七页，共42页。
§ 3.4 水平荷载作用下内力近似计算方法——D值法
第三章 静定结构的内力计算
FAy
1 3a 4 FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
静定结构的内力计算
M
B
0
3a 4 FAy 3a M q 3a FP a 0 2 5 1 3a 4 FAy FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
无荷载 平行轴线
Q图
静定结构的内力计算
均布荷载
集中力 发生突变
P
集中力偶
无变化 发生突变
m
斜直线
M图
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
两直线平行 备 注
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用 面剪力无定义 面弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第三章 静定结构的内力计算
第三章
静定结构的内力计算
§3-1单跨静定梁
一、静定结构概述 1．概念：是没有多余约束的几何不变体系。 2．特点：在任意荷载作用下，所有约束反力和内力都 可由静力平衡方程唯一确定。 平衡方程数目 = 未知量数目 3．常见的静定结构 常见的静定结构有：单跨静定梁、多跨静定梁、静 定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等 (如下图）。
0 FYA FYA 0 FYB FYB
A
x
C
L
斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
第三章
（2）内力
静定结构的内力计算
求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC： a FP1 A
FYA x Fp1 FYA
0
MC
框架结构在竖向载荷作用下的内力计算
框架结构在竖向载荷作用下的内力计算框架是最重要的结构形式之一，它由多个直线杆件组成，可以有效地分散竖向载荷。
传统的内力计算方法通常假设框架结构具有无限的抗扭强度和刚度。
然而，由于框架结构的实际性质，这种方法可能会导致对框架结构的过度强调，从而导致真实情况和计算结果的出现较大偏差。
在结构安全设计的过程中，必须综合考虑杆件的抗扭强度、刚度以及框架结构的整体抗扭强度和刚度，以正确计算内力。
为了更加准确地计算框架结构在竖向载荷作用下的内力，一般有三种方法：等价矩形法、多支柱法和立柱法。
等价矩形法依据有限元理论，建立框架结构中非线性杆件和接头的数学模型，然后以框架结构为整体，求解竖向载荷作用下的内力分布规律。
多支柱法把框架结构划分为多支柱，分别计算每支柱的受力和内力，再把每支柱的结果叠加起来，得到框架结构总内力。
立柱法将框架结构分割成一组简单的立柱，用单支柱原理和框架原理分别计算每支立柱的内力和内力叠加，然后再求出结构的内力分布。
在实际计算中，根据实际情况，要选择最合适的计算方法。
对于正截面框架，等价矩形法是最理想的计算方法，因为它能准确地反映出框架结构的整体性质。
然而，该方法计算量大，耗时长，只适用于尺寸较小的简单框架结构。
而多支柱法和立柱法适用范围广，计算量小，计算结果准确，便于操作，可用于比较复杂的框架结构。
因此，为了更加准确地计算框架结构在竖向载荷作用下的内力，根据框架结构的类型、结构形状和规模及计算要求，要合理选择最合适的计算方法，例如等价矩形法、多支柱法和立柱法，进行计算，以准确地反映出框架结构的力学特性，为结构安全设计提供参考依据。
此外，在计算框架结构的内力时，还要注意框架结构的刚度、非线性、联系以及非对称等因素，特别是框架结构中节点位置的精确性，也要给予足够的重视和考虑。
由于框架结构在结构安全设计中起着重要作用，正确准确地计算框架结构在竖向载荷作用下的内力对于保证结构安全性具有重要的作用。
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第三章 框架内力计算3.1 恒载作用下的框架内力3.1.1 弯矩分配系数 （1）弯矩分配系数：节点：A1 10 3.4720.2394(0.868 1.3330.424)A A μ==++11 5.3320.3684(0.868 1.3330.424)A B μ==++12 5.6960.3934(0.868 1.3330.424)A A μ==++节点：B1 11 5.3320.24721.612 3.555B A μ==+⨯12 5.6960.26321.61B B μ==117.110.32921.61B D μ==1040.8680.16121.61B B μ⨯==节点：A2 2123 1.4240.3414.181A A A A μμ=== 22 1.3330.3184.181A B μ==节点：B2 22 5.3320.22423.834B A μ== 2123 1.42440.23923.834B B B B μμ⨯=== 22 3.55520.29823.834B D μ⨯== 节点：A4 44 1.33340.484(1.333 1.424)4A B μ⨯==+⨯43 1.4240.5172.757A A μ== 节点：B4 44 5.3320.29418.138B A μ== 43 1.42440.31418.138B B μ⨯==44 3.55520.39218.138B D μ⨯==A3与B3与相应的A2，B2相同。
（2）杆件固端弯矩 横梁固端弯矩： i)顶层横梁 自重作用：224444114.087.217.631212A B B A M M ql kN m =-=-=-⨯⨯=-⋅ 2244112.84 1.35 1.7333B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅44441/20.863D B B D M M kN m ==-⋅ 板传来的恒载作用：2223344441(12//)12A B B A M M ql a l a l =-=--+22233120.57.2(12 2.1/7.2 2.1/6)75.6912kN m =-⨯⨯-⨯+=-⋅22445511.80 2.7 4.489696B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅22441111.8 2.7 2.693232D B M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅ii)二～四层横梁 自重作用：221111114.087.217.631212A B B A M M ql kN m =-=-=-⨯⨯=-⋅ 2211112.84 1.35 1.7333B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅11111/20.863D B B D M M kN m ==-⋅ 板传来的恒载作用：2223344441(12//)12A B B A M M ql a l a l =-=--+2115.517.20.85557.2912m =-⨯⨯⨯=- 2211558.62 2.7 3.279696B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅kN ⋅2211118.62 2.7 1.963232D B M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅纵梁引起柱端附加弯矩：（边框架纵梁偏向外侧，中框架梁偏向内侧）（逆时针为正）顶层外纵梁： 4457.540.1257.19A D M M kN m =-=⨯=⋅ 楼层外纵梁： 1130.450.125 3.81A D M M kN m =-=⨯=⋅ 顶层中纵梁： 4452.530.125 6.57B C M M kN m =-=-⨯=-⋅ 楼层中纵梁： 1142.80.125 5.35B C M M kN m =-=-⨯=-⋅ （3）节点不平衡弯矩横向框架的节点不平衡弯矩为通过该节点的各杆件（不包括纵向框架梁）在节点处的固端弯矩之和，根据平衡原则，节点弯矩的正方向与杆端弯矩方向相反，一律以逆时针方向为正，如图4-1。
20.5a）恒载D1D2D3D4B4A480.54-86.13B3A3-71.1164.57B2A264.57-71.11B1A164.57-71.11b）恒载产生的节点不平衡弯矩图4-2 横向框架承担的恒载及不平衡弯矩节点4A的不平衡弯矩：44417.6375.697.1986.13.A B AM M kN m+=--+=-纵梁（4）内力计算根据对称原则，只计算AB、BC跨。
在进行弯矩分配时，应将节点不平衡弯矩反号后再进行杆件弯矩分配。
节点弯矩使相交于该节点杆件的近端产生弯矩，同时也使各杆件的远端产生弯矩，近端产生的弯矩通过节点弯矩分配确定，远端产生的弯矩由传递系数C（近端弯矩与远端弯矩的比值）确定。
传递系数与杆件远端的约束形式有关。
恒载弯矩分配过程如图3-2。
根据所求出的梁端弯矩，再通过平衡条件，即可求出恒载作用下梁剪力、柱轴力，结果见表4-1、表4-2、表4-3、表4-4。
AB跨梁端剪力（kN）表3-1BC跨梁端剪力（kN）表3-2AB跨跨中弯矩（kN）表3-3柱轴力（kN）表3-4D 4节点分配顺序:(A4、、B3、A2、B1);(B4、A3、B2、A1)0.3140.3920.2940.4830.517B 4A 4图3-2 恒载弯矩分配过程图3-5 恒载作用下弯矩图（kN.m）图3-6 恒载作用下梁剪力、柱轴力（kN ）3.2活载作用下的框架内力1） 梁固端弯矩： 顶层：222334444222331(12//)1212.17.2(1212.1/7.212.1/7.2)7.7512A B B A M M ql a l a l kN m =-=--+=-⨯⨯-⨯+=-⋅2244551.352.70.519696B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅ 22551/321/32 1.35 2.70.31D B M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅ ii)二～五层横梁自重作用：222331111222331(12//)1218.47.2(1212.1/7.212.1/7.2)31.0112A B B A M M ql a l a l kN m =-=--+=-⨯⨯-⨯+=-⋅2211515.4 2.7 2.05963B D M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅ 22111/321/32 5.4 2.7 1.23D B M ql kN m =-=-⨯⨯=-⋅纵梁引起柱端附加弯矩：（边框架纵梁偏向外侧，中框架梁偏向内侧）（逆时针为正）顶层外纵梁： 44 2.2050.1250.28A D M M kN m =-=⨯=⋅ 楼层外纵梁： 118.820.125 1.10A D M M kN m =-=⨯=⋅ 顶层中纵梁： 44 4.1290.1250.52B C M M kN m =-=-⨯=-⋅ 楼层中纵梁： 1116.520.125 2.07B C M M kN m =-=-⨯=-⋅4 1.14 3 6.865.74 8.34图3-17 满跨活载迭代过程图3- 18 满跨活载弯矩图3-19 满跨活载剪力、轴力满跨活载作用下AB跨梁端剪力表3-7满跨活载作用下BC跨梁端剪力表3-8满跨活载作用下AB跨跨中弯距表3-7柱轴力计算表3-93.3 地震作用下的横向框架内力1）（0.5雪+活）重力荷载作用下横向框架的内力计算（1）横梁线荷载计算顶层横梁：0.5雪载（a）0.4×4.3×0.5=0.84KN/m（b）0.4×2.7×0.5=0.54KN/m 二～四层横梁：0.5活载（a）8.4×0.5=4.2KN/m（b）5.4×0.5=2.7KN/m（2）横梁固端弯矩：0.541350图3-9 固端弯矩顶层外纵梁MA5=–MD5=0.5×0.4×4.2×0.5×4.2×0.5×0.125=0.11KN-m楼层外纵梁MA1=–MD1=0.5×2×4.2×0.5×4.2×0.5×0.125=0.55KN-m顶层中纵梁MB4=–MC4=-0.5×0.4×[4.2×0.5×4.2×0.5+（4.2×2-2.7）×0.5×2.7×0.5] ×0.125 =-0.21KN-m楼层中纵梁 M B1=–M C1=-0.5×2× [4.2×0.5×4.2×0.5+(8.4-2.7) ×0.5×2.7×0.5] ×0,125=-1.03KN-m（3）计算简图 （4）固端弯矩： 顶层横梁555525 3.1096A B B A M M ql KN M =-=-=--244259650.56 2.70.2196B D M ql KN M=-=-⨯⨯=--244213210.54 2.70.1232d B M ql KN M=-=-⨯⨯=--二～四层横梁 11112515.5196A B B A M M ql KN M =-=-=--221155 2.7 2.7 1.039696B C M ql KN M =-=-⨯⨯=--2211112.7 2.70.623232C B M ql KN M =-=-⨯⨯=-- （5）弯矩分配计算（采用迭代法）2340.373.48-0.62-0.242.844.17（雪+活）作用下杆端弯矩0.5（雪+活）作用下 AB跨梁端剪力（kN）表3-1（雪+活）作用下 AB跨梁端剪力（kN）表3-2活）作用下AB跨跨中弯矩（kN）表3-30.5（雪+第三章框架内力计算0.5（雪+活）作用下轴力标准值表3-4南京工业大学本科生毕业设计(论文)地震作用框架弯矩第三章框架内力计算地震作用下框架剪力，轴力（KN）南京工业大学本科生毕业设计(论文)第三章框架内力计算地震作用下柱剪力、轴力表3-1854南京工业大学本科生毕业设计(论文)。