初中数学因式分解培优训练
2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习
因式分解的多种方法考点培优练习 考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三 角形或直角三 角形 解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
因式分解精练(培优)
因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。
因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。
2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解： 原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。
2023年九年级中考数学专题培优训练：因式分解【含答案】
2023年九年级中考数学专题培优训练：因式分解一、选择题1.对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是( )A.都是因式分解B.都是乘法运算C.①是因式分解，②是乘法运算D.①是乘法运算，②是因式分解2.下列各式中计算正确的是( )A.(a+b)(b﹣a)=a2﹣b2B.(﹣m﹣n)2=m2+2mn+n2C.2m3÷m3=2mD.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=﹣b2c23.多项式12ab3＋8a3b的各项公因式是( )A.abB.2abC.4abD.4ab24.把多项式ax3﹣2ax2＋ax分解因式，结果正确的是( )A.ax(x2﹣2x)B.ax2(x﹣2)C.ax(x＋1)(x﹣1)D.ax(x﹣1)25.把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x-3)．则a，b的值分别是( )A.a=2，b=3B.a=－2，b=－3C.a=－2，b=3D.a=2，b=－36.已知(19x﹣31)(13x﹣17)﹣(13x﹣17)(11x﹣23)可因式分解成(ax＋b)(8x＋c)，其中a、b、c均为整数，则a＋b＋c＝( )A.﹣12B.﹣32C.38D.727.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2＋15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( )A.2x＋19B.2x﹣19C.2x＋15D.2x﹣158.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题9.多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x＋1的公因式是.10.若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是(写出一个即可).11.如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是_________.12.一个长方形的面积为a3﹣2ab+a，宽为a，则长方形的长为．13.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则a+b= ________14.观察下列式：(x2﹣1)÷(x﹣1)=x+1；(x3﹣1)÷(x﹣1)=x2+x+1；(x4﹣1)÷(x﹣1)=x3+x2+x+1；(x5﹣1)÷(x﹣1)=x4+x3+x2+x+1．①(x7﹣1)÷(x﹣1)= ；②根据①的结果，则1+2+22+23+24+25+26+27= ．三、解答题15.因式分解：(a+4)(a﹣4)+3(a+2)16.因式分解：(p－4)(p＋1)＋3p.17.因式分解：6xy2－9x2y－y3；18.因式分解：m4﹣2m2+1.19.若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x﹣2)，试求a，b的值．20.阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如：(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+1×3=(x+1)(x+3)；(2)x2﹣4x﹣5=x2+(1﹣5)x+1×(﹣5)=(x+1)(x﹣5)．请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18．21.在形如a b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b求N，这是乘方运算：已知b和N求a，这是开方运算，现在我们研究第三种情况：已知a和N求b，我们称这种运算为对数运算.定义：如果23=8，所以log28=3：因为32=9，所以log39=2，根据以上信息回答下列问题：(1)计算：log381= ，log33= ，log636= ，logx16=4，则x= .(2)设a x=M，a y=N(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)，猜想loga MN和loga的结果，并证明.(3)计算：①log2(2×4×8×16×32×64)；②log3；③log93+log927.22.若z＝3x(3y﹣x)﹣(4x﹣3y)(x＋3y).(1)若x，y均为整数，求证：当x是3的倍数时，z能被9整除；(2)若y＝x＋1，求z的最小值.参考答案1.C2.B3.C.4.D.5.B6.A7.A8.C9.答案为：x﹣110.答案为：﹣111.答案为：2m＋312.答案为：a2﹣2b+1．13.答案为：15.14.答案为：①x6+x5+x4+x3+x2+x+1；② 28﹣1．15.解：原式=a2﹣16+3a+6=a2+3a﹣10=(a﹣2)(a+5).16.解：原式=(p＋2)(p－2)．17.解：原式=－y(3x－y)2.18.解：原式=(m+1)2(m﹣1)2.19.解：由题意，得x2+ax+b=(x+1)(x﹣2)．而(x+1)(x﹣2)=x2﹣x﹣2，所以x2+ax+b=x2﹣x﹣2．比较两边系数，得a=﹣1，b=﹣2．20.解：x2﹣7x﹣18=x2+(﹣9+2)x+(﹣9)×2=(x﹣9)(x+2)．21.解：(1)log381=log334=4，log33=1，log636=log662=2，logx16=4，则x=2；(2)loga MN=logaM+logaN；loga=logaM﹣logaN；证明：loga MN=logaa x•a y=logaa x+y=x+y；logaM+logaN=x+y，则loga MN=logaM+logaN；loga =loga=logaa x﹣y=x﹣y；logaM﹣logaN=x﹣y，则loga=logaM﹣logaN；(3)①原式=log22+log24+log28+log216+log232+log264=1+2+3+4+5+6=21；②原式=log3243﹣log381=5﹣4=1；③原式=log93×27=log981=2.22.解：(1)z＝3x(3y﹣x)﹣(4x﹣3y)(x＋3y) ＝9xy﹣3x2﹣(4x2＋9xy﹣9y2)＝9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy＋9y2＝﹣7x2＋9y2，∵x是3的倍数，∴z能被9整除.(2)当y＝x＋1时，则z＝﹣7x2＋9(x＋1)2＝2x2＋18x＋9＝2(x＋92)2﹣632，∵2(x＋92)2≥0，∴z的最小值是﹣632.。
初中数学因式分解的应用培优练习题3(附答案详解)
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2-4m-5=
．
（2）当 a，b 为何值时，多项式 a2+b2-4a+6b+18 有最小值，并求出这个最小值．
（3）当 a，b 为何值时，多项式 a2-2ab+2b2-2a-4b+27 有最小值，并求出这个最小值．
22．阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，
若 F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．
19．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数
为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如
果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如 321， 3 2 1，
数”，例如在自然数 12321 中，3=2+1，则 12321 是一个“对称数”. 同时规定：若该“对称 数”的前两位数与后两位数的平方差被 693 的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.
如在“对称数”43734 中， 432 342 693，则 43734 是一个“智慧对称数”．
（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的
小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式．如图是
边长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成 8 块．
（3）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为：
；
（4）已知 a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求 a3+b3 的值． 11．一个四位正整数 m 各个数位上的数字互不相同且都不为 0，四位数 m 的前两位数 字之和为 5，后两位数字之和为 11，称这样的四位数 m 为“半期数”；把四位数 m 的各
初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
因式分解培优训练试题
因式分解培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()()y x y x y x +-=+22422B ．()2244aya ya -=-C ．()130132-+==-+x x x x D ．()222329124y x y xy x --=-+-2.多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2，则n m -的值是（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 4 D ． ﹣43.下列各式分解因式正确的是( )A. 22269(3)x xy y x y ++=+B. 222249(23)x xy y x y -+=- C. 22282(4)(4)x y x y x y -=+- D. ()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+ 4．把a a 43-多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4-a aB.()()22-+a aC. ()()22-+a a aD. ()422--a5．已知0136422=+-++y x y x ，则代数式y x +的值为（ ） A ． ﹣1 B ． 1C ． 25D ． 366．要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，那么k 为（ ） A ．1，﹣1 B ．5，﹣5 C ．1，﹣1，5，﹣5 D ．以上答案都不对 7．要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．无数个8．已知a 为实数，且0223=+-+a a a ，则()()()1098111+++++a a a 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19．把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 10．已知正数b a ,满足87222233-=+-+ab ab b a ab b a 则=-22b a （ ） A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．若多项式b ax x ++2分解因式的结果为()()21-+x x ，则b a +的值为12.若4,1a b ab +==，则22a b ab +的值为____________________13.已知0.2,31x y x y +=+=，则代数式2243x xy y ++的值为________________ 14.若关于x 的二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，则b k +的值为__________15.已知()()520192018=--a a ，则()()_________2019201822=-+-a a16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22123-=，223516-=，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 019个“智慧数”是____________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题12分）因式分解下列各式：（1）()()x y b y x a -+-2249 （2）()()m m m 891+-+（3）411623++-x x x （4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy（5）2232y xy x +- （6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.18.（本题8分）学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n 为整数，则(n ＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？19（本题8分）．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？20.（本题8分）（1）对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？ （2）已知y x ,都是正实数，且满足012222=-++++y x y xy x ，求()y x -1的最小值21（本题10分）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙 数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数． （1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？ （3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．22（本题10分）观察下列等式：12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×_________＝__________×25；②__________×396＝693×_______________a ≤9，写出表示“数字对称(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤ba,)，并证明．等式”一般规律的式子(含b23（本题10分）．先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2=（x+1）（mx+n）∴当x=﹣1时，（x+1）（mx+n）=0∴当x=﹣1时，x2+ax﹣2=0∴1﹣a﹣2=0，∴a=﹣1（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？（填“是”或者“不是”）；（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．因式分解培优训练试题答案三．选择题：1.答案：D解析：A选项不能因式分解，故A错误；B选项是计算，故B错误；C选项右边是多项式，不是因式分解，故C错误；D选项是因式分解，故选择D2.答案：C解析：∵多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2， ∴()()()()n x m x x x ++=-+2222∴2,2-==n m ，∴422=+=-n m ，故选择C3.答案：A解析：∵22269(3)x xy y x y ++=+ ，故A 选项正确； ∵222(23)4129x y x xy y -=-+，故B 选项错误；∵()()()22222824222x y x y x y x y -=-=-+ ，故C 选项错误； ∵2()()()x x y y y x x y -+-=-，故D 选项错误，故选择A4.答案：C解析：()()()224423+-=-=-a a a a a a a ，故选择C5.答案：B解析：∵0136422=+-++y x y x ∴()()03222=-++y x ，∴3,2=-=y x ，∴132=+-=+y x ，故选择B6.答案：C解析：∵要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，∴()616⨯-=-或()616-⨯=-或()326-⨯=-或()326⨯-=-， ∴5=k 或5-=k 或1-=k 或1=k ，故选择C7.答案：D解析：∵要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，∴只要找两个数b a ,使5,-=+=b a p ab 即可，于是有无数多个，故选择D8.答案：D解析：∵0223=+-+a a a ， ∴()01)1(23=+-++a a a ， ∴()()()011122=+-++-+a a a a a∴()()0122=+-+a a a ，∵012≠+-a a ，∴,02=+a ∴11-=+a ，∴()()()()()()111111111110981098=+-=-+-+-=+++++a a a故选择D9.答案：B解析：22344x y xy x --()()222244y x x y xy x x --=+--=故选择B10.答案：B解析：∵87222233-=+-+ab ab b a ab b a ∴()()87222-=--+ab b a ab b a ab∴()()08722222=+---+-+ab b a ab ab ab b a ab ∴()()08722222=+-+---ab b a b a ab b a ab ，∴()()[]()044212222=+-++---ab b a b a b a ab∴()()022122=-+--ab b a ab∵b a ,均为正数，∴ab ＞0， ∴01=--b a ，02=-ab ， 即2,1==-ab b a ，解方程⎩⎨⎧==-21ab b a ，解得1,2==b a 或2,1-=-=b a （不合题意，舍去）， ∴31422=-=-b a ．故选B ．四．填空题:11.答案：3-解析：∵()()2212--=-+x x x x ，∴222--=++x x b ax x ，∴2,1-=-=b a ，∴321-=--=+b a12.答案：4解析：∵4,1a b ab +==， ∴()22144a b ab ab a b +=+=⨯=13.答案：2.0解析：∵0.2,31x y x y +=+=∴()()224330.210.2x xy y x y x y ++=++=⨯=14.答案： 1-解析：∵二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，∴b kx x x x ++=+-2234，∴3,4=-=b k ，∴134-=+-=+b k15.答案：11解析：∵()()520192018=--a a ，()()()()()()()()20192018220192019201822018201920182222--+-+----=-+-∴a a a a a a a a ()()()11521201920182201920182=⨯+=--++--=a a a a16.答案：2695解析：观察数的变化规律，可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，归纳可得，第n 组的第一个数为4n （n ≥2）.因为67332019=÷，所以第2 019个“智慧数”是第673组中的第3个数，即为269536734=+⨯.三．解答题:17.解析：（1）()()()()()b a b a y x x y b y x a 23234922-+-=-+-（2）()()()()33998889122-+=-=-+-=+-+m m m m m m m m m（3）4566411622323++--=++-x x x x x x x()()()()()()()()4312145614511622-+-=---=+---=x x x x x x x x x x（4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy ()()()y x y x y x y x y xy x 22242222---+=+---=()()22-+-=y x y x（5）()()y x y x y xy x --=+-23222（6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4()()()()422222112412412-=+-=+--+--=m m m m m m m18.解析：()()()()()()220102237373722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴()()2237---n n 能被20整除。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练27 因式分解计算题
专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（）4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+-5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a -16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+-17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +-23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --(1)224x x -；(2)212123a a -+．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋1833．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）235．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b ---39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +- 44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y +45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +-49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3(1)2a a++；441 (2)2x-．416专题27 因式分解最新期中考题特训50道1．因式分解：(1)225x -；(2)244a b ab b -+． 【答案】(1)()()55+-x x(2)()22b a -【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；（2）先提公因式b ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()()55+-x x ；（2）解：原式＝()244b a a -+ ()22b a =-． 【点评】本题考查了公式法和提公因式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．2．因式分解(1)324a ab -；(2)()()2x a b b a ---．【答案】(1)()()22a a b a b +-(2)()()21a b x -+【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将原式变形，再提公因式分解因式即可．（1）解：324a ab -()224a a b =-()()22a a b a b =+-．（2）解：()()2x a b b a ---()()2x a b a b =-+-()()21a b x =-+．【点评】本题考差了多项式分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键．3．分解因式：(1)249x y y -(2)222416a a +-（） 【答案】(1)(23)(23)y x x +-(2)()()2222a a +-【分析】（1）先提公因式y ，再利用平方差公式即可直接分解；（2）首先利用平方差公式因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解即可；（1） 249x y y - =2(49)y x -=(23)(23)y x x +-（2）222416a a +-（）=()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤+++-⎣⎦⎣⎦=()()224444a a a a ++-+=()()2222a a +-【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．因式分解：(1)3222x x y xy -+(2)()()2141m m m -+- 【答案】(1)()2x x y -(2)()()()221m m m +--【分析】（1）直接提取公因式x ，再利用完全平方公式分解因式得出答案（2）直接提取公因式(1)m -，再利用平方差公式分解因式得出答案（1）解：原式22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；（2）解：原式2(1)(4)m m =--(1)(2)(2)m m m =-+-．【点评】本题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．5．因式分解：(1)2449x -(2)22242x xy y -+ 【答案】(1)()()2727x x +-(2)()22x y -【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．（1）解：2449x - ()2227x =-()()2727x x =+-． （2）解：22242x xy y -+()2222x xy y =-+()22x y =-．【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．6．因式分解：(1)236x -；(2)2288x y xy y -+．【答案】(1)（x −6）（x ＋6）(2)2y （x −2）2【分析】（1）利用平方差公式即可因式分解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．（1）解：x 2−36；＝（x −6）（x ＋6）（2）解：2x 2y −8xy ＋8y＝2y （x 2−4x ＋4）＝2y （x −2）2【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 7．因式分解：(1)a 2-4b 2(2)2a 3+12a 2+18a【答案】(1)(a +2b )(a -2b )(2)22(3)a a +【分析】（1）利用平方差公式，进行因式分解；（2）利用提公因式和完全平方公式，进行因式分解．（1）解：原式=(2)(2)a b a b +-；（2）解：原式=22(69)a a a ++=22(3)a a +．【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方差公式．8．因式分解：(1)2464x -(2)244x y xy y -+【答案】(1)()()444x x +-(2)()22y x -【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()2416444x x x =-=+-；（2）解：原式()()22442y x x y x =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，在因式分解时，能提公因式的要先提取公因式，再考虑用公式法继续分解，在因式分解时注意要分解彻底．9．因式分解：(1)323x y x -；(2)22(2)9a b b --． 【答案】(1)()()311x y y -+(2)()()42a b a b +-【分析】（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）先用平方差公式分解因式，再提公因式即可．（1）解：323x y x -()321x y =-()()311x y y =-+（2）解：22(2)9a b b --()()2323a b b a b b =-+--()()2224a b a b =+-()()42a b a b =+-【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-，是解题的关键．10．因式分解：(1)2249m n -；(2)22396a b ab b -+ 【答案】(1)(23)(23)m n m n +-(2)2(3)b a b -【分析】（1）直接运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．（1）解：原式22(2)(3)m n =-(23)(23)m n m n =+-（2）原式()2296b a ab b =-+2(3)b a b =-．【点评】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题关键．11．把下列各式分解因式(1)x 2+2xy +y 2(2)5x 3﹣20x【答案】(1)（x +y ）2(2)5x （x +2）（x ﹣2）【分析】（1）直接运用公式法进行分解即可；（2）综合提公因式法和公式法进行分解即可．（1）原式()2x y =+（2）原式()()()254252x x x x x +-=-= 【点评】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法，熟练运用基本公式是解题关键．12．因式分解(1)296x y xy y ++(2)416a -．【答案】(1)y （3x ＋1）2(2)（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【分析】（1）先提公因式y ，再按照完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式即可．（1）解：9x 2y ＋6xy ＋y＝y （9x 2＋6x ＋1）＝y （3x ＋1）2（2）a 4－16＝（a 2＋4）（a 2－4）＝（a 2＋4）（a ＋2）（a －2）【点评】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“利用完全平方公式与平方差公式分解因式”是解本题的关键．13．将下列各式分解因式：(1)2ab a -(2)22363ax axy ay -+-【答案】(1)(1)(1)a b b +-(2)﹣3a （x ﹣y ）2【分析】（1）原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（1）原式＝21a b -（）＝(1)(1)a b b +-；（2）原式＝﹣3a （x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3a （x ﹣y ）2；【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．因式分解：(1)2269x xy y ++；(2)34m n mn -．【答案】(1)()23x y +(2)()()22mn m m +-【分析】（1）直接根据完全平方公式因式分解即可求解；（2）先提公因式mn ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．（1）解：原式＝()23x y +；（2）解：原式＝()24mn m - ()()22mn m m =+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．因式分解：(1)3269x x x -+(2)416a - 【答案】(1)()23x x -(2)()()()2422a a a ++- 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式分解，即可求解；（2）利用平方差公式分解，即可求解．（1）解∶ 3269x x x -+()269x x x =-+()23x x =-； （2）解∶ 416a -()()2244a a =+-()()()2422a a a =++-.【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．16．因式分解(1)2288x x -+(2)()()216a x y y x -+- 【答案】(1)()222x -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因数，再利用完全平方公式分解因式；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解．（1）解：原式=2（x 2-4x +4）=2（x -2）2；（2）解：原式=（x -y ）（a 2-16）=()()()44x y a a -+-【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．17．因式分解：(1)2416a -；(2)222ax axy ay -+．【答案】(1)()()422a a +-(2)()2a x y -【分析】（1）用平方差公式进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．（1）解：原式()()()244422a a a =-=+-； （2）解：原式()()2222a x xy y a x y =-+=-． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键．18．因式分解：(1)（x +3y ）2－x －3y(2)222(4)16a a +-【答案】(1)（x +3y ）（x +3y －1）；(2)22(2)(2)a a -+【分析】（1）用提取公因式进行因式分解．（2）先用平方差公式进行因式分解，后用完全平方公式进行因式分．（1）（x +3y ）2－x －3y＝（x +3y ）2－（x ＋3y ）＝（x +3y ）（x +3y －1）（2）222(4)16a a +－=()()224444a a a a -+++=22(2)(2)a a -+【点评】此题考查了因式分解，解题关键是会用提取公式法和公式法进行因式分解．19．分解因式：(1)4x 2－100；(2)2mx 2－4mxy +2my 2．【答案】(1)()()455x x +-(2)()22m x y -【分析】（1）先提取公因式4，然后再运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因式2m ，然后再运用完全平方公式因式分解即可．（1）解：4x 2－100=4（x 2－25）=()()455x x +-．（2）解：2mx 2－4mxy +2my 2=2m （x 2－2xy +y 2）=()22m x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法成为解答本题的关键．20．把下面各式分解因式：(1)22327x y -(2)()()()22a b a a b a a b +-+++ 【答案】(1)3(3)(3)x y x y +-；(2)2()(1)a b a +-【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．【解答】（1）解：原式=2239x y=3(3)(3)x y x y +-；（2）解：原式=212ab a a=2()(1)a b a +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解(1)2416x -(2)2288a b ab b -+【答案】(1)()()422x x +-(2)()222b a -【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式，再运用完全平方差公式进行分解即可．（1）解：2416x -()244x =- ()()422x x =+-（2）2288a b ab b -+()2244b a a =-+()222b a =-．【点评】本题考查因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法与步骤．22．因式分解：(1)3269a a a ++(2)222(4)16x x +- 【答案】(1)2(3)a a +(2)22(2)(2)x x +-【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）3269x x x ++ 2(69)x x x =++2(3)x x =+；（2）222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．23．分解因式：(1)22352020.a b ab b -+(2)2222(1)(9)x x +--【答案】(1)5b (a －2b )2(2)20(x -2)(x +2)【分析】(1)先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；(2)先利用平方差公式，再提公因式，最后再利用平方差公式继续分解即可解答．（1）解：原式 =5b (a 2－4ab +4b 2)=5b (a －2b )2（2）原式＝(x 2+1-x 2+9)(x 2+1+x 2-9)=10×(2x 2-8)=20(x 2-4)=20(x -2)(x +2)【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．24．因式分解：(1)228x -(2)3222x x y xy -+ 【答案】(1)2(2)(2)x x +-(2)2()x x y -【分析】（1）先提取公因数2，然后再运用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式分解即可．（1）解：228x -=()224x - =()()222x x +-．（2）解：3222x x y xy -+=()222x x xy y -+=()2x x y -．【点评】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式法是解答本题的关键．25．分解因式：(1)2116a -(2)32232xy x y x y -+【答案】(1)()()1414a a +-(2)()xy y x -2【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式xy ，再利用完全平方公式分解因式即可．（1）解：2116a -=（1-4a ）（1+4a ）；（2）解：32232xy x y x y -+=xy （y 2-2xy +x 2）=xy （y -x ）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．26．把下列各式分解因式：（1）2218a -（2）2484a a -+ 【答案】（1）2(3)(3)a a +-；（2）24(1)a -【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可得；（2）先提取公因式4，再利用完全平方公式分解因式即可得．【解答】解：（1）原式22(9)a =-2(3)(3)a a =+-；（2）原式24(21)a a =-+24(1)a =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题关键．27．因式分解：(1)29x -(2)2242x y xy y -+【答案】(1)()()33x x +-(2)()221y x -【分析】（1）用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式，然后再用公式法分解因式即可．（1）解：29x -223x =-()()33x x =+-；（2）2242x y xy y -+()2221y x x =-+()221y x =-.【点评】本题主要考查了因式分解，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-和完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题的关键．28．因式分解(1)2416m -(2)2232x y xy y -+ 【答案】(1)4(2)(2)m m +-(2)2()y x y -【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）()224(2)(241644)m m m m -=-=+-（2）()22322222()y x y xy y x xy y y x y -+--=+= 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．29．因式分解：(1)()24a b +-(2)22369ab a b b --【答案】(1)(2)(2)a b a b +++-(2)2(3)b a b --【分析】（1）将()a b +作为整体，利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（1）解：原式(2)(2)a b a b =+++-（2）解：原式22(69)b ab a b =--2(3)b a b =--【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．30．因式分解：(1)224x x -；(2)212123a a -+． 【答案】(1)()22x x -(2)()2321a -【分析】（1）运用提公因式法因式分解即可求解；（2）先运用提公因式法，再运用公式法分解因式即可．（1）解：()22422x x x x -=- （2）解：()()222121233441321a a a a a -+=-+=- 【点评】本题考查整式的因式分解，熟练运用提公因式法和公式法分解因式是解本题的关键．31．分解因式：(1)241x -；(2)3244m m m -+．【答案】(1)（2x ＋1）（2x ﹣1）(2)2(2)m m -【分析】（1）利用平方差公式，分解即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．（1）解：原式＝(21)(21)x x +-（2）解：原式＝ 2(44)m m m -+=2(2)m m -【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．32．因式分解：(1)a 2－9；(2)2x 2－12x ＋18 【答案】（1）(3)(3)a a +-；（2）22(3)x -【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）原式223a =-(3)(3)a a =+-；（2）原式22(69)x x =-+22(3)x =-．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．33．把下列各式因式分解(1)228a -(2)()()24129a b a b +-++ 【答案】(1)()()222a a +-(2)()2223a b +-【分析】（1）先提公因式2，再用平方差公式分解；（2）将2()a b +看成一个整体，利用完全平方公式直接分解．(1)解：228a - ()224a =-()()222a a =+-；(2)()()24129a b a b +-++ ()()22129a b a b ⎡⎤=+-++⎣⎦()223a b ⎡⎤=+-⎣⎦=()2223a b +-.【点评】本题考查因式分解，注意因式分解的步骤为先提公因式，再用公式法，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．34．把下列各式分解因式：(1)a 3﹣a(2)16x 2y 2﹣（x 2+4y 2）2 【答案】(1)()()11a a a +-(2)()()2222x y x y -+-【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解．(1)原式=()21a a - =()()11a a a +-;(2)原式=()()222244xy x y -+ =()()22224444xy x y xy x y ++-- =()()2222x y x y -+-．【点评】本题考查了分解因式，解题关键是掌握提公因式法和公式法分解因式．35．分解因式：(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）；(2)（x 2 +1）2﹣4x 2．【答案】(1)(2a -b )(x -y )(2)(x +1)2(x -1)2【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．(1)2a （x ﹣y ）+b （y ﹣x ）=2a （x ﹣y ）-b （x ﹣y ）=(2a -b )(x -y )(2)（x 2 +1）2﹣4x 2=22(21)(21)x x x x ++-+=(x +1)2(x -1)2【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．36．因式分解：(1)2232x -(2)3223242x y x y xy ++ 【答案】(1)()()244x x +-(2)()22xy x y +【分析】（1）先提取公因式2，然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式2xy ，然后利用完全平方公式继续进行因式分解． (1)2232x - =22(16)x -=()()244x x +-；(2)3223242x y x y xy ++=222(2)xy x xy y ++=()22xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．37．因式分解：(1)2a 2﹣2(2)2441x x ++【答案】(1)2（a +1）（a -1）(2)2(21)x +【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式因式分解即可；(1)解：2a 2﹣2=2（a 2﹣1）=2（a +1）（a -1）．(2)解：2441x x ++=2(21)x +．【点评】本题主要考查利用提公因式法和公式法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键．38．分解因式：(1)2363ab ab a -+(2)22()8()a a b a b --- 【答案】(1)23(1)a b -(2)2()(2)(2)a b a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式，分解即可；（2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可．(1)解：3ab 2−6ab +3a=3a ·b 2-3a ·2b +3a ·1=3a （b 2-2b +1）=3a (b −1)2；(2)2a 2(a −b )−8(a −b )=2(a −b ) (a 2−4)=2(a −b ) (a 2−22)=2(a −b ) (a +2) (a −2)．【点评】此题考查了因式分解的提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．39．分解因式：(1)321025a a a ++(2)()()126t t ++-【答案】(1)2(5)a a +(2)(4)(1)t t +-【分析】（1）原式提取公因式后，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式整理后，再利用十字相乘法分解即可．(1)解：32221025(1025)(5)a a a a a a a a ++=++=+．(2)解：()()2212632634(4)(1)t t t t t t t t ++-=++-=+-=+-．【点评】本题考查了提取公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．40．分解因式：(1))()(2x y y x x -+-(2)223242x y xy y -+． 【答案】(1)()()1(1)x y x x -+-(2)()22y x y -【分析】（1）先提取公因式x-y ，然后利用平方差公式进行分解；（2）先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】（1）解：原式=2()(1)x y x --=()()1(1)x y x x -+-（2）原式=()2222y x xy y -+ =()22y x y -【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．41．把下列各式因式分解：(1)228x -；(2)2(2)8(2)16a a +-++．【答案】(1)2(2)(2)x x +-；(2)2(2)a -．【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式分解因式即可；（2）将(2)a +看成一个整体，利用完全平方公式分解因式即可．(1)解：228x -，＝22(4)x -，＝2(2)(2)x x +-；(2)解：2(2)8(2)16a a +-++，2(24)a =+-，2=(2)a - ，【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和平方差公式，完全平方公式分解因式．42．把下列各式因式分解：(1)2288a a -+；(2)22()()a x y b x y ---． 【答案】(1)()222a -(2)()()()x y a b a b -+-【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可．(1)解：2288a a -+()2244a a =-+()222a =-； (2)解：()()22a x y b x y ---()()22x y a b =--()()()x y a b a b =-+-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．因式分解：(1)()()3a x y y x -+-(2)()222416x x +-【答案】(1)()()3x y a --(2)()()2222x x +-【分析】（1）根据提公因式法因式分解，提取()x y -，即可求解；（2）根据平方差公式和完全平方公式求解即可．(1)解：原式＝()()3a x y y x -+- =()()3x y a --(2)解：原式＝()()224444x x x x +++-()()2222x x =+-【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．44．因式分解：(1)11824n n x x +-；(2)4224-1881x x y y + 【答案】(1)()634n x x - (2)()()2233x y x y +-【分析】（1）提公因式分解因式即可；（2）先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式分解因式即可．(1)解：18xn +1−24xn=6xn ·3x −6xn ·4= 6xn (3x −4)；(2)x 4-18x 2y 2+81y 4=(x 2−9y 2)2=(x +3y )2(x −3y )2．【点评】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、分组分解法、十字相乘法，并根据多项式的特征灵活选取不同的方法，还要注意一定要分解彻底．45．因式分解：(1)mx 2﹣my 2；(2)2x 2－8x +8． 【答案】(1)m （x +y ）（x ﹣y ）(2)2（x ﹣2）2【分析】（1）先提取公因式，再由平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式，再由完全平方公式分解因式即可；(1)解：mx 2﹣my 2=m （x 2﹣y 2）=m （x +y ）（x ﹣y ）；(2)解：2x 2－8x +8=2（x 2－4x +4）=2（x ﹣2）2.【点评】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式()()22a b a b a b -=+-和完全平方公式()2222a b a b ab ±=+±是解题关键．46．分解因式：(1)2x 2﹣4xy +2y 2(2)m 2（m ﹣n ）+（n ﹣m ）【答案】(1)2（x ﹣y ）2(2)（m ﹣n ）（m +1）（m ﹣1）【分析】（1）先提取公因数2，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式继续分解即可．（1）解：原式=()2222x xy y -+ =()22x y -；（2）解：原式=()()21m n m -- =()()()11m n m m -+-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．47．因式分解(1)24ab a -(2)4224816x x y y -+ 【答案】(1)()2(2a b b +-）(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】（1）先提取公因式a ，再用平方差公式分解；（2）先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解．(1)解：原式=a (b 2-4)= ()2(2a b b +-）；(2)解：原式=(x 2-4y 2)2= 22(2)(2)x y x y +-．【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．48．因式分解(1)21025m m -＋(2)22222(4)16x y x y +- 【答案】(1)()25m -(2)22(2)(2)x y x y +-【分析】(1)利用完全平方公式即可分解；(2) 利用完全平方公式和平方差公式即可分解．（1）解：()2210255m m m =--＋（2）解：22222(4)16x y x y +-2222(4)()444x y x x xy y y =+++-22(2)(2)x y x y =+- 【点评】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．49．因式分解：(1)4x 2-64(2)2x 3y +4x 2y 2+2xy 3 【答案】(1)4(4)(4)x x -+；(2)22()xy x y +【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解，即可解答；（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．(1)解：4x 2-64＝4（x 2-16）＝4（x +4）（x －4）(2)解：2x 3y +4x 2y 2+2xy 3＝222(2)xy x xy y ++＝22()xy x y +【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．50．因式分解： (1)2441a a ++；(2)2416x -．【答案】(1)2(21)a +(2)4(2)(2)x x +-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因数4，再根据平方差公式因式分解即可．(1)解：222441(2)221(21)a a a a a ++=+⨯+=+(2)解：2224164(2)4(2)(2)x x x x -=-=+-．【点评】本题考查了因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．。
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第一讲:因式分解(一）多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.１.运用公式法在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式,例如:(1)a2－b2＝(a＋b）（a-b)；(2）a2±２ab+b２=(a±b)２;（3)a3＋ｂ3＝(a＋b)(a２-ab+b２)；(4)a3-b３=(ａ-b)(a２＋ａb+b2）．下面再补充几个常用的公式：(５）ａ2+ｂ2+c2+2ab＋2bc+2ca=(a+b+c）2；（6）a３＋b3+c3-3abc=(ａ+b+c)(a2＋b2＋c２-aｂ－bc-c ａ);(7)a n－b n=（a－b）(aｎ-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-２+b n-1)其中n为正整数；(8)aｎ－ｂn=(a+b）(aｎ-１-a n-2b+a n-3b2-…+ａｂn-2-bｎ-1),其中ｎ为偶数;(9)ａn+b n=(ａ+b)(aｎ-1-a n－2b+a n－３b2－…-ａｂn-2+ｂｎ-1),其中ｎ为奇数.运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式:(１）-2x5n-1y n+4ｘ3n-1yｎ+２－2x n-1yｎ+4；(2)x3-８y3-z３-6xyz;(3）a２+b2+c２－2bc+2cａ-2ab;7５2２５7＝-２xｎ-1yｎ［(x２n）２-2x２ｎy2＋(y2)2]＝－2ｘn-1yｎ(x2n-y２)２=-2x n-１ｙｎ(xｎ-ｙ）2(x n＋y)２．（２)原式=x３+(-2y)3+（－z)3-3x(－2y)（-Ｚ)=(x-2y-z)（x2+４y2＋z2＋2xy+xz-2yｚ).（3）原式=(a２－２ab+b2)+(-2ｂc+2cａ)+ｃ2=(a-b)２＋２c（ａ-b)+c2=(a-b+c)2.本小题可以稍加变形，直接使用公式(５）,解法如下: 原式=a2+(－b)2+c2+2(－b)c＋２ca+2a(－b)=(a-b+c）2（4)原式=(a7-a5b２)+(ａ2b5－ｂ7)=ａ５(ａ２-b2)+b５(a２－ｂ2）=(a2-b2）（a5+b５）=（a+b）(ａ-ｂ）(a＋ｂ)(a4-a３b+a2b2-ab3+ｂ４）＝(ａ+ｂ）2(ａ-b)(ａ4-ａ3ｂ+a２ｂ2-ａｂ3+ｂ4)例2 分解因式：a3＋ｂ３+c3－３ａbc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)３＝ａ3+3ａ2b+３ａb2+b3的正确性，现将此公式变形为ａ3＋b3=（ａ+b)3-3ab（a+b).这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导．解原式=（a＋b)3-３aｂ（a+b)+c3－３ａｂc=[(a＋b)3+ｃ3]-3ab(ａ+b+ｃ)＝（ａ+b+ｃ)［(a+ｂ）2-c（a+b)+c2]-3ab（a+ｂ+c)=(a+b+c)(a2＋b2+c2-aｂ-ｂc－ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推显然，当ａ+b+c=0时,则a３+b3+c3=3ａbc;当a+b+ｃ>0时,则ａ3＋b3+c3-3abc≥0,即a3＋ｂ3+ｃ3≥3aｂｃ,而且，当且仅当a=ｂ=c时,等号成立.如果令ｘ=a3≥０,y=ｂ3≥0，z=c3≥0,则有等号成立的充要条件是x＝y=z．这也是一个常用的结论.例３分解因式：x１5+x14+ｘ13+…+x2+x+１．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x１5开始，x的次数顺次递减至０，由此想到应用公式ａn －b n来分解.解因为x１6－1＝（ｘ-1）(x15＋x1４＋x13+…x２+x+１），所以说明在本题的分解过程中,用到先乘以（x-１）,再除以（x-１）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．２.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例４分解因式:x３-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．原式=x３-９x－1＋９＝（ｘ3－1)－9x+9=(x-1)(ｘ２+x+1)-9(x-1)=(x-１)（ｘ2+ｘ-8）.解法2 将一次项-9ｘ拆成-x-8x.原式=ｘ3-x-８ｘ+8＝（x3-x)＋(-8x+8)=x(x＋1)(ｘ-１)-8(x-1)=（x-1)(ｘ２+x-8）.解法3 将三次项ｘ3拆成９x3-8ｘ3.原式=9x3-8x３-9ｘ+8=(9x3-9x）+(-８x3+8)=9ｘ(ｘ+１)（ｘ－１）-8(x-１)(x2+x+1)=(x-1）(x2+x-8).解法４添加两项-x2+x2.原式=ｘ3-９ｘ+８=x3-ｘ2+x2-9x+８=x２(x-1)+(x－8)（ｘ-１）＝(x－1)(ｘ2+x-８)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.例5 分解因式:(1）x9＋x6+ｘ3-3;(2）(m2-１)(n２-1)+４ｍn；(３)（x+1)4+（x２－1）2+(x-１）4；(4)a３b－ab3+ａ2+b2＋1.解（1)将－3拆成-1-1-1.原式=x9＋x6+x３-１-１-1=（ｘ9-1)＋(x６－1）+（x3-１)=(x3-1)(x6＋x３+1)+(x3-1)(ｘ3+1）+(x３-１) =(x3-1)（x6+2x3+３)=（x-1)（x2+x+1)(x６+2x3+3)．(２）将４mn拆成2mｎ+2mｎ．22＝(ｍ２n2＋2mｎ+1）-(m2-２mn＋n2)=（ｍn＋１）2-(m-n)２=(mn+ｍ－n＋1)(mn－ｍ＋n+１).（３)将(x2－１)2拆成2(ｘ2-1）2-（x2－1)2.原式=（x+1)4＋2(ｘ2-1)2-(x2-1）２+（x－1)4 =［(x＋1)4＋2(x+1)２(x-1）2+(x-１)4]－(x2－1)２=［（x+１)２+(x-1)2]2-(x2－1)2=（2ｘ２+２)2-(x２-１)２=(3x2＋1）(ｘ２＋3)．(4）添加两项+ab-ab.原式=a3ｂ-ab3+a2+ｂ2+1+ａb－ａｂ=(ａ3b-ａb３)+(a２-ab）+(ａb+b2+1)=ab(a+b)(a-ｂ）＋a(a－b）+(ab+b2+1)＝a(a－ｂ)[b(ａ+b）+1]+（aｂ+ｂ2＋１)＝［a(a－b)＋1](ａb+b2+1)=（ａ2-ab＋1)（b２+ａb+1).说明(４）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+aｂ－ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.３．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：（x２+x＋1）(x２+x+2）-12．分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难．我们不妨将x2＋x看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于ｙ的二次三项式的因式分解问题了.解设ｘ2+x＝y,则原式=(y+１)(ｙ＋２)－12=ｙ2+３y-１０＝（y-2)(y+5）=(x2+x-2）(ｘ２＋x+5)＝(ｘ－1)（ｘ+2)(ｘ2+x+5）．说明本题也可将x2＋ｘ+１看作一个整体,比如今ｘ2例7 分解因式：(x２+３x+2)(4x2+8x＋３)-90.分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x＋1)(ｘ＋２)(2x+１）（２x+3）-9０＝[(x+１)(2x+3）][（x+２)（2x+1)]－9０＝(2ｘ2+5x+3)(2x2＋5x+2)-90.令y=2ｘ2+５ｘ+2，则原式＝y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2＋5ｘ＋１２)（2x2＋５x-7)=(2x2+5x＋12)(2x+７)（x－1).说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例８分解因式:(x2+4x＋8)2+3x(x2+４ｘ+8)+2ｘ2.解设x2+4x＋8＝ｙ，则原式=ｙ２+3xｙ+２x2=(ｙ+2ｘ）（ｙ+x)=（x２+6x+8)(x2+5x+8)=(ｘ＋2)(ｘ+4)（x2＋５x+8）.说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：６ｘ４＋7x３－3６x2-7ｘ+6.解法1 原式=6(x4+１)＋7x（ｘ2-1)-36x２=６［(x４-2x2+１)+2x２]＋7x(x2－1）-36x2=６[(x2-１）2+2x2]+7x（x2-１)-36x2＝6(x2-1)2+7x(x２-1）-24x2=[２（x２-1)-3ｘ］[3(x2-1)+8x]=(２x2-3x-２）（3x2+8x-3)=(2x+1)(x－２)(3x－1)（x＋3)．说明本解法实际上是将x２-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.原式=x2［6(ｔ2+２)+7t－36]＝x2(6t2+７t-2４)=x２（2ｔ－3）（３ｔ＋８)=x２[２(x-1/x)-3]［３(x-1/x)+8］=（2ｘ2-3ｘ-2）(3x２＋8x-3)＝(2x+1)(x-2）(3x－１）(x+3).例10 分解因式:（x２+xy+y2)-4xy(x２+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式,经常令u=ｘ+ｙ，v ＝xy,用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy］2-４xｙ［(ｘ+y)2－2ｘｙ]．令x+y=u,ｘy=ｖ，则原式=(ｕ2-v)2-４v（u2-2v)=u4-6u2v+９ｖ２=（u2-3ｖ）2=（x2＋２xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y２)2.第二讲:因式分解(二)１.双十字相乘法分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy２＋dx＋ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如,分解因式2ｘ２-７ｘy－22y2-5ｘ+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数，于是上式可变形为２x2-（5+７ｙ)x-(２2ｙ2-35y+３），可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言,它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(－11y+１).再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+（２y-3)]［2x+(－１1y+1)］ =（ｘ＋2y-3)（２x-11y＋1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(２x-11ｙ)=2x２－7xy-22y2；（ｘ-3)(2x+1）＝2x2－5x-3;(2y－3)(-11ｙ+1)=-22y２+3５y－3．这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式ａｘ2+ｂxy+cｙ2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：（１)用十字相乘法分解ax2+bｘy+ｃy２，得到一个十字相乘图(有两列)；(２)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ｅy，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ｄx.例1 分解因式：(1)x2－3xy－10y2+x+9y-2;(２)ｘ２－y2+５x＋３y+4；2解(1)原式＝(x-5y＋２)（x＋2y-1)．(２)原式=(x+y＋1）(x-y+4)．(3)原式中缺ｘ2项,可把这一项的系数看成0来分解. 原式＝(y+1）(x＋ｙ－2）．(4)原式＝(２x-3y+z)（3x＋y-2ｚ).说明(4）中有三个字母，解法仍与前面的类似.2．求根法我们把形如a n x n+a n－1xｎ-1+…+a1x+a0(ｎ为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(ｘ)，g(x),…等记号表示，如ｆ(x)=x2-３x+２，g(ｘ）=x5+x2＋6，…，当ｘ=ａ时，多项式ｆ(x)的值用ｆ(a)表示.如对上面的多项式f(ｘ) ｆ（1)=12－3×1+２=0;f（-2）＝(-2)2-3×(-２)+2=12.若ｆ（ａ）=0,则称ａ为多项式f(x)的一个根.定理1(因式定理) 若ａ是一元多项式f(x)的根，即f(a)=０成立,则多项式f（ｘ)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式ｆ(x)的根．对于任意多项式f(x）,要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式ｆ(x）的系数都是整数时,即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定理2的根,则必有p是a0的约数，ｑ是a n的约数．特别地，当a0=１时，整系数多项式f(ｘ)的整数根均为aｎ的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解.例2 分解因式：x３-４x2+6x－4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根,必是-4的约数，逐个检验－４的约数：±1,±２,±4，只有f(2)＝23-4×２2+6×2－4=0，即x＝2是原式的一个根,所以根据定理1,原式必有因式x－２．解法１用分组分解法，使每组都有因式（x-2)．原式=(x３-2x２）-(2x2-4ｘ)＋(2x－４）=x２(x-２)-２x(x－2)+2(x-2)=(ｘ-2)(x２-2x＋2).解法２用多项式除法，将原式除以(x-2），所以原式=(x－2）(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即－4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式:9x４-３ｘ3＋7x２-3x-2.分析因为9的约数有±1,±3,±9；-2的约数有±1,±为：所以,原式有因式9x2-３x-２.解9x4-3x3+７x２－3x－2＝9ｘ4-3x3-2ｘ2+9x2－3x-2=ｘ2(9ｘ3-3x-２）+9x２－3x－2=（9x2-３x-2)(x２+１)＝（3x＋1）(3ｘ－2)（x2+１)说明若整系数多项式有分数根,可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式,如上题中的因式可以化为9x2-3x-2,这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式（x-a),那么f(ｘ）就可以分解为（ｘ-a)g(x)，而ｇ(ｘ）是比f（x)低一次的一元多项式,这样，我们就可以继续对g(x）进行分解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛,这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时,一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式,但这几个因式中的某些系数尚未确定,这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等,或取多项式中原有字母的几个特殊值,列出关于待定系数的方程(或方程组),解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法．例４分解因式：ｘ2+3xｙ＋2y2+4x＋5ｙ+３.分析由于(x２+3xy+2ｙ2）=(ｘ+2y)(x+y),若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是ｘ+2y+ｍ和x+y＋n的形式，应用待定系数法即可求出ｍ和n,使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2＋4x+5y＋3＝（ｘ+2ｙ+m)(x＋ｙ+n）＝x２+3xｙ+2y2+(m+n)x＋（m+2n)y＋ｍn，比较两边对应项的系数，则有解之得ｍ=3,ｎ=1．所以原式＝(x＋2ｙ+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.例5 分解因式:x4－2x3-2７x2-４4ｘ+7．分析本题所给的是一元整系数多项式,根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±１，±7(7的约数）,经检验，它们都不是原式的根，所以,在有理数集内，原式没有一次因式.如果原式能分解,只能分解为（x2+ａｘ+b)(x2＋ｃｘ+d)的形式.解设原式=（x2+aｘ＋b）(x２+cｘ+ｄ)=x4＋(a+c)x３+(b＋d+aｃ)ｘ２+(aｄ+bc)x＋bd,所以有由bd=7,先考虑b=1,d=７有所以原式=（x２-7x+1)（x2+５ｘ+7).说明由于因式分解的唯一性,所以对ｂ=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a,c的值，就必须将ｂd＝7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止.本题没有一次因式,因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.。