考研高数：常见的旋转曲面求法
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
方程可写为
（二）双曲面 1. 单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
z
o x
y
与平面 z z1 的交线为椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
x2 y2 2 2 1 a z1 b z1 z z 1
空间几何旋转曲面方程记忆口诀
空间几何旋转曲面方程记忆口诀空间几何旋转曲面方程记忆口诀一、引子在学习空间几何的过程中，我们经常会遇到旋转曲面方程这一内容。
它们在三维空间中呈现出各种不同的形态，对于我们理解和掌握空间几何的知识至关重要。
但是，由于其复杂的形式和多样的变化，我们往往会感到困惑和不知所措。
本文将结合口诀的形式，带领大家逐步记忆和理解空间几何旋转曲面方程，希望对大家的学习能够有所帮助。
二、空间几何旋转曲面简介在空间几何中，旋转曲面是指直线或者曲线绕着一条轴线旋转而形成的曲面。
它们可以分为圆锥曲面、双曲面、抛物面等多种类型，每种类型又有不同的特点和方程形式。
而要深入理解和掌握这些旋转曲面的方程，我们首先需要记忆它们的具体形式和特点。
三、提出口诀为了更好地帮助大家记忆空间几何旋转曲面的方程，我特意设计了如下口诀，希望能够带给大家一些帮助：“圆锥曲面轴中心，双曲面两异心。
抛物面退化记，口诀带你追。
”四、口诀解读1. 圆锥曲面轴中心：圆锥曲面的方程一般形式为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 \)当圆锥曲面的轴与坐标轴重合时，即轴线通过空间坐标系的原点时，称之为轴中心圆锥曲面。
2. 双曲面两异心：双曲面的方程有两种形式，一般的双曲面方程为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \)当双曲面有两个焦点且与坐标轴相交时称之为双曲面两异心。
3. 抛物面退化记：抛物面的一般方程为：\( z = ax^2 + by^2 \)当抛物面变化成简单曲线的时候，我们称之为抛物面退化。
五、口诀应用以上口诀为大家概括了圆锥曲面、双曲面和抛物面的方程形式和特点。
我们可以根据这些口诀，快速记忆和掌握各类旋转曲面的方程，帮助我们更好地理解和应用空间几何的知识。
六、个人观点对于空间几何旋转曲面方程的记忆，我认为口诀是一种非常有效且有趣的方式。
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
旋转曲面_精品文档
旋转曲面引言旋转曲面是3维几何中常见的一类曲面形式，它由一个曲线绕着一个轴进行旋转所生成。
旋转曲面在数学、几何学和计算机图形学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍旋转曲面的定义、性质和应用，并举例说明其在现实生活中的实际应用。
定义旋转曲面是由一个曲线绕着一个轴旋转一周所形成的曲面。
具体地说，给定一个曲线 C 和一个轴线 L，如果将 C 绕着 L 旋转一周，相当于将曲线 C 中的每个点沿着一条与 L 垂直的直线移动，然后将所有移动后的点连接起来，就得到了旋转曲面。
旋转曲面的方程可以用参数方程或者隐式方程表示。
如果使用参数方程来表示旋转曲面，可以将旋转曲面上的点表示为 (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中 (u, v) 是某个参数的取值。
常见的参数方程包括球坐标系和柱坐标系等。
性质旋转曲面具有许多有趣的性质。
首先，旋转曲面是一个连续的曲面，没有任何突变或断裂。
其次，旋转曲面具有对称性，即对于曲面上的每个点，如果对应于某一参数值的点旋转180度，那么这两个点关于轴线对称。
此外，旋转曲面也具有轴对称性，即曲面上的每个点关于轴线对称。
旋转曲面的形状取决于曲线和轴线的选择。
如果曲线是一个闭合曲线，如一个圆，那么旋转曲面将是一个闭合曲面，如一个球体。
如果曲线是一个直线段，那么旋转曲面将是一个圆柱体。
而如果曲线是一个非闭合曲线，如一个抛物线，那么旋转曲面将是一个卷曲曲面。
应用旋转曲面在许多领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 几何学：旋转曲面是几何学研究中的重要工具。
它可以用来描述和分析平面几何、立体几何和曲线几何等问题。
通过研究旋转曲面的性质和变化，可以推导出许多几何学定理和结论。
2. 工程学：旋转曲面在工程学中有广泛的应用。
例如，工程师可以使用旋转曲面来描述和分析机械零件的形状和运动。
另外，在产品设计中，旋转曲面也常用于建模和制造。
3. 计算机图形学：旋转曲面是计算机图形学中常用的建模技术之一。
证明曲线是旋转曲面
证明一个曲线是旋转曲面步骤：
第一步，假设我们有一条已知的曲线C，这条曲线在平面上。
第二步，我们以这条曲线C所在的直线为轴，围绕它旋转360度。
第三步，我们观察旋转后的结果。
如果这条曲线C在旋转过程中始终保持与轴线相切，那么旋转后的结果就是一个旋转曲面。
第四步，进一步观察，我们发现这个旋转曲面上的任意一点都与轴线保持等距离。
这是因为曲线C在旋转过程中始终与轴线保持相切，所以它们的距离始终不变。
第五步，通过上述观察，我们可以得出结论：如果一个曲面上的任意一点都与某一直线保持等距离，那么这个曲面就是由这条曲线围绕该直线旋转而成的。
4.3：旋转曲面
z
绕 z 轴一周
得单叶旋转双曲面
.
.
o
b
x2 y 2 z 2 2 1 2 b c
y
x
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
y
绕 y 轴一周
0
z
2 双叶旋转双曲面
y2 z2 1 双曲线 b 2 c 2 x 0
2
由于旋转曲面的经线，总可以作为最初的母 线来产生旋转曲面. 因此为了方便，今后总是取旋转曲面的某一条经线 （显然是平面曲线）作为旋转曲面的母线. 在直角坐标系下导出旋转曲面 的方程时，我们又常把母线所
M1
l
在平面取作坐标面而旋转轴取 作坐标轴，这时旋转曲面的 方程具有特殊的形式.
M
P0
设旋转曲面的母线为
P0
l
设 M1 ( x1 , y1 , z1 )是母线 上的任意点，那么过 M 1的 纬圆总可以看成是: 过 M 1 且垂直于旋转轴 l 的平面
与以 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为中心,
P0 M 1 为半径 的球面的交线.
M1
M
P0
所以过 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 的纬线的方程为：
（7）
（8）
由于 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 在母线上，所以又有
x1 y1 z1 1 2 1 0
即
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x1 y1 z1
x1 2 y1 ,
生活中见过这个曲面吗？
o
y
.
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
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考研高数：常见的旋转曲面求法
我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。
考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。
而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。
因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。
这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。
常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。
那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。
1. 概念
一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。
这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。
2. 旋转曲面求法
求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：
掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。
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