结构力学6力法
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大学《结构力学》第6章 力法课件
超超静静定定次次数数==33××51==135
？ 超超静静定定次次数数==33××52-=356=120
结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）
一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个
无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。
１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；
２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；
•
荷载作用下超静定结构的力法计算及内力图绘制与校核；
• （2）难点：根据已知变形条件建立力法典型方程；
•
利用对称性取等效半结构；
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
一、超静定结构 几何特征：多余约束
静力特征：多余力
组成 ：有多余联系的几何不变体系。注意多余联系是对几何不变 体而言，可在结构内部或外部，多余联系中产生的力称为多余力。 如果一个结构的支座反力和各截面内力都可以由静力平衡
l
MP
M1
3、力法基本方程－
11 1p 0
11 11 X 1
11 X 1 1P 0
X1 1
4、系数与自由项 1P ,11
1P
M1M P dx ql4
EI
8 EI
5、解方程
l3 3EI
X1
ql 4 8EI
0
11
M1M1 dx l3
EI
3EI
X1
3 8
ql
8
X1
3 8
ql
4
3次超静定
P
X
X
3
2
X
3
X1
X
X
2
1
3.切断一根梁式杆等于去掉三个约束
结构力学第六章 力法
34
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
结构力学- 力法
0
X1 4X2
0
解方程得：
X1
1 15
ql 2
(
)
X2
1 60
ql2 (
)
3. 作内力图 1) 根据下式求各截面M值，然后画M图。
M M1X1 M2X2 MP
23
ql2 15
A
C
B
ql2 60
11ql 2 120
D M图
2) 根据M图求各杆剪力并画FQ图。
AB杆： MB 0
FQAB
26
2. 方程求解
q
B
C
ql 2 8
A
MP图
1P
1 E1I1
2 3
l
1 ql 2 8
1 2
ql3 ql3 24E1I1 24E2I2k
2P 0
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
M 2图
1
27
X1=1 1 E1I1 l
1B
C
E2I2 l
A
M1图
B
E1I1 l C
E2I2 l
X2=1
A
1 M2图
11
1 E1I1
1 2
1 l
2 3
1
1 E2 I 2
1 2
1
l
2 3
1
l l l E1I1 E2I2 l k 1 3E1I1 3E2I2 3 E1I1E2I2 3E2I 2 k
( E1I1 k) E2 I2
12
21
1 E2 I2
△iP—荷载产生的沿Xi方向的位移
《结构力学》_龙驭球_第6章_力法(1)
3 1 l l 2l 4l 22 (l l l ) EI 2 3 3EI
X2=1
l M2 图
1 l l l l3 12 21 l (l l ) EI 2 2 EI
l
l
l
l
ql 2 2
EI
EI
原结构
X1=1
l
1、力法方程：
基本体系
M1 图 l
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
l
1 l l 2l 5l 2、系数和自 11 ( ) 2 ( l l l ) 由项的计算： EI 2 3 3EI
解方程得： X 1 ql 2
X2=1
A
1
M2图
(
1 2 1 X 2 ql 4 3k 4
E1 I1 k) E2 I 2
1 2
1 3k 4
1 2 1 X 1 ql 2 3k 4 3. 讨论 1）当k = 0
即 E1 I1 很小或 E2 I2 很大
ql X1 8
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
q=1kN/m
3m
q=1kN/m
FP = 3kN 4 2I I 2I 2 1
3m 3m
FP = 3kN
18
27
9
M P kN m
3m
X1
11
X2
6
6
§6-3 超静定刚架和排架
计算超静定刚架和排架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯 矩的影响，使计算简化。 例6-1：求图示刚架 M 图。 q q C X1 B
X2=1
l M2 图
1 l l l l3 12 21 l (l l ) EI 2 2 EI
l
l
l
l
ql 2 2
EI
EI
原结构
X1=1
l
1、力法方程：
基本体系
M1 图 l
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
l
1 l l 2l 5l 2、系数和自 11 ( ) 2 ( l l l ) 由项的计算： EI 2 3 3EI
解方程得： X 1 ql 2
X2=1
A
1
M2图
(
1 2 1 X 2 ql 4 3k 4
E1 I1 k) E2 I 2
1 2
1 3k 4
1 2 1 X 1 ql 2 3k 4 3. 讨论 1）当k = 0
即 E1 I1 很小或 E2 I2 很大
ql X1 8
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
q=1kN/m
3m
q=1kN/m
FP = 3kN 4 2I I 2I 2 1
3m 3m
FP = 3kN
18
27
9
M P kN m
3m
X1
11
X2
6
6
§6-3 超静定刚架和排架
计算超静定刚架和排架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯 矩的影响，使计算简化。 例6-1：求图示刚架 M 图。 q q C X1 B
结构力学课件--6力法3
2
内容回顾
对称荷载:
反对称荷载:
EI
P EI
EI P P
EI
P EI
EI P P
B.有中柱对称结构（偶数跨结构） 对称荷载:
反对称荷载:
EI EI
P EI
EI P P
EI EI
P EI EI EI P P
EI/2
2019/7/14
课件
3
用力法计算下图所示结构，并作结构M图。
1 kN/m EI
EI
EI 2m
可能使： 21 = 12 = 0
即得：
课件
11X1 1P = 0 22 X 2 2P = 0 33 X 3 3P = 0
y y´
12
X2
X2 y
X1 X1 a
y
O
x
x'
1
y
x
X1 = 1
y
X2 =1
M1 =1 N1 = 0 Q1 = 0
12 =
15
4m
a
y
2EI
EI
EI
x
8m
X1 X1
X2 X2 X3
a
=
y
1 EI
ds
1 EI
ds
=
1 2EI
8 4
2( 1 EI
4 2)
=
8
=
2.667m
1 8 2( 1 4)
3
2019/7/14
2EI
EI 课件
§6-7 支座移动和温度改变时的内力计算
16
一、支座移动时的计算
(a 11
1 2
结构力学课件--6力法
2m 2m
4m
1
4m
125
15
11.3
15
M kN m
Q kN
3.7 75
200
15 147.5
11.3 22.5
11.3 3.7
22.5
2021/4/9竖向力不平衡
147.5
N kN
二、变形条件的校核
25
200
100 60
2
2 30
1
40
1
150
4m
1
1
20 2m 2m
15 4m
11
M kN m
2) 3
4a 3EI
X2 1
22
1 EI
(1 2
a 1
2) 3
a 3EI
M2
12
1 EI
(1 2
a 1 1) 3
a 6EI
1 1 Pa
1 Pa 2 5Pa2
1P
EI
( 2
2
a1 2
2
a ) 3 12EI
2P
1 EI
1 2
Pa 2
a
1) 3
Pa 2 12EI
Pa 2
P 2 MP 1
X1 1 M1
EA
0 E1A1
1P
M1M P EI
ds
=
1P
l N12 dx l 12 dx l
0 E1A1
0 E1A1
E1 A1
11
M12 ds EI
N12 ds EA
l E1 A1
11
l E1 A1
两类拱的比较： 无拉杆 H 1P
11
E1A1 H H 相当于无拉杆
结构力学——力法
X1 = 9ql / 20, X 2 = 3ql / 40
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
X1 X2
ql 2 / 40 M
∆1 = 0 ∆ 2 = 0 δ11 ⋅ X1 + δ12 ⋅ X2 + ∆1P = 0 δ21 ⋅ X1 +δ22 ⋅ X2 + ∆2P = 0
q
X1 = −3ql / 20, X 2 = −ql 2 / 40
将未知问题转化为 已知问题， 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。 基本方法之一。
二.力法的基本体系与基本未知量 力法的基本体系与基本未知量 超静定次数: 超静定次数: 多余约束个数.
若一个结构有N个多余约束,则称其为N次超静定结构. . 几次超静定结构? 几次超静定结构
X
= 3 ql / 8 ( ↑ )
⋅ X
+ M
P
ql
2
/ 2
l
MP
M1
力法步骤: 力法步骤: 1.确定基本体系 4.求出系数和自由项 确定基本体系 求出系数和自由项 2.写出位移条件 力法方程 写出位移条件,力法方程 5.解力法方程 写出位移条件 解力法方程 3.作单位弯矩图 荷载弯矩图 6.叠加法作弯矩图 作单位弯矩图,荷载弯矩图 作单位弯矩图 荷载弯矩图; 叠加法作弯矩图 练习 P EI l EI l 作弯矩图. 作弯矩图
M1
3 Pl 8 5 Pl 8
=0 δ 11 = 4l / 3EI ∆1P = − Pl 3 / 2 EI
X 1 = 3 P / 8(↑)
M = M1 ⋅ X 1 + M P
P
MP
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
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2P
0
....................................................................
n1 X 1 n2 X 2 ............... nn X n nP 0
1） iP,ij 的物理意义；
ij
2）由位移互等定理 ij ji ； 位移的地点
产生位移的原因
3） ij 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
4）柔度系数及其性质
对称方阵
11 12 ........... 1n
21
22
...........
2
n
....................................
n1
n2
...........
2.83
I3 16.1 104 cm4
1.59
I1 81.8 104 cm4
8.1
X2
1
2.83
X1 X1
X2
1.59
43.2kN m
1.59
17.6kN m
8.1
11 X 1 12 X 2 1P 0 8.1 21 X 1 22 X 2 2P 0
X1 1
M1 X1
M
8
基本体系有多种选择；
但基本方程不变
11 X 1 1P 0
q
X1
q
q
EI
1
X1
qБайду номын сангаас
q
q
1 p
1 p
X1
X1
11 X 1
) 11 X 1
X1
（a）
（b）
（c）
9
二、多次超静定结构
P
P
X2
P
2 P
1 P
21
11
X1 1
X1
22
X2 1
12
（1）基本体系 悬臂刚架
6
q
EI l （a） X1
q 1 P
（b）
1111
X1
（c） X 1 1
ql 2
2
1、力法基本未知量－X 1
l
2、力法基本体系－悬臂梁
MP
M1
3、力法基本方程－
11X 1 1 p 0
11 11 X 1
11 X 1 1P 0
X1 1
4、系数与自由项 1P , 11
1P
M1M P dx ql4
一个结构有多少个多余约束呢？
2
二、超静定次数 一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。
P
1次超静定
A 2次超静定
X1
X1
切断一根链杆等于去掉一个约束
P X2
X1
X
X
2
1
Q
去掉一个单铰等于去掉两个约束
3
3次超静定
P
X
X
3
2
X
3
X1
X
X
2
1
切断一根梁式杆等于去掉三个约束
P X1 X1
1次超静定
nn
系数行列式之值>0
主系数 ii 0
0
副系数 ij 0
0
5)最后内力 M M 1 X 1 M 2 X 2 .......... ... M n X n M P
12
一、刚架
§6-3 超静定刚架和排架
P=3kN
3m 3m q=1kN/m
3
4
2I
I
2I
2
1
X1 X2
X1
3m 3m
207 X1 135X2 702 0...............1 135X1 144X2 520 0..............2
X1 X2
2.67kN
1.11k
N
2.67
5、内力
M M1X1 M2X2 MP
2
4.33
1.33
5.66 3.56
M kN m
1.11
3.33
在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
4
4次超静定 3
1
5
§6-2 力法的基本概念
一、基本思路
q
EI
1
（a）
q
=
X1
（b）
q
1 P （c）
11
X1
（d）
（1）平衡条件 如图（b）当 X1 取任何值都满足平衡条件。
（2）变形条件 1 1 p1p11110X1 0
力法基本未知量、基本体系、基本方程。
X1
1、基本体系与基本未知量： X 1 , X 2
2、基本方程
1 0 2 0
11 X1 12 X 2 1P 0 21 X1 22 X 2 2P 0
13
X2 X2
3m 3m q=1kN/m
P=3kN
3
4
2I
I
2I
2
1
3m 3m
X1 X2
18
27
9
M P kN m
6
6
3、系数与 自由项
EI
8 EI
5、解方程
l3 3EI
X
1
ql 4 8 EI
0
11
M1M1 dx l3
EI
3EI
X1
3 8
ql
7
X1
3 8
ql
ql 2
q
2
EI l
X1
MP
3ql 2 8
6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）
（1）
q
EI l
3ql 8
ql 2 8
ql 2 16
（2） M M 1 X 1 M P
（2）基本未知力 X 1 , X 2
（3）基本方程 1 0
2 0
（4）系数与自由项
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
（5）解力法方程 X 1
X2
（6）内力
M M1 X1 M2 X2 MP
10
同一结构可以选取不同的基本体系
P
P
X2
3.33 1.9
1.11
2.67
Q kN
15
3.33 1.9
N kN
4.65m 2.1m 6.75m 2.6m
二、排架
II 1
I2
II 3 J I
J
I4
II 3
I4
排架主要分析柱子 柱子固定于基础顶面 不考虑横梁的轴向变形 不考虑空间作用
I1 10.1 104 cm4
相对值 1
I2 28.6 104 cm4
超静定结构
１、任务－计算超静定结构的内力和位移。 ２、依据－静力平衡条件、变形协调条件。 ３、超静定结构的两种基本解法：
力 法－以结构的多余未知力作为基本未知量。 位移法－以结构的结点位移作为基本未知量。
1
§6-1 超静定结构的组成和超静定次数
一、超静定结构 几何特征：
静力特征：
要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一 旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于 解决多余约束的内力。
X1
X2
P
X1
1 0 2 0
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2P 0
但基本方程不变
11
n次超静定结构
11 X 1
12 X 2
............... 1n X n
nP
0
21 X 1
22 X 2
............... 2n X n
11
M1M1 dx 207
EI
EI
22
M 2M 2 dx 144
EI
EI
12 21
M1M 2 dx 135
EI
EI
X1 1
3
M 1m
6 6
1P
M1M P dx 702
EI
EI
2P
M 2M P dx 520
EI
EI
14
M 2 m
X2 1
4、 解方程