上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年上海市上海交通大学附属中学高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：B分析：本题首先可根据复数z 为纯虚数得出0a =以及0b ≠，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.解：若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.2．已知()111,P a b 与()222,P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于1l ：1110a x b y +-=和2l ：2210a x b y +-=的交点情况是（）A ．存在k ，1P ，2P 使之无交点B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多交点C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点D ．无论k ，1P ，2P 如何，总是唯一交点答案：D分析：根据12,P P 在直线1y kx =+上且不重合，得到12210a b a b -≠，由此分析两直线的位置关系，从而判断出直线的交点个数.解：因为直线1y kx =+经过点()0,1不经过原点，点12,P P 在直线1y kx =+上且不重合， 所以12,OP OP 不共线，所以12210a b a b -≠， 因为11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩，即112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩，方程组的系数矩阵为：1122a b a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以111221220a b D a b a b a b ==-≠，所以11221010a x b y a x b y +-=⎧⎨+-=⎩有唯一解， 所以不论k ，1P ，2P 如何，12,l l 总是唯一交点，故选：D.点评：关键点点睛：二元一次方程组的解可以利用行列式去计算，未知数的系数比例关系决定了行列式的值也具有相应的比例关系.3．平行六面体1111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么点1A 在面11AB D 上的射影一定是11AB D 的________心，点1A 在面1BC D 上的射影一定是1BC D 的________心（）A ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心答案：C分析：将三棱锥111A AB D -、三棱锥11A BC D -分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明1A 的射影点分别是11AB D 和1BC D 的哪一种心.解：三棱锥111A AB D -如下图所示：记1A 在面11AB D 上的射影点为O ，连接11,,AO B O D O ，因为11111AA A D A B ==，又1A O ⊥平面11AB D ， 所以222222*********1,,AA AO AO A D AO OD A B AO OB =+=+=+ 所以11AO OB OD ==，所以O 为11AB D 的外心；三棱锥11A BC D -如下图所示：记1A 在面1BC D 上的射影点为1O ，连接1111,,BO C O DO ，因为11//BC AD ，且四边形11ADD A 是菱形，所以11AD A D ⊥，所以11BC A D ⊥， 又因为11A O ⊥平面1BC D ，所以1111111,AO BC AO A D A ⊥=，所以1BC ⊥平面11AO D ，又因为1DO ⊂平面11AO D ，所以11DO BC ⊥， 同理可知：1111,BO DC C O DB ⊥⊥，所以1O 为1BC D 的垂心， 故选：C.点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过1A 的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DPD CPM ∠=∠，则P 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分答案：A分析：先确定2PD PC =，再在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，求出P 的轨迹方程，即可得到结论．解：由1DPD CPM ∠=∠易知1Rt DPD Rt CPM ∽ 又M 为1CC 的中点，则12DD PD PC CM==，2PD PC ∴=，在平面ABCD 内以D 为原点建立平面直角坐标系，设1DC =，(,)P x y ， 由2PD PC ==2244()39x y ∴+-=P 在底面ABCD 内运动， ∴轨迹为圆的一部分故选：A ．点评：关键点点睛：本题的关键是在底面内建立平面直角坐标系，设出点的坐标，求出曲线的轨迹方程，从而判断曲线的轨迹. 二、填空题 5．复数21i-的虚部为____________． 答案：1分析：根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部.解：因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1， 故答案为：1. 6．直线()121:44x t l t R y t =-⎧∈⎨=+⎩，2:30l ax y ++=，若12l l ⊥，则a =____________．答案：12分析：将直线1l 的方程化为普通方程，根据两直线垂直可得出关于a 的等式，即可求得实数a 的值. 解：将直线1l 的方程化为普通方程得260x y -+=，2:30l ax y ++=，且12l l ⊥，所以，210a -=，解得12a =. 故答案为：12. 7．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．答案：11试题分析：由题意得，作出不等式组所表示的可行域，如图所示，由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，则由图象可知当直线3y x z =-+经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大，此时z 有最大值，由2{1y x y =-=，解得(3,2)A ，此时33211z =⨯+=．简单的线性规划．8．若方程2(3)40x k i x k ++++=有实数根，则实数k 的取值是____________． 答案：4-分析：将方程整理为：2430x kx k ix ++++=，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k 的值.解：因为2(3)40x k i x k ++++=有实数根，所以2430x kx k ix ++++=有实根， 所以0x =，所以40k +=，所以4k =-， 故答案为：4-.9．抛物线24y x =的准线方程为______. 答案：116y =-试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程10．已知圆锥底面半径为13_____． 答案：2π分析：由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解． 解：由已知可得r=1，3132+=, ∴圆锥的侧面积S=πrl=2π． 故答案为2π．点评：本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB CD ==，3AC BC AD BD ====，则三棱锥A BCD -的体积是____________． 答案：23分析：取AB 中点O ，连接,CO DO ，由条件可证明AB ⊥平面CDO ，由此将三棱锥A BCD -的体积表示为13CDOAB S⨯⨯，计算可得结果.解：取AB 中点O ，连接,CO DO ，如下图所示：因为AC BC AD BD ===，所以,AB CO AB DO ⊥⊥，CO DO O =，CO ⊂平面CDO ，DO ⊂平面CDO ，所以AB ⊥平面CDO ，又因为3AC BC AD BD ====，2AB CD ==，所以()22210322CO DO ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22110221222CDOS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为11221333A BCD CDOV AB S -=⨯⨯==， 故答案为：23. 点评：关键点点睛：解答本题的关键是通过找AB 的中点，证明出线面垂直，从而将三棱锥的体积表示为13CDO AB S ⨯⨯，区别于常规的13⨯底面积⨯高的计算方法，本例实际可看成是两个三棱锥的体积之和.12．在北纬45°东经30°有一座城市A ，在北纬45°东经120°有一座城市B ，设地球半径为R ，则A 、B 两地之间的距离是______； 答案：3R π 分析：由已知中在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045东经0120有一座城市B ，设地球半径为R ，我们可以求出北纬45︒的纬线圈半径，及连接AB 两点的弦的长，进而求出A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠，代入弦长公式即可得到答案．解：由已知地球半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为2R ， 又两座城市的经度分别为东经30和东经120︒，故连接两座城市的弦长22L R R ==，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角3AOB π∠=，所以A 、B 两地之间的距离是3R π. 故答案为：3R π. 点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，要计算球面两点的球面距离要有两个关键的几何量，一是球的半径R ，一是A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角AOB ∠．13．设双曲线221916x y -=的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若17PF =，则2PF =_________.答案：13分析：根据双曲线定义12||2PF PF a -=，求解.解：由双曲线的定义得12||26PF PF a -==，又17PF =， 所以21PF =，或213PF =经检验21PF c a =-＜，舍去， 所以213PF =. 故答案为：13.14．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 答案：6分析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.解：设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==， 6.点评：结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应平面向量OZ .15．已知异面直线a ，b 所成角为70°，过空间定点P 与a ，b 成55°角的直线共有____________条． 答案：3分析：根据条件先将直线,a b 平移至过点P ，然后根据直线,a b 所成角的角平分线以及直线,a b 所在平面的垂线分析与直线,a b 所成角均为55︒的直线的条数. 解：将直线,a b 平移，使两直线经过点P ，如下图所示：设直线,a b 所成角的角平分线为c ，过点P 垂直于直线,a b 所在平面的直线为d ，因为,a b 所成角为70︒，当直线l 经过点P 且直线l 在直线,a b 所在平面内且垂直于直线c ， 此时l 与直线,a b 所成角均为18070552︒-︒=︒； 当直线l 在直线,c d 所在平面内时，若l 绕着P 点旋转，此时l 与直线,a b 所成角相等， 且所成角从70=352︒︒变化到90︒，再从90︒变化到35︒，所以此时满足条件的l 有2条， 综上所述：过空间定点P 与,a b 成55︒角的直线共有3条， 故答案为：3.点评：结论点睛：已知异面直线,a b 所成角为0,2πθθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过空间任意一点O 作直线l ，使得l 与,a b 成等角ϕ：（1）当0,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，此时l 不存在； （2）当2θϕ=时，此时l 有一条；（3）当22θπθϕ-<<，此时l 有两条；（4）当2πθϕ-=时，此时l 有三条；（5）当22πθπϕ-<<时，此时l 有四条.16．三角形ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30和45的角，且平面ABC 与平面α成60的二面角，那么ACB ∠的大小为____________．答案：90或22分析：对ABC ∠为锐角和钝角两种情况讨论，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ，过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，利用空间角的定义结合勾股定理可计算得出ABC 的三边边长，结合余弦定理可求得ACB ∠的大小. 解：分以下两种情况讨论：（1）若ABC ∠为锐角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==3DE ∴=， 2223CE CD DE ∴=+=， CE AB ⊥，22263AE AC CE ∴=-=，2263BE BC CE a =-=， 所以，6AB AE BE a =+=，222AC BC AB ∴+=，所以，90ACB ∠=；（2）若ABC ∠为钝角，如下图所示，过点C 作平面α的垂线，垂足为点D ，连接AD 、BD ， 过点D 在平面α内作DE AB ⊥，垂足为点E ，连接CE ，设CD a =，则AC 与平面α所成的角为30CAD ∠=，2AC a ∴=，223AD AC CD a -=，BC 与平面α所成的角为45CBD ∠=，则BD CD a ==，222BC BD CD a +=，CD α⊥，AB α⊂，AB CD ∴⊥，DE AB ∵⊥，CD DE D ⋂=，AB ∴⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，AB CE ∴⊥，所以，平面ABC 与平面α所成二面角为60CED ∠=，CD α⊥，DE α⊂，CD DE ∴⊥，tan 3CD CED DE ∠==33DE a ∴=， 22233CE CD DE a ∴=+=， CE AB ⊥，2226AE AC CE ∴=-=，226BE BC CE =-=， 所以，6AB AE BE =-=， 在ABC 中，AC 2a =，2BC a =，6AB =， 由余弦定理可得22222cos 23AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅， 0180ACB <∠<，所以，22arccos3ACB ∠=. 综上所述，90ACB ∠=或2arccos3. 故答案为：90或22点评：关键点点睛：本题考查三角形内角的计算，需要对ABC ∠进行分类讨论，解题的关键就是利用线面角、二面角的定义求出ABC 三边的边长，并结合余弦定理求解. 三、解答题17．直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．(1)若1BM AC ⊥，求h 的值；(2)若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．答案：（1）1h =（2）10sin5arc 试题分析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BM ，1AC ，利用10BM AC ⋅=，求出h 的值；（2）求出直线1BA 的方向向量与平面ABM 的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()2,0,0B ,()10,0,4A ，()0,2,0C ，()0,2,M h()2,2,BM h =-，()10,2,4AC =- 由1BM AC ⊥得10BM AC ⋅=，即2240h ⨯-= 解得1h =．(2)解法一：此时()0,2,2M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-设平面ABM 的一个法向量为(),,n x y z = 由0{n AB n AM ⋅=⋅=得0{x y z =+=所以()0,1,1n =-设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB ∴⊥平面11AAC C 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； 在1Rt A BM中，11AM A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc 点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角θ与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为90或相减为90，且满足sin cos ,m n θ=〈〉.18．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值． 答案：（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．分析：（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值. 解：解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222xx x x x x x x x x x x +=++=+-+，1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 点评：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.19．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图1）．其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，EAD 和FBC 是三角形，“刍甍”字面意思为茅草屋顶．图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构．它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图3，屋顶五面体为“刍甍”，其中前后两坡屋面ABEF 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形，点F 在平面ABCD 和BC 上射影分别为H ，M ，已知5HM =米，10BC =米，梯形ABEF 的面积是FBC 面积的2.2倍．设04FMH πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元/米．现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？ 答案：（1）160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=．分析：（1）由题意知FH HM ⊥，在Rt FHM 中，5cos FM θ=，得FBC 的面积为25cos θ，从而得屋顶面积为16022cos FBC ABFE S SS θ=+=； （2）别墅总造价为2sin 60096004800057600cos y s h θθ-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，令()2sin cos f θθθ-=，求导求最值即可求解.解：（1）由题意知FH ⊥平面ABCD ，FM BC ⊥， 又因为HM ⊂平面ABCD ，所以FH HM ⊥， 在Rt FHM 中，5HM =，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=，因此FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=， 从而得屋顶面积为25251602222 2.2cos cos cos FBC ABFE S S S θθθ=+=⨯+⨯⨯=， 所以屋顶面积S 关于θ的函数关系式160cos S θ=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）在Rt FHM 中，5tan FH θ=，所以主体的高度为65tan h θ=-， 所以()1605sin 600960065tan 60096006cos cos y s θθθθ⎛⎫=+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭ 2sin 4800057600cos θθ-⎛⎫=⨯+⎪⎝⎭， 令()2sin cos f θθθ-=，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()222cos sin 2sin 12sin cos cos f θθθθθθθ-+--+'==， 令()0f θ'>解得64ππθ<<，令()0f θ'<解得06πθ<<，所以()2sin cos fθθθ-=在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以当6πθ=时，()2sin cos fθθθ-=取得最小值，即当6πθ=时，总造价最低.点评：关键点点睛：本题解题的关键点是找出Rt FHM 的边角关系，表示出FBC 的面积，第二问的关键点是求出下部主体的高度65tan h θ=-即可表示出别墅总造价，利用导数求最值即可. 20．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB =，11AA =，直线BD 与平面1AAB B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ．（1）若F 为棱11A B 上的动点，试确定F 的位置使得//AE 平面1BC F ，并说明理由； （2）若F 为棱11A B 上的中点；求点A 到平面BDF 的距离；（3）若F 为棱11A B 上的动点（端点1A ，1B 除外），求二面角F BD A --的大小的取值范围．答案：（1）11113B F B A =，证明见解析；（2；（3）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭．分析：（1）延长AE 交CD 于M ，在11C D 上取点N ，使得1D N DM =，连接1,MN A N ，可证得1//AM A N ，从而可得11//C F A N ，由此可得11113B F B A =，再由11113B F B A =证明线面平行即得； （2）用等体积法可求得点A 到平面BDF 的距离；（3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于E ，连接FQ ，FQP ∠是二面角F BD A --的平面角，设1B F x =，(02)x <<，求出平面角的正切值可得范围，从而得角的范围．解：（1）11113B F B A =时，//AE 平面1BC F ，证明如下： 延长AE 交CD 于M .因为AD ⊥平面11ABB A ，所以DBA ∠是直线BD 与平面11ABB A 所成的角，即30DBA ∠=︒，所以tan 30AD AB =︒=． 由AE BD ⊥，所以30DAE ∠=︒，2tan 303DM AD =︒=， 在11C D 上取点N ，使得123D N =，连接1,MN A N ， ∵11113B F B A =，则123B F =，1143A F C N ==，又11//A F C N ，∴11A FC N 是平行四边形， 11//A N FC ，11,//D N DM D N DM =，1D NMD 是平行四边形，∴1111////,MN DD AA MN DD AA ==，∴1A AMN 是平行四边形，∴1//AM A N∴1//AM C F ，又AM ⊄平面1BC F ，1C F ⊂平面1BC F ，∴//AM 平面1BC F ，即//AE 平面1BC F ．（2）1232322ABD S ==△，1232313F ABD V -=⨯=由长方体性质可得2BF =33BD =，303DF =，∵222BF FD BD +=，∴BF DF ⊥， ∴130152233BDF S ==△，设A 到平面BDF 的距离为h ，则由A BDF F ABD V V --=得 11523339h ⨯=，∴55h =． （3）作FP AB ⊥，垂足为P ，作PQ BD ⊥于Q ，连接FQ ，则FP ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴FP BD ⊥，同理FP PQ ⊥， ∵FPPQ P =，,FP PQ ⊂平面FPQ ，∴BD ⊥平面FPQ ，而FQ ⊂平面FPQ ，∴BD FQ ⊥，∴FQP ∠是二面角F BD A --的平面角， 设1B F x =，(02)x <<，则由1BB FP 是矩形得BP x =，11FP BB ==， 则1sin 302PQ BP x =︒=， ∴2tan FP FQP PQ x ∠==(1,)∈+∞，FQP ∠是锐角，∴,42FPQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭． ∴二面角F BD A --的范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 点评：方法点睛：本题考查线面平行的性质与判定，考查等体积法求点到平面的距离，考查二面角．求点到平面的距离的方法有三种：一是根据定义作出点到平面的垂线段，求出垂线段的长即得，二是等体积法，三是空间向量法．用定义法求二面角注意三个步骤：一是作出二面角的平面角，二是证明作出的角是二面角的平面角，三是计算．21．设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，左、右焦点分别是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4． （1）求E 的标准方程； （2）设椭圆上31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，判断以2PF （2F 为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系并说明理由；（3）设点(,)N λμ为曲线E 上确定的一个点，若直线2l ：y kx m =+与曲线E 交于两点C ，D （C ，D 异于点N ），且满足NC ND NC ND +=-，请问直线2l 是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．答案：（1）22143x y +=；（2）内切；答案见解析；（3）2l 恒过定点；定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：（1）根据椭圆的定义求解出,a c 的值，根据222a b c =+求解出22,a b 的值，则椭圆方程可求；（2）先求解出两圆的方程，然后通过计算圆心距和圆的半径，得到圆心距与圆的半径之间的关系，由此确定出两圆的位置关系；（3）根据条件NC ND NC ND +=-可得0NC ND ⋅=，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理形式表示出0NC ND ⋅=对应的坐标形式，由此得到,k m 之间的关系式，从而确定出直线2l 所过的定点.解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，由条件可知：2224c a =⎧⎨=⎩，所以12c a =⎧⎨=⎩，所以222243a b a c ⎧=⎨=-=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=； （2）内切，理由如下：因为31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()21,0F ，所以2PF 中点为M30,4⎛⎫⎪⎝⎭，且54PM ==， 因此，以2PF 为直径的圆的方程为：22325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，半径154R =以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y +=，半径22R =，2134R R ==-， 因此，以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆内切； （3）设()()1122,,,C x y D x y ，因为223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++， 又因为NC ND NC ND+=-，所以NC ND ⋅=，所以()()()()12120x x y y λλμμ--+--=，所以()()()()12120x x kx m kx m λλμμ--++-+-=， 所以()()()()()222121210k x x k m x x m μλλμ++--+++-=，所以()()()()()()()2222214128340k m k m km m k μλλμ⎡⎤+-+---++-+=⎣⎦， 所以()()()222222271218334460m kkm k m λλμλμμ-++++++-=，又(,)N λμ在E 上，所以223412λμ+=， 所以()()()2222271218121260m kkm k m λμλμ-+++-++-=，所以22227860m km k m λμλμ+-+-=，所以()()2243k m m λμ+=+， 所以43k m m λμ+=+或()43k m m λμ+=-+，当43k m m λμ+=+时，m k λμ=-+，所以()2:l y k x λμ=-+过点(,)N λμ，不满足条件； 当()43k m m λμ+=-+时，77k m λμ=--，所以2:77l y k x λμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2l 过定点,77λμ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上可知：直线2l 恒过定点,77λμ⎛⎫-⎪⎝⎭. 点评：方法点睛：解答圆锥曲线的定点问题的策略：（1）参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 与过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k与,x y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.。
上海交大附中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设函数()()sin 12f x x =+，则()f x ′=__________.2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）3.设事件A B ､是互斥事件，且()()14P A P B ==，则()P A B ∪=__________. 4.已知函数()2ln f x ax x =+的导函数()f x ′满足()13f ′=，则a 的值为__________. 5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________. 6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.8.某篮球运动员的罚球命中率为80%，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x ′为其导函数，()20240f =，当0x >时，有()()xf x f x ′>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为__________.10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一电只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）11.为庆祝70周年校庆，学校开设A B C ､､三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学题名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.12.设点P 在曲线()Γ:ln 22x y x =+上，点Q 在直线:1l y x =−上，平面上一点M 满足13QM MP = ，则M 到坐标原点O 的距离的最小值为__________.二､题题题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.514.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A.47CB.48CC.49CD.48P15.抛一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；③D A B ⊆∩；其中正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④16.对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =−； ②()32f x x =+在区间[]1,1D −上优于()e x g x =.那么（ ）A.①､②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①､②均错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是AC 的中点.（1）证明：1AB ∥平面1BC D .（2）若1,90,45AB BC ABC B AB ∠∠===，求二面角11B C D B −−的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()22ln f x a x x ax =−+−. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间[]1,e 上恰有一个零点，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p ，乙同学答对每题的概率均为()q p q >，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同题答题的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值； （2）设事件i A =“甲同学答对了i 道题”，事件i B =“乙同学答对了i 道题”，其中0,1,2i =，试求甲答对的题数比乙多的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12PF F1213F PF ∠=.如图，,,M NG 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.（1）求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线NG 的距离的最大值；（3）判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()e 2e x x f x a −=++.（1）若直线3y x =+是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（2）若()21f x x x ≥−+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若12e e 3x x +=，且()()()12123f x f x x x k ⋅≥++，求实数k 的最大值.。
上海交大附中2012-2013学年高二第二学期期末数学试卷及答案
上海交通大学附属中学2021-2021学年度第二学期高二数学期终试卷本试卷共有23道试题，总分值150分，考试时间120分钟。
一．填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1. 假设复数3a ii+-〔R a ∈〕是纯虚数，那么a = . 【答案】31 2. 7个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有 种不同的排法。
【答案】2403. 在5(32)x y -的展开式中，假设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，那么a b += ．【答案】33 4.假设在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，那么n = 。
【答案】85. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 。
【答案】216解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有14C 种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进展十位，百位，千位三个位置的全排。
那么共有11234333216C C C P =6. 从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，那么按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为 ．〔结果用最简分数表示〕 【答案】5117. 假设复数z 满足61()31i z i i-++≤〔i 为虚数单位〕，那么z 在复平面内所对应的图形的面积为 . 【答案】3π8. 如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球面积的比为______.【答案】3:29. 1321===z z z，那么122331123z z z z z z z z z ++=++ 。
【答案】110 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是 ．〔结果用最简分数表示〕 【答案】1311. 不等式31416151----+<+n n n n C C C C 的解集为 。
2019-2020学年上海市交大附中高二(下)数学期末模拟试卷
2019-2020学年上海市交大附中高二（下）数学期末模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如图，在下列三棱柱中，若M、N、P分别为其所在棱的中点，则不能得出平面MNP的是A. B.C. D.2.已知四棱柱中，平面ABCD，且底面ABCD是正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.3.半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，则它的最高处距桌面A. 4cmB. 2cmC.D.4.设a，b是异面直线，下列命题正确的是A. 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B. 过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C. 过a一定可以作一个平面与b垂直D. 过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.证明点P在平面内的方法是________证明点P在直线l上的方法是________6.在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则；其中真命题的序号为______ ．7.已知异面直线a与b所成的角，P为空间一点，则过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条8.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E为AB的中点，F为的中点，则EF的长为______．9.在三棱锥ABCD中，，E，F分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为______ ．10.在正方体中，与平面之间的关系是________．11.在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线DP与所成的角最大是．12.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．13.已知平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于则动点P的轨迹方程为______ ．14.已知在棱长为1的正方体中，点E是线段上的动点，点F是线段BC上的动点，则的最小值是______．15.在直三棱柱中，，，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为______ ．16.如图，在四面体中，，对棱AC与BD所成的角为，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.设，求证：；已知，，比较与的大小．18.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，Q是棱PC上异于P，C的一点．求证：；过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面点F在棱PB上，求证：．19.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABE，，F为CE上的点，且平面ACE．求证：；求三棱锥的体积；设M在线段AB上，且满足，试在线段CE上确定一点N，使得平面DAE．21.如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，，是以CD为底边的等腰三角形，且点F为PC的中点．求证：平面BFD；求二面角的余弦值；求三棱锥的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法解决问题．【解答】解：在A，B中，可得，所以平面MNP；在D中，可得，所以平面MNP；故选C．2.答案：D解析：解：如图，连接，，则为异面直线与所成角，由已知可得：，．．异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由已知画出图形，找出异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积及圆锥的轴截面，先根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，利用轴截面等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．【解答】解：设圆的半径为R，，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为H，根据题意：，，故，，最高处距桌面距离：，故选D4.答案：D解析：【分析】本题考查了空间中的位置关系，根据线面、线线的位置关系逐项判断即可．【解答】解：A项错，若点P与a所确定的平面与b平行，就不能作一条直线与a，b相交；B项错，若平面都与a，b垂直，则与a，b是异面直线矛盾；C项错，假如这样的平面存在时，平面，则，当直线a与b不垂直时，平面不存在，所以C错误；D项正确，在a上任取一点A，过A点作直线，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．故选D．5.答案：证明；证明，，解析：【分析】本题主要考查点与直线和平面的关系，属于基础题．【解答】解：证明点P在平面内的方法是证明，证明点P在直线l上的方法是证明，，，故答案为证明；证明，，．6.答案：解析：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若，，则，满足平行线公理，所以正确；中正方体从同一点出发的三条线，也错误；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：．有平行线公理判断即可；中正方体从同一点出发的三条线进行判断；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；由线面垂直的性质定理可得；与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．7.答案：2 1 4解析：解：平移a，b过P，如图，平面内，设a与b所成锐角的角分线为m，所成钝角的角分线为n，则m与a，b所成最小角为，n与a，b所成最小角为，过P点与a和b所成角的直线有1条；上下旋转m，可得与a和b所成角的直线有2条；分别上下旋转m，n，可得过P点与a和b所成角的直线有4条，故答案为：2，1，4．平移a，b过P，通过异面直线所成角的概念结合直线旋转得答案．本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：解析：【分析】利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出．熟练掌握向量模的计算公式和向量的数量积的定义是解题的关键．【解答】解：，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E 为AB的中点，F为的中点，，，故答案为．9.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是异面直线所成的角，属于基础题．设G为AC的中点，其中根据三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角或其补角，是解答本题的关键．【解答】解：设G为AC的中点，连接EG，FG，则、F分别是AB、CD中点且且，为异面直线AD、BC所成的角或其补角，，即异面直线AD、BC所成的角为．故答案为：．10.答案：垂直解析：【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用．【解答】解：在正方体中，，，，平面．故答案为垂直．11.答案：解析：【分析】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由，得为异面直线DP与所成角，由此能求出异面直线DP与所成角的最大值．【解答】解：如图，在正方体中，连接，DB，则，所以为异面直线DP与所成的角，易知当点P与点B重合时，最大，且最大为．12.答案：12解析：【分析】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线有：，，CD，，BC，，，，，BD，，，共12条．故答案为：12．13.答案：或解析：【分析】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．根据平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当时，点P到F 的距离等于点P到直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当时，也满足题意．【解答】解：平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当时，点P到F的距离等于点P到直线的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为；当时，．动点P的轨迹C的方程为或．故答案为或．14.答案：解析：解：如图，，把正方体上底面折起，连接与B重合，则的最小值是．故答案为：．由题意画出图形，再由勾股定理求解．本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：设棱柱的内切球的半径为r，则的内切圆为球的大圆，设，，则，由等面积可得，．设，，则，设，，，，直三棱柱内切球的表面积的最大值为．故答案为：．棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．本题考查了棱柱的结构特征，棱柱与内切球的关系，属于中档题．16.答案：或解析：解：取BC的中点P，连接MP、NP，因为M、N分别是AB、CD的中点，所以，，，，所以，就是异面直线AC与BD所成的角或补角，即或又，所以当时，为正三角形，所以当时，本题考查直线与直线的位置关系，平行线性质定理，异面直线所成的角，属于较综合的题型。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷(pdf解析版)
x 0.85a 60 a 50 1.25a 30 1.5a 30 1.75a 20 2a 10 1.1925a . 200
18．如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E 、 F 分别是边 AB 及 BC 的中点，将 △AED 、 △BEF 及 △DCF
出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
60
50
30
30
20
10
（1）记 A 为事件“一线保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P A 的估计值；
（2）求续保人本年度平均保费的估计值.
解：（1）该险种的 200 名续保中事件 A 的人数为： 60 50 110 ， PA的估计值为： 110 11 .
200 20
由直线和平面平行性质定理可知，“直线 l // 平面 ”则经过直线 l 的平面和平面 相交，那么直线 l 和交线平
行，所以能得出“直线 l 平行于平面 上的一条直线”故“直线 l 平行于平面 上的一条直线”是“直线 l // 平
面 ”必要条件.
14．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 AB a ， AD b ， AA1 c ，
7 解：设 AB a ，则 AC 2a ，因为 APC 60 ，所以 PA PC 2a
过 A 作 AE PB ，垂足为 E ，连接 CE ，则根据 PAB PCB ，可得 CE PB
所以 AEC 为二面角 A PB C 的平面角，
AB a 在 PAB 中， cosPBA 2 2 2 ，
为 ai i 1, 2,...,120 ，则 a1 a2 ... a120 ______.
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年交附高二下期末数学试卷一、填空题1.随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是______. 【答案】38【解析】 【分析】由随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为12，且相互独立， 所以数字朝上恰好出现一次的概率为123113(1)228P C =⨯⨯-=. 故答案为：38.【点睛】本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用独立重复试验的概率计算公式进行求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.2.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使得点B 和D 的距离为1，则二面角B AC D --的大小为______. 【答案】2π【解析】 【分析】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知BOD ∠即为所求，易证BOD ∆为等腰直角三角形，故2BOD π∠=，从而得解．【详解】设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB AC ⊥，OD AC ⊥，而翻折之后的图形如图所示，BOD ∴∠为二面角B AC D --的平面角．OB OD ==1BD =， BOD ∴为等腰直角三角形，且2BOD π∠=，∴二面角B AC D --的大小为2π． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于基础题．3.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 【答案】15π 【解析】分析：由已知中圆锥底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，圆锥的母线长5l =，则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.4.若6x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则a ＝_____【答案】4 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a 的值．【详解】∵62x x ⎛- ⎝⎭展开式的通项公式为T r+1＝66(r r r C x -=⋅⋅•x ﹣2r ＝r r 6(C ⋅•x 6﹣3r ， 令6﹣3r ＝0，可得 r ＝2，∴展开式的常数项为226(C ⋅＝60，解得a ＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5.某校开设A 类选修课5门，B 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种 【答案】70 【解析】 【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数. 【详解】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：A 类2门，B 类1门，共有215440C C =种，或A 类1门，B 类2门，共有1254C C 30=，所以不同的选法共有403070+=种方法.故答案为：70【点睛】本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型.6.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为______.【答案】17- 【解析】 【分析】设AB a ，则2AC a =，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥，所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在AEC 中，用余弦定理可求得结果.【详解】设AB a ，则2ACa =，因为60APC ∠=︒，所以2PA PC a ==，过A 作AE PB ⊥，垂足为E ，连CE ，则根据PAB PCB ≅△△，可得CE PB ⊥， 如图：所以AEC ∠为二面角A PB C --的平面角,在PAB △中,222cos 42AB aPBA PB a∠===，所以2214sin 144PBA ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以在直角AEB △中，sin AE AB EBA =⋅∠144a =，同理144CE a =， 在AEC 中，222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=⋅222214142161614216a a a a +-=⨯17=-. 故答案为：17-.【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征，考查了二面角的求法，按照作、证、求这三个步骤做题是解题关键，属于中档题.7.在由二项式系数所构成的杨辉三角形，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2:3； 【答案】34 【解析】依题意有1314C 2C 3nn =，()()!13!13!142!13314!14!n n n n n -==--，解得34n =. 【点睛】本题主要考查二项式系数与杨辉三角的对应关系，考查组合数的计算公式.二项式展开式的二项式系数为01C ,C ,,C n nnn，由于计数是从0开始的，故第14，与15项的比为1314C 2C 3nn =，在用阶乘表示组合数的计算公式，约分后解方程可求得n 对应的数值. 8.集合{}*110,,S x x x N n N=≤≤∈∈共有120个三元子集()1,2,...,120iA i =，若将iA 的三个元素之和记为()1,2,...,120i a i =，则12120...a a a +++=______. 【答案】1980 【解析】 【分析】根据题意，将所有元素在子集中的个数算出，然后再求和即可. 【详解】因为集合{}{}*110,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10S x x x N n N=≤≤∈∈=，所以含元素1的子集有29C ,同理含2，3，4，5，6，7，8，9，10的子集也各有29C ，所以2121209...(123...10)a a a C +++=++++⨯，()1011098198022+⨯=⨯=. 故答案：1980【点睛】本题主要考查集合的新定义以及组合问题，还考查了分析推理的能力，属于中档题. 9.太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.【答案】sin dα【解析】 【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d ACαθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=， 因为α是不变量 ，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα. 故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．10.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ． 【答案】15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法11.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．【答案】①③【解析】【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．【详解】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，如22、25、25、26、32，这组数据的平均值为26，方差为10.8，但是进一步扩大方差就会超过10.8，故③对．则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地，故答案为①③．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特殊值即可．12.有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则A 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______. 【答案】532【解析】 【分析】将比分分为7:0，6:1，5:2，4:3四种情况讨论计算概率.【详解】由条件可知前两名投票的都投给选手A ，并且投给每位选手的概率是12P =. 若投票给A 、B 两位选手的比分为7:0，则概率为712⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若比分为6:1，则投给选手B 的方法有155C =种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭若比分为5:2，则投给选手B 的两票不能在第三和第四的位置，有2519C -=种，所以概率为7192⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 若比分为4:3，则投给A 的票不能是最后一位，且不能占5,6位，有2415C -=种，所以概率为7152⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， 所以概率()7151595232P ⎛⎫=+++⋅=⎪⎝⎭. 故答案为：532【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，重点考查分类的思想，属于中档题型.二、选择题13.空间中，“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行的判断定理和性质定理判断即可得出结论.【详解】由线面平行的判定定理可知,当直线l 在平面α内，l 平行于平面α上的一条直线，则不能得出结论“直线//l 平面α”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”不充分条件；由直线和平面平行性质定理可知,“直线//l 平面α”则经过直线l 的平面和平面α相交,那么直线l 和交线平行，所以能得出“直线l 平行于平面α上的一条直线”，故“直线l 平行于平面α上的一条直线”是“直线//l 平面α”必要条件. 故选：B【点睛】本题考查直线和平面平行的判断定理和性质定理，考查理解辨析能力，属于基础题.14.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A.1122a b c ++ B. 1122a b c --+ C.1122a b c -+ D. 1122-++a b c 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+ 11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =，则()112AA AB AD +-+ 1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.15.一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为1P 、2P 、3P ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是θ，则（ ）A. 321P P P >>B. 321P P P >=C. 321P P P =>D. 321P P P ==【答案】D 【解析】 【分析】因为三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都相等，且三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积均相等，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，知屋顶面积1P 、2P 、3P ，均相等．【详解】∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是θ，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，射影面积可设为S ，则由面积射影公式，得：123P cos S P cos S P cos S θθθ⋅=⋅=⋅=，，， ∴321P P P ==． 故选:D ．【点睛】本题是二面角知识在实际生活中的应用，由面积射影公式S 影=S 侧cos θ⋅，容易得出结论，是基础题．16.如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球.A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】B 【解析】 【分析】圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何关系计算即可.【详解】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R ，实心小球的半径为r ，由题意可得：22r r R R ++=，解得：(322)R r =+，因为小球球心在以E 为圆心，EF 为半径的圆上，2EF =，周长为2EF π， 所以22rn EF π≤，即()()22(322)22222215.16222r r R r EFn rr rπππππ⎡⎤+++⎣⎦≤====+≈. 故该工艺品最多可放入15个小球. 故选：B.【点睛】本题考查空间几何体与球接、切问题的求解方法.求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.三、解答题17.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A的估计值；（2）求续保人本年度平均保费的估计值.【答案】（1）1120；（2）1.1925a.【解析】【分析】（1）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求()P A的估计值；（2）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．【详解】（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，()P A 的估计值为：1101120020=； （2）续保人本年度的平均保费估计值为0.856050 1.2530 1.530 1.75202101.1925200a a a a a a x a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．属于基础题.18.如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 分别是边AB 及BC 的中点，将AED 、BEF 及DCF 折起，使A 、B 、C 三点重合于1A 点.（1）求三棱锥1A EFD -的体积； （2）求1A D 与平面DEF 所成角的大小. 【答案】（1）13；（2）1arcsin 3.【解析】 【分析】（1）首先证明1A D ⊥平面1A EF ，再求三棱锥的体积；（2）首先证明平面1A MD ⊥平面EFD ，再说明1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，并求角的大小. 【详解】（1）由条件可知11A E A D ⊥，11A F A D ⊥，且111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥平面1A EF ，1A EF 是等腰直角三角形，1111122A EFS∴=⨯⨯=, 1111111123323A EFD D A EFA EF V V S A D --∴==⨯⨯=⨯⨯=； （2）取EF 的中点M ，连结1A M ，DM ，11A E A F =，1A M EF ∴⊥，同理，DM EF ⊥，且1A MEF M =EF ∴⊥平面1A MD ,又EF ⊂平面1A MD ，∴平面1A MD ⊥平面EFD ，且平面1A MD 平面EFD MD =，∴1A D 与平面DEF 所成角为1A DM ∠，1A D ⊥平面1A EF ，11A D A M ∴⊥11222A M EF ==，()22221232522DM DE EF ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111sin 3A M A DM MD ∴∠==, 即11arcsin 3A DM ∠= ，1A D 与平面DEF 所成角为1arcsin 3.【点睛】本题考查垂直关系，几何体的体积，线面角，重点考查直观想象能力，计算能力，推理证明能力，属于基础题型.19.（1）已知()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ； （2）解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.【答案】（1）[)1,2；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；（2）分类讨论法解不等式即可．【详解】解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-， ∴方程23kx +=的解集为1,5，∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1k =-，∴()2f x x =-+，∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩， 解得12x ≤<， ∴[)1,2A =；（2）∵()2220ax a x +--≥，①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a <-即20a -<<时，解得21x a≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a-≤≤；综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-； 当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．20.如图，为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -，底面边长AB a ，高1AA h =.（1）若a h =，求异面直线1BD 和1CF 所成角的大小； （2）计算四面体11BCD F 的体积（用,a h 来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a 和高h 满足：23h a k =（k 为定值），则当底面边长a 和高h 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？【答案】（1）5；（223h ；（3）3a =，14h k =，取得最小.【解析】 【分析】（1）延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH ， 得111BCFGB C F H 是直四棱柱，证明1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面1BF C 法向量，求出1D 到平面1BF C 的距离，可得四面体11BCD F 的体积.（3）求出正六棱柱的表面积2633S ha a , 正六棱柱的体积233Va h ，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.【详解】（1）补形如图：延长,EF BA 相交于G 点，延长1111,E F B A 相交于H 点，连接GH 由正六边形性质知BCFG 是平行四边形，从而得111BCFG B C F H 是直四棱柱，则1//BC HF 且1=BC HF 所以四边形1BCF H 是平行四边形，所以1//CF BH ,所以异面直线1BD 和1CF 所成角的大小即为直线1BD 和BH 所成角的大小. 在三角形1BD H 中，由平面几何知识和余弦定理得：17D Ha ，5BH a ，12BD a ,22222211115cos 210252BH BD HD HBD BH BD a a15arccos10HBD（2）如图，建立分别以1,FB FE FF ，为,,x y z 轴的空间直角坐标系，则 (3,0,0)B a ，(3,,0)C a a ，133,)2a aD h ，1(0,0,)F h (0,,0)BCa ，1(3,0,)BF a h ，13(,,)2a aCD h 设平面1BF C 法向量为(,,)n x y z =100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ , 030ay ax hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令3x ，则3az h，0y =3(3,0,)a n h所以1D 到平面1BF C的距离123330223a a a hn CD h dnh 又2214FC a h ，BC a =，2213BF a h ,22211BC BF F C122111322BF CSBC BF a a h 11122221113332239D BF CBF C V S d a a h h h （3）由题知，正六棱柱的表面积221626sin606332S ha a ha a正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a又2h k = 22221()22416V hk h h h k kh Skkk所以当=4kh 时，VS 有最大值，也即S V取得最小值， 此时=4k h ，6a k = 【点睛】本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题. 21.对任意*n N ∈，定义(1nn a b +=+n a ，n b 为正整数.（1）求33a b +，44a b +的值； （2）求证：2221n n a b -=； （3）设nn na cb =是否存在实数0λ>，使得()()10n n c c λλ+--<对任意*n N ∈恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）12，29；（2）证明见解析；（3）存在，λ=【解析】 【分析】（1）分别令3n =和4n =，将3(1+和4(1展开，求得3344,,,a b a b 的值，进而求得结果；（2）分别列出n a 和n b 的值，列出关系，得到222(1)nn n a b -=-，从而证得结果；（3）假设存在实数0λ>，满足条件，根据题意找关系，确定出nn na cb =的极限，求得结果. 【详解】（1）(31167+=++=+所以337,5a b ==，所以3312a b +=，(411624417+=+⨯+⨯=+，所以4417,12a b ==，4429a b +=；（2）12233(11(2)n nn n n n n C C C C =+⋅+++，所以224361222n n n n a C C C =++++，132522n n nn b C C C =+++，所以222()()n n n n n n a b a a -=224361325224361325[(1222)2(22)][(1222)2(22)]nn n n nn nnnn nnC C C C C C C C C C C C =++++++++⋅++++-+++12232[(1(2)]n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++2233[1(]nn n n n C C C C ⋅-⋅-⋅++-(1(1[(1(1)n n n n ==+=-，所以2221n n a b -=；（3）由（2）知，2221n n a b -=，设2221n n a b -=，== 可以发现132522n n n n b C C C =+++会随着n 的增大而增大，=n的增大而减小，并且会越来越接近与1，所以nnnacb=要大；当2221n na b-=-时，==同理可以确定nnnacb=会随着会随着n，从而可以得出满足()()1n nc cλλ+--<的λ.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的有关问题，涉及到的知识点有二项式定理和数列的综合题，在解题的过程中，注意极限的思想的应用，属于难题.。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题(1)
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．2．已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．3．行列式43125142k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =________. 410y --=与-0x ay =的夹角是6π，则实数a 的值为______． 5．与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为_____________.6．设变量x ，y 满足约束条件y x x y 2y 3x 6≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数z 2x y =+的最小值为______．7．直线1l ：330x y -+=关于2l ：20x y --=对称的直线l 方程为___________. 8．若直线()34y k x =-+和曲线y =k 的取值范围为______.9．设1F 、2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且123|4|||PF PF =，则12PF F ∆的周长______.10．在ABC 中,56AB AC ==，,点P 是ABC 的外接圆圆心,则AP BC ⋅=_________.11．已知椭圆221169x y +=及以下3个函数：①()f x x =；②()sin f x x =；③()sin f x x x =,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有______个.12．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22650C x y x ++=:-,点A B ，在圆上,且AB =OA OB +的取值范围是_______.13．设A 是平面向量的集合,a 是定向量,对x A ∈，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅，现给出如下四个向量：()22221300442222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈，，使()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立的向量a 的序号是________(写出满足条件的所有向量a 的序号).14．记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n (n 1,2,3)Ω=，当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M =→+∞_____.二、单选题15．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a bc ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（ ） A ．0a b c ++= B ．a b c 、、两两平行 C ．//a bD ．a b c 、、方向都相同16．方程22141x y t t +=--的图像表示曲线C ，则以下命题中正确的有（ ）①若14t <<，则曲线C 为椭圆； ②若4t >或1t <，则曲线C 为双曲线； ③曲线C 不可能是圆； ④若曲线C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1 2.5t <<.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．在约束条件240,0x y S x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩下，若35S ≤≤,目标函数32Z x y =+的最大值变化范围是（ ） A ．[]6,8B ．[]6,15C ．[]7,8D ．[]7,1518．若P 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）A ．存在过点P 的直线与该双曲线相切B ．不存在过点P 的直线与该双曲线相切C ．至少存在一条过点P 的直线与该双曲线没有交点D ．存在唯一过点P 的直线与该双曲线没有交点三、解答题19．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且AB =时，求直线的方程.20．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）21．已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若52b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.22．已知点D 在双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）上，且双曲线的一条0y +=． （1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．23．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆221:14x C y +=.（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上，短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围；（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”2222:1x yM a b+=和()2222:0,01x y M a b a bλλλ+=>><<分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF 和ABE △组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法.（不必证明）参考答案1．2 【解析】试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到 二元线性方程组的表达式解得 x=4，y=2，故答案为2．考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义．2．【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以，所以解得，b ＝考点：向量模的运算． 3．3 【分析】利用代数余子式的概念计算即可. 【详解】元素-3的代数余子式为-21()2272k k =-⨯-+=-，解得：3k =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查代数余子式的运算，是基础题.40 【分析】当直线0x ay -=的斜率不存在时，0a =，倾斜角为90，10y --=的倾斜角为60，满足条件．当直线0x ay -=的斜率是1a时，由两条直线的夹角公式求出a 的值． 【详解】10y --=，直线0x ay -=的斜率不存在或是1a．当直线0x ay -=的斜率不存在时，0a =，倾斜角为90，10y --=的倾斜角为60，满足条件．当直线0x ay -=的斜率是1a时，由两条直线的夹角公式可得1tan 161a aπ==+，解得a =0． 【点睛】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型．5．2212520y x +=【分析】先根据椭圆229436x y +=求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的短轴长为b ，最后根据b 和c 与a 的关系求得a 即可．【详解】解：椭圆229436x y +=，22149x y +=c ∴=椭圆的焦点与椭圆229436x y +=有相同焦点∴椭圆的半焦距c =225a b -=短轴长为b ∴=5a =∴椭圆的标准方程为2212520y x +=故答案为：2212520y x +=． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的问题．要熟练掌握椭圆方程中a ，b 和c 的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余，属于基础题．6．3 【解析】画出可行域，判断出可行域为△ABC (如图)，其中A (1,1)，B (2,0)，C (3,3)，平移直线2x ＋y ＝0，易知，当平移到点A (1,1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值3. 7．3110x y --= 【分析】利用当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x ，y ，代入已知直线的方程， 即得此直线关于对称轴对称的直线方程． 【详解】解：因为直线20x y --=的斜率为1，故有22x y y x =+⎧⎨=-⎩将其代入直线330x y -+=即得：3(2)(2)30y x +--+=，整理即得3110x y --=． 故答案为：3110x y --=． 【点睛】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x ，y ，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程． 8．72,243⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【分析】直线()34y k x =-+过定点()3,4，曲线y =22+9,0x y y =≥，表示一个在x轴上方的圆的一半，做出相应的图像，即可求出结论.【详解】曲线方程y =22+9,0x y y =≥， 曲线表示一个在x 轴上方的圆的一半， 则圆心坐标为()0,0，圆的半径3r =， 画出相应的图形，如下图所示： 直线()34y k x =-+，恒过()3,4， 由图形过()3,4，()3,0-的直线的斜率为23；由圆心到直线的距离3d ==，化简整理得7247,24k k ==， 可得直线与圆相切时，直线的斜率为724. 综上，直线与曲线只有一个交点时，k 的取值范围为72,243⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭.故答案为：72,243⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭.【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，等价转化为直线与半圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题. 9．24 【分析】先由双曲线的方程求出12||10F F =，再由123|4|||PF PF =，运用双曲线的定义，求出1||8PF =，2||6PF =，由此能求出12PF F ∆的周长．【详解】解：双曲线22124y x -=的1a =，5c =，两个焦点1(5,0)F -，2(5,0)F ， 即12||10F F =，由123|4|||PF PF =，设2||PF x =，则14||3PF x =， 由双曲线的定义知，423x x -=，解得6x =．1||8PF ∴=，2||6PF =， 12||10F F =，则12PF F ∆的周长为1212||||||861024PF PF F F ++=++=． 故答案为：24． 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，属于基础题． 10．112. 【解析】 【分析】设外接圆的半径为r ,由向量的三角形法则,以及向量的数量积的定义,结合等腰三角形的性质,即可得到. 【详解】设外接圆的半径为r ,∴()AP BC AP AC AB AP AC AP AB ⋅=-=⋅-⋅6cos 5cos r PAC r PAB =⋅⋅∠⋅⋅∠-, 651165222=⨯-⨯=,故选:112.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质,考查运算能力,属于容易题. 11．2 【分析】对于①()f x x =；②()sin f x x =都是奇函数，而椭圆图像关于原点成中心对称，①②满足要求；对于③()sin f x x x =是偶函数，图像关于y 轴对称，若要满足条件，当0x >时函数()sin f x x x =的图像要把椭圆在y 轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论. 【详解】∵①()f x x =为奇函数，作出其图象， 由图可知()f x x =能等分该椭圆面积；同理，②()sin f x x =为奇函数，能等分该椭圆面积；③()sin f x x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 在y 轴右侧()0,x π∈时，()0f x >， 只有(),4x π∈时()0f x <，故不能等分该椭圆面积.故答案为：2. 【点睛】本题考查椭圆以及函数的对称性，考查数形结合思想，属于中档题.12．[] 48，. 【解析】 【分析】本题可利用AB 中点M 去研究,先通过坐标关系,将OA OB +转化为OM ,根据AB =得到M 点的轨迹,由图形的几何特征,求出OM 模的最值,得到本题答案. 【详解】设()()1122A x y B x y ，，，,AB 中点()M x y ''，. ∵121222x x y yx y ++'='=， ∴()12122OA OB x x y y OM +=++=，, ∵圆22:650C x y x +-+=,∴()2234x y +=-,圆心()30C ，,半径2CA =.∵点A B ，在圆C 上,AB =∴22212CA CM AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭-, 即1CM =.点M 在以C 为圆心,半径1r =的圆上.∴312OM OC r ≥==--,314OM OC r ≤+=+=. ∴24OM ≤≤, ∴48OA OB +≤≤.故答案为:[] 48，. 【点睛】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想,圆的平面几何性质，向量的坐标运算，属于中档题. 13．①③④ 【分析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得. 【详解】对于①，当()00a =，时，()f x x =满足()()f x f y x y ⋅=⋅； 当0a ≠，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅，()()2f y y a y a =-⋅⋅，所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅若使得()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立，则只需21a=，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.14．【分析】将椭圆的标准方程转化成参数方程，)x y θϕ+=+，根据正弦函数的性质可知max ()x y +=.，计算极限得到答案. 【详解】把椭圆221441x nyn +=+得，椭圆的参数方程为：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2cos )x y θθθφ∴+=+=+， 由正弦函数的性质可知：当sin()1θϕ+=时，x y +取最大值，max ()x y ∴+==lim lim n n n M →∞→∞∴==故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的参数方程，数列极限，意在考查学生的综合应用能力. 15．B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B ． 考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 16．B 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，即可得出结论． 【详解】解：对于①，若40t ->，10t ->且41t t -≠-，解得14t <<且52t ≠，则曲线C 为椭圆，因此不正确；对于②，若曲线C 为双曲线，则(4)(1)0t t --<，解得1t <或4t >，正确； 对于③，当410t t -=->，即52t =时，曲线C 表示圆，因此不正确； 对于④，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，解得512t <<，正确．故选：B ． 【点睛】本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．C 【分析】先根据约束条件画出可行域，设32z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线32z x y =+过可行域内的点时，从而得到32z x y =+的最大值即可．【详解】解：先根据约束条件画出可行域， 设32z x y =+，将z 的值转化为直线32z x y =+在y 轴上的截距， 当3S =时，对应的平面区域为四边形OCAD ，当直线32z x y =+经过点(1,2)A 时，z 最大，最大值为7． 当5S =时，对应的平面区域为三角形OBD ，当直线32z x y =+经过点(0,4)B 时，z 最大，最大值为8，故当35S 时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是[]7,8． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键．18．C【分析】根据双曲线渐近线的性质，即可得出结论．【详解】解：若点P是双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的渐近线上任意一点，则当P在原点时，A不成立；存在过点P的直线与双曲线相切，比如切点为顶点，B不成立；至少存在一条过点P的直线与该双曲线没有交点，正确；过点P的直线与该双曲线没有交点的直线有无数条，D不成立故选：C．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的理解能力，比较基础．19．（1）34a=-；（2）20x y-+=或7140x y-+=.【分析】（1）将圆C的方程化为标准形式，得出圆C的圆心坐标和半径长，利用圆心到直线的距离等于半径，可计算出实数a 的值；（2）利用弦长的一半、半径长和弦心距满足勾股定理可求得弦心距，利用点到直线的距离公式可求得实数a 的值，进而可得出直线l 的方程. 【详解】（1）圆C 的标准方程为()2244x y +-=，圆心C 的坐标为()0,4，半径长为2，当直线l 与圆C2=，解得34a =-；（2）由题意知，圆心C 到直线l的距离为d ==由点到直线的距离公式可得d ==整理得2870a a ++=，解得1a =-或7-.因此，直线l 的方程为20x y -+=或7140x y -+=. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求参数以及根据弦长求直线方程，解答的核心就是圆心到直线的距离的计算，考查计算能力，属于中等题.20．（1）33.3米；（2）故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小． 【解析】试题分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P 的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得l=2a ，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将（11，4.5）代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当ab≥99且l=2a ，h=b 时，，进而分析可得答案．解：（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为．将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.3米； （2）由椭圆方程，根据题意，将（11，4.5）代入方程可得．因为即ab≥99且l=2a ，h=b ， 所以当S 取最小值时， 有，得，此时，h=b≈6.4故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．点评：本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．21．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=求出a b ⋅，代入夹角公式计算；（3）利用()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围. 【详解】解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ，∴222020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--； （2）∵2a b +与2a b -垂直， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=， 即222320a a b b +⋅-=， ∴52a b ⋅=-， ∴52cos 1||||5a ba b θ-⋅===-⋅，∴a 与b 的夹角为π； （3）a 与a λb +的夹角为锐角则()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，()25(12)0a a a a b b λλλ+==+>∴⋅++⋅，解得：53λ>-， 若存在t ，使()a b a t λ=+，0t >()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++则()1,2(1,2)t λλ=++，122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩，所以53λ>-且0λ≠， 实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题．22．（1）221113x y -=；（2）((3,3)(3,6)k ∈-；（3）1k =±. 【详解】试题分析：(1)要求双曲线的标准方程，必须找到关于,,a b c 的两个等式，题中一条渐近线方程为30x y +=，说明3ba=，这是一个等式，点(1,2)D 在双曲线上，那么此点坐标适合双曲线方程，代入进去又可得到一个等式，这样可解得,a b ；(2)直线与双曲线有两个不同的交点，直接把直线方程与双曲线方程联立方程组，此方程组有两解，方法是消去一个元y ，得到关于x 的二次方程，此方程是二次方程有两个不等的实根，则>0∆；(3)题设条件说明OA OB ⊥，如果设1122(,),(,)A x y B x y ，则有，12y y 可用1212,x x x x +表示出来，而1212,x x x x +在(2)中可用k 表示出来，代入刚才的等式，得到k 的方程，可解得k ．试题解析：(1)由题知，有22121,{a bba-==解得221,{31.a b == 因此，所求双曲线C 的方程是221113x y -=． (2)∵直线l 过点且斜率为k ，∴直线l ：1y kx =+．联立方程组2231,{1x y y kx -==+得22(3)220k x kx ---=．又直线l 与双曲线C 有两个不同交点，∴()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨---->⎪⎩解得((3,3)(3,6)k ∈-．(3)设交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由(2)可得1221222,3{2.3kx x k x x k +=--=-又以线段为直径的圆经过坐标原点， 因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）． 于是，0,OA OB ⋅=即，21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)21033k k k k-+++=--，解得1k =±． 又1k =±满足230k -≠，且>0∆， 所以，所求实数1k =±．考点：（1）双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线有两个交点问题；(3)两直线垂直与圆锥网线综合题．23．（1）椭圆2C 与1C 相似，相似比为2:1；（2）3b >；（3）见解析. 【分析】（1）由题意椭圆2C 与1C 相似，由椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为三角形，能求出2C 与1C 的相似比．（2）椭圆b C 的方程为：222214x y b b+=，(0)b >，设直线:MN l y x t =-+，点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 中点为0(x ，0)y ，由222214y x t x y bb =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222584()0x tx t b -+-=，由此利用韦达定理、根的判别式能求出实数b 的取值范围．（3）法1：过原点作直线(1)y kx k =≠，交椭圆M 和椭圆1M 于点E 和点F ，得到CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆1M 点E 和点F ，得到CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．【详解】解：（1）椭圆2C 与1C 相似． 因为221:14x C y +=，112,a c ∴==因为222:1164x y C +=，224,a c ∴== 因为椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1．（2）椭圆b C 的方程为：222214x y b b+=，(0)b >， 设直线:MN l y x t =-+，点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 中点为0(x ，0)y ， 则222214y x t x y bb =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222584()0x tx t b ∴-+-=， 则120425x x t x +==，05t y =， 中点在直线1y x =+上，∴4155t t =+，53t =-， 即直线MN l 的方程为：5:3MNl y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，∴224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即b > （3）作法1：过原点作直线(1)y kx k =≠，交椭圆M 和椭圆1M 于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆1M 点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．【点睛】本题考查两个椭圆是否相似的判断与相似比的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的点的作法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试卷 (含解析)
上海市交大附中2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷一、填空题（共11小题）.1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是．4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有种．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．8．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+ 14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1 15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14 B．15 C．16 D．17三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．上海市交大附中2019-2020学年高二第二学期期末考试数学试卷参考答案一、填空题：1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是．解：设数字朝上的次数为X，则X～B（3，），故P（X＝1）＝••（1﹣）2＝，故答案为：．2．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角B ﹣AC﹣D的大小为．解：设翻折前AC与BD相交于点O，则OB⊥AC，OD⊥AC，而翻折之后的图形如图所示，∴∠BOD为二面角B﹣AC﹣D的平面角．∵OB＝OD＝，BD＝1，∴△BOD为等腰直角三角形，且∠BOD＝，∴二面角B﹣AC﹣D的大小为．故答案为：．3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是15π．解：∵圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，∴圆锥的母线l＝5则圆锥的侧面积S＝πrl＝15π故答案为：15π4．若（x﹣）6展开式中的常数项为60，则实数a的值为4．解：根据题意，（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝C6r•x6﹣r•（﹣）r＝（﹣1）r•C6r••x6﹣3r，令6﹣3r＝0，可得r＝2，当r＝2时，T3＝（﹣1）2•C62•a＝15a，又由题意，可得15a＝60，则a＝4．故答案为：4．5．某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有70种．解：分两种情况，1A2B，有C51C42＝30种，2A1B，有C52C41＝40种，共70种，故答案为：70．6．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，∠APC＝60°，则二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．解：过点A作AE⊥PB于点E，连接CE、AC，由题可知，△PAB≌△PCB，∴CE⊥PB，∴∠AEC即为二面角A﹣PB﹣C的平面角．设底面ABCD的边长为a，则AC＝，∵PA＝PC，∠APC＝60°，∴△PAC为等边三角形，PA＝PC＝＝PB，在△PAB中，＝，由等面积法可知，，∴AE＝＝CE，在△ACE中，由余弦定理知，cos∠AEC＝＝．由题可知，二面角A﹣PB﹣C为钝二面角，∴二面角A﹣PB﹣C的平面角的余弦值为．故答案为：．7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第34行中从左至右第14与第15个数的比为2：3．解：∵二项式展开式第r+1项的系数为T r+1＝∁n r，∴第n行的第14个和第15个的二项式系数分别为∁n13与∁n14，∴＝，整理得＝，解得n＝34故答案为348．太阳光线照于地面，与地面成角α（0＜α＜）．调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度，则长度为d的木棍在水平地面的影子最长为．解：根据题意：画出如下图：△ABC中，线段AC所在的直线为水平面，AB＝d，当太阳光线与木棍垂直时，木棍在地面的影子最长为AC＝．故答案为：9．在一个密封的棱长为1的透明正方体容器内装有部分液体（没有装满），如果任意翻转该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．解：如图，正方体ABCD﹣EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G﹣EHD的体积，并且＜正方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣＝，答案为（，）．10．气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有①③．解：对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度不低于22℃；对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；当5个数据为19，20，27，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；对于③，丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22．由此肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故答案为：①③．11．有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．若7位评委依次揭晓票选结果，则A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是．解：有7个评委各自独立对A、B两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权．7位评委依次揭晓票选结果，基本事件总数n＝27＝128，选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的情况有以下五种：∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先包含的基本事件个数m＝23+22+21+22+21＝20，∴A选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率P＝＝＝．故答案为：．二、选择题：12．空间中，“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要解：直线l∥平面α⇒直线l平行于平面α上的一条直线，反之不成立，可能l⊂α．∴“直线l平行于平面α上的一条直线”是“直线l∥平面α”的必要非充分条件．故选：B．13．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．++C．﹣﹣+D．﹣+解：由题意，＝＝＝＝；故选：A．14．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A．P3＞P2＞P1B．P3＞P2＝P1C．P3＝P2＞P1D．P3＝P2＝P1解：∵三种盖法的屋顶斜面与水平面所成二面角都是α，三种盖法的屋顶在水平面上的射影面积都相同，可设为S0，则由面积射影公式，得：P1＝S0÷cosα，P2＝S0÷cosα，P3＝S0÷cosα，∴P1＝P2＝P3．故选：D．15．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入________个小球．（）A．14 B．15 C．16 D．17解：过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图所示，设球的半径R，实心小球的半径r，由题意可得，，∴R＝（3+2）r，∵小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，EF＝，周长为2πEF＝π（R+r），∴2rn≤π（R+r），即n＝＝2（1+）π≈15.16故该工艺品最多放15个小球．故选：B．三、解答题：16．某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数0 1 2 3 4 ≥5频数60 50 30 30 20 10 （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50＝110，该险种的200名续保，P（A）的估计值为：＝；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30＝60，P（B）的估计值为：＝；（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为＝＝1.1925a．17．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED、△BEF 及△DCF折起，使A、B、C三点重合于A1点（1）求三棱锥A1EFD的体积；（2）求A1D与平面DEF所成角的大小．解：（1）∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，且A1E∩A1F＝A1，∴A1D⊥平面A1EF，则A1D的长为三棱锥D﹣A1EF的高．∵正方形ABCD的边长为2，E、F分别是边AB及BC的中点，∴A1E＝A1F＝1，则三棱锥A1﹣EFD的体积V＝；（2）取EF中点G，连A1G，DG，∵A1E＝A1F＝1，EA1F＝90°，∴A1G⊥EF且A1G＝．又由（1）知A1D⊥平面A1EF，∴A1D⊥EF，∵A1D∩A1G＝A1，∴EF⊥平面A1DG，∵EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面A1DG；在平面A1DG内，过A1作A1H⊥DG于H，得A1H⊥平面DEF，∴∠A1DG为A1D与平面DEF所成角．在直角三角形A1DG中，A1G＝，A1D＝2，∴tan A1DG＝．∴A1D与平面DEF所成角的大小为arctan．18．（1）已知f（x）＝kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等式≥1的解集为A．求集合A；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．解：（1）∵不等式|f（x）|＜3 的解集为（﹣1，5），∴|f（﹣1）|＝3 且|f（5）|＝3，∴|﹣k+2|＝|5k+2|＝3，解得k＝﹣1，∴f（x）＝﹣x+2，∴不等式；等价于，解得x∈[1，2），即A＝[1，2）．（2）∵ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，∴（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]；当a＝2 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；当a＜0 时，（﹣ax+2）（x+1）≤0，即此时的一元二次函数开口向上，当﹣2＜a＜0 时，解集为；当a＝﹣2时，x∈{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式的解集为；当a＞0时，（ax﹣1）（x+1）＞0，此时一元二次函数开口向上，当0＜a＜2 时，不等式解集为；当a＞2时，不等式解集为．故综上所述，当a＝0 时，不等式解集为（﹣∞，﹣1）；当a＞0时，不等式解集为；当a＝﹣2时，不等式解集为{﹣1}；当a＜﹣2 时，不等式解集为；当﹣2＜a＜0 时，不等式解集为．19．如图为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，底面边长AB＝a，高AA1＝h．（1）若a＝h，求异面直线BD1和CF1所成角的大小；（2）计算四面体BCD1F1的体积（用a，h来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：2h+a＝K（K为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？解：（1）以底面正六边形的中心O为坐标原点，以AD所在直线为x轴，以AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（，，0），D1（0，a，h），C（，，0），F1（，，h），，，设异面直线BD1和CF1所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝，∴异面直线BD1和CF1所成角的大小为arccos；（2）在正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，求得，，，则，得CD1⊥D1F1，∴．，，设平面CD1F1的一个法向量为，由，取x＝，得．，∴B到平面CD1F1的距离d＝．∴四面体BCD1F1的体积为V＝＝；（3）正六棱柱的表面积S＝12+6ah＝．正六棱柱的体积V＝．又2h+a＝K，且a＞0，h＞0，∴＝＝．当且仅当2h＝，即a＝，h＝时上式等号成立．20．对任意n∈N*，定义（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．（1）求a3+b3，a4+b4的值；（2）求证：|a n2﹣2b n2|＝1；（3）设c n＝是否存在实数λ＞0，使得（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：（1）由题，（1+）n＝a n+b n，其中a n，b n为正整数．当n＝3时，（1+）3＝7+5＝a3+b3，∴a3＝7，b3＝5．∴a3+b3＝12．当n＝4时，（1+）4＝17+12＝a4+b4，∴a4＝17，b4＝12．∴a4+b4＝29．（2）证明1：由题，a n，b n为正整数．（1+）n＝a n+b n，①．∴（1﹣）n＝a n﹣b n，②．①×②，得：＝﹣2，∴﹣2＝（﹣1）n，∴|a n2﹣2b n2|＝1．证明2：由二项式定理可得：，所以，，所以＝＝＝，∴|a n2﹣2b n2|＝1．（3）由（2）知|a n2﹣2b n2|＝1，①当n为偶数时，，所以，显然b n会随着n的增大而增大，所以会随着n的增大而减少，并且会越来越接近于1，所以会无限趋近于，且比要大；②当n为奇数时，，，同理可以确定会随着n的增大而增大，会无限趋近于，且比要小；从而可以得出满足（c n﹣λ）（c n+1﹣λ）＜0对任意n∈N*恒成立的λ的值为．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．随机扔一个硬币三次，数字朝上恰好出现一次的概率是______.
2．将边长为1的正方形 沿对角线 折叠，使得点 和 的距离为1，则二面角 的大小为______.
所以数字朝上恰好出现一次的概率为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了独立重复试验的概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理利用独立重复试验的概率计算公式进行求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
2．
【分析】
设翻折前 与 相交于点 ，则 ， ，作出翻折后的图形，由二面角的定义可知 即为所求，易证 为等腰直角三角形，故 ，从而得解．
3．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．
4．若 的展开式的常数项为60ห้องสมุดไป่ตู้则a＝_____
5．某校开设 类选修课5门， 类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有______.种
6．如图，在正四棱锥 中， ，则二面角 的平面角的余弦值为______.
7．在由二项式系数所构成的杨辉三角形，第________行中从左至右第14与第15个数的比为 ；
8．集合 共有120个三元子集 ，若将 的三个元素之和记为 ，则 ______.
9．太阳光线照于地面，与地面成角 .调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为 的木棍在水平地面的影子最长为______.
②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
则肯定进入夏季的地区有_____．
12．有7个评委各自独立对 、 两位选手投票表决，两位选手旗鼓相当，每位评委公平投票且不得弃权.若7位评委依次揭晓票选结果，则 选手在每位评委投票揭晓后票数始终保持领先的概率是______.
【详解】
∵ 展开式的通项公式为Tr+1＝ •x﹣2r＝ •x6﹣3r，
令6﹣3r＝0，可得 r＝2，∴展开式的常数项为 ＝60，解得a＝4．
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
5．70
【分析】
根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
（2）解关于 的不等式 .
20．如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 .
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的大小；
（2）计算四面体 的体积（用 来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长 和高 满足： （ 为定值），则当底面边长 和高 分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
21．对任意 ，定义 ，其中 ， 为正整数.
详解： 圆锥的底面半径是 ，高是 ，
圆锥的母线长 ，
则圆锥侧面积公式 ，故答案为 .
点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.
4．4
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a的值．
三、解答题
17．某险种的基本保费为 （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
0.85
1.25
1.5
1.75
2
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
保费
60
50
30
30
20
（1）求 ， 的值；
（2）求证： ；
（3）设 是否存在实数 ，使得 对任意 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．
【分析】
由随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为 ，且相互独立，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，随机扔一个硬币，每次数字朝上的概率均为 ，且相互独立，
A． B． C． D．
16．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为 的大球放置在底面半径和高均为 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（）个小球.
A．14B．15C．16D．17
【详解】
设翻折前 与 相交于点 ，则 ， ，而翻折之后的图形如图所示，
为二面角 的平面角．
， ，
为等腰直角三角形，且 ，
二面角 的大小为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二面角的求法，理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、作图能力和逻辑推理能力，属于基础题．
3．
【解析】
分析：由已知中圆锥的底面半径是 ，高是 ，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式 ，即可得到结论.
二、单选题
13．空间中，“直线 平行于平面 上的一条直线”是“直线 平面 ”的（）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．非充分非必要
14．在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 , ，则与 相等的向量是（）
A． B． C． D．
15．一间民房的屋项有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；⑤四向倾斜.记三种盖法是屋项面积分别为 、 、 ，若屋顶倾斜面与水平面所成的角都是 ，则（）
10．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．
11．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）
①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；
10
（1）记 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 的估计值；
（2）求续保人本年度平均保费的估计值.
18．如图，正方形 的边长为2， 、 分别是边 及 的中点，将 、 及 折起，使 、 、 三点重合于 点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求 与平面 所成角的大小.
19．（1）已知 ，不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 .求集合 ；