8知识讲解_《空间几何体》全章复习与巩固(提高)

空间几何体结构及其三视图

【学习目标】

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图

1．多面体的结构特征

（1）棱柱（以三棱柱为例）

如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC

与ΔA1B1C1的关系是全等．

各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．

（2）棱锥（以四棱锥为例）

如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三

角形．

（3）棱台

棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．

2．旋转体的结构特征

旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．

要点二．空间几何体的三视图和直观图

1．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

2．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．

3．平行投影与中心投影

平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．

要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．

要点三．空间几何体的表面积和体积

1．旋转体的表面积

名称图形表面积

圆柱S=2πr（r+l）

圆锥S=πr（r+l）

圆台

22()S r r r l rrl π''=+++

球

24S R π=

2．几何体的体积公式

（1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ； （2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =

1

3

Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13

（'

S 'S S S ）h ；

（4）设球半径为R ，则球的体积V =43

π3

R ． 要点诠释：

1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．

2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．

3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．

【典型例题】

类型一．空间几何体的结构特征

例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ） A ．一定是等边三角形 B ．一定是锐角三角形 C ．可以是直角三角形 D ．可以是钝角三角形

【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．

【答案】B

【解析】在三棱锥的展开图中：

过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，

当△ABC为锐角三角形时，

三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，

当△ABC为为直角三角形时，

在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，

同理当△ABC为钝角三角形时，

在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，

综上可得：△ABC一定是锐角三角形，

故选B．

【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．

举一反三：

【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD

为底面，则四边形EFGH的形状为（）

A．梯形B．平行四边形

C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定

【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形

【答案】B

【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，

且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，

∴EF∥GH．

同理，FG∥EH，

∴四边形EFGH为平行四边形．

故答案为B

例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．

【答案】D

【解析】根据几何体的直观图，得

该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，

且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；

顶点是M、A、B、C、D和N共6个；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．

所以选项A、B、C正确，选项D错误．

故选D．

【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．

举一反三：

【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）

A．6个B．7个C．10个D．无数个

【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．

【答案】D

【解析】∵正四面体是中心对称图形，

∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，

可判断这样的平面有无数个，

故选D．

类型二．空间几何体的三视图

例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．

【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．

【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．

【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

举一反三：

【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）

【答案】A

【解析】A中，的三视图：，满足条件；

B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；

C 中，的侧视图和俯图为：，与已知中

三视图不符，不满足条件；

D 中，的三视图为：，与已知中三视

图不符，不满足条件； 故选A

例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）

【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案． 【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C ，

棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，

故选B ．

举一反三：

【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）

A ．

332π B ．3π+ C ．32π D ．532

π

+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．

【答案】A

【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．

又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为

1122ππ???=，底面积为1

2

π， 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为

13

2232??= 则该几何体的表面积为3

32

π． 故选A ．

【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可． 【答案】B

【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122

???=

由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形

由于此侧棱长为13，对角线长为2，故棱锥的高为22

(13)23-=

此棱锥的体积为12323

??=

故选B

【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为

1

3

×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．

类型三．几何体的直观图

例5．如图所示，正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 （ ） A ．6 B ．8 C ．2＋3 2 D ．2＋2 3 【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x '轴，长度保持不变，已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y '轴，且长度为原来一半．

【答案】B

【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝22，OA＝1，

∴AB＝3，所以周长为8．

故选B

【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．

举一反三：

【变式】对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．

【思路点拨】如图所示，A＇B＇=AB=2，

13

''

2

O C OC

==，作C＇D＇⊥x＇，可得

26

''''

C D O C

==．因此其直观图的面积

1

''''

2

C D A B

=??．

【答案】

6 4

【解析】如图所示，

A＇B＇=AB=2，

13 ''

2

O C OC

==

作C ＇D ＇⊥x ＇， 则26''''24

C D O C =

=． ∴其直观图的面积1166

''''22244

C D A B =

??=??=． 故答案为：64

．

类型四．空间几何体的表面积与体积

例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？ 【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离． 【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），

由题意知BC =3πcm ，AB =4πcm ，点A 与点C 分别是铁丝的起．止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC =

22AB BC +5πcm ，

故铁丝的最短长度为5πcm ．

【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点． 举一反三：

【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．

【答案】圆半径r =10，面积S =100π，圆锥母线2230101010l =+=

例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．

【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【答案】72，32

【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm 的小正方体所构成的，

则其表面积为22×(24－6)=72 cm 2， 其体积为4×23=32， 故答案为：72，32 【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．

举一反三：

【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ）

A ．363(2)π+

B ．363(2)π+

C ．1083π

D ．108(32)π+

【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果． 【答案】B

【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，

前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，

∴根据勾股定理知圆锥的高是63， ∴半个圆锥的体积是

211

66336323

ππ????=， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，

三棱锥的高是

∴三棱锥的体积是1112632

????=

∴几何体的体积是2)π+=+， 故选B ．