人教版数学八年级上册30幂的运算(提高)知识讲解
八年级上册幂的运算知识点
八年级上册幂的运算知识点在数学学科中，幂指的是数的乘方运算，即一个数的自乘若干次的结果。
在八年级上册数学课程学习中，幂的运算是一个重要的知识点，本文将全面介绍八年级上册幂的运算知识点。
一、幂的定义幂是指一个数自乘若干次得到的结果，其中，第一个数称为底数，第二个数称为指数。
幂的标准写法为 a^n，其中，a是底数，n是指数。
指数为正整数时，表示底数自乘n次的结果；指数为0时，结果为1；指数为负整数时，表示底数自除n次的结果。
二、幂的简化简化幂是指将幂简化为不含指数的形式。
当指数相同的幂相加或相减时，可以通过运用幂运算转化为同一底数幂的运算。
例如：2^3 + 5^3 = (2+5) ^ 33^4 - 2^4 = (3-2) * (3^3+2^3)三、幂的乘方幂的乘方是指同一个底数的幂相乘的运算。
当同一底数幂相乘时，可以将指数相加得到新的指数，例如：4^3 * 4^2 = 4^(3+2) = 4^5四、幂的除法幂的除法是指同一个底数的幂相除的运算。
当同一底数幂相除时，可以将指数相减得到新的指数，例如：9^4 / 9^2 = 9^(4-2) = 9^2五、幂的分配律幂的分配律指幂乘或幂除时，若底数相同，则可以将幂运算中的括号内指数分别与外部指数相乘或相除。
例如：2^3 * (3^4 * 3^2) = 2^3 * 3^(4+2) = 2^3 * 3^6(4^3 / 4^2) ^ 5 = 4^(3*5 - 2*5) = 4^5六、幂的零指数幂的零指数是指任何底数的0次幂等于1，例如：3^0 = 15^0 = 1七、幂的负指数幂的负指数指底数的倒数的任何次幂等于这个数的负指数幂，例如：2^-3 = 1/2^3 = 1/8总之，八年级上册幂的运算知识点包括幂的定义、简化、乘方、除法、分配律、零指数和负指数。
掌握这些知识点，对于解决数学题目具有重要的意义。
希望学生们认真学习，熟练掌握八年级上册幂的运算知识点，做到理论和实践相结合，灵活应用知识。
30幂的运算(提高)知识讲解
幂的运算（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+；(2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+． （2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()n n n b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=．（3）22412()()m m x x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x x x =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣9，求x+2y 的值． 【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据2x =23（y+2），32y =3x ﹣9， 列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三：【变式】已知322,3m m a b ==，则()()()36322m m m m a b a b b +-⋅＝ ． 【答案】－5； 提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅ ∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．（2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x y x y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a = ④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A ； 提示：只有⑤正确；()3236928x y x y -=-；()326m m a a -=-；()3618327a a =；()()5712135107103510 3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2（2）（2）20•（）21．【答案】（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2=a4•9a6＋16a10=9a10＋16a10=25a10；（2）（2）20•（）21．=（×）20•=1×=．5、（2016秋•济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．。
数学人教版八年级上册幂的运算
教学设计8.1 幂的运算----- 幂的乘方一、教学背景（一）教材分析本节课是在前面学习的基础上进一步学习幂的乘方，是对幂的意义的理解、运用和深化．让学生体会幂的乘方运算是一种比乘法还要高级的运算，提高学生数学运算能力.本节内容又是整式的乘法的主要依据，也为后面学习方程、函数做了准备．（二）学情分析学生已经学过乘方，并掌握代数式的意义，这为本课奠定了基础．从学生的认知规律看，学生已学习了乘方的意义﹑幂的意义以及同底数幂的乘法，为学习幂的乘方运算在教学中提供了引导学生讨论交流提供了保证．二、教学目标：1 经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.2 了解幂的乘方的运算的性质，培养学生综合运用知识的能力．三、重点、难点：重点：理解并正确运用幂的乘方的运算性质.难点：幂的乘方的运算性质的探究过程及运用.四、教学方法分析及学习方法指导教学方法：利用引导探究法,让学生以“体验－归纳－概括”为主要线索，在合作探索与交流中获得知识，使不同层次的学生都有收获和发展.把幂的乘方的性质应用于计算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力．学法指导：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题．本节主要学习幂的乘方性质后，学习了幂的两个运算性质，深刻理解幂的运算的意义，能熟练地进行幂的乘方运算．五、教学过程：（一）知识回顾：1 幂的意义是什么？2 同底数幂的乘法运算性质是什么？设计意图：复习旧知识，为学习新知识做铺垫。
（二）情境导入：一个正方体的边长是210cm,则它的体积是多少? 议一议: ()3210怎样计算呢?完成教材P47页填表:设计意图：从实例引入课题，强化数学应用意识，使学生真真切切地感受到幂的乘方运算因实际需要而生的思想，从而激发学生的求知欲.引导学生主动反思问题,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备. （三）探究新知：计算下列各式(1) ()426=26×26×26×26= 22226+++=86(2) ()322= 22×22×22= 2222++ = 62(3) ()2m a= m a ⋅ m a =m ma+= 2ma(4) ()4m a = m m m m a a a a ⋅⋅⋅=m m m m a +++=4m a你能猜想出()nm a 的结果吗？()mn a nmm m m a a a a =⋅⋅⋅个 （ 乘方的意义）n mm m m a ++⋅⋅⋅+=个 （同底数幂相乘的法则）mn a =()nm a =mna（m 、n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘.“一般”的过程，培养学生思维的严密性，也感受了数学学习的严谨性，积累了解决问题的经验和方法. （四）合作学习:例2 计算 （1）()3510 （2）()24x （3）()32a -（五）自主学习：1 判断题()()()()()()()()325326222232 3 2 3 3 2122225101 (x )2345 ()6 [()]()7 ()()n n n n mx x x x x x x x x x x x am a b b x y x y +⨯++=⋅=⋅⋅=⋅===-=+=+（六）拓展学习：2 ()3242a a a⋅+3435233243323)( 2 )() ( 3 )() ()() ()a x y y a a x x --⋅-⋅-⋅-3 计算（1）（-； ；； （4） （5） 设计意图：分层次训练学生对法则的掌握程度，使学生对法则的理解更加熟练、准确，解决本节课的重点内容. （六）课堂小结：1 本节主要学习幂的乘方性质()nm a =mna （m 、n 都是正整数）2 幂的乘方性质用语言表达为3 弄清同底数幂相乘与幂的乘方的区别：前者是指数＿＿＿，后者是指数＿＿（七）布置作业:1 必做：P54习题8.1：第2题2 选做： ()()32311 = 2,2 32,35,3x x n m m n a a +-===若则若则＝ 板书设计：预设反思：。
初中数学 人教版第八年级上册 十四章——幂的运算与整式乘法 教案
【例5.1】计算(1)(
)(
)
1232322
32
+-+--+a a a a a a a (2) ()122323
2-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x
变式：计算：（1）2ab （5ab 2+3a 2b ） （2）（3
2ab 2
－2ab ）·
2
1ab
【例5.2】求值：)2()2()1()43(5322--+---x x x x x x x ，其中，2-=x .
变式：计算：1/3x n
y ·(3/4x 2
－1/2xy －2/3y －1/2x 2
y)，其中x=1，y=2
【知识点6】多项式乘以多项式
多项式乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
如计算(2x-1)(-x+3),2x 看成公式中的a ；－1看成公式中的b ；-x 看成公式中的m ；3看成公式中的n ． 运用法则(2x-1) 中的每一项分别去乘(-x+3) 中的每一项，计算可得：-2x 2
+6x+x-3 ． 注意：(1)解题书写和格式的规范性；
(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；
(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏
【例6.1】计算：（1）(x+y)(x 2-xy+y 2) （2）(2x+y)(x-y)
变式1：计算：(1)(x+2)(x-2)(x 2
+4)； (2)(1-2x+4x 2
)(1+2x)； （3）(3x+2)(3x-2)(9x 2
+4)。
人教版数学八年级上册29幂的运算(基础)知识讲解
幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==． （2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）． 【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】解：（1）2()m a 2ma =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】 解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【答案】 解：32323232()()238972a ba b a b x x x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【答案】 解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。
八年级上册幂的知识点
八年级上册幂的知识点幂是数学中的一个重要概念，也是数学建模的核心之一。
在八年级上学期数学中，幂是重要的知识点之一，掌握好幂的相关知识点能够帮助同学们更好地理解和学习后续的数学知识。
本文将从以下几个方面介绍八年级上册幂的相关知识点。
一、基本概念幂指的是一个数通过乘以自身多次而得到的结果。
例如，2的3次幂（记为2³）等于2×2×2=8，其中2是底数，3是指数。
二、指数的性质在幂的运算中，指数的值会影响幂的结果。
因此，我们需要了解指数在幂运算中的性质，以便更好地理解和应用幂的知识。
1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。
例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。
2. 同底数幂相除时，底数不变，指数相减。
例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。
3. 幂的指数为0时，结果为1。
例如，2⁰ = 1。
4. 幂的指数为负数时，结果是倒数，底数不变，指数取绝对值。
例如，2⁻³ = 1/2³ = 1/8。
三、幂的运算在幂的运算中，当给定底数和指数时，我们需要求得幂的结果。
以下是几种常见的幂的运算方法。
1. 幂的乘方。
当同一底数的幂相乘时，可以通过底数不变，指数相加的规律来得到结果。
例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。
2. 幂的除方。
当同一底数的幂相除时，可以通过底数不变，指数相减的规律来得出结果。
例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。
3. 求幂的平方根。
求一个数的平方根，等价于找到一个数的平方等于这个数。
因此，当给定一个数的幂时，可以通过对指数除以2来得到该数的平方根。
如果指数不是偶数，则无法进行平方根运算。
例如，4¹²的平方根为4⁶，因为4⁶²=4¹²。
四、常见错误在幂的运算中，有一些常见的错误需要避免。
1. 底数和指数错位。
例如，将2³写成3²，就是将底数和指数错位的错误。
八年级幂的运算知识点
八年级幂的运算知识点在八年级数学中，幂的运算是一个非常重要的知识点。
掌握了幂的运算，可以更好地理解和解决数学题目，为高中数学打下坚实的基础。
那么，幂数学在八年级具体有哪些内容呢？下面就来一一讲解。
一、幂的定义和简单运算幂是指一个数的几次方，比如$a^2$就是a的平方，表示为a×a。
幂具有以下运算法则：1.同底数幂相乘规则：两个数的底数相同，指数相加，即$a^m×a^n=a^{m+n}$。
2.同底数幂相除规则：两个数的底数相同，指数相减，即$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。
3.幂的乘方规则：一个数的幂的幂，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{m×n}$。
4.负指数的意义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即分母是$a^n$，分子为1的分数。
二、零数幂和整数幂1.零数幂的概念：$0^n=0$（n≠0），因为任意数乘以0都等于0，所以0的n次方都等于0。
2.整数幂的概念：正整数幂是指将正整数作为底数所得到的幂；负整数幂是指将负整数作为底数所得到的幂。
正整数的n次方表示为$a^n$，负整数的n次方表示为$(-a)^n$。
对于负整数，以下四条规律需要注意：（1）奇数次方的负数结果为负数，如$(-5)^3=-125$。
（2）偶数次方的负数结果为正数，如$(-6)^4=1296$。
（3）负数的奇次方与其相反数的奇次方相反，如$(-3)^3=-27$，$3^3=27$，$-3^3=-27$。
（4）负数的偶次方与其相反数的偶次方相等，如$(-2)^4=16$，$2^4=16$。
三、小数幂小数幂是指将小数作为底数的幂，如$0.5^3=0.125$。
小数幂的计算方法与整数幂的计算规律相同。
四、分数幂分数幂是指将分数作为底数的幂，如$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$。
分数幂的计算方法需要使用根式，将分数幂转化为根的形式，如$(\frac{1}{2})^3=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1 }{2}$。
八年级上册数学幂的知识点
八年级上册数学幂的知识点幂的概念幂是指以底数为因数的连乘积。
其中，底数为幂的底，指数为幂的指。
幂通常表示为an，表示n个a的乘积。
其中，a为实数，n为自然数。
幂的性质1.同底数幂的乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
例如：4的2次方乘以4的3次方等于4的5次方，即4的2次方乘以4的3次方=4的5次方。
2.同底数幂的除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方（m>n）。
例如：6的5次方除以6的3次方等于6的2次方，即6的5次方除以6的3次方=6的2次方。
3.幂的乘方法则：（a的m次方的n次方）等于a的m×n次方。
例如：3的4次方的2次方等于3的8次方，即（3的4次方的2次方）=3的8次方。
4.幂的0次方等于1，即a的0次方=1。
例如：2的0次方等于1，即2的0次方=1。
5.幂的负次方等于其倒数的幂，即a的-n次方等于1÷a的n次方（a≠0）。
例如：4的-2次方等于1÷4的2次方，即4的-2次方=1÷4的2次方。
幂的应用在实际生活中，幂的应用很广泛。
以下是几个常见的应用场景。
1.计算长方形面积。
长方形的面积可以看作是长和宽的乘积，即s=a×b。
其中a和b都是实数，也可以是整数或分数。
2.计算立方体的体积。
立方体的体积可以看作是长度、宽度和高度的乘积，即V=a×b×h。
其中a、b和h也都是实数，也可以是整数或分数。
3.计算复利。
复利是利滚利的一种形式，也是幂的一种应用场景。
复利的计算公式为A=P×(1+r/n)的nt。
其中，A是最终的本利和，P是本金，r是年利率，n是年复利次数，t是时间（以年为单位）。
总结在学习数学幂的知识点时，需要掌握幂的概念和性质，以及幂的应用场景。
幂是数学中的重要概念，应用非常广泛。
熟练掌握幂的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。
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幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m
n
p
m n p
a a a a
++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即
m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则 ()=m n
mn
a a
(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p
mnp
a a
(0≠a ，,,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： ()()
n
m
mn
m n a
a
a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则
()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n
n
n
n
abc a b c (n 为正整数).
（2）逆用公式：()n n n
a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010
101122 1.22⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)3
5
(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)2
3
(2)(2)x y y x -⋅- ． 【答案与解析】
解：（1）3
5
351
9(2)(2)(2)(2)
(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．
（2）2
3
2
3
5
(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()
n n
n
b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）23
[()]a b --； （2）32
23
5
()()2y y y y +-g ；
（3）224
12()()m m x
x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．
【答案与解析】
解：（1）23
[()]a b --23
6()
()a b a b ⨯=--=--．
（2）32235
()()2y y y y +-⋅6
6
6
6
6
2220y y y y y =+-=-=． （3）224
12()()m m x
x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．
（4）32
34
()()x x ⋅6
12
18x x
x =⋅=．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
3、（2015春•南长区期中）已知2x =8y+2，9y =3x ﹣
9，求x+2y 的值．
【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解． 【答案与解析】
解：根据2x =23
（y+2）
，32y =3x ﹣
9，
列方程得：，
解得：，
则x+2y=11．
【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则． 举一反三： 【变式】已知322,3m
m
a
b
==，则()()()
3
6
322
m
m m m a
b a b b +-⋅＝ ．
【答案】－5；
提示：原式()
()()()2
3
2
2
3232m m m m a
b a b =+-⋅
∵
∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）24
(2)xy - （2）2
4333
[()]a a b -⋅-
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】
解：（1）24
4
4
24
4
8
(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．
（2）2
4333
[()]a a b -⋅-23
1293
6
36
27
4227()()()a a b a a b
a b =-⋅-=-⋅-⋅=．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：
【变式1】下列等式正确的个数是( )．
①(
)
3
2
36926x y
x y -=- ②()3
26m m a a -= ③()3
6933a a =
④(
)(
)5
7
35
510710
3510
⨯⨯⨯=⨯ ⑤()
()
100
100
1010.520.522-⨯=-⨯⨯
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】A ；
提示：只有⑤正确；(
)
3
2
36928x y
x y -=-；()3
26m m a a -=-；()3
618327a a =；
()()5
7
12
135107103510
3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯
【变式2】（2015春•泗阳县校级月考）计算：
（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2
（2）（2）20•（）21．
【答案】
（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2
=a4•9a6＋16a10
=9a10＋16a10
=25a10；
（2）（2）20•（）21．
=（×）20•
=1×
=．
5、（2016秋•济源校级期中）已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3x m）2的值．
【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．
【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m
=4（x2m）3﹣9x2m
=4×23﹣9×2
=14．
【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．。