分层随机抽样概论
04-第四章_分层随机抽样
L
下面讨论估计量的期望与方差。 （1）对于一般分层抽样
ˆ ）也 对于一般的分层抽样，若 Y h 是 Y h 的无偏估计量，则 Y st （或 Y st
是 Y （或 Y ）的无偏估计：
Ù
Ù
E (Y st ) = å Wh E (Y h ) = Y
h =1
Ù
L
Ù
ˆst ) = NE (Y st ) = N Y = Y E (Y
L
2 L Sh S2 - å Wh2 h nh h =1 Nh
=å
简便公式
2 L Wh2 Sh W S2 -å h h nh N h =1 h =1
V ( y st ) = V (å Wh y h )
h =1
L
= å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= å Wh2
h =1
Sh2 (1 - f h ) nh
åN
h =1
L
h
=N。
Wh =
Nh 称为层权，它也是已知的。 N
以 Yhi 表示第 h 层总体的第 i 个单元的指标值，以 yhi 表示第 h 层样本的 第 i 个单元的指标值。
Yh =
1 Nh 1 nh
åY
i =1 nh i =1
Nh
hi
表示第 h 层的总体均值，
yh =
åy
hi
表示第 h 层的样本均值（其中 nh 是第 h 层的样本量） ，
h =1 h =1 h =1 L L Ù L Ù Ù
Ù
3
（2）对于分层随机抽样
Ù
特别对于分层随机抽样，Y h 一般均取为简单估计：层样本均值 y h ，因 此 Y 的简单估计为：
抽样技术-分层随机抽样概述
19
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
10 200
0.05
1 n1
y1 n1 i1 y1i 39.5
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
同理，求得： y2 105
s22 2166.667
y3 165
2020/3/10
17
性质3：对于分层随机抽样， 的一个无偏估计为：
V Yˆ
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2020/3/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样 单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层 按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位： 元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及其 95%的置信区间。
Wh
Nh N 第 h 层的
层权
fh
nh Nh
第 h 层的
抽样比
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
第 h 层的
总体均值
yh
1 nh
nh i1 yhi
第 h 层的
样本均值
6
记号
Yh
yh
S
2 h
s h2
公式
Nh
Yhi NhYh
i 1
代表的含 义
第 h 层的
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
【抽样调查】分层随机抽样
【抽样调查】分层随机抽样第2部分：分层随机抽样⽬录概述分层随机抽样的思路：当N ,n 都较⼤，总体单元之间的差异也较⼤时，简单随机抽样会出现⾼成本、低精度情形，解决⽅法是将总体划分为若⼲个⼦总体、减少总体单元之间的差异。
假设在各个⼦总体内已经满⾜实施简单随机抽样的条件，则可以在各个⼦总体内独⽴地进⾏简单随机抽样，再将各个⼦总体参数的估计值进⾏加权，得到总体参数的估计。
分层抽样的概念：层：如果⼀个包含N 个单位的总体可以分成不重不漏的L 个⼦总体，即每个单元必定属于且仅属于⼀个⼦总体，则这样的⼦总体称为层。
有N 1+⋯+N L =N 。
分层抽样：在每⼀层中独⽴进⾏抽样，总的样本由各层样本组成，总体参数⼜按照各层样本参数的汇总作出估计。
有n 1+⋯+n L =n 。
分层随机抽样：每层的样本，都独⽴地按照简单随机抽样进⾏，这样的分层抽样称为分层随机抽样。
符号规定：h ：层。
从⽽N h 代表第h 层的单位总数，n h 代表第h 层的样本数。
i ：层内单位号。
从⽽Y hi 代表第h 层第i 个总体单元，y hi 代表第h 层第i 个样本单元。
W h ：层权，即W h =N h N 。
f h ：层内抽样⽐，即f h =n hN h 。
¯Yh,Y h,S 2h：层内总体参数（均值、总值与⽅差）。
¯y h ,y h ,s 2h：层内样本参数（样本均值、样本总值与样本⽅差）。
简单估计量分层抽样⾸先根据各层的样本，计算出各层均值¯Y h的适当估计值ˆ¯Y h ，然后再使⽤总体层权加权平均，得到总体均值¯Y 的估计，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ˆ¯Y h =1N L∑h =1N h ^¯Y h .对于分层随机抽样，每⼀层的ˆ¯Y h就是h 层的样本均值¯y h ，即ˆ¯Y st =L∑h =1W h ¯y h =1N L∑h =1N h ¯y h .注意这⾥的线性形式。
抽样技术-分层随机抽样概述
抽样技术-分层随机抽样概述介绍在实际调查和研究中，我们往往无法对所研究的总体进行全面调查，而需要通过抽样的方式来获取一局部样本数据。
而抽样技术是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们从总体中选择样本，通过对样本进行分析和研究，得出对总体的结论。
分层随机抽样是抽样技术中的一种常用方法，它将总体按照一定的特征进行分组，然后从每个组中随机选择一局部样本进行调查。
这种方法可以提高样本的代表性，使得样本更能够反映总体的情况。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样包括以下几个步骤： 1. 第一步，确定抽样的总体。
需要明确需要研究的总体是什么，例如某个地区的人群、某家企业的员工等等。
2. 第二步，将总体进行分层。
根据需要研究的特征，将总体进行分组，例如按照性别、年龄、职业等特征进行分层。
3. 第三步，确定每层的样本大小。
根据实际情况和研究的要求，确定每个分层的样本大小，使得每个分层的样本能够充分反映该层的特征。
4. 第四步，进行随机抽样。
在每个分层中，通过随机抽样的方式选择样本。
常用的随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样等。
5. 第五步，收集数据并进行分析。
通过对样本进行调查和数据收集，得到研究所需的数据。
然后可以进行数据分析和统计，得出对总体的结论。
分层随机抽样的优势分层随机抽样相比于其他抽样方法，具有以下优势： 1. 提高样本的代表性。
通过将总体进行分层，可以保证每个分层中都有足够数量的样本，从而使得样本更能够代表总体的特征。
2. 控制误差。
由于每个分层中的样本都是随机选择的，因此可以在一定程度上控制抽样误差，提高调查结果的准确性和可信度。
3. 适用性广泛。
分层随机抽样可以适用于各种调查和研究场景，无论是人口统计学调查、市场调研还是医学研究等，都可以采用这种抽样方法。
分层随机抽样的局限性分层随机抽样虽然具有很多优势，但也存在一些局限性： 1. 难以应对动态总体。
如果总体的分层特征随着时间的推移发生变化，那么分层随机抽样可能无法准确反映总体的情况。
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
抽样技术分层随机抽样
抽样技术：分层随机抽样引言在数据分析中，抽样是一种常见的技术，用于从总体中选择一部分样本进行研究和分析。
抽样的目的是获得对总体的准确、可靠的估计，同时降低研究成本和时间。
然而，在实际应用中，总体往往是复杂多样的，包含不同属性或特征的子群体。
这时，分层随机抽样就是一种有效的抽样技术，可以提高抽样的精确性和代表性。
本文将介绍分层随机抽样的概念、步骤和应用。
什么是分层随机抽样?分层随机抽样是一种按照总体的分层结构进行抽样的方法。
总体根据某种特征或属性被划分为若干层，然后从每一层中随机选择一部分样本，构成最终的样本集。
这种抽样方法能够充分考虑总体内部的差异，保证样本对总体的代表性和准确性。
分层随机抽样的步骤分层随机抽样一般包括以下几个步骤：步骤1：总体划分层首先，需要根据某种特征或属性将总体划分为若干层。
层与层之间应具有较大的差异，而层内部的差异应尽可能小。
步骤2：确定每层的样本量和抽样比例根据抽样的目标和总体的特点，可以确定每一层的样本量。
通常情况下，样本量应当足够大，以获得准确的统计结果。
同时，需要确定每一层的抽样比例，比例应考虑到层内部的差异和样本数量。
步骤3：随机抽样在每一层内，根据抽样比例，从层内随机选择样本。
随机抽样可以保证样本的无偏性和代表性。
步骤4：组成样本集将每一层内抽取的样本进行组合，形成最终的样本集。
样本集应能够反映总体的属性和特征。
分层随机抽样的优点相比于简单随机抽样和系统抽样，分层随机抽样具有以下优点：提高估计的精确性分层随机抽样可以将总体划分为若干个层，然后分别从每一层抽取样本。
这样做有助于充分考虑总体内部的差异，提高估计的精确性。
降低误差由于分层随机抽样将样本分布在不同层中，可以降低抽样误差和估计误差，从而提高研究结论的可靠性。
保证样本的代表性分层随机抽样能够从每一层中抽取样本，使样本更具代表性。
这样可以在不损失总体属性和特征的情况下，降低样本的偏差。
分层随机抽样的应用分层随机抽样在社会调查、市场研究、医学研究等领域有着广泛的应用。
分层随机抽样概论(PPT 50张)
2019/2/15
例题
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
st
W 2 VY VY h h s t
h 1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
8
2019/2/15
证明性质1
由于对每一层有 L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st hh h h 因此， h 1 1 h L L L 1 1 Y W Y N Y Y Y h h h h h N N N h 1 h 1 h 1 估计量的方差 L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ V Y V W Y W V Y 2 W W Cov Y , Y st h h h h h k hk h 1 h 1 h 1 k h 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
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第一节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 第二节 估计量及其性质 第三节 样本量的分配原则 第四节 样本量的确定 第五节 分层抽样的若干问题
2021/1/2
1
第一节 引 言
一、定义
在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不
不重 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大
不漏 小分别为 N1, N2 ,, N L ，这个层合起来就是
层 居民户
总数
1
2
1
200
10
40
2
400
50 130
3
750 180 260
4
1500
50
35
样本户奶制品年消费支出
3
4
5
6
7
8
9
10
0 110
15
10
40
80
90
0
60
80 100
55 160
85 160 170
110
0 140
60 200 180 300 220
15
0
20
30
25
10
30 25
2021/1/2
18
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
1
10 0.05 n1 20N0 2850
y1 n1 i1 y1i 39.5
nh 10
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
W2
N2 N
400 2850
0.14035
f2
n2 N2
2021/1/2
h1
9
性质2：对于分层随机抽样， yst 是 Y
的无偏估计，yst 的方差为：
V
yst
L
Wh2V
h1
yh
L
Wh2
h1
1 fh nh
S
2 h
2021/1/2
10
证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽
样，对每一层有 Eyh Yh
因此，由性质1，有
E
y
2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。
3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。
4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
2021/1/2
确定样本量：总的样本量，各层样本量
估计量的方差不仅与各层的方差有关， 还和各层所分配的样本量有关。
实际工作中有不同的分配方法，可以按 各层单元数占总体单元数的比例分配， 也可以采用使估计量总方差达到最小、 费用最小。
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26
【例3.1】
调查某地区的居民奶制品年消费支出， 以居民户为抽样单元，根据经济及收入 水平将居民户划分为4层，每层按简单随 机 抽 样 抽 取 10户 ， 调 查 获得如 下数据 （单位：元），要估计该地区居民奶制 品年消费总支出及估计的标准差。
3
750 1 1
0
0 0 0 1 0 10
4 1500 1 0
0
0 0 0 0 0 00
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24
解：由上表可得， p1 0.2 p2 0.2 p3 0.4 p4 0.1
根据前面对各层层权 Wh及抽样比 fh 的计算结果，可得各层估计量的方差：
v p1
1
f1
p1q1 n1 1
st
L
Y
V yst Wh2V yh
h1
由第二章性质2，得 V L
因此 V yst Wh2V
h1
yh yh
1 fh
L nh Wh2
h1
S
2 h
1 fh nh
S
2 h
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11
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个
无偏估计为：
v yst
L
Wh2v yh
总数
权数
1
2000
0.2
2
3000
0.3
3
5000
0.5
估计方 差
标准 差
常数 与权数 与方
分配
成比例
差成 比例
20 100
60 49
30 100
90 110
34 100
150 141
3.86
3.09 3.11
与Whsh
正比 40 90 170 3
Wshh
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29
一、比例分配
按各层单元数占总体单元数的比例，也 就是按各层的层权进行分配.
0.0169
v p3
1
f
3
p3q3 n3 1
0.0263
v p2 1
v p4 1
f
f
2
4
p2q2 0.0173
np24
1
q4
0.0099
n4 1
因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：
pst
4
Wh ph
h 1
1 N
4
Nh ph
h 1
1 2850
200 0.2 400 0.2 750 0.4 1500 0.1
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层 居民 户总 数
权数
1
200 0.07
2
400 0.14
3
750 0.26
4 1500 0.53
2021/1/2
nh nwh
方差
常 数
与权 数成
Wh
sh
40.3
分 配
10
比例
3
46.5 10
6
90.6 10
11
13.9 10
20
s 与 Wh h
正比 3
7
23
7
28
层 居民户
Ph Qh nh
L
Wh2 1 f h
h1
Ph Qh nh
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22
性质9：对于分层随机抽样，V pst 的一个无偏估计为：
v pst
L
Wh2v ph
h1
1
L
N
2 h
1
fh
N2 h1
nh
sh2
L
Wh2 1 f h
h1
phqh nh 1
2021/1/2
分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
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3
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。
Yst
L WhYh
h1
1 N
L N hYh
h1
分层随机样本，总体均值Y 的简单估计
yst
L
Wh yh
h1
1 N
L
Nh yh
h1
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7
估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 Yh是 Yh 的
无偏估计（ h 1,2,, L
估计。 Yst 的方差为：
），则
Yst
是 Y 的无偏
例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。
因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
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5
三、符号说明 (关于第h层的记号 )
层号
h 1,2,, L
1 Nh
Yh N h i1 yhi
S
2 h
1 Nh 1
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19
4
Yˆ N h yh h1 200 39.5 400 105 750 165 1500 24
209650
v Yˆ
4
N 2 Wh2v
h 1
yh
4 h 1
N
2 h
1 fh nh
sh2
5.93 108
s Yˆ v Yˆ 23208
Yˆ ts Yˆ 209650 2 23208
23
例3.2
在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家 庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台），
要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计 的标准差。
层 居民
样本户拥有家庭电脑情况
户总 数
1
2
3
4 5 6 7 8 9 10
1
200 0 0
0
1 0 0 0 1 00
2
400 0 1
0
0 0 0 0 0 10
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16
性质6：对于分层随机抽样， V Yˆ 的一个
无偏估计为：
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
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例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 估计的标准差。
21
性质8：对于分层随机抽样， pst 是 P 的无偏估计，
V
ph
N h nh PhQh Nh 1 nh