分层随机抽样概论

23
例3.2
在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家 庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台），
要估计该地区居民拥有家庭电脑的比例及估计 的标准差。
层 居民
样本户拥有家庭电脑情况
户总 数
1
2
3
4 5 6 7 8 9 10
1
200 0 0
0
1 0 0 0 1 00
2
400 0 1
0
0 0 0 0 0 10
例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。
因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
2021/1/2
5
三、符号说明 (关于第h层的记号 )
层号
h 1,2,, L
1 Nh
Yh N h i1 yhi
S
2 h
1 Nh 1
Yst
L WhYh
h1
1 N
L N hYh
h1
分层随机样本，总体均值Y 的简单估计
yst
L
Wh yh
h1
1 N
L
Nh yh
h1
2021/1/2
7
估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 Yh是 Yh 的
无偏估计（ h 1,2,, L
估计。 Yst 的方差为：
），则
Yst
是 Y 的无偏
2021/1/2
13
二、对总体总量的估计
总体总量 Y 的估计为：
Yˆ NYˆst L Yˆh h1
如果得到的是分层随机样本，则总体总 量的简单估计为：
Y Nyst
2021/1/2
14
2.估计量的性质
性质4：对于一般的分层抽样，如果
Yst 是 Y 的无偏估计，则 Yˆ 是 Y 的无偏估
V Yst L Wh2V Yh h1
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
2021/1/2
8
证明性质1
由于对每一层有 E Yˆh Yh
因此， E Yˆst
E L WhYˆh L Wh E Yˆh
h1
h1
L
WhYh
h1
1 N
L
N hYh
h1
1 N
L
Yh
h1
Y N
Y
估计量的方差
V Yˆst
V L WhYˆh
Байду номын сангаас
L Wh2V Yˆh
L
2
L WhWk Cov Yˆh ,Yˆk
h1
h1
h1 k h
由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全
为0，从而有 V Yˆst L Wh2V Yˆh
10 400
0.025
y2 105 s22 2166.667
W3
N3 N
750 2850
0.26316
f3
n3 N3
10 750
0.0133
y3 165
s32 8205.556
W4
N4 N
1500 2850
0.52632
f4
n4 N4
10 1500
0.0067
y4 24
s42 193.333
层 居民户
总数
1
2
1
200
10
40
2
400
50 130
3
750 180 260
4
1500
50
35
样本户奶制品年消费支出
3
4
5
6
7
8
9
10
0 110
15
10
40
80
90
0
60
80 100
55 160
85 160 170
110
0 140
60 200 180 300 220
15
0
20
30
25
10
30 25
总数
权数
1
2000
0.2
2
3000
0.3
3
5000
0.5
估计方 差
标准 差
常数 与权数 与方
分配
成比例
差成 比例
20 100
60 49
30 100
90 110
34 100
150 141
3.86
3.09 3.11
与Whsh
正比 40 90 170 3
Wshh
2021/1/2
29
一、比例分配
按各层单元数占总体单元数的比例，也 就是按各层的层权进行分配.
21
性质8：对于分层随机抽样， pst 是 P 的无偏估计，
V
ph
N h nh PhQh Nh 1 nh
Nh 1 Nh
因而 pst的方差为：
V pst
L
Wh2V ph
h1
1 N2
L h1
N
2 h
Nh nh
Nh 1
Ph Qh nh
L h1
1 N2
N
2 h
Nh nh Nh
3
750 1 1
0
0 0 0 1 0 10
4 1500 1 0
0
0 0 0 0 0 00
2021/1/2
24
解：由上表可得， p1 0.2 p2 0.2 p3 0.4 p4 0.1
根据前面对各层层权 Wh及抽样比 fh 的计算结果，可得各层估计量的方差：
v p1
1
f1
p1q1 n1 1
Ph Qh nh
L
Wh2 1 f h
h1
Ph Qh nh
2021/1/2
22
性质9：对于分层随机抽样，V pst 的一个无偏估计为：
v pst
L
Wh2v ph
h1
1
L
N
2 h
1
fh
N2 h1
nh
sh2
L
Wh2 1 f h
h1
phqh nh 1
2021/1/2
2021/1/2
27
层 居民 户总 数
权数
1
200 0.07
2
400 0.14
3
750 0.26
4 1500 0.53
2021/1/2
nh nwh
方差
常 数
与权 数成
Wh
sh
40.3
分 配
10
比例
3
46.5 10
6
90.6 10
11
13.9 10
20
s 与 Wh h
正比 3
7
23
7
28
层 居民户
0.0169
v p3
1
f
3
p3q3 n3 1
0.0263
v p2 1
v p4 1
f
f
2
4
p2q2 0.0173
np24
1
q4
0.0099
n4 1
因此，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：
pst
4
Wh ph
h 1
1 N
4
Nh ph
h 1
1 2850
200 0.2 400 0.2 750 0.4 1500 0.1
2021/1/2
18
W1
N1 N
200 2850
0.07018
f1
n1 N1
1
10 0.05 n1 20N0 2850
y1 n1 i1 y1i 39.5
nh 10
s12
1 n1 1
n1 i 1
y1i y1 2 1624.722
W2
N2 N
400 2850
0.14035
f2
n2 N2
st
L
Y
V yst Wh2V yh
h1
由第二章性质2，得 V L
因此 V yst Wh2V
h1
yh yh
1 fh
L nh Wh2
h1
S
2 h
1 fh nh
S
2 h
2021/1/2
11
性质3：对于分层随机抽样， V yst 的一个
无偏估计为：
v yst
L
Wh2v yh
Nh i1
2
yhi Yh
2021/1/2
单元总数
Nh
样本单元数
nh
第 i个单元的值
yhi
层权 抽样比 总体均值
Wh
Nh N
fh
nh Nh
样本均值 总体方差
yh
1 nh
nh
y hi
i1
样本方差
sh2
1 nh 1
nh i1
yhi yh 2
6
第二节 估 计 量
一、对总体均值的估计
分层样本，总体均值 Y 的估计
2021/1/2
16
性质6：对于分层随机抽样， V Yˆ 的一个
无偏估计为：
v Yˆ
L
N
2 h
v
yh
h1
L h1
N
2 h
1 fh nh
s
2 h
2021/1/2
17
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 估计的标准差。
2021/1/2
h1
9
性质2：对于分层随机抽样， yst 是 Y
的无偏估计，yst 的方差为：
V
yst
L
Wh2V
h1
yh
L
Wh2
h1
1 fh nh
S
2 h
2021/1/2
10
证明性质2：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽
样，对每一层有 Eyh Yh
因此，由性质1，有
E
y
第三章 分层随机抽样
第一节 分层随机抽样的定义、使用场合以及符号 第二节 估计量及其性质 第三节 样本量的分配原则 第四节 样本量的确定 第五节 分层抽样的若干问题
2021/1/2
1
第一节 引 言
一、定义
在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不
不重 重复的子总体，每个子总体称为层，它们的大
不漏 小分别为 N1, N2 ,, N L ，这个层合起来就是
整个总体
L
N Nh
，然后，在每个层中分别
独立地进行抽样， h1 这种抽样就是分层抽样，所
得到的样本称为分层样本。
如果每层都是独立按照简单随机抽样进行，则 称为分层随机抽样
2021/1/2
2
作用
分层抽样的抽样效率较高，也就是说分 层抽样的估计精度较高。这是因为分层 抽样估计量的方差只和层内方差有关， 和层间方差无关。
2021/1/2
20
三、对总体比例的估计
总体比例P的估计为：pst
L
Wh ph
h1
估计量的性质
性质7：对于一般的分层抽样，如果 ph 是 Ph 的无偏估计 （h 1,2,, L ），则pst 是 P 的无偏估计。pst 的方差为：
L
V pst Wh2V ph
h1
2021/1/2
分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
层内抽样方法可以不同，而且便于抽样 工作的组织。
2021/1/2
3
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。
1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。
2021/1/2
19
4
Yˆ N h yh h1 200 39.5 400 105 750 165 1500 24
209650
v Yˆ
4
N 2 Wh2v
h 1
yh
4 h 1
N
2 h
1 fh nh
sh2
5.93 108
s Yˆ v Yˆ 23208
Yˆ ts Yˆ 209650 2 23208
nh n
Nh N
Wh
fh
nh Nh
n N
f
对于分层随机抽样，这时总体均值的估
计是y prop
L
Wh yh
h1
L nh h1 n
yh
L nh h1 n
1 nh
nh
y hi
i 1
2021/1/2
1 L nh
1n
n h1 i1 yhi n i1 yi y
自加权
30
总体中的任一个单元，不管它在哪一个层，都以同样的概率入样， 因此按比例分配的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样 本也称为自加权的样本。
0.2
估计量的方差为：
vpst
1 N2
4
N
2 h
v
ph
h1
1
28502
2002 0.0169 4002 0.0173 7502 0.0263 15002 0.0099
估计量的标准差为：
s pst v pst 0.07
0.0
2021/1/2
25
第三节 样本量在各层的分配
确定样本量：总的样本量，各层样本量
估计量的方差不仅与各层的方差有关， 还和各层所分配的样本量有关。
实际工作中有不同的分配方法，可以按 各层单元数占总体单元数的比例分配， 也可以采用使估计量总方差达到最小、 费用最小。
2021/1/2
26
【例3.1】
调查某地区的居民奶制品年消费支出， 以居民户为抽样单元，根据经济及收入 水平将居民户划分为4层，每层按简单随 机 抽 样 抽 取 10户 ， 调 查 获得如 下数据 （单位：元），要估计该地区居民奶制 品年消费总支出及估计的标准差。
计。Yˆ 的方差为： V Yˆ N 2V Yˆst
L
V Yˆh
h1
N 2 L Wh2V Yˆh L Nh2V Yˆh
h1
h1
2021/1/2
15
性质5：对于分层随机抽样， Yˆ 的方差为：
V Yˆ
L
Nh2V
h1
yh
L h1
N
2 h
1 fh nh
S
2 h
2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。
3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。
4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
2021/1/2
4
例题
例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。
为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。
各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。
为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。
h1
L h1
Wh2
1
f nh
h
sh2
2021/1/2
12
证明性质3：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随
机抽样，由第二章性质3，得V yh
因估此计，V为 y：svt 的y一h 个无1偏nh估f h计s为h2 ：
的无偏
v yst
L
Wh2v yh
h1
L
Wh2
h1
1 fh nh
sh2