专题01 集合与常用逻辑用语 (学生版)2010-2020高考试题分类汇编
专题01 集合与常用逻辑用语专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题01集合与常用逻辑用语1．【2021·浙江高考真题】设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B = （）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.2．【2021·全国高考真题】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .3．【2021·全国高考真题（理）】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的必要不充分条件故选：B.6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B = ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.11．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ðA ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1U B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选C ．【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.12．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义直接得结果.【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D ．【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U .故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I .故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.17．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<< ．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞ ．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =- .故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.21．【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D .【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．22．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴(){1}U A B =- ð.故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.23．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.24．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.26．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC|”的充分必要条件.故选C.【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.27．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.【答案】{}0,2【解析】【分析】根据集合的交集即可计算.【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2A B =I .故答案为{}0,2.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.29．【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，{1,6}A B = .【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。
2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语含答案
2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语一、选择题（共19小题）1．（2020•天津）设全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3-，3}B ．{0，2}C ．{1-，1}D ．{3-，2-，1-，1，3 }2．（2020•北京）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2}3．（2020•山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%4．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．65．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = )A ．{|12}x x <B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <D ．{|14}x x <<7．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(A B = )A ．∅B ．{3-，2-，2，3}C ．{2-，0，2}D ．{2-，2}8．（2020•新课标Ⅲ）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4B =-，1，3，5}，则(A B = )A ．{4-，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3} 9．（2020•山东）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<10．（2020•新课标Ⅲ）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．411．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()(UA B =)A ．{2-，3}B ．{2-，2，3)C ．{2-，1-，0，3}D ．{2-，1-，0，2，3}12．（2020•天津）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020•天津）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③14．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件15．（2020•北京）已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则ST 有4个元素17．（2020•新课标Ⅲ）已知函数1()sin sin f x x x=+，则( ) A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称18．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．（2020•上海）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二．多选题（共1小题）20．（2020•山东）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且()0(1i P X i p i ==>=，2，⋯，)n ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑．( )A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1i p i n==，2，⋯，)n ，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且21()(1j m j P Y j p p j +-==+=，2，⋯，)m ，则()()H X H Y三．填空题（共5小题）21．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 22．（2020•江苏）已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = ．23．（2020•上海）集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = ． 24．（2020•新课标Ⅲ）关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称． ②()f x 的图象关于原点对称． ③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 25．（2020•新课标Ⅲ）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语参考答案一、选择题（共19小题）1．（2020•天津）设全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3-，3}B ．{0，2}C ．{1-，1}D ．{3-，2-，1-，1，3 }【解答】解：全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}， 则{2UB =-，1-，1}，(){1U A B ∴=-⋂，1}，故选：C ．2．（2020•北京）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(AB = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2} 【解答】解：集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则{1A B =，2}，故选：D ．3．（2020•山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，96x y z ++=，82y z +=，解得46z =． ∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C ．4．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=， {(A B x ∴=，*)|,}{(1,7)8,y xy x y N x y ⎧∈=⎨+=⎩，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． AB ∴中元素的个数为4．故选：C ．5．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315)B x x =<<， {5A B ∴=，7，11}， AB ∴中元素的个数为3．故选：B ．6．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(PQ = )A ．{|12}x x <B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <D ．{|14}x x <<【解答】解：集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<， 则{|23}PQ x x =<<．故选：B ．7．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(AB = )A ．∅B ．{3-，2-，2，3}C ．{2-，0，2}D ．{2-，2}【解答】解：集合{|||3A x x =<，}{|33x Z x x ∈=-<<，}{2x Z ∈=-，1-，1，2}， {|||1B x x =>，}{|1x Z x x ∈=<-或1x >，}x Z ∈，{2A B ∴=-，2}．故选：D ．8．（2020•新课标Ⅲ）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4B =-，1，3，5}，则(AB = )A ．{4-，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}【解答】解：集合2{|340}(1,4)A x x x =--<=-，{4B =-，1，3，5}， 则{1AB =，3}，故选：D ．9．（2020•山东）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(AB = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<【解答】解：集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<， {|14}AB x x ∴=<．故选：C ．10．（2020•新课标Ⅲ）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}AB x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．4【解答】解：集合2{|40}{|22}A x x x x =-=-，1{|20}{|}2B x x a x x a =+=-，由{|21}AB x x =-，可得112a -=，则2a =-． 故选：B ．11．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()(UA B =)A ．{2-，3}B ．{2-，2，3)C ．{2-，1-，0，3}D ．{2-，1-，0，2，3}【解答】解：集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}， 则{1A B =-，0，1，2}， 则(){2UAB =-，3}，故选：A ．12．（2020•天津）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由2a a >，解得0a <或1a >， 故1a >”是“2a a >”的充分不必要条件， 故选：A ．13．（2020•天津）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：因为()sin()3f x x π=+，①由周期公式可得，()f x 的最小正周期2T π=，故①正确；②51()sin()sin 22362f ππππ=+==，不是()f x 的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象，故③正确．故选：B ．14．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【解答】解：对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时， 当0a >时，此时x a x +>， 又因为()f x 单调递减， 所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时， 所以()()f x f x f <+（a ）， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =， 当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==， 又因为()f x 单调递增， 所以()()f x a f x +<， 所以()()f x a f x f +<+（a ）， 所以命题2p ⇒命题p ， 所以1q ，2q 都是p 的充分条件， 故选：C ．15．（2020•北京）已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当2k n =，为偶数时，2n απβ=+，此时sin sin(2)sin n απββ=+=， 当21k n =+，为奇数时，2n αππβ=+-，此时sin sin()sin απββ=-=，即充分性成立，当sin sin αβ=，则2n απβ=+，n Z ∈或2n αππβ=+-，n Z ∈，即(1)k k απβ=+-，即必要性成立， 则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件， 故选：C ．16．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则ST 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则ST 有4个元素【解答】解：取：{1S =，2，4}，则{2T =，4，8}，{1S T =，2，4，8}，4个元素，排除C ．{2S =，4，8}，则{8T =，16，32}，{2ST =，4，8，16，32}，5个元素，排除D ；{2S =，4，8，16}则{8T =，16，32，64，128}，{2ST =，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B ；故选：A ．17．（2020•新课标Ⅲ）已知函数1()sin sin f x x x=+，则( ) A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称【解答】解：由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称；设sin x t =，则1()y f x t t ==+，[1t ∈-，1]，由双勾函数的图象和性质得，2y 或2y -，故A 错误；又有11()sin()(sin )()sin()sin f x x x f x x x-=-+=-+=--，故()f x 是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B 错误； 11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ+=++=--+；11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ-=-+=+-，故()()f x f x ππ+≠-，()f x 的图象不关于直线x π=对称，C 错误；又11()sin()cos 22cos sin()2f x x x xx πππ+=++=++；11()sin()cos 22cos sin()2f x x x xx πππ-=-+=+-，故()()22f x f x ππ+=-，定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，()f x 的图象关于直线2x π=对称；D 正确；故选：D ．18．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“m ，n ，l 两两相交”，则“m ，n ，l 在同一平面”成立． 故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件， 故选：B ．19．（2020•上海）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=， ∴ “αβ= “是“22sin cos 1αβ+= “的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=， ∴ “αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件， ∴ “αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．二．多选题（共1小题）20．（2020•山东）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且()0(1i P X i p i ==>=，2，⋯，)n ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑．( )A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1i p i n==，2，⋯，)n ，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且21()(1j m j P Y j p p j +-==+=，2，⋯，)m ，则()()H X H Y【解答】解：A ．若1n =，则11P =，故1212()log 1log 10H x p p =-=-⨯=，故A 正确；B ．若2n =，则121p p +=，121222121121()(log log )[log (1)log (1)]H x p p p p p p p p =-+=-+--，设22()[log (1)log (1)]f p p p p p =-+--，01p <<， 则22211()[(1)(1)]2(1)21pf p log p p log p p log ln p p ln p-'=-+--+-=---， 令()0f p '<，解得112p <<，此时函数()f p 单调递减， 令()0f p '>，解得102p <<，此时函数()f p 单调递增，故B 错误； C ．若1(1,2,,)i P i n n ==⋯，则2211()H x n log log n n n=-=， 由对数函数的单调性可知，()H x 随着n 的增大而增大，故C 正确；D ．依题意知，12(1)m P Y p p ==+，221(2)m P Y p p -==+，322(3)m P Y p p -==+，⋯，1()m m P Y m p p +==+，122122212221()[()log ()()log ()m m m m H Y p p p p p p p p --∴=-+++++ 121()log ()]m m m m p p p p +++⋯+++，又1212222222()(log log log log )m m m m H X p p p p p p p p =-++⋯++⋯+， ∴2121222221222112()()m m m m m p p p H Y H X p log p log p log p p p p p p --=++⋯++++， 又21212221121,1,,1m m m mp p p p p p p p p -<<⋯<+++， ()()0H Y H X ∴-<，()()H X H Y ∴>，故D 错误．故选：AC ．三．填空题（共5小题）21．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则AB = {2，4} ．【解答】解：因为{1A =，2，3}，{2B =，4，5}，则{2A B =，4}． 故答案为：{2，4}．22．（2020•江苏）已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = {0，2} ．【解答】解：集合{0B =，2，3}，{1A =-，0，1，2}，则{0A B =，2}， 故答案为：{0，2}．23．（2020•上海）集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = 3 ．【解答】解：3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3．24．（2020•新课标Ⅲ）关于函数1()sin sin f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称．②()f x 的图象关于原点对称．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ②③ ．【解答】解：对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x -=-+=--=--； 所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对； 对于③，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，所以该函数()f x 关于2x π=对称，③对； 对于④，令sin t x =，则[1t ∈-，0)(0⋃，1]，由双勾函数1()g t t t =+的性质，可知，1()(g t t t=+∈-∞，2][2-，)+∞，所以()f x 无最小值，④错；故答案为：②③．25．（2020•新课标Ⅲ）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ①③④ ．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【解答】解：设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题； 由复合命题的真假可判断①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，。
高考数学专项复习专题一集合与常用逻辑用语
专题一集合与常用逻辑用语01 集合的概念题型一判断元素与集合的关系题型二根据元素与集合的关系求参数题型三利用集合互异性求参数题型四集合的描述方法题型五元素个数的求解及参数问题02 集合间的基本关系题型一判断集合的子集（真子集）个数题型二判断两个集合的包含关系及参数问题题型三两个集合相等求参数题型四空集性质及应用题型五根据集合相等关系进行计算03 集合的基本运算题型一根据交集结果求集合或参数题型一根据交集结果求集合或参数题型三根据补集结果求集合或参数题型四交并补混合运算确定集合或参数题型五容斥原理的应用题型六集合新定义04 充分条件与必要条件题型一根据充分不必要条件求参数题型二根据必要不充分条件求参数题型三根据充要条件求参数题型四充要条件的证明05 全称量词与存在量词题型一根据全称命题的真假求参数题型二根据特称（存在性）命题的真假求参数题型三含有一个量词的命题的否定的应用专题1 集合的概念题型一 判断元素与集合的关系 1．下面有四个语句: ①集合N *中最小的数是0; ②-a ∉N ，则a ∈N ;③a ∈N ，b ∈N ，则a +b 的最小值是2; ④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素. 其中说法正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】因为N *是不含0的自然数，所以①错误; 取a =2，则-2∉N ，2 ∉N ，所以②错误;对于③，当a =b =0时，a +b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误; 对于④，解集中只含有元素1，故④错误. 故选：A2．下列四个命题：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}含有两个元素；④集合6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】D【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确； ②当a ＝0时，0∈N ，所以②不正确；③因为由x 2－2x ＋1＝0，得x 1＝x 2＝1，所以{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，所以③不正确； ④当x 为正整数的倒数时，6x ∈N ，所以6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是无限集，所以④不正确．故选：D3．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =，给出如下四个结论：①[]20111∈；②[]33-∈；③若整数,a b 属于同一“类”，则[]0a b -∈；④若[]0a b -∈，则整数,a b 属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（ ）. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，201154021÷=⋅⋅⋅，[]20111∴∈，①正确；对于②，352-=-+，即3-被5除余2，[]33∴-∉，②错误； 对于③，设15a n k =+，25b n k =+，()125a b n n ∴-=-，能被5整除，[]0a b ∴-∈，③正确；对于④，设5a b n -=，n Z ∈，即5a n b =+，n Z ∈， 不妨令5b m k =+，m Z ∈，0,1,2,3,4k =，则()555a n m k m n k =++=++，m Z ∈，n Z ∈，0,1,2,3,4k =，,a b ∴属于同一“类”， ④正确； 综上所述：正确结论的个数为3个. 故选：C .4．已知集合{10}A x x =，23a =+，则a 与集合A 的关系是（ ） A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈【答案】A【解析】解：{|10}A x x =，23224a =+<+=，10a <，a A ∴∈，故选：A ．5．下列三个命题：①集合N 中最小的数是1；②a N -∉，则a N ∈；③a N ∈，N b ∈，则+a b 的最小值是2.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】①N 表示自然数集，最小的数为0，①错误； ②若32a N -=-∉，则32a N =∉，②错误；③若0a =，1b =，则1a b +=，③错误. ∴正确命题的个数为0个故选：A6．用符号“∈”或“∉”填空：（1）0________N *，5________Z ；（2）23________{x |x ＜11}，32________{x |x ＞4}；（3）(－1，1)________{y |y ＝x 2}，(－1，1)________{(x ，y )|y ＝x 2}．【答案】∉ ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ 【解析】（1）*0N ∉ 5∉Z ；（2）22(23)(11)>，2311∴>，∴23{|11}∉<x x ； 22(32)4>，即324>，∴32{|4}∈>x x ；（3）(－1，1)为点，{y |y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉{y |y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈{(x ，y )|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 题型二 根据元素与集合的关系求参数1．若由a 2，2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．0 B ．2019 C ．1 D ．0或2019【答案】C【解析】若集合M 中有两个元素，则a 2≠2 019a .即a ≠0且a ≠2 019. 故选：C.2．若集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则(a = )A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】解：集合2{|320}A x R ax x =∈-+=中只有一个元素， 当0a =时，可得23x =，集合A 只有一个元素为：23．当0a ≠时：方程2320ax x -+=只有一个解：即980a ∆=-=， 可得：98a =． 故选：D ．3．已知集合A 是由a ﹣2，2a 2+5a ，12三个元素组成的，且﹣3∈A ，求a =________. 【答案】32-【解析】解：由﹣3∈A ，可得﹣3=a ﹣2，或﹣3=2a 2+5a ， 由﹣3=a ﹣2，解得a =﹣1，经过验证a =﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a 2+5a ，解得a =﹣1或32-，经过验证：a =﹣1不满足条件，舍去.∴a =32-.故答案为：﹣32.4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为________. 【答案】3 【解析】∵2{0,,32}A m m m =-+，且2A ∈，∴2m =或2322m m -+=，即2m =或0m =或3m =，当2m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当0m =时，与元素的互异性相矛盾，舍去；当3m =时，{}032A =，，满足题意，∴3m =，故答案是3. 5．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）89≤a ；（2）89≤a 或0=a 【解析】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是89≤a ． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得89≤a ． 综上可得：a 的取值范围是89≤a 或0=a ． 题型三 利用集合互异性求参数1．含有三个实数的集合既可表示为{,,0}bb a，也可表示为{,,1}a a b +，则+a b 的值为____． 【答案】0【解析】由题意{,,0}{,,1}b b a a b a=+，可得0a ≠，根据集合相等和元素的互异性，可得0a b +=且1b =，解得1,1a b =-=， 此时集合{,,0}{1,1,0},{,,1}{1,1,0}b b a a b a=-+=- 所以0a b +=. 故答案为0.2．已知集合22{2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，则实数a 的值为________． 【答案】1-或0【解析】若()211,a +=则0a =或2,a =- 当0a =时，{}2,1,3A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去 若2a 3a 31,++=则1a =-或2,a =-当1a =-时，{}2,0,1A =，符合元素的互异性； 当2a =-时，{}2,1,1A =，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：1-或0.3．已知集合{}2411A a a a =+++，，{}2|0B x x px q =++=，若1A ∈.（1）求实数a 的值；（2）如果集合A 是集合B 的列举表示法，求实数p q ，的值. 【答案】（1）4a =-；（2）23p q ==-，.【解析】解：（1）∵1A ∈，∴2411a a ++=或者11a += 得4a =-或0a =，验证当0a = 时，集合{}11A =，，集合内两个元素相同，故舍去0a = ∴4a =-（2）由上4a =-得{}13A =-，，故集合B 中，方程20x px q ++=的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得[1(3)]21(3)3p q =-+-==⨯-=-，.4．已知{}20,1,1a a a ∈--，求a 的值．【答案】1a =-【解析】由已知条件得：若a ＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a ≠0； 若a ﹣1＝0，a ＝1，则集合为{1，0，0}，显然a ≠1；若a 2﹣1＝0则a ＝±1，由上面知a ＝1不符合条件；a ＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}； ∴a ＝﹣1．5．含有三个实数元素的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成2{,,0}a a b +，求20172018a b +的值． 【答案】-1【解析】由题意得,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与2{,,0}a a b +表示同一个集合,所以0ba=且0a ≠,1a ≠,即0b =,则有{,0,1}a 与2{,,0}a a 表示同一个集合,所以21a =,解得1a =-,所以()2017201720182018101a b +=-+=-，故答案为：1-题型四 集合的描述方法 1．给出下列说法：①集合{}3x x x ∈=N 用列举法表示为{}1,0,1-；②实数集可以表示为{|x x 为实数}或{}R ；③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合为{}1,2x y ==.其中不正确的有______.（把所有不正确说法的序号都填上） 【答案】①②③【解析】①由3x x =，即()210x x -=，得0x =或1x =或1x =-.因为1-∉N ，所以集合{}3x xx ∈=N 用列举法表示为{}0,1.②实数集正确的表示为{|x x 为实数}或R .③方程组3,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解组成的集合正确的表示应为(){}1,2或()1,,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭.故①②③均不正确. 2．定义集合运算(){}|,,AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，集合{}{}0,1,2,3A B ==，则集合A B 所有元素之和为________【答案】18【解析】当0,2,0==∴=x y z 当1,2,6==∴=x y z 当0,3,0==∴=x y z 当1,3,12==∴=x y z 和为0+6+12=18 故答案为：183．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈- ． （1）若2A ∈，试证明集合A 中有元素1-，12； （2）判断集合A 中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合A 中的元素个数不超过8，所有元素的和为143，且集合A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意，因为2A ∈，可得1112A =-∈-． 因为1A -∈，则()11112A =-∈-．所以集合A 中有元素1-，12． （2）由题意，可知若x A ∈（1x ≠且0x ≠）， 则11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x -≠-，1x x x-≠， 故集合A 中至少有3个元素．（3）由集合A 中的元素个数不超过8，所以由（2）知A 中有6个元素． 设1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，m x ≠，1x ≠且0x ≠，1m ≠且0m ≠， 因为集合A 中所有元素的积为1，不妨设21x =，或2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当21x =时，1x =（舍去）或1x =-；若1x =-，则1,22A ∈．∵集合A 中所有元素的和为143，∴1111421213m m m m -+-+++=-， ∴3261960m m m -++=，即()32261860m m m m ----=， 即()()23620m m m ---=，即()()()321320m m m -+-=，∴12m =-或3或23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．当2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭时，同理可得112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 综上，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．题型五 元素个数的求解及参数问题1．用()d A 表示集合A 中的元素个数，若集合()(){}2210A x x ax x ax =--+=，{}0,1B =，且()()1d A d B -=.设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则()d M =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A【解析】由题意，()()1d A d B -=，()2d B =，可得()d A 的值为1或3，若()1d A =，则20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，符合题意若()3d A =，若20x ax -=仅有一根，必为0，此时a =0，则22110x ax x -+=+=无根，不合题意，故20x ax -=有二根，一根是0，另一根是a ，所以210x ax -+=必仅有一根，所以2Δ40a =-=，解得2a =±，此时210x ax -+=的根为1或1-，符合题意，综上，实数a 的所有可能取值构成集合{0,2,2}M =-，故()3d M =． 故选：A ．2．已知集合{}2,,M m m a b a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①12π+;②1162+;③122+;④2323-++A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】①当212a b π+=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾， ②()211623232+=+=+232a b ∴+=+ ，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，③122212222-==-+，2212a b ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④()22323426-++=+=而()2222222a b a b ab +=++ ，,a b Q ∈，()22a b ∴+是无理数，2323∴-++不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C3．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C 【解析】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．4．选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合；（2）由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x 2－9)x ＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k ∈N }；（2）{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角形}或{三角形}. 【解析】（1）{|51,}x x k k N =+∈； （2）{(,)|4,,}x y y x x N y N =-+∈∈；（3）2(9)00x x x -=⇒=或3x =±，解集为{3,0,3}-， （4）{|x x 是三角形}或写成{三角形}． 5．设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A，则11a- ∈A ，且1∉A ， （1）若3∈A ，求A .（2）证明:若a ∈A ，则11A a-∈.【答案】（1）123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭;（2）证明见解析.【解析】(1)因为3∈A ， 所以11132A =-∈-， 所以12131()2A =∈--， 所以13213A=∈-，所以123,,23A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.(2)因为a ∈A ， 所以11A a∈-， 所以1111111a Aa aa-==-∈---.专题2 集合间的基本关系题型一 判断集合的子集（真子集）个数1．设全集{}2250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】由不等式2250x x -≤，解得502x ≤≤，即{}{}2250,0,1,2Q x x x x N =-≤∈= 又由P Q ⊆，可得满足条件的集合P 的个数为328=． 故选：D2．已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．∅【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B3．非空集合P 满足下列两个条件：（1）P ⊊{1，2，3，4，5}，（2）若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，则集合P 个数是__． 【答案】6【解析】根据条件：若元素a ∈P ，则6﹣a ∈P ，将集合{1，2，3，4，5}的元素分成三组：3、1和5、2和4． 因为P ⊊{1，2，3，4，5}， 当P 中元素只有一个时，P ＝{3}；当P 中元素只有二个时，P ＝{1，5}或{2，4}； 当P 中元素只有三个时，P ＝{3，1，5}或{3，2，4}； 当P 中元素只有四个时，P ＝{2，4，1，5}；当P 中元素有五个时，P ＝{3，2，4，1，5}不满足题意；综上所述得：则集合P 个数是：6． 故答案为：6．4．定义集合运算：{}|,,⊗==-∈∈A B z z x y x A y B ，若集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合A B ⊗的真子集的个数为_____．【答案】7【解析】由题知：{}3,2,1⊗=---A B 所以集合A B ⊗的真子集个数为3217-=. 故答案为：7题型二 判断两个集合的包含关系及参数问题 1．已知集合2|10Ax x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】因为2{|10}A x x =-=，{1A ∴=-，1}， 对于①，1A ∈显然正确；对于②，{1}A -∈，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对； 对于③，A ∅⊆，根据空集是任何集合的子集知正确； 对于④，{1，1}A -⊆．根据子集的定义知正确． 故选：C ．2．已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{}3C ．{1,1}-D ．{3,3}【答案】C【解析】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C3．若集合A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1＜a ＜2 B ．1≤a ≤2C ．1＜a ＜3D ．1≤a ≤3【答案】B【解析】∵A ＝{x |2＜x ＜3}，B ＝{x |（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0}，且A ⊆B ， ∴a ＞0，则B ＝{x |a ＜x ＜3a }，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得1≤a ≤2，故选：B.4．已知集合{}25A x x =-≤≤，{121}B x m xm =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____. 【答案】3m ≤【解析】依题意得：当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤.当B ≠∅时，12112215m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m <≤.综上，3m ≤.5．写出下列每组中集合之间的关系： （1）A ={x |-3≤x <5}，B ={x |-1<x <2}．（2）A ={x |x =2n -1，n ∈N *}，B ={x |x =2n +1，n ∈N *}．（3）A ={x |x 是平行四边形}，B ={x |x 是菱形}，C ={x |x 是四边形}，D ={x |x 是正方形}． （4）A ={x |-1≤x <3，x ∈Z }，B ={x |x =y ，y ∈A }． 【答案】（1）BA ；（2）BA ；（3）DB AC ；（4）B A ． 【解析】（1）将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA ；（2）当n ∈N *时，由x =2n -1知x =1，3，5，7，9，…． 由x =2n +1知x =3，5，7，9，…．故A ={1，3，5，7，9，…}，B ={3，5，7，9，…}，因此B A ；（3）由图形的特点可画出Venn 图，如图所示，从而可得DB AC ；（4）依题意可得：A ={-1，0，1，2}，B ={0，1，2}，所以B A ．6．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围； （3）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）2m ≤-；（3）0m ≥． 【解析】（1）当1m =-时，{}22B x x =-<<，则{}23A B x x ⋃=-<<；（2）由A B ⊆知122113m m m m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(],2-∞-；（3）由A B =∅得①若21m m ，即13m ≥时，B =∅符合题意；②若21m m ，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩． 得103m ≤<或m ∈∅，即103m ≤<．综上知0m ≥题型三 两个集合相等求参数1．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩，当1a =时，不满足集合元素的互异性， 故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.2．设a 、b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=__________．【答案】2 【解析】{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，由于b a -有意义，则0a ≠，则有0a b +=，所以，1ba -=-.根据题意有10b a b ba a ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，因此，()112b a -=--=.故答案为2.3．已知{}2,,2,4,59∈=-+a x R A x x ，{}23,B x ax a =++，{}2(1)3,1C x a x =++-.求：（1）使2B ∈，BA 的 ,a x 的值；（2）使B C =的 ,a x 的值.【答案】（1）2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-【解析】（1）因为2B ∈，所以22++=x ax a 又因为BA ，所以259=3-+x x ，解得2x =或=3x当2x =时，422++=a a ，解得23a =-当=3x 时，932++=a a ，解得74=-a所以，2x =，23a =-或=3x ，74=-a ；（2）B C =，221(1)33x ax a x a x ⎧++=∴⎨++-=⎩，解得16x a =-⎧⎨=-⎩或32x a =⎧⎨=-⎩ 所以，1x =-，6=-a 或=3x ，2a =-. 4．由a ，ba，1组成的集合中有3个元素，该集合与由2a ，a+b ，0组成的集合是同一个集合，求20202020a b +的值. 【答案】1【解析】由题意可得集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和集合{}2,,0a a b +为相等集合，则由集合中元素的特点和相等集合的概念可得20110b a a a ba a a ⎧=⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪≠⎪≠⎩联立解得：10a b =-⎧⎨=⎩，所以202020202020(1)01a b +=-+=.5．已知集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，若A B =，求20182019a b +的值．【答案】1【解析】解：因为集合,,1b A a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B a a b =+，要使ba有意义，则0a ≠又A B =，由集合相等的充要条件及集合中元素的互异性可得2110a a b a ⎧⎪=⎪≠⎨⎪⎪=⎩，即10a b =-⎧⎨=⎩，即 20182019a b +=20182019(1)01-+=， 故20182019a b +=1.题型四 空集性质及应用1．已知集合{}2|320,A x ax x a =∈-+=∈R R .（1）若集合A 是空集，求a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个集合A 写出来. 【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或98a =，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【解析】解析（1）要使集合A 为空集，则方程2320ax x -+=无实数根， 当0a =时，得23x =不满足题意；则有0980a a ≠⎧⎨∆=-<⎩解得98a >.故a 的取值范围是9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0a =时，方程为320x -+=，解得23x =为一个解满足题意，此时23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭； 当0a ≠时，方程为一元二次方程，此时集合A 中只有一个元素的条件是980a ∆=-=，解得98a =，此时43x =，则得43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 综上可得：0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.2．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解，此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1. 题型五 根据集合相等关系进行计算1．设,R a b ∈，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同，0a ≠ ，所以0a b +=，则1ba=-，那么1b =，和1a =-， 所以2b a -=. 故选：D2．已知集合{}13A x =,,，{}21B x =-,. （1）若集合{}14M y =,,，A M =，求x y +的值； （2）是否存在实数x ，使得B A ⊆?若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）19x y +=；（2）不存在实数x ，见解析 【解析】（1）由题可知4,3,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以16,3,x y =⎧⎨=⎩所以19x y +=.（2）假设存在实数x 使得B A ⊆， 则23x -=或2x x -=.若23x -=，则1x =-，此时x 没有意义，舍去. 若2x x -=，则()()222x x-=，化简得2540x x -+=，解得1x =或4x =（舍），当1x =时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数x ，使得B A ⊆. 3．已知关于x 的方程322126x x a x -+-=-与2136x a x a+--=有相同的解集，求a 的值及方程的解集.【答案】1a =，方程的解集为{1} 【解析】解：方程322126x x a x -+-=-化为63(32)62x x x a --=--， 整理，得13152x a =-，解得15213ax -=.方程2136x a x a+--=化为2(2)()6x a x a +--=, 整理，得336x a =-+，解得2x a =-+. 由题意，得152213aa -=-+，解得1a =，所以1x =. 综上，1a =，方程的解集为{1}. 4．已知关于x 的方程442313a x x ++=-的解集为A ，关于x 的方程340x a --=的解集为B ，若A B =，求a 的值. 【答案】1a =-【解析】解：由方程442313a x x ++=-，解得4413a x +=+，即4413a A +⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 由方程340x a --=，解得43a x +=，即43a B +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.又A B =，所以444133a a +++=，解得1a =-. 5．若{0,1,2}{1,||,1}a a a a -=--+，求a 的值. 【答案】1a =或1a =-.【解析】由题意知，()1当10a -=时，1a =，此时{0,1,2}{0,1,2}-=-符合题意；()2当11a -=-时，0a =，此时{0,1,0}-不符合集合中元素的互异性，（舍去）； ()3当12a a -=时，1a =-，此时{0,1,2}{2,1,0}--=--，符合题意；综上可知，1a =或1a =-.专题3 集合的基本运算题型一 根据交集结果求集合或参数1．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ） A ．3a > B ．3a C ．9a < D ．9a【答案】C【解析】因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ， 所以{|39}UA x x =<，又因为()U A B ⋂≠∅，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C2．已知集合A ={x |2<x <4}，B ={x |a <x <3a }．若A ∩B ={x |3<x <4}，则a 的值为_______．【答案】3【解析】由A ={x |2<x <4}，A ∩B ={x |3<x <4}， 如图，可知a =3，此时B ={x |3<x <9}，即a =3为所求． 答案：33．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣10x +9＜0}，C ＝{x |a ＜x ＜a +1}． （1）求A B ，()U A B ；（2）如果A C ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|19A B x x =<<，(){|12U A B x x =<<或}79x ≤<；（2）{|1a a ≤或}7a ≥．【解析】（1）{}|27A x x =≤<，{}|19B x x =<<， 所以{}|19A B x x =<<，{|2UA x x =<或}7x ≥，(){|12UA B x x =<<或}79x ≤<。
年高考真题+高考模拟题 专项版解析汇编 文科数学——01 集合与常用逻辑用语(学生版)
专题01 集合与常用逻辑用语1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B = A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．54．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---5．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}6．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}8．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则PQ =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<9．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.12．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧ ②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝1．【2020·四川省阆中中学高三二模（文）】命题“若3x =，则2230x x --=”的逆否命题是A ．若3x ≠，则2230x x --≠B ．若3x =，则2230x x --≠C ．若2230x x --≠，则3x ≠D ．若2230x x --≠，则3x =2．【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是 A ．10ln 1x x x ∃≤≥-, B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,3．【广东省台山市华侨中学2020届高三级10月模考文科数学试题】设集合{|A x y ==,集合{}2|20B x x x =->,则() R C A B ⋂等于A ．()0,2B ．[)1,2C ．()0,1D ．()2,+∞4．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（文）试题】设集合{}{}|1,|1M x x N x x =≥=<，则M N =A ．{}|1x x <B ．{|1x x <或}2x ≥C ．{}|01x x ≤<D ．{}|1x x ≤-5．【2020·广东省高三二模（文）】已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B = A ．{1，3} B ．{1，3，5}C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3，4，5}6．【2020·山西省高三月考（文）】已知集合2{1,2,3,4,|},{60}A B x x x ==--<，则A B =A ．{}2B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}1,2,37．【2020·广西壮族自治区高三月考（文）】若集合{|A x y ==，{|B x y ==，则A B =A ．[)1,+∞ B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞D ．[][)2,12,--+∞8．【2020·四川省阆中中学高三二模（文）】已知集合2{|13},{|log (2)}A x x B x y x =-≤≤==-，则集合A B =A ．{}|12x x -≤<B ．{}|23x x <≤C ．{}|13x x <≤D ．{}|2x x >9．【2020·河北省高三月考（文）】已知集合{}|11M x Z x =∈-≤≤，(){}20|N x Z x x =∈-≤，则MN =A ．{}1,2-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,210．【2020·重庆八中高三月考（文）】设全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则()U A B =A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2 D ．{}1,0,1,2,3-11．【2020·山东省高三期末】命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是A ．12a <B ．12a ≤C ．2a ≤D ．3a ≤12．【2020·北京高三月考】已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A ．{0,1}B ．2{|1}x x =C ．2{|0}x x >D ．R13．【2020·河南省高三月考（文）】若全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4,5B =，则()()=UUA BA ．ØB ．{}1,2,5C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,514．【2020·安徽省淮北一中高三月考（文）】{}|2,xM y y x R -==∈，{|sin ,}N y y x x R ==∈，则MN =A ．(0,1]B ．[1,0)-C ．[1,1]-D ．∅15．【2020·重庆巴蜀中学高三月考（文）】已知正实数,a b ，则“4ab ≤”是“4a b +≤”的A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件16．【2020·重庆南开中学高三月考（文）】设全集U =R ，集合{}21xA x =>，(){}ln 2B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为A ．()0,∞+B ．()0,2C ．[)2,+∞D ．()[),02,-∞+∞17．【2020·广西壮族自治区高三月考（文）】已知命题:p 若1a >，则0.2log 0.21a a <<；命题:q 若函数22()1f x mx m x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为(,0)(0,2]-∞⋃，下列说法正确的是A ．p q ∧为真命题B ．q 为真命题C ．p 为假命题D ．()p q ⌝∧为假命题18．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题】已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．【2020·天津南开中学高三月考】祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等.设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积相等，q ：A ，B 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．【2020·天津一中高三月考】设,x R ∈则“|1|4x -<”是“502x x->-”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．【江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学(文)】下列命题错误的是A ．“2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B ．命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 C ．在ABC 中，若“A B >”，则“sin sin A B >”D ．若等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充要条件22．【2020·安徽省淮北一中高三月考（文）】已知“若p 则q ”为真命题，“若p ⌝则q ⌝”为假命题，则p 成立是q 成立的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件23．【2020·山东省高三月考】已知直线:22l y k x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则“1k =”是“直线l 与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件24．【2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考（文）】下列说法正确的是A ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题B ．a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件C ．命题“x ∃∈R ，使得20x ≤”的否定是“x ∀∈R ，都有20x ≥” D．a b +≥成立的充要条件是“0a >且0b >”25．【2020·江西省高三月考（文）】已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．[1,)+∞D ．[0,)+∞26．【2020·广东省高三月考（文）】若m ，n 表示互不重合的直线，α，β表示不重合的平面，则//m α的一个充分条件是 A ．//m β，//αβ B ．m β⊥，αβ⊥ C ．//m n ，//n αD ．n αβ=，m α⊄，//m n27．【2020·贵州省高三月考（文）】设α，β为两个平面，命题p ：//αβ的充要条件是α内有无数条直线与β平行；命题q ：//αβ的充要条件是α内任意一条直线与β平行，则下列说法正确的是 A ．“p q ⌝∧⌝”为真命题 B ．“p q ∧”为真命题 C ．“p q ⌝∧”为真命题 D ．“p q ∨⌝”为真命题。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(集合与常用逻辑用语)汇编考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ） A ．{}1,3,4 B ．{}2,3,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}0,1,2,3,4,93．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}0,1,2 C ．{}2- D ．{}25．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}- 6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ） A ．{}0,1,2 B ．{2,1,0}-- C ．{0,1} D ．{1,2}8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}02x x ≤< B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,911．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,4,9 B ．{}3,4,9 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,52．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a c C ．{},b d D ．{},,,a b c d考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥ ”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-= ”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2yxx y +=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}n S n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x ∀∈R ，20x ≥参考答案考点01 集合间的基本关系1．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）． A ．2 B ．1 C ．23 D ．1-【答案】B【详细分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【答案详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故选：B.2．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详细分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【答案详解】当0a =时，集合{}1,0M =，{}1,0,1N =-，可得M N ⊆，满足充分性，若M N ⊆，则0a =或1a =-，不满足必要性，所以“0a =”是“M N ⊆”的充分不必要条件，故选：A.考点02 交集1．（2024∙全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2．（2024年全国甲卷高考真题）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （ ）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,9【答案】C 【详细分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【答案详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：C3．（2023∙北京∙高考真题）已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（ ） A ．{21}x x -≤<∣ B ．{21}xx -<≤∣ C ．{2}xx ≥-∣ D ．{1}x x <∣ 【答案】A【详细分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【答案详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A4．（2023全国新Ⅰ卷高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ） A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C 【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--， 所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．5．（2022∙全国新Ⅱ卷高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}- 【答案】B【详细分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂.【答案详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6．（2022年全国乙卷∙高考真题）集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N ⋂=（ ） A ．{2,4} B ．{2,4,6} C ．{2,4,6,8} D ．{2,4,6,8,10}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4M N = ．故选：A.7．（2022年全国甲卷∙高考真题）设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【详细分析】根据集合的交集运算即可解出．【答案详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B = ．故选：A.8．（2022全国新Ⅰ卷∙高考真题）若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N ⋂=（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}316x x ≤< D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【详细分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【答案详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D9．（2021年全国乙卷∙高考真题）已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T ?（ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【详细分析】详细分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【答案详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.10．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N ⋂=（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【详细分析】求出集合N 后可求M N ⋂. 【答案详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.11．（2021年全国甲卷∙高考真题）设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【详细分析】根据交集定义运算即可 【答案详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【名师点评】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.12．（2021全国新Ⅰ卷∙高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【详细分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【答案详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .考点03 并集1．（2024∙北京∙高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x -≤< B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案.【答案详解】由题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选：C.2．（2022∙浙江∙高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【详细分析】利用并集的定义可得正确的选项.【答案详解】{}1,2,4,6A B = ，故选：D.3．（2021∙北京∙高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【详细分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【答案详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤ .故选：B.4．（2020∙山东∙高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【详细分析】根据集合并集概念求解.【答案详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【名师点评】本题考查集合并集，考查基本详细分析求解能力，属基础题.考点04 补集1．（2024年全国甲卷∙高考真题）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,5【答案】D【详细分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【答案详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =， 则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D 2．（2023年全国乙卷∙高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（ ） A ．{}0,2,4,6,8 B ．{}0,1,4,6,8 C ．{}1,2,4,6,8 D ．U【答案】A【详细分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【答案详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3．（2023年全国乙卷∙高考真题）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ） A ．()U M N ð B ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N ⋃ð【答案】A【详细分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}|2x x ≥即可.【答案详解】由题意可得{}|2M N x x =< ，则(){}|2U M N x x =≥ ð，选项A 正确； {}|1U M x x =≥ð，则{}|1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}|11M N x x =-<< ，则(){|1U M N x x ⋂=≤-ð或}1x ≥，选项C 错误；{|1U N x x =≤-ð或}2x ≥，则U M N = ð{|1x x <或}2x ≥，选项D 错误；故选：A.4．（2022∙全国乙卷∙高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ） A ．2M ∈ B ．3M ∈ C ．4M ∉ D ．5M ∉【答案】A【详细分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【答案详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．（2022∙北京∙高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ） A ．(2,1]- B ．(3,2)[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--【答案】D【详细分析】利用补集的定义可得正确的选项．【答案详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．6．（2021全国新Ⅱ卷∙高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【详细分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【答案详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð， 故选：B.7．（2020全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知全集{},,,U a b c d =，集合{},M a c =，则U M ð等于（ ） A ．∅ B ．{},a cC ．{},b dD ．{},,,a b c d【答案】C【详细分析】利用补集概念求解即可. 【答案详解】{},U M b d =ð. 故选：C考点05 充分条件与必要条件1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+= ，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件 【答案】C【详细分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【答案详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±B 错误；对D ，当1x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.2．（2024∙天津∙高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【答案详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选：C.3．（2024∙北京∙高考真题）设 a ，b 是向量，则“()()ꞏ0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详细分析】根据向量数量积详细分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件详细分析判断.【答案详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ， 若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ， 例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023∙北京∙高考真题）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】解法一：由2xyy x +=-化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x y y x +通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可. 【答案详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-， 所以112x y y yy x y y -+=+=--=--， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x +=-”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xyy x xy xy xy xy+-+++--+=====-， 所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x +=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2xyy x +=-”的充要条件. 故选：C5．（2023∙全国甲卷∙高考真题）设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详细分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【答案详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B6．（2023∙天津∙高考真题）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【详细分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【答案详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B7．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C【详细分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【答案详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+， 因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+， 则11(1)222n S n d d a d n a n-=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+， 即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立， 于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C8．（2022∙浙江∙高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【详细分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【答案详解】因为22sin cos 1x x +=可得： 当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立； 当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立； 所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.9．（2022∙北京∙高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详细分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【答案详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=， 由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”； 若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >， 假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->， 当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【详细分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【答案详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >， 但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ．【名师点评】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．考点06 全称量词与存在量词1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题 D ．p ⌝和q ⌝都是真命题【答案】B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【答案详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题， 综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B.2．（2020∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x > D ．x ∀∈R ，20x ≥【答案】D【详细分析】本题可通过43>、12<、45<、cos 1≤x 、20x ≥得出结果. 【答案详解】A 项：因为43>，所以10>且34>是假命题，A 错误； B 项：根据12<、45<易知B 错误； C 项：由余弦函数性质易知cos 1≤x ，C 错误； D 项：2x 恒大于等于0，D 正确， 故选：D.。
2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案
2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
高考数学必刷真题分类大全-专题01-集合与常用逻辑用语
【答案】D
【试题解析】由题意， B= x x2 4x 3 0 1,3，所以 A B 1,1, 2,3 ,
所以 ðU A B 2, 0 .故选：D.
【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算． 【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，集合的基本 运算是历年高考的热点．集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解 及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力． 常见的命题角度有： （1）求交集或并集；（2）交、并、补的混合运算；（3）新定义集合问题． 【得分要点】 解集合运算问题应注意如下三点：
”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））设
m,
n
为实数，则“
0.1m
0.1n
”是“
lg
1 m
lg
1 n
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2022·上海虹口·二模）已知 l1 ，l2 是平面 内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“ l ”是“ l l1 且 l l2 ”
CU A _____.
13．（2022·广东·华南师大附中三模）当 x a 时， x 1 0 成立，则实数 a 的取值范围是____________． x
14．（2022·山东聊城·三模）命题“ x R ，a2 4 x2 a 2 x 1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围为______.
集合与常用逻辑用语--2023高考真题分类汇编完整版
集合与常用逻辑用语--高考真题汇编第一章第一节集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合{}31,A x x k k ==+∈Z ，{}32,B x x k k ==+∈Z ，U 为整数集，则()U A B = ð（）A.{}3,x x k k =∈ZB.{}31,x x k k =-∈ZC.{}32,x x k k =-∈Z D.∅【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集{}{}{}3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k ==∈=∈=∈Z Z Z Z ，=U Z ，所以(){}3,U A B x x k k ==∈Z ð．故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}2,5N =，则U N M = ð（）A.{}2,3,5 B.{}1,3,4 C.{}1,2,4,5 D.{}2,3,4,5【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,4}M =，所以{}2,3,5U M =ð，又{2,5}N =，所以{2,3,5}U N M = ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（）A.()U M N ð B.U N Mð C.()U M N ð D.U M Nð【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可.【解析】由题意可得{}2M N x x =< ，则(){}2U M N x x = ð，选项A 正确；{}1U M x x =ð，则{}1U N M x x =>- ð，选项B 错误；{}11M N x x =-<< ，则(){}11U M N x x x =- 或ð，选项C 错误；{}12U N x x x =-或ð，则{}12U M N x x x =< 或ð，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}0,4,6M =，{}0,1,6N =，则U M N = ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可.【解析】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N =（）A.{}2,1,0,1--B.{}0,1,2 C.{}2- D.{}2【解析】{}(][)260,23,N x x x =--≥=-∞-+∞ ，所以{}2M N =- ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合{}{}0,,1,2,22A a B a a =-=--，若A B ⊆，则a =（）A.2 B.1 C.23D.1-【解析】因为A B ⊆，所以必有20a -=或220a -=，解得2a =或1a =.当2a =时，{}{}0,2,1,0,2A B =-=，不满足A B ⊆；当1a =时，{}{}0,1,1,1,0A B =-=-，符合题意.所以1a =.故选B.7.（2023北京卷1）已知集合{}20M x x =+，{}10N x x =-<，则M N = （）A.{}21x x -<B.{}21x x -<C.{}2x x - D.{}1x x <【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【解析】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,5【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =，所以{1,3,5}U B A = ð.故选A.第二节充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解法一：证明充分性可由0x y +=得到x y =-，代入x yy x+化简即可，证明必要性可由2x y y x +=-去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x+通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y +=代入即可；证明必要性把2x yy x+=-代入，解方程即可.【解析】解法一：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =-，所以112x y y y y x y y-+=+=--=--，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以222x y xy +=-，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy+-+++--+===-，所以充分性成立；必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=-，所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+-++++-+====-=-，所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件.故选C.4.（2023天津卷2）“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立；所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件.故选B.。
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专题01 集合与常用逻辑用语【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4B. –2C. 2D. 42.（2020·新课标Ⅱ）已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}3.（2020·新课标Ⅲ）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 64.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）．A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}5.（2020·山东卷）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4}D. {x |1<x <4}6.（2020·天津卷）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D.{3,2,1,1,3}---7.（2020·山东卷）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ） A. {x |2<x ≤3} B. {x |2≤x ≤3} C. {x |1≤x <4}D. {x |1<x <4}8.（2020·浙江卷）已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|23}x x << C. {|34}x x ≤<D. {|14}<<x x9.（2020·天津卷）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.（2020·北京卷）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11.（2020·浙江卷）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12.（2020·江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.13.（2020·新课标Ⅱ）设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 【2019年】1．【2019·全国Ⅰ卷】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<{}22M N x x ⋂=-<<2．【2019·全国Ⅱ卷】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞){}1A B x x ⋂=<=(–∞，1)3．【2019·全国Ⅲ卷】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B ⋂= A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1-D ．{}0,1,2{}1,0,1A B ⋂=-4．【2019·天津卷】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则(A ∩C )∪B ＝ A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,45．【2019·浙江卷】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-6．【2019·浙江卷】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．【2019·天津卷】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面9．【2019·北京卷】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．【2019·江苏卷】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲ .【2018年】1．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面2．【2019·北京卷】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．【2018·浙江卷】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=UAA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}4．【2018·全国Ⅰ卷】已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥12．【2018·全国Ⅲ卷】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 5．【2018·天津卷】设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A BA ．{01}x x <≤B ．{01}x x <<C ．{12}x x ≤<D ．{02}x x <<B R()=RA B 6．【2018·全国Ⅱ卷】已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．47．【2018·北京卷】已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}8．【2018·浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9．【2018·天津卷】设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．【2018·北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件a ，b 11．【2018·江苏卷】已知集合，，那么________．12．【2018·北京卷】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．【2017年】1．【2017·全国Ⅰ卷】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅2．【2017·全国Ⅱ卷】设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．【2017·全国Ⅲ卷】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1D ．04．【2017·北京卷】若集合A ={x |–2<x <1}，B ={x |x <–1或x >3}，则A B =A ．{x |–2<x <–1}B ．{x |–2<x <3}C ．{x |–1<x <1}D ．{x |1<x <3}5．【2017·浙江卷】已知集合{|11}P x x =-<<，{02}Q x =<<，那么P Q =A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)6．【2017·天津卷】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R7．【2017·山东卷】设函数24y x =-A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则AB =A ．（1,2）B ．(1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)240x -≥22x -≤≤10x ->1x <{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<8．【2017·浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．【2017·北京卷】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．【2017·山东卷】已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>；命题q ：若a ＞b ，则22a b >，下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝0x >11,x +>ln(1)0x +>12,->-22(2)(1)->-p q ∧⌝10．【2017·全国Ⅰ卷】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p11．【2017·江苏卷】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【2016年】1.【2016·新课标1卷】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则A B = （ ）（A ）33,2⎛⎫--⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭2.【2016·新课标3卷】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（ ）(A) [2，3] (B)（-∞ ，2][3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2][3,+∞）3.【2016·四川卷】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）64.【2016·山东卷】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（ ）（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞5.【2016·新课标2卷】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 6.【2016·北京卷】已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,0,1}-D.{1,0,1,2}-7.【2016·浙江卷】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 8. 【2016·浙江卷】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 9.【2016·山东卷】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件10.【2016·天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件11.【2016·天津卷】已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{4}（C ）{1,3}（D ）{1,4}{1,4,7,10},A B {1,4}.B ==.12.【2016·江苏卷】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ____▲_____.13.【2016·上海卷】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14．【2016·山东卷】设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞。