机械制图 第三章

② 辅助圆法
过m'点 作与底边平 行的直线 a'b'，该直 线为一个与 底面平行的 小圆的正面 投影。
以 a ′ b ′为 直径在水平面 上作底面圆的 同心圆，则M 点的水平投影 一定在该圆的 圆周上。根据 点的投影规律 可依次作出水 平投影m和侧 面投影m ″ ， 如右图所示。
3．圆球及其表面上点的投影 （1）圆球的投影
棱柱
棱锥
圆柱
圆锥
圆球
3.1.1 平面立体的三视图及作图步骤 1．棱柱及其表面上点的投影 棱柱是由两个底面和若干棱面围成的平面立体， 立体上相邻表面的交线称为棱线。不同棱柱的三视图， 其画法大致相同。 （1）棱柱的投影 以下图所示的正六棱柱为例，将该六棱柱置于三 投影面体系中，为了便于作图，使其顶面和底面（正 六边形）平行于H面，并使前、后侧棱面与V面平行。 此时，该六棱柱的投影特性如下。
（2）棱锥表面上点的投影
组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能 是一般位置的平面。凡属于特殊位置表面上的点，其 投影可利用平面投影的积聚性直接求得；对于一般位 置表面上的点，可通过作辅助线的方法求得。
例如，已知三 棱锥表面上M点和N 点的正面投影，如 右图所示，试求作 这两点的水平投影 和侧面投影。
根据点的投 影规律，由n'点 和n点求出N点的 侧面投影n''
3.1.2 回转体的三视图及作图步骤
回转体上的曲面（也叫回转面）是由一条母线（直 线或曲线）绕回转轴线旋转而形成的表面。画回转体的 投影就是画回转面的转向轮廓线、底面和轴线的投影。 1．圆柱及其表面上点的投影 （1）圆柱的投影 圆柱是由圆柱面和上、 下两底面所组成的回转体， 圆柱面可看作是由一条与轴 线平行的直母线绕回转轴旋 转所形成的，因此圆柱面为 回转面。圆柱面上任意一条 平行于轴线的直线称为素线。
3.1.3
基本体的尺寸标注 基本体的尺寸标注以能确定其基本形状和大小为 原则，标注基本体的尺寸时，需要注意以下几点。
① 标注棱柱和棱锥的尺寸时，一般将尺寸标注在 最能反映其实形的投影上，然后在另一投影图上标注 另一方向的尺寸，如图所示。此外，六棱柱的底面通 常标注对边的间距，括号里的尺寸是参考尺寸，可不 标注。
（2）圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出； 圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求 出。按照辅助线作用不同，辅助线法可分为辅助素线 法和辅助圆法两种。其中，利用辅助素线法所作的辅 助线是过该点的素线，利用辅助圆法所作的辅助线是 过该点且与底面平行的圆。
例如，已知柱面上M点 的V面投影m′，试求该点的 其他两面投影。
3.2.1 平面立体切割体的画法 平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，该 多边形的各边是截平面与立体表面的交线，多边形的 顶点是截平面与立体各棱边的交点。因此，求平面截 断体的投影，关键是找到这些交点，然后作同面投影 连线即可。
【例3-1】已知正六棱柱被正垂面所在三投影面体系中， 如下面左图所示，其三视图的投影特性如下。 要绘制图下面左图所示圆柱的三视图，可先画出 圆的中心线和主、左视图中圆柱轴线的投影，然后画 出投影为圆的俯视图中的圆，最后按照投影关系画出 主、左视图。
主视图：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是 圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱 最左、最右处素线的投影。 左视图：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是 圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱 最后、最前处素线的投影。 俯视图： 反映上、下底 面实形的圆。 此时，圆柱体 的侧面投影积 聚在圆周上。
由于M点的正面投 影可见，且投影位于主 视图的左下方，因此， 可以推断该点位于前半 球的左下部位。由此可 知M点的水平投影不可见， 其侧面投影可见。过m′ 点作水平线b'c'，它与 圆球的正面投影相交于 点b′和点c'。 以b'c'为 直径，在水平 面上作圆球水 平投影的同心圆， 则M点的水平 投影必定在该 圆周上。 根据点 的投影规律 可依次作出 水平投影 （m）和侧面 投影m''。
俯视图：为一水平圆，反映圆锥底 面的实形，同时也是圆锥面的投影。 主、左视图：均为等腰三角形，且 三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。 主视图中，三角形的左、右两边分别是 圆锥面最左、最右素线的投影；左视图 中，三角形的左、右两边分别是圆锥面 最后、最前素线的投影。
要绘制圆锥的三视图， 可先画出圆的中心线和主、 左视图中圆柱轴线的投影， 然后在俯视图中画出圆锥底 圆的投影，接着画出底圆在 主、左视图中的投影，再根 据圆锥在高度确定锥顶在主、 左视图中的投影，最后连接 轮廓线即可。
由于M点的 正面投影不可 见，因此该点在 后棱面SAC上。 由于此棱面是侧 垂面，其侧面投 影具有积聚性， 因此M点的侧面 投影m''一定积 聚在直线s''a″ 上，根据点的投 影规律求出m ″ 点。最后由m'点 和m''点求出M点 的水平投影m。
由于N点的正 面投影可见，因此 该点在右侧棱面 SBC上。首先通过 n ′点作辅助线 n'1'平行于b'c'并 交s'c'于1'点。然 后求出Ⅰ点的水平 投影1。接着过1点 作平行于bc的直 线。最后根据点的 投影规律求出N点 的水平投影n。
② 圆柱和圆锥应标注出它的底面直径和高度尺 寸。若将直径标注在非圆投影图上，尺寸数字前需加 “f”符号。球体只标注直径，并在直径尺寸前加注 字母“S ”。球体标注直径后，只需一个投影图即可表 达，如图所示。
3.2 截交线的投影及作图
用一个平面切割立体，平面与立体表面所形成的交 线称为截交线，用来截切立体的平面称为截平面，立体 被截切后的断面称为截断面，如右图所示。 当立体表 面形状和截平面的位置不同时，截交线的形状也不同， 但任何形状的截交线都具有以下两个基本性质。 封闭性：截交线为封闭的平面 图形。 共有性：因为截交线既属于截 平面，又属于基本体表面，所以截 交线是截平面和基本体表面的共有 线。 由此可见，求作截交线的实质， 就是求截平面与立体表面的共有点 和共有线。
第3章 基本体的三视图及轴测图
3.1 基本体的三视图及尺寸标注 3.2 截交线的投影及作图 3.3 相贯线的投影及作图
3.4 轴测图
3.1 基本体的三视图及尺寸标注
任何物体都可以看成是由若干个基本体组合而成 的，这些基本体包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和圆球 等，基本体分为平面立体和曲面立体两种。其中，平 面立体是指表面均为平面的基本体，常见的有长方体、 棱柱和棱锥等；曲面立体是指表面由曲面或曲面和平 面组成的基本体，常见的曲面立体为回转体，如圆柱、 圆锥和圆球等。
（2）圆柱表面上点的投影 圆柱表面上点的投影， 可根据圆柱的积聚性求出。 例如，已知圆柱面上 M点的V面投影m′，如右 图所示，要求该点的其他 两面投影，可根据圆柱面 的积聚性及该点的可见性， 先求出其水平投影m，最 后再由m'和m求出侧面投 影m''。
2．圆锥及其表面上点的投影 （1）圆锥的投影 圆锥体由圆锥面和底面构成。如 右图所示，圆锥面可以看成是由直线 SA绕与其相交的轴线SO旋转而成的。 圆锥面上，通过锥顶的任一直线都是 圆锥面的素线。 将圆锥的轴线垂直于H面放置在三投影面体系 中，如下图所示，其三视图的投影特性如下。
① 辅助素线法
由于M点的正面投影可见，因此M点位于圆锥体的前半圆锥面上，且 水平投影和侧面投影都可见。由于圆锥面没有积聚性，因此必须利用辅助 线才能求出M点的其他两面投影，即在主视图上用细直线连接三角形的顶 点s'和m'点，并延长与底边相交于e'点。 由于E点位于圆锥底面上且可见，因此根据点的投影 规律可直接求得该点的水平投影e。 连接se，由于M点位于直线SE上，因此它的水平投 影m也一定位于直线se上。根据点的投影规律可依次求 出M点的水平投影m和侧面投影m''。
求作棱柱表面上点的投影时，应先确定该点在 棱柱的哪个表面上，然后利用棱柱面的积聚性来求 点的投影。判定点的可见性时，若平面可见，则该 平面上点的投影可见。 例如，已知正六棱柱 表面上点M的水平投影及 点N的正面投影，如右图 所示，试求这两点的另外 两面投影。
由于M点的水平投影m不可见，因此可判断该点位于正六棱 柱的底面上。由于该棱柱底面的正面投影和侧面投影都具有积 聚性，因此点M的正面投影m'和侧面投影m"必定在底面的同面 投影上。因此，可根据点的投影规律求出点m′和点m″。
正六棱柱被正垂面切割 时，正垂面与正六棱柱的六 个侧面相交，所以截交线是 一个六边形，六边形的顶点 为各棱边与正垂面的交点。 截交线在H面上的投影与棱 柱的水平投影重合，在V面 上的投影积聚为一直线，在 W面上的投影是一个六边形。
画出被切割前正六棱柱的左视图
在主视图和俯视图上分别找出正垂面与六棱柱各棱边的交 点，并用相应数字或字母标注，然后根据点的两面投影，找出 这些交点在侧平面中的投影点1″，2″，3″，4″，5″，6″，最 后用直线顺次连接各交点。
圆球的三面投影均为与该圆球直径相等的圆，该 圆是球面对投影面的转向轮廓线的投影，代表球体上 三个不同方向的纬圆，这三个纬圆分别平行于三个投 影面。
（2）圆球表面上点的投影 由于圆球面均无积聚 性，因此除了转向轮廓线 上的点可直接求出外，圆 球表面上的其他点均需用 辅助圆法才能求出。
例如，已知圆球面上一点M的V面投影m ′ ，如下 图所示，试求作该点的水平投影和侧面投影，其作图 步骤如下。
由于点N的正面投影可见，因此可判断点N在铅垂棱面AA1B1B 上，由于该棱面的水平投影积聚成直线ab，则点N的水平投影必然 在此积聚线上，故由点n'向下画投影线并与直线ab相交于点n，该 点即为点N的水平投影。最后由点n′和点n可求出点n″。
2．棱锥及其表面上点的投影 （1）棱锥的投影