埃博拉病毒的传播

西安工业大学数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B所属学校（请填写完整的全名）：西安工业大学参赛队员(打印并签名) ：1. 陈文兴2. 闫丽萍3. 魏栩指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2015 年8 月1 日埃博拉病毒传播及控制分析摘要埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，有很高的死亡率。

本文根据研究人员统计所给出的前四十周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息，对该病毒的传播、预测与控制进行研究并建立模型，并分析了隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。

针对问题一，在了解埃博拉病毒的传播情况后，根据猩猩的发病情况建立了马尔萨斯模型：()t e t x 0270.097.154=。

在此模型中，较好地描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播情况；根据“虚拟猩猩种群”中的数据，用matlab 拟合出不同状态下猩猩数量的变化曲线，并以发病状态为例建立灰色预测模型()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-∧897947))1((10539.600.0669 0124.0)0(11e a b e a b x k x x dt dx a ，从而较准确的预测出接下来第80、120、200周的猩猩发病状态的数据。

针对问题二，为描述埃博拉病毒在“虚拟种群“中的相互传播规律及人和猩猩的疫情发展状况，建立SEIR 模型 ()()()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅--=⋅⋅---⋅⋅---=⋅⋅----⋅⋅=----)(111)(111)(111)(111)(331212t I e a dt dT t I e a t Q e a a dt dI t Q e a a t I r dt dQ t t t t λ 模型求解时，通过对模型的推导，我们发现不能给出每个函数的解析解，因此考虑利用matlab 中的ode45函数进行求解。

得出了患者数量随时间的变化规律。

同样利用灰色预测模型预测出“虚拟人类种群”在第80、120、200周的相关数据。

针对问题三，在问题已建立的模型之上画图分析两个因素：通过某种特效药改变治愈率到80%，控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。

对埃博拉病毒传播的影响，并通过图中控制后的患者人数，利用模型二中的关系表达式，计算出，45，50，55周的潜伏期人数，治愈人数，死亡人数。

针对问题四，对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响，分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线，对比分析，可得出：当降低患者与健康者的接触率和使用特殊药物提高治愈率时，随着时间的延迟，患者人数急剧下降。

所以实际生活中，改变通过这两个指标可以有效的控制病情的传播。

关键词：马尔萨斯模型SEIR模型灰色预测隔离强度一、问题重述埃博拉病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），主要通过接触而非空气传播。

迄今为止，已有多次疫情爆发的记录，最近的一次在2014年，截至2014年9月25日，此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊为感染。

本文假设某地区有20万居民和3000只猩猩。

研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息（见附件一、附件二），根据相关信息研究回答以下问题：1、根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测猩猩接下来的疫情变化，并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；3、由于41周外界专家的介入，及严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。

预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，并对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据；4、依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。

二、问题分析根据题意，这是一个传染性病毒随时间蔓延的过程，需要研究传染病在传播过程中各类种群的数量变化，特别是通过研究患者和疑似患者、患者和治愈者的数量变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以认识到相应的疫情控制措施对控制传染病传播所能达到的效果。

针对问题一，根据附件一“虚拟猩猩种群”的数据，初步观察到发病状态、累计自愈及累计死亡的猩猩数量，并对数据做定量分析得到截至每周累计发病的数量，利用matlab 编程得出病毒传播速度的散点图，针对病毒的传播过程，首先，我们用()t x 表示t 时刻的猩猩发病个数，用λ表示每天每个猩猩有效接触的个数，考虑t 到t t ∆+时刻发病个数的增加，建立微分方程 x dtdx λ=，()00x x =，通过马尔萨斯模型求解得：()t e x t x λ0=。

利用灰色预测，预测出后期猩猩每个状态的数量，并以发病状态为例建立灰色预测模型，接着运用matlab 编程假设 ()()}{3642.4,39.2,48.4,45.4,54.4,51.2,50.20，=k X ，再对其作一次性累加生成运算得到新的生成数列()()}{67.292,331.2,3.2,249.6,2,155.8,20450.2,104.61=k X ，紧接着对()()k X 1作紧邻均值生成得出数据阵B 和数据向量n Y ，再对参数列T b a ],[=∧α进行最小二乘估计最后建立出了灰色模型（GM(1,1)模型）。

我们又经过对GM(1,1)模型的残差检验，最终得出了预测结果。

针对问题二，我们把人群分为五类：健康者（易感染者）、确诊患者、疑似患者、潜伏期感染者、死亡者和治愈者，采用SIER 模型，并将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群，关系如下图：在此基础上，找出单位周内这五类群体数量的变化来建立微分方程，得出模型。

再利用matlab编程画出图形，改变其隔离强度药物治愈率后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用SEIR模型对埃博拉病毒的传播规律进行定性分析描述，对未来种群数量变化用灰色预测模型进行定量预测，并分析各种疫情控制措施对控制疫情的作用。

针对问题三，在问题已建立的模型之上画图分析两个因素：通过某种特效药改变治愈率，控制患者和健康人群的接触即控制隔离强度。

对埃博拉病毒传播的影响。

针对问题四，对问题三进一步讨论改变隔离强度和治愈率对病毒传播的影响，分别用matlab作出患者人数随时间的变化曲线，对比分析，给出有效控制疫情传播的建议。

三、符号说明符号解释说明S(t)t时刻正常者（易受感染）数量E(t)t时刻疑似患者的数量Q(t)t时刻处于潜伏期的数量I(t)t时刻确诊患者的数量T(t)t时刻退出传染系统的数量（包括治愈者和死亡者）β1 潜伏期的人数中转化为确诊患病的数量占潜伏期β2 每日退出传染系统的数量比例a3 确诊患者的治愈时间r患者的人均周接触个体数量因接触被感染的概率p潜伏期内的患者被隔离的强度a患者被治愈的概率四、模型假设1、假设单位时间内感染病毒的数量与现有的感染者成比例；2、假设单位时间内治愈数量与现有感染者成比例；3、假设单位时间内死亡数量与现有的感染者成比例；4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；5、假设正常者被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的群体不会表现症状，不可传染健康者，不具有传染性；6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康者；7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；8、假设考察地区内疾病传播期间忽略个体的出生，死亡，流动等种群动力因素对总种群数量的影响。

即：总种群数量不变，记为N=20万；9、假设人能以一定的概率接触到猩猩，当接触有传播能力的猩猩后有一定的概率感染病毒，而人发病后与猩猩的接触可以忽略。

10、假设可以及时发现疑似患者并隔离治疗，并且剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后感染正常人。

11、假设人类发病后与猩猩的接触可以忽略，即人类不作为猩猩的感染源。

五、模型的建立与求解5.1问题一模型建立与求解据问题一，由附件“虚拟猩猩种群”中的数据,利用Matlab作累计发病个数--时间的散点图如下：（程序参见附件1）从图可看出：埃博拉病毒传播的速度在前40周始终呈上升的趋势，但上升的斜率有减小的趋势。

5.1.1马尔萨斯模型的建立与求解“虚拟猩猩种群”的埃博拉病毒传播预测模型类似于人口增长的预测模型，故首先采用马尔萨斯模型（Malthusian 模型）进行建模。

设时刻t的确诊患者数量()t I 是连续、可微函数，并且每天每个患者有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t 到t +t ∆病人人数的增加，则有()()()t t I t I t t I ∆=-∆+λ再设0=t 时有0I 个病人，即得微分方程()⎪⎩⎪⎨⎧==00I I I dt dI λ 解之可得：()t e I t I λ0=其中， λ,0I 为常数。

()t e t I 0270.097.154=根据“猩猩种群”疫情数据中的确诊患者的数据散点图(图1)，考虑利用马尔萨斯模型()t e x t x λ0=来预测埃博拉病毒的传播情况。

用matlab 求得97.1540=I ，0270.0=λ。

即得马尔萨斯模型如下（程序参见附件2）：()t e t I 0270.097.154=图：结果表明，随着t 的增加，猩猩感染的个数()t I 持续增长。

马尔萨斯拟合及预测图线与猩猩在前40周发病情况图线拟合程度较为符合。

由图分析知：马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型，它发现人口或种群成指数增长。

即在该模型中可引意为，猩猩感染病毒的个数随着时间的增长呈指数增长变化。