几何图形(提高)知识讲解
4.1几何图形教学(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“几何图形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.1几何图形”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过周围物体的形状？”比如，我们的桌子是矩形，书本是长方形，篮球是圆形等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索几何图形的奥秘。
在实践活动中，我发现学生们在分组讨论时表现得相当积极，但有些小组在解决问题时思路不够开阔。我应该在小组讨论时更多地给予引导，提出一些具有启发性的问题，帮助他们拓展思维，找到解决问题的多种方法。
此外，我还注意到，在学生小组讨论环节，有些学生比较内向，不太愿意表达自己的观点。今后，我应该鼓励这些学生多发言，让他们感受到课堂是一个安全、自由的表达空间，每个人都可以分享自己的想法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解几何图形的基本概念。几何图形是由点、线、面组成的图形，如三角形、四边形、圆等。它们在日常生活中无处不在，了解它们有助于我们更好地理解世界。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析教室中的物体，了解各种几何图形在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的几何图形教学中，我发现学生们对于几何图形的分类和特点掌握得还不错，但在实际应用上，尤其是计算面积和周长时，有些学生显得有些吃力。我意识到，可能是因为我在教学中过于注重理论，而忽略了与实际生活的联系。
【精品】(提高版)几何图形—专题04《图形的拆分(拼切)》2020年通用版小升初数学冲A提高集训(原卷版)
2020年通用版小升初数学冲A提高集训几何图形—专题04《图形的拆分（拼切）》一．选择题1．（2019秋•东莞市期末）把一张平行四边形卡片剪一刀分成两个图形，下面几种情况中不可能出现的是( )A．两个三角形B．两个梯形C．一个平行四边形和一个梯形2．（2019秋•会宁县期末）有一些长3厘米，宽1厘米的长方形纸片，至少需要()张这样的纸片才能拼成一个正方形．A．3 B．4 C．5 D．63．（2019•湘潭模拟）把一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体，切成两个长方体，下图中()的切法增加的表面积最多．A．B．C．4．（2019•防城港模拟）一个长10厘米、宽8厘米的长方形，剪成同样大小的正方形，最后没有剩余，最少可以剪成()个正方形．A．10 B．20 C．40 D．805．（2018•西安模拟）如图，一个33的正方形网格，如果小正方形边长是2，那么阴影部分的面积是( )A．10 B．8 C．6 D．46．（2006•清河区校级自主招生）如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图，单位：厘米），则图中阴影部分的面积为()A．82平方厘米B．64平方厘米C．60平方厘米D．54平方厘米7．（2006•清河区校级自主招生）将一张长40厘米、宽1厘米的长方形纸片连续对折3次，得到宽不变的较短的长方形，然后从它的一端开始，每隔1厘米剪一刀，其中可得到边长为1厘米的小正方形的个数为()A．40个B．33个C．26个D．20个二．填空题8．（2019秋•汉川市期末）一个平行四边形可以剪成两个相同的，也可以剪成两个相同的，也可以剪成两个相同的．9．（2018秋•江都区校级期末）有一块长4.5米、宽1.4米的长方形红布，大队辅导员李老师准备用这块红布剪直角边分别是7分米、4分米的直角三角形小红旗，最多可以剪面．10．（2018秋•白云区期末）把一个圆分成若干（偶数）等份，分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形，这个近似长方形的长相当于圆的，宽相当于圆的．11．（2019•衡水模拟）如图，一个四边形可以分成2个三角形；一个五边形可以分成3个三角形；一个六边形可以分成4个三角形 ．那么，一个10边形可以分成个三角形．12．（2019•天津模拟）在一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形里剪一个最大的圆，这个圆的半径是厘米，周长是厘米．13．（2018•西安模拟）如图，将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木块原来的体积是立方分米．14．（2018•厦门模拟）用43个边长1厘米的白色小正方体和21个边长1厘米的黑色小正方体堆成如图所示的大正方体，使黑色的面向外露的面积要尽量大．那么这个立方体的表面积上有平方厘米是黑色的．15．（2014秋•如东县期末）用24个1平方厘米的小正方形拼成大长方形，一共有种不同的拼法，其中周长最大的是厘米．三．判断题16．（2018秋•盐城期中）用一张长方形的纸只能剪一个正方形．（判断对错）17．（2017•广东）已知一刀可以把一个平面切成2块，两刀最多可以把一个平面切成4块，三刀最多可以切成7块 ，由此可以推测，五刀最多可以切成16块．（判断对错）18．（2016秋•沛县月考）一个长方形，长24厘米，宽8厘米．这个长方形一定能分成3个完全一样的正方形（判断对错）19．（2014秋•余干县期末）在任何梯形中都能分割出一个三角形和一个平行四边形．．（判断对错）四．应用题20．（2019秋•沛县期中）一块长120厘米、宽40厘米的红布，最多可以做成底和高都是8厘米的直角三角形小旗多少面？21．妈妈有一块长方形的花布（如图）．她想给芳芳做成正方形的手绢，而且手绢要最大．（1）妈妈能剪出块这样的手绢．（2）剪成的每块手绢的周长是多少厘米？22．用一张长7dm、宽5dm的长方形纸剪边长是2dm的正方形，最多能剪出多少个这样的正方形？请你画一画示意图．23．（2018•西安模拟）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1:2:3．试计算折痕对应的刻度有哪些？24．一块正方形试验田，如果边长增加5米，面积就比原来增加875平方米．现在这块试验田是多少平方米？五．操作题25．（2016春•皇姑区期末）（1）求出大正方形的周长．（2）把这个大正方形分成四个相同的小正方形，画一画，并求出每个小正方形的周长．26．（2015春•扬州校级期末）把一个边长是8厘米的正方形分成长3厘米宽2厘米的小长方形，最多能分成个．在图中把你的分法画出来．（每个小格表示边长1厘米的正方形）27．如图：有二张正方形的桌布，如何剪拼成一张更大的正方形桌布？画出裁剪图及剪拼后的示意图．28．（2017秋•兴义市月考）请你在下面的梯形中画一条线段，将梯形分成一个平行四边形和一个三角形．你能想到几种方法？说说你的画法．29．给平行四边形作一条高，将它分成两个梯形．六．解答题30．（2018秋•定州市期末）动手操作．下面方格图中每个小方格表示1平方厘米．（1）以三角形的顶点A为端点画一条线段，将这个角形分成面积相等的两部分．（2）在方格图中画一个平行四边形，使它与已知三角形的高和面积分别相等．31．（2018春•盐城期中）一根圆柱形木料，锯下5分米长的一段后，剩下的木料的表面积比原来减少了94.2平方分米．锯下的这段木料的体积是多少立方分米？32．（2015•潮州模拟）看图，回答问题：（1）不通过计算，将如图的大三角形切割成四个面积相等的小三角形，并用简单的文字说明切割而成的四个小三角形面积相等的原因．（2）作图：将如图的三角形ABC绕点A逆时针旋转90度后再向左平移4格，请在方格纸中画出变化后的图形．33．（2014秋•泰兴市期末）用一张长90厘米、宽24厘米的彩纸做直角三角形小旗，每面小旗的两条直角边分别是12厘米、9厘米．这张彩纸一共可以做多少面小旗？34．（2017秋•海安县校级期末）一张长12分米，宽8分米的长方形纸，做成底3分米，高2分米的直角三角形，最多可以做多少个？35．（2017秋•海安县期末）用长10厘米、宽6厘米的长方形硬纸（如图），做成一个棱长2厘米的正方体纸盒，应如何剪（接头处忽略不考虑）？在图中用阴影部分表示出要剪去的部分．至少给出两种不同的方案．36．（2018•海门市校级模拟）如图，用边长10厘米的正方形硬纸板，做成一个棱长2厘米的正方体纸盒，应如何剪（接头处忽略）？在图中用阴影表示出要剪去的部分．至少给出两种不同方案．37．（2018•长沙）宽18厘米．长未知的同样大小的长方形小纸片拼成如图所示的图形，求阴影部分的面积．38．（2015秋•连云港期中）一块长5米，宽2米的长方形红纸，剪出腰长为4分米的等腰直角三角形小旗，共可剪多少面？39．（2015秋•旅顺口区校级月考）学校开运动会，要做底40cm，高30cm的直角三角形小红旗300面．用来做小红旗的长方形纸长1.2m，宽0.8m，买20张这样的纸够不够？40．（2015秋•盐都区校级期中）一块长5米，宽2米的长方形红纸，剪出腰长为4分米的等腰直角三角形小旗，共可剪多少面？。
直线、射线、线段(提高)知识讲解
【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面 考虑所有可能的情况，即当我们面临的数学问题无法确定是哪种情形
时，就要分类讨论．
举一反三：
【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝ 4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段 AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速 度向左匀速运动．
【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠 倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字 母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延
长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序
是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母 表示射线方向上的任一点．
关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如
要点二、线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作 ：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
[
②当点B在点C的右边时， 6t-8+2t＝2 ， t＝4(秒) 答：当t等于2秒或4秒时，BC＝8(单位长度)
(2) 由（1）知：当t＝2(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×2=4（单位长度） 当t＝4(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×4=16（单位长度）
所以答案为：4或16
(3) 存在，若存在，则有：BD＝AP+3PC，设运动时间为t(秒)，则： 1°当t＝3时，点B与点C重合，点P在线段AB上，O＜PC≤2且BD＝CD＝4， AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC 所以：2+2PC=4，解得：PC＝1 ∴此时， PD＝5 2°当 3 t
小学数学几何图形知识点解析
（小学数学几何图形知识点解析）一、引言在小学数学教育中，几何图形是一个重要的知识点，它涉及到形状、大小、位置关系等基本概念，对于培养学生的空间观念和思维能力具有重要的作用。
本文将从多个角度解析小学数学几何图形的知识点，帮助教师更好地指导学生学习，同时提高学生的数学素养。
二、知识点解析1.认识基本几何图形在小学阶段，学生需要认识一些基本的几何图形，如长方形、正方形、三角形、圆形等。
这些基本图形的形状、大小、位置关系等概念是学习其他几何知识的基础。
在教学中，教师可以通过实物展示、图片展示、模型演示等方式，帮助学生形成直观的认识。
2.测量几何图形的相关概念测量几何图形的相关概念包括长度、宽度、高度、周长、面积等。
这些概念是几何学的基础，也是学生需要掌握的基本技能。
在教学中，教师可以引导学生使用测量工具（如直尺、卷尺、量角器等）进行实际测量，培养学生的动手能力和观察能力。
3.几何图形的基本性质几何图形的基本性质包括对称性、平移性、旋转性等。
这些性质是理解其他几何知识的基础，也是培养学生空间观念和思维能力的重要内容。
在教学中，教师可以引导学生通过观察、比较、分析等方法，发现不同几何图形的性质，提高学生的观察能力和分析能力。
4.几何图形的位置关系几何图形的位置关系包括平行的性质、垂直的性质、三角形的高和底等。
这些概念是解决实际问题的基础，也是培养学生空间观念和空间想象能力的重要途径。
在教学中，教师可以引导学生通过观察、实践等方法，理解不同位置关系的特点，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。
三、教学方法与策略1.实物展示法：通过展示实物或模型，让学生直观地认识几何图形的基本形状和性质。
2.实践操作法：引导学生通过实际操作（如测量、折叠、剪切等）来理解和掌握几何图形的相关概念和性质。
3.问题引导法：教师可以通过提出一系列问题，引导学生逐步理解和掌握几何图形的相关概念和性质。
4.小组合作法：鼓励学生以小组形式进行合作学习和探究，通过交流和讨论来加深对几何图形的理解和掌握。
知识讲解_直线的倾斜角与斜率_提高
直线的倾斜角与斜率【学习目标】1. 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2. 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3. 已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4. 掌握经过两点P(x1, y1)和P,(x2, y2)的直线的斜率公式：k = y2一％ ( %式x2)；X2 — x〔5. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为：•，则〉叫做直线的倾斜角•规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0： _〉180 . 要点诠释：1. 要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②X轴正向；③小于180的角.2. 从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3•倾斜角:的范围是0：_〉<180'.当】-0时，直线与x轴平行或与x轴重合.4. 直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5. 已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1 .定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan> . 要点诠释：(1) 当直线丨与x轴平行或重合时，=0°, k=tan0 ° =0；(2) 直线l与x轴垂直时，二=90°, k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角［一定存在，但是斜率k不一定存在.2 .直线的倾斜角与斜率k之间的关系由斜率的定义可知，当:-在(0,90)范围内时，直线的斜率大于零；当 :在(90,180)范围内时，直线的斜率小于零；当〉=0时，直线的斜率为零；当〉=90时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角(90‘除外)为一一对应关系，且在0,90°)和(90 ,180)范围内分别与倾斜角的变化方向一致，倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在0,90或(90,80)范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.要点三、斜率公式已知点RX，%)、F2(x2,y2)，且RP?与x轴不垂直，过两点F1(x1,y1)、F2(x2,y2)的直线的斜率公式k _y2 _y i .X2 -X i要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角? =90°,直线与x轴垂直；(2) k与P i、P2的顺序无关，即y i, y2和x i，X2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4) 当y i=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角:-=0°，直线与x轴平行或重合；(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1) 由R、R＞点的坐标求k的值；(2) 已知k及x i, y i, x2, y2中的三个量可求第四个量；(3) 已知k及R、P,的横坐标(或纵坐标)可求| RP2 | ；(4) 证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线l i,l2的斜率分别为k i,k2.若I i〃l2，则l i与12的倾斜角：i与〉2相等•由〉i=＞：可得tan：、二tan〉2，即k i二k2.因此，若l i〃12，则匕=k2.反之，若k^ k2，则l i//l2.要点诠释：1. 公式l i 〃丨2 k i = k2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为k i, k2 •，②l i与丨2不重合；2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，^与l2的倾斜角都是90，则l i //l2.要点五、两直线垂直的条件设两条直线l i」2的斜率分别为k i,k2.若l i — l2，则k i k^-i.要点诠释：i.公式l i - l2= k i k^-i成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1 •设直线丨过原点，其倾斜角为「，将直线丨绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l i的倾斜角为( )A •:- +45°B. ： -135°C. 135°- :■D. 当0°w : V 180° 时，为:-+45°，当135°w : V 180°时，为：-135°- 1【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0 ° , 180°),因此，只有当:-+45 °€ [0 ° , 180°),即当0° V 135° 时，h的倾斜角才是:-+45 °,而当135 °W V 180 °时，I1的倾斜角为:--135 ° .故应选D .【总结升华】(1)倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正方向；③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.举一反三：【变式1】下列说法中，正确的是( )A .直线的倾斜角为二，则此直线的斜率为tan_：iB. 直线的斜率为tan'，则此直线的倾斜角为 vC. 若直线的倾斜角为.：:，则sin二＞0D .任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系.对于A ,当〉=90°时，直线的斜率不存在，••• A错；对于B ,虽然直线的斜率为tanr，但只有当二€ [0° , 180°)时，二才是此直线的倾斜角，• B错；对于C,当直线平行于x轴时，〉=0°，而sin0° =0, • C错.•••应选D.【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2】例2 .如图所示，直线l1的倾斜角=30，直线l1与l2垂直，求l1, l2的斜率.【解析】由图形可知，〉2*90，则k1, k2可求.直线l1的斜率k, = tan〉1= tan 30 二T直线l2的倾斜角>2=90 ° +30° =120 ° ,•直线l2的斜率k2=ta n120 ° =ta n(180 ° —60° )= —tan60°所以直线的斜率为cos -：s又因为3 cos 二、■■■■/3，即--k AB =k BC,2 -1 _ 2a -1a-5 一4 一5A , B, C三点共线=A , B, C中任意两点-、、3.【总结升华】(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线11与|2的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180° —:• )= —tan〉是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30°, 45°, 60°角的正切值可快速求解.举一反三：【变式1】直线xcos—/3y • 2 =0的倾斜角的范围是A .-, 三B. 0, 匚二IL6 2 2 6. IL 6 _ 65 二二5 二C. 0,D. ,1 6」：6 6」【答案】B【解析】由直线xcoS'f ' 3y • 2 = 0 ,设直线的倾斜角为所以叫。
平行四边形的判定定理(提高)知识讲解
平行四边形的判定定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）．（1）在图中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的平行四边形．（2）若以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点D的坐标是________________.【思路点拨】（1）分为三种情况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对角线时，画出图形，根据A、B、C的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可．【答案与解析】（1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的坐标是（-6，2），以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的坐标是（0，2），以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的坐标是（-2，-2），（2）解：以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论．举一反三【变式】（2015•鄞州区一模）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：四边形BCEF是平行四边形．【答案】证明：在△AFB和△DCE中，，∴△AFB≌△DCE（SAS），∴FB=CE，∴∠AFB=∠DCE，∴FB∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可． 【答案与解析】 解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；{1，2}+{3，1}={4，3}．（2）①画图最后的位置仍是B ．②证明：由①知，A （3，1），B （4，3），C （1，2）∴OC=AB=22125+=，OA=BC=223110+=，∴四边形OABC 是平行四边形．（3）从O 出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}， 同理得到P 到Q 的平移量为{3，2}，从Q 到O 的平移量为{-5，-5}，故有{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势．举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（-2）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a ，b}叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a ，b}+{c ，d}={a+c ，b+d}．（1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量” {-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．【答案】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；（2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；①如图所示：②D（0，3）．（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．3、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD 的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形，可证OF=OE ，OA=OC ，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决． 【答案与解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD=OB ，OA=OC ，∵AB ∥CD ，∴∠DFO=∠BEO ，∠FDO=∠EBO ，∴在△FDO 和△EBO 中，,＝＝＝DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO ≌△EBO （AAS ），∴OF=OE ，∴四边形AECF 是平行四边形．【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2015•河南模拟）如图，△ABC 中AB=AC ，点D 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点E 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已点知D 、E 移动的速度相同，DE 与直线BC 相交于点F ．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，过点D 作AC 的平行线交BC 于点G ，连接CD 、GE ，判定四边形CDGE 的形状，并证明你的结论；（2）过点D 作直线BC 的垂线垂足为M ，当点D 、E 在移动的过程中，线段BM 、MF 、CF 有何数量关系？请直接写出你的结论．【思路点拨】（1）由题意得出BD=CE ，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE ，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE ，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM ，由平行线得出GF=CF ，即可得出结论．【答案与解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．举一反三【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，∵DM=BN，∴△DMF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．5、如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA 和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．（2）解：仍成立．（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．举一反三【变式】如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H ．求证：四边形GEHF 是平行四边形．【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=DO ，AO=CO ，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD=∠CDB ，∵AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中,,＝＝＝AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∴BO-BE=DO-DF ，即：EO=FO ，同理：△ABG ≌△CDH ，∴AG=CH ，∴AO-AG=CO-CH ，即：GO=OH ，∴四边形GEHF 是平行四边形．。
几何图形知识点总结(含例题)
几何图形知识点总结1．立体图形与平面图形（1）对于一个物体，如果我们不考虑它的颜色、材料和重量等，而只考虑它的_________（如方的、圆的）、_________（如长度、面积、体积）和_________（如平行、垂直、相交），所得到的图形就称为_________．如：我们学习过的长（正）方体、圆柱（锥）体、长（正）方形、圆、三角形、四边形等都是几何图形．（2）立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，叫做_________．长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是立体图形，棱柱、棱锥也是常见的立体图形．（3）平面图形：各部分都在同一平面内的图形，叫做_________．长方形、正方形、三角形、四边形、圆等都是平面图形．（4）立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的．任何一个立体图形图形是由一个或几个平面图形围成的．2．点、线、面、体（1）体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是_________．几何体也简称体．（2）面：包围着体的是面．面分为_________和_________两种．如下图的圆锥体有2个面，一个是平面，另一个是曲面．如下图的六棱柱有8个面，它们都是平面．如下图的圆柱有3个面，2个是平面，另一个是曲面．（3）线：面与面相交的地方形成线．线分为_________和_________两种．如圆锥体的两个面相交形成曲线．（4）点：线与线相交形成_________．点动成线，线动成面，面动成体．（5）正方体展开图，共11种图形．K知识参考答案：1．（1）形状，大小，位置，几何图形（2）立体图形（3）平面图形2．（1）几何体（2）平面，曲面（3）直线，曲线（4）点一、立体图形与平面图形1．立体图形有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形．从不同的方向观察立体图形：从前往后看，得到的是主视图；从左往右看，得到的是左视图；从上往下看，得到的是俯视图．2．平面图形有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平内，这样的几何图形叫做平面图形．【例1】如图，下列图形全部属于柱体的是A．B．C．D．【答案】C二、点、线、面、体1．体：长方体、圆柱体、球、圆锥等都是几何体．几何体也简称体．2．面：包围着体的是面．面分为平面和曲面两种．3．线：面与面相交的地方形成线．线分为直线和曲线两种．4．点：线与线相交形成点．【例2】如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是A．B．C．D．【答案】C【名师点睛】（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．。
讲透重点难点高中数学立体几何
讲透重点难点高中数学立体几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学立体几何是数学中的一个重要分支，涉及内容广泛，包括空间几何体的基本性质、体积表面积的计算、空间几何体之间的关系等等。
在学习立体几何的过程中，往往会遇到一些重点和难点问题，下面就让我们来一一讲解。
一、常见的难点问题1. 空间几何体的基本概念和性质：在学习立体几何时，首先要掌握各种空间几何体的基本概念和性质，如平行六面体、正方体、棱台、棱锥等。
这些几何体的性质涉及到各种角、棱、面的关系，需要认真学习和掌握。
2. 体积和表面积的计算：计算空间几何体的体积和表面积是立体几何中的重要内容。
对于不规则的几何体，如圆柱、圆锥等，更需要动脑筋来计算其体积和表面积。
这就需要学生掌握各种计算公式和方法，如用积分法计算体积、表面积公式的推导等。
3. 空间几何体之间的关系：在解决实际问题时，需要对不同空间几何体之间的关系有深入的了解。
比如正方体、球体、圆柱体等之间的关系，学生需要灵活运用几何知识，才能解决这些问题。
二、针对难点问题的解决方法1. 多做题：在解决立体几何的问题时，多做练习题是非常重要的。
通过大量的练习，可以加深对立体几何问题的理解，掌握解题的方法和技巧。
2. 学会应用数学工具：在解决立体几何问题时，学会应用数学工具是至关重要的。
比如学会运用向量、坐标系等数学工具来解决几何问题。
3. 多请教老师：如果遇到难以理解的问题，不妨多请教老师。
老师会给予指导和帮助，帮助学生解决疑惑。
三、总结高中数学立体几何是一个需要细心、灵活和耐心的学科，在学习过程中往往会遇到一些难点和重点问题。
通过多做题、学会应用数学工具、多请教老师等方法，可以帮助学生更好地掌握立体几何知识，提高解题的能力和水平。
希望同学们在学习立体几何的过程中能够克服困难，取得更好的成绩。
【文章2000字】以上所述，就是关于讲透重点难点高中数学立体几何的文章，希望对同学们有所帮助。
如果有不足之处，还望谅解。
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几何图形（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；
3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.
【要点梳理】
要点一、几何图形
1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.
2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.
(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
【高清课堂：多姿多彩的图形397362空间图形的分类】
要点诠释：
(1)常见的立体图形有两种分类方法：
(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．
（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．
要点二、从不同方向看
从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．
要点三、简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到
不同的平面图．
要点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系. 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.
【典型例题】
类型一、几何图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面是平面或曲面来划分，也可以按柱、锥、球来划分.
【答案与解析】
解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．
若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．
类型二、从不同方向看
2．有一个正方体，在它的各个面上分别标有1，2，3，4，5，6．甲、乙、丙三名同学从三个不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各组对面上的数字分别是几?
【答案与解析】
解：由图(1)(2)可知，1号面与2、3、4、6相邻，所以与1号面相对的面是5号面；由图(2)(3)可知，3号面与1、2、4、5相邻，所以与3号面相对的面是6号面；由图(1)(3)可知，4号面与1、3、5、6相邻，所以与4号面相对的是2号面．
所以，1号面与5号面相对，2号面与4号面相对，3号面与6号面相对．
【总结升华】找各面之间的相对位置关系.
举一反三：
【变式】（南宁）如图所示的几何体中，主视图与左视图不相同的几何体是( )．
【答案】D
提示：圆锥的主视图与左视图为相同的三角形；圆柱的主视图与左视图为相同的矩形；球的
主视图与左视图为相同的圆，正三棱柱的主视图和左视图为不相同的两个矩形，故选D ． 3. （内江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右分别是1，2，3个正方形．
【总结升华】本题考查了对几何体三种视图的空间想象能力,注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数． 举一反三：
【高清课堂：多姿多彩的图形397362 大显身手】
【变式
1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】几何体的形状不唯一，
最少需要小方块的个数：3222110++++=， 最多需要小方块的个数： 3323116⨯+⨯+=．
【变式2】下图是从正面、左面、上面看由若干个小积木搭成的几何体得到的图，那么这个几何体中小积木共有多少个?
主视图
俯视图
【答案】这个几何体中小积木共有6个．
类型三、展开图
4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是( )
【答案】D
【解析】最直接的方法是做一个如图所示的正方体的表面展开图，然后再折叠后进行对照即可．也可用排除法，观察正方体的表面展开图，可发现分成4块的面中的4个小正方形中有3块的颜色是阴影，这就可排除A，再想象折叠的图形，可知正方体被分成4块的面的对面应是阴影，这就可排除B 、C，所以选D．
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．正方体沿着棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况．
举一反三：
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．
【答案】“美”．
类型四、点、线、面、体
5．（浙江宁波）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，
解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题. 【答案与解析】
解：(1)6， 6， V+F-E＝2；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为243
36
2
⨯
=条，
根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，
∴ x+y＝14．
【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2
6. （曲靖）将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（）
A．主视图相同 B．左视图相同 C．俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】D
【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体的三视图做出判断．
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）
A. B. C. D.
【答案】B。