《圆的方程》教学设计
人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》教学设计 (一)
人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》教学设计 (一)人教版中职数学基础模块下册《圆的方程》是中职数学重要的一个内容。
在教学过程中，需要让学生掌握圆的基本知识，理解圆的性质和方程的求解方法等，为应用数学、高等数学等其他课程的学习打下基础。
在此，我们将对这一内容进行教学设计，以期更好地完成教学任务。
一、教学目标1. 掌握圆的基本概念、性质和方程的求解方法；2. 理解圆相关的数学基础知识，如直线方程、两点间距离等；3. 懂得如何应用圆的方程解决相关问题；4. 培养学习数学的基本功，如推理证明、计算技巧和思维能力等。
二、教学内容1. 圆的定义和性质；2. 圆心和半径的概念；3. 圆的一般式和标准式的转化；4. 圆与直线的位置关系；5. 圆的直径、切线等。
三、教学方法1. 讲授与演示相结合；2. 以问题为中心，引导学生积极思考和讨论；3. 调动猜测和验证的机制，激发学生学习兴趣；4. 反复实验，强化及巩固学生记忆。
四、教学过程1.取一张大圆形，引出圆的基本概念和性质，教师按下面的问题向学生提问：（1）通过长短、透明、镜面、发声等多种方式，让学生感性认识圆形。
（2）直观讲解“圆周角相等，半径相等则等等”等多个性质。
2. 引入圆的方程，提出圆心和半径的概念，通过演示解法，引导学生理解：圆的一般式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$圆的标准式：$x^2+y^2=r^2$求圆心和半径的公式：$x=-\frac{b}{a}$， $y=-\frac{c}{a}$，$R=\sqrt{a^2+b^2-c}$3、教学解决圆与直线位置关系，演示解法，引导学生理解：（1）判别式法：求出圆心到直线的距离。
（2）解析法：将直线方程代入圆的一般式并化简。
（3）差化积法：将圆的一般式变形后代入直线方程。
4. 关于圆的直径、切线等，演示解法，引导学生理解。
特别是在讲解圆的切线时，教师可以采取“对话式”教学，即引导学生自己分析，如：（1）圆上的任意一点P的切线K满足什么条件？（2）因为直线K垂直于半径OP，因此可以先求出OP的斜率，再根据斜率公式求出直线K的斜率，并得出切线的斜率之后，即可得出切线的方程，推导完毕后，教师可以通过实验和讲解加深学生对于切线的理解。
《圆的一般方程》教学设计和教案
《圆的一般方程》教学设计和教案教学设计教学目标：1.知识目标：掌握圆的一般方程的概念和求解方法；2.能力目标：能够正确理解和应用圆的一般方程解决相关问题；3.情感目标：培养学生对几何图形的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
教学内容：1.圆的一般方程的定义和性质；2.使用圆的一般方程解决相关问题；教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回顾圆的定义和性质，并回忆圆的直角坐标的一般方程；2.提出一个问题：“如何表示任意圆的方程？”引导学生思考。
Step 2 探究圆的一般方程1.结对讨论，指导学生以模仿法找出圆心在原点的圆的一般方程，并让学生将结论进行总结；2.通过实例引导学生进一步推广到圆心不在原点的情况，让学生发现圆的一般方程的一般表达形式。
Step 3 练习巩固1.给学生提供一些圆心在不同位置的圆的方程，让学生推算出对应的方程；2.带领学生分析和讨论解题过程，并纠正学生可能出现的错误。
Step 4 拓展应用1.引导学生思考如何利用圆的一般方程求圆的切线和法线；2.分组合作，让学生收集相关问题并解答；3.学生展示解题过程和结果，并带领全班讨论。
Step 5 总结归纳1.小组成员合作撰写一篇关于圆的一般方程的总结性文章；2.整理学生的思路，总结圆的一般方程的概念和方法，以及应用。
Step 6 练习检测1.布置一些练习题，让学生独立完成；2.教师检查学生的答题情况，并与学生一起讨论解题过程中的疑问。
Step 7 总结反思1.学生回顾所学内容，自评自己的学习效果，并写下自己的学习感想；2.教师对本节课进行总结和反思，并对学生的学习进行评价。
教案教案一：圆的一般方程的引入教学目标：明确圆的一般方程的定义和性质。
教学步骤：Step 1 引入新知1.引导学生回归几何的基本概念，复习圆的基本定义和性质；2.引出一个问题：“如何用方程表示圆？”Step 2 引入问题1. 使用ppt展示一个以原点为圆心的圆，采用不同的半径和圆心坐标方程；2.让学生思考圆的方程与圆的性质之间的关系。
《圆的方程》教学设计3
《圆的方程》教学设计教学目标⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程⑵能根据条件选择适当的形式求出圆的方程⑶进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。
教学过程知识掌握A 组：1、点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为（ ）A 、9B 、8C 、5D 、22、由点M(－1,4)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝1所引的切线的长是（ ）A 、3 5.B 10.CD 、53、过点M(2,3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线方程是___________________.4、若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点M(a,b)与圆的位置关系是____________.5、求与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上且截直线y ＝x 所得弦长为72的圆的方程。
答案：1、D ；2、A ；3、x ＝2和5x －12y ＋20＝0；4、圆外；5、设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2∵圆心在直线x －3y ＝0上,∴a ＝3b ①∵圆与y 轴相切，∴r ＝|a|＝|3b|②∵圆心(a,b)到直线y ＝x 的距离2||b a d -=，即d 2＝2b 2 ,又圆截直线y ＝x 所得弦长为72∴9b 2＝2b 2＋7③,由①②③解得：a=3,b=1,r=3或a=－3,b=－1,r=3故所求圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9B 组：1、方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，则实数k 的取值范围是（ ）A 、k>－8/3B 、k<－8/3C 、－1<k<4D 、k<－1或k>42、两圆x 2+y 2=4与 x 2+y 2+4x －4y+4=0关于直线l 对称，则l 的方程是（ ）A 、x ＋y ＝0B 、x ＋y －2＝0C 、x －y －2＝0D 、x －y ＋2＝03、点A(3,5)是圆x 2＋y 2－4x －8y －80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线方程是_____.4、直线l 过点P(3,0)，且被圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0截得的弦最短，则直线l 方程是_____.5、求经过两圆x 2+y 2+6x －4＝0与 x 2+y 2+6y －28=0的交点且圆心在直线x －y －4＝0的圆的方程。
教学设计2：圆的方程
第3课时 圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．特别地，当圆心在原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2．3．圆的一般方程对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； (2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点(－D 2，－E 2)； (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形．4．点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系(1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2．(2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2．(3)若M (x 0，y0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2．1．(人教A 版教材习题改编)圆的方程为x 2＋y 2＋2by －2b 2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )A ．(0，b )，3bB ．(0，b )，3|b |C ．(0，－b )，3bD ．(0，－b )，3|b |【解析】 圆的标准方程为x 2＋(y ＋b )2＝3b 2，从而圆的圆心坐标为(0，－b )，半径为3|b |.【答案】 D2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0 C ．－2＜a ＜0 D ．－2＜a ＜23【解析】 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23. 【答案】 D3．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0【解析】 因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.【答案】 C4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．a ＞1或a ＜－1D ．a ＝±1【解析】 因为点(1，1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4，∴－1＜a ＜1.【答案】 A5．已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．【解析】 设圆心坐标为(a ，0)，易知（a －5）2＋（－1）2＝（a －1）2＋（－3）2，解得a ＝2，∴圆心为(2，0)，半径为10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝10已知圆心在直线y ＝－4x ，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，求圆的方程．【思路点拨】 (1)设圆的标准方程，待定系数法求解；(2)利用圆的几何性质求圆心和半径．【尝试解答】 法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.,求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．若一三角形三边所在的直线分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能覆盖此三角形且面积最小的圆的方程是________．【解析】 结合题意，解得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)，作出图形可知三角形是以(1，2)，(3，1)两顶点的连线为最长边的钝角三角形．所以圆的直径为d ＝5，圆心坐标为(2，32)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝54. 【答案】 (x －2)2＋(y －32)2＝54已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【思路点拨】 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．【尝试解答】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率． 所以设y x＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ，y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.,与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和(x ，y )的直线的斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．若本例中的条件不变．(1)求y ＋2x ＋1的最大值和最小值； (2)求x －2y 的最大值和最小值．【解】 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．y ＋2x ＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率， 设y ＋2x ＋1＝k ，即y ＋2＝k (x ＋1)． 当此直线与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k ＋k －2|k 2＋1＝3， 解得k ＝6＋306或k ＝6－306. ∴y ＋2x ＋1的最大值为6＋306， 最小值为6－306. (2)x －2y 可看作是直线x －2y ＝b 在x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值．此时：|2－b |5＝3， ∴b ＝2＋15或b ＝2－15.∴x －2y 的最大值为2＋15，最小值为2－15.设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．【思路点拨】 四边形MONP 为平行四边形⇒OP →＝OM →＋ON →⇒把点P 的坐标转移到动点N 上⇒而点N 在圆上运动，故可求解．需注意O 、M 、N 三点共线的情况．【尝试解答】 ∵四边形MONP 为平行四边形，∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON →＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3，4)＝(x ＋3，y －4)．又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形．故动点P 的轨迹是圆且除去点(－95，125)和(－215，285)．,1．本例中点P 是平行四边形MONP 的一个顶点，因此在点M 、O 、N 三点共线时，点P 是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．2．求与圆有关的轨迹问题的常用方法．(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式．(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可用Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P 的轨迹方程．【解】 法一 直接法 设P (x ，y )，圆心C (1，1)，∵P 点是过点A 的弦的中点，∴P A →⊥PC →，又P A →＝(2－x ，3－y )，PC →＝(1－x ，1－y )，∴(2－x )(1－x )＋(3－y )(1－y )＝0，即(x －32)2＋(y －2)2＝54， ∴中点P 的轨迹方程是(x －32)2＋(y －2)2＝54. 法二 定义法 由已知得，P A ⊥PC .由圆的性质知点P 在以AC 为直径的圆上，圆心C (1，1)，∴|AC |＝（2－1）2＋（3－1）2＝5，线段AC 的中点坐标为(32，2)， 故中点P 的轨迹方程为(x －32)2＋(y －2)2＝54.一个条件 二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F ＞0.一种方法求圆的方程主要是待定系数法，一般步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程．②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．③解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程．两种措施1.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法有：(1)直接法：直接根据条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线的定义列出方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列出方程．(4)代入法：由动点与已知点的关系列出方程．从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．规范解答之十三 利用待定系数法求圆的方程(12分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．【规范解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为(3＋22，0) ，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋（t －1）2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.6分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，（x －3）2＋（y －1）2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12. ①8分 由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0. ②10分由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.12分【解题程序】 第一步：求出二次函数图象与坐标轴的三个交点坐标；第二步：求出圆的标准方程；第三步：联立直线与圆的方程，设出点A、B坐标；第四步：结合韦达定理，由条件OA⊥OB列出关系式，求出a值．易错提示：(1)第(1)小题中，求过三点的圆的方程时，选择方法不恰当，造成构建的方程组过于复杂，导致求解失误．(2)第(2)小题中，不能充分利用一元二次方程根与系数的关系，由条件列出等式．防范措施：(1)若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．(2)解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧.1．(2012·湖北高考)过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0【解析】当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.【答案】A2．(2013·青岛质检)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)、B(1，0)，点P是圆上的动点，则d＝|P A|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．【解析】设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y20＋(x0－1)2＋y20＝2(x20＋y20)＋2，设u＝x20＋y20，则由题意知u的最大值为6，u的最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.【答案】7434。
《圆的标准方程》教学设计教案
《圆的标准方程》教学设计教案一、教学目标：1、理解圆的标准方程，并能根据方程求出圆的坐标和圆的半径。
2、掌握求圆的标准方程的各种方法。
3、通过探求圆的标准方程，培养学生的动手能力，解决问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：圆的标准方程的运用。
难点：探求圆的标准方程。
三、教学过程：1、创设情境，引入新课：生活中的圆形（图片展示）。
2、知识链接：平面几何中“圆”是如何定义的？圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。
定点就是圆心,定长就是半径在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
3、知识探究：构建圆的标准方程平面直角坐标系中，求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程．解：设M(x,y)是圆上任意一点，则|MC|=r 根据22122121()()PP x x y y =−+− 得()()22x a y b r −+−=把上式两边平方得 ()()222x a y b r −+−=我们把这个方程称为圆的标准方程，其中圆心坐标(a,b)，半径为r 。
4、特征分析：圆的标准方程()()222x a y b r −+−=（1）圆的标准方程是关于变量x ，y 的二元二次方程，且为平方和的形式,方程形式明确给出了圆心坐标（定位）和半径（定大小）。
（2）确定圆的标准方程必须具备三个条件：a,b,r 。
（3）参数的几何意义: （a ，b ）表示圆心坐标, r 表示圆的半径。
特别地：若圆心在坐标原点，则圆方程为222x y r +=5、典例分析例1 求以点C (－3，2)为圆心，半径r ＝5的圆的标准方程． 解 因为 a ＝－3，b ＝2，r ＝5 ，所以 所求圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝5.C Mr x Oy(x,y) (a,b )练习1、根据已知条件，求圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径是3;1（2-），半径是5;2（3）圆心点（0，2例2 写出圆(x －5)2＋y 2＝2的圆心坐标和半径长．练习2、已知圆的标准方程，请说出圆心和半径.()()22(1)129x y ++−=()22(2)16x y −+=22(3)16x y += ()222(4)1(0)x y a a ++=≠ 例3 已知圆心在坐标原点O (0，0)，且点A (3，4)是圆上一点，求圆的标准方程．练习3．根据下列条件，求出圆的标准方程：(1)已知点A (2，3)，点B (2，7)，以线段AB 为直径；(2)圆心在点(1，2)，且圆过点(2，4)；(3)圆心是直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，半径r ＝.四、 课堂小结1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。
圆的标准方程教学设计
圆的标准方程教学设计
教学目标：学生能够理解和应用圆的标准方程进行圆的表示和计算。
教学步骤：
1. 导入：引入圆的概念，强调圆是由所有与一个给定点的距离相等的点构成。
2. 指出圆的标准方程形式：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径。
3. 示范：展示如何根据给定的圆心和半径，确定圆的位置和大小。
例如，以圆心(2,3)和半径r=4为例，解释如何画出该圆。
4. 练习：让学生自己尝试根据给定的圆心和半径，画出相应的圆。
5. 探究：通过探究实例，引导学生发现圆心位于坐标原点(0,0)时的特殊情况。
解释在此情况下，圆的标准方程变为x² + y² = r²。
6. 巩固：提供一些练习题，要求学生根据给定的等式，确定圆的圆心和半径。
7. 应用：引导学生思考如何应用圆的标准方程解决实际问题，例如找到与已知点相切的圆，或者确定两个圆是否相交。
8. 拓展：介绍其他与圆有关的方程形式，例如一般方程和参数方程，展示它们在不同场景中的应用。
9. 总结：总结圆的标准方程的要点，以及常见的应用情境。
10. 总结反思：与学生一起回顾所学内容，确保他们理解并能够应用圆的标准方程。
解答他们可能存在的疑问。
教学资源：白板/黑板，标尺，作图纸，练习题。
评估方式：解答问题、完成练习题和课堂接力练习。
《圆的方程》教学设计1
《圆的方程》教学设计教学内容：圆的方程.教学目标：掌握圆的标准方程，了解圆的参数方程及解析法. 教学重点：根据圆的特征来求出圆的方程. 教学方法：讲授法教学过程 一、导入前面几节我们：建立了-------------------研究了-------------------总结：------------推广研究 -------------- - 利用方程来研究图形的性质的方法，称为解析法（或坐标法）。
曲线的性质直线的方程直线的性质位置关系（平行，相交或重合）度量性质（垂直、夹角、点到直线的距离）首要建立-----------曲线的方程。
方法：评价： 这种方法（解析法）非常有用，它促进了数学的发展，拓宽了数学的用武之地。
二、圆的方程--------标准型圆的定义：平面内与一个定点的距离等于定长的点的集合（也叫点的轨迹）是圆。
定点就是圆心，定长就是半径.据此来求-------圆的方程 方法：在平面上取一个直角坐标系Oxy ，设一个圆的圆心是D （a,b ）半径为r ，如图所示:XOYDM r推导:点M （x,y ）在圆心为D （a,b ）、半径为r 的圆上⇔ MD r = ⇔22MD r =⇔222()()x a y b r +=--在平面上建立一个直角坐标系oxy.关于X,Y 的方程F(X,Y)=0 如果同时具有下面两条性质：（1） 曲线C 上任意一点的坐标都满足这个方程；（2） 坐标满足这个方程的点都在这个曲线C 上。
那么称这个方程是曲线C 的方程提示：--------------上述推导用的是等价关系！它符合了曲线方程的定义（两条要求） 应用举例：例1 写出下列各个圆的标准方程：（1）圆心为D （-2，3），半径为2； （2）圆心为原点，半径为5。
提示：--------------对应数值代入方程即可解：（1）224(2)(3)x y +=+-（2）2225y x +=例2 写出下列各圆的圆心坐标和半径：（1）22(7)(5)15x y +-+= （2）22122()y x+=-提示：--------------对照方程形式写出解：（1）圆心坐标为（7，-5），半径为15（2）圆心坐标为()120,，半径为2例3 下列方程表示的图形是不是圆？如果是圆， 写出它的圆心坐标和半径。
圆的标准方程教学设计
环节一 圆的标准方程【回顾旧知 引入新课】问题1：在前一阶段的学习中，我们学习了直线与方程，请同学们回忆一下，我们都研究了哪些问题？答案：【类比探究 推导方程】问题2：类比直线方程的研究，同学们能否试着说说对于圆我们可以研究哪些问题，通过怎样的思路来进行研究呢？答案：追问1： 圆的定义是什么？答案: 初中圆的定义有两种：一是静态定义，是从集合角度阐述的；二是动态定义，是从轨迹角度阐述的．本题推导过程中需要使用的是静态定义，若学生给出动态定义：平面内，一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点的轨迹叫做圆．教师可追问圆上点所满足的几何性质．追问2：建立直线方程的过程是怎样的？答案: 首先明确确定直线的几何要素：点和方向，为刻画直线的方向，我们引入了直线的倾斜角和斜率的概念.给定直线上一点P 0及斜率以后，我们把直线上除P 0外任意一点所满足的几何关系坐标化，整理后就得到了直线的点斜式方程.斜截式方程是它的一个特例.对于已知直线上两点的情形，我们不难将其化归为已知一点和方向的问题，从而得到了直线的两代数运算直线与直线有关的位置关系、几何度量问题的结论直线方程利用直线方程，研究与直线有关的位置关系、几何度量等问题平面直角坐标系代数运算圆与圆有关的位置关系、几何度量问题的结论圆的方程利用圆的方程，研究与圆有关的位置关系、几何度量等问题 平面直角坐标系点式方程，截距式方程又是两点式方程的一个特殊情形.而这些形式的直线方程，经过整理，我们发现它们在结构特征上具有共性，都是二元一次方程，由此我们又得到了直线的一般式方程. 师生共同梳理出如下图所示研究过程.追问3 确定圆的几何要素是什么？ 答案: 由圆的定义可知，圆心和半径.问题3 在平面直角坐标系中，已知⊙A 的圆心A 的坐标为(a , b )，半径为r ，如何求出圆的方程？答案：教师引导学生类比直线方程的推导过程，先找到圆上任意一点M （x ，y ）满足的几何关系||MA r =，进而将其坐标化得到22()()x a y b r -+-=，再化简得到222()()x a y b r -+-=，最后通过圆上的点与坐标满足方程的点之间的关系，说明圆与对应方程的关系.追问1： 观察方程222()()x a y b r -+-=中的三个参数，这三个参数有什么意义吗？ 答案：明确三个参数的几何意义，从代数角度说明圆心、半径可以确定一个圆．正是由于方程中参数的几何意义明确表示了圆心、半径两个基本要素，因此我们把222()()x a y b r -+-=称作圆心为(a ,b )，半径长为r 的圆的标准方程．练习1. 方程22(2)(1)3x y -++=是否表示圆？圆心坐标和半径分别是什么？几何关系 坐标化特殊化特殊化直线的倾斜 角和斜率直线的点 斜式方程直线的两 点式方程直线的斜 截式方程 直线的截 距式方程直线的一 般式方程转化确定直线的几何要素：点、方向2. 说出圆心为(1,1)C -，半径为7的圆的标准方程． 答案：1. 方程22(2)(1)3x y -++=表示圆，圆心坐标为（2，12. 圆心为(1,1)C -，半径为7的圆的标准方程为22()(1)7x y +-=+1.追问2： 圆的标准方程有怎样的特点？ 答案：(1) 从方程结构的角度：① 等式左边是两点间距离的平方； ② 可以看作勾股定理； ③ 特殊的二元二次方程．（2）从确定圆的标准方程的条件的角度：由圆心的横纵坐标及半径三个独立的条件唯一确定．追问3： 圆的标准方程有哪些值得研究的特殊情形？ 答案：圆心在坐标原点，过坐标原点的圆等． 【应用举例 巩固提高】例1 求圆心为A ()2,3-，半径为5的圆的标准方程，并判断点()()125,7,2,1M M ---是否在圆上.答案：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.圆心A ()2,3-，半径为5的圆的标准方程是()()222+325x y -+=.把点()15,7M -的坐标代入方程()()222+325x y -+=的左边，得到()()22527+325-+-=，左右两边相等，点()15,7M -的坐标满足圆的方程.所以点()15,7M -在这个圆上.把点()22,1M --的坐标代入方程()()222+325x y -+=的左边，得到()()22221+320--+-=，左右两边不相等，点()22,1M --的坐标不满足圆的方程.所以点()22,1M --不在这个圆上.追问1 点()0,M x y 在圆222x y r +=内的条件是什么？ 答案： 圆222x y r +=的圆心A ()0,0，()0,M x y 满足的条件是：{}P M MA r =<，即：222x y r +<.所以点()0,M x y 在圆222x y r +=内的条件是222x y r +<. 追问2 点()0,M x y 在圆222x y r +=外的条件是什么？ 答案：点()0,M x y 在圆外()()222x a y b r ⇔-+->.例2 ABC ∆的三个顶点分别是()()()5,1,7,3,2,8A B C -，求ABC ∆的外接圆的标准方程.答案：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.显然已知的三个点不在同一条直线上.只要确定了,,a b r ，圆的标准方程就确定了.设所求的方程是()()222x a y b r -+-= ○1 因为()()()5,1,7,3,2,8A B C -三点在圆上，所以它们的坐标都满足方程○1.于是 ()()()()()()222222222517328.a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩，， 即 222222222102261465841668.a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩，， 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去222,,a b r ，得到关于,a b 的二元一次方程组 281.a b a b -=⎧⎨+=-⎩， 解此方程组，得23.a b =⎧⎨=-⎩，代入()()22251a b r -+-=，得225r =.所以，ABC ∆的外接圆的标准方程是()()222+325x y -+=. 追问1：求圆的标准方程的基本方法是什么？ 答案：直接法：待定系数法.追问2：是否还有其他的思路能够解决这道例题的问题?答案：设线段AB 的中点为D .由,A B 两点的坐标为()()5,17,3-，，可得到D 的坐标为()6,1-.直线AB 的斜率为 ()13257AB k --==--. 因此，线段AB 的垂直平分线1l 的方程是280x y --=. 同理可得，线段AC 的垂直平分线2l 的方程是+3+70x y =.圆心的坐标就是方程组280370x y x y --=⎧⎨++=⎩的解，解得23x y =⎧⎨=-⎩.所以，圆心C 的坐标()23-，， 5r AC =.所以，圆的标准方程是()()222+325x y -+=.例3 已知圆心为C 的圆经过()()1,1,2,2A B -两点，且圆心C 在直线10x y -+=上，求此圆的标准方程.答案：设圆心C 的坐标为(),a b ，由已知条件可知，CA CB =，且10a b -+=. 由此可以求出圆心坐标和半径.另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法.方法1：设圆心C 的坐标为(),a b .因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=. ○1 因为,A B 是圆上两点，所以CA CB =.=即 330a b --=. ○2 由上面两式可得3,2a b =-=-.所以圆心C 的坐标是()3,2--.圆的半径5r AC ===.所以，圆的标准方程是()()22+3+225x y +=.方法2：如图，设线段AB 的中点为D .由,A B 两点的坐标为()()1,12,2-，，可得到D 的坐标31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321ABk --==--.因此，线段AB 的垂直平分线'l 的方程是330x y --=．由垂径定理知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标就是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解. 解得32.x y =-⎧⎨=-⎩，所以，圆心C 的坐标为()2--3，，()()221+3125r AC ==++=.所以，圆的标准方程是()()22+3+225x y +=． 【课堂小结】问题4: 圆的标准方程是什么？对于研究圆的标准方程的思路与方法你有什么体会？ 答案： 从研究思路上看，本节课使用类比的方法，类比直线方程的建立过程，首先确定圆的几何要素，进而建立圆的标准方程，后续要对圆的方程继续进行研究，并利用方程研究与圆有关的几何性质；从解决问题来看，一般来说有两种方法，一是从形的角度入手，抓好圆心、半径，进而确定圆的标准方程；二是从数的角度入手，用好待定系数法、方程思想，进而确定圆的标准方程．。
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《圆的方程》教学设计
栖霞一中数学组：张红菊
【教材分析】
本节是这一章的基础和重点，圆的标准方程的推导和求解，为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”作了铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面几何的能力之一。
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标、圆的半径熟练地写出圆的标准方程，能够从圆的标准方程中熟练地求出圆
心坐标和半径；
（2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。
（3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。
2.过程与方法：
（1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
（2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题能力，。
（3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
3.情感、态度与价值观：
通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质。
【教学重点】
圆的标准方程的理解和掌握。
【教学难点】
圆的标准方程的应用。
【教学方法】
利用探究式、启发式教学。
【教学手段】
借助于多媒体，通过《几何画板》的演示让学生直观形象地观察理解、解决问题，并能够归纳出结论。
【教学过程】
一．复习引入
1.提出问题:在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？设计意图:复习旧知，引入新课程。
问题答案:第一种：已知一个点和倾斜角（斜率）；
第二种：已知两个点。
师生活动:教师提问，学生回答问题。
2.问题思考:在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？
设计意图:通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。
在《几何画板》中，通过动态演示和数据的变化，使学生体会
到确定圆的两个条件。
问题答案:圆心的位置和圆半径的大小。
操作过程:1.在《几何画板》中，选中点A并进行移动，整个圆的位置发生了变化。
2.选中点B并拖动点B，圆的大小发生了变化。
师生活动:教师在《几何画板》中进行演示的时候，要提醒学生观察点A的坐标的变化和线段AB的长度的变化；
学生观察图象的变化及数据的变化，回答问题。
二．新知探究
1.在直角坐标系中,推导出圆的标准方程。
设计意图:实现几何条件向代数条件的转化，推导出圆的标准方程。
师生活动：教师引导学生观察图象，找出圆上任意一点M满足的几
何条件，并转化成代数条件，在黑板上板书；
学生观察图象，回答问题。
2.圆的标准方程有哪些特点？
设计意图:使学生从代数的角度认识圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程；确定了圆心的坐标和半径就能写出圆的标
准方程。
问题答案:（1）关于 x，y 的二元二次方程（不含xy项）；
（2）方程明确给出了圆心的坐标和半径的大小；即给出
了三个a、b、r三个量。
师生活动:教师采用启发式教学，引导学生回答问题。
三．问题探究
如何判断点和圆的位置关系？
设计意图：从几何和代数两个角度思考问题，完成几何条件和代数
条件的相互转化，提高学生数形结合思想的应用。
师生活动：教师给出表格，学生分别从几何和代数两方面给出答案。
四．例题讲解
1.给出例题1:写出圆心A(2,-3),半径为5的圆的方程,并判断点M(5，
-7),N(3,0)是否在这个圆上。
设计意图:考察学生对圆的标准方程的掌握，以及点和圆位置关系
的判断。
问题答案:圆的方程：
； 点M 在圆上，点N 不在圆上。
师生活动：学生回答问题；
教师加以总结，指出根据圆心的坐标和圆的半径写出圆
的方程，是求圆的方程的一种方法：“直接法”。
配套练习1:圆心在(-3,4),半径为 2的圆的方程。
配套练习2:圆心在(-1,2),过(0,1)的圆的方程。
设计意图:加强学生利用“直接法”求圆的方程的训练。
师生活动:学生口答；
教师判断正误。
2.给出例题2:已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心C
在直线L:x-y+1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程。
设计意图:从不同的角度,思考问题,一题多解,培养学生思考问题、
探究问题的能力。
22(2)(3)25x y -++=
师生活动:教师分析问题，学生给出自己的思考方式。
一般情况下，大多数学生给出的是方法一：“待定系数
法”，可让学生到黑板上写出解答过程。
再问学生是否有另外的解答方法，若有：给出自己的解
答方法，师生共同探究本题的解法，这种方法为：“数
形结合法”；若没有，教师给于适当的启发和引导，分
析解决问题。
借助于《几何画板》进行演示。
配套练习:三角形ABC 的三个顶点坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的方程。
设计意图:加强求圆的标准方程的两种方法：待定系数法和数形结
合法的训练。
师生活动：学生练习；教师在《几何画板》中进行演示。
五．课堂小结
1.确定圆的几何条件:圆心的位置和圆半径的大小；
2.圆心为(a,b),半径为r 的圆的标准方程是： 222()()x a y b r -+-=
3.判断点和圆的位置关系的几何条件和代数条件；
4.求圆的标准方程的方法:1)直接法；2)待定系数法；3)数形结合法。
设计意图:提炼本节课的主要内容，利于学生对本节所学知识的掌握
和提高，起到纲领性的作用。
六．课后作业
1.圆心是(1,2),半径长是3的圆的方程为（ ）.
2.若圆的标准方程为 ,则此圆的圆心坐标和半径分别为( ) .
3.已知圆 ,则点M(1,1)在______(填
“圆上”“圆内”“圆外”). 4.求圆心为C(1,1)且与直线L:3x+4y-2=0相切的圆的方程。
5.求以A(-2,0),B(6,8)为一条直径的两个端点的圆的方程。
6.已知圆C 的圆心在X 轴上,并且经过点A(-1,1)和B(1,3),求圆C 的标准方程。
设计意图：让学生通过课后练习,巩固提高本节课堂所学习的内容；
七．教学反思
圆的标准方程推导过程中将几何问题转化成代数问题的思想是解析几何的重要思想方法，要注重加强培养学生的转化思想意识和用代数的方法解决几何问题的能力；求圆的标准方程时，要注重加强学生“数形结合法”的应用能力。
2222.(1)(2)9.(1)(2)3
B x y D x y -+-=-+-=2222.(1)(2)9.(1)(2)3A x y
C x y +++=+++=22(5)(3)6x y ++-
=.(5,3),.(5,3),6
A C -
-.(.(5,3),6B D --22(2)(2)4x y -+-=。