单因素优化实验设计.

3） 0.618法具体作法
x1=a+0.618（b-a） x2=a+0.382（b-a）
设 f ( x ) 和 f ( x 2 ) 表示 x1、x2 两点的实验结果，且 f ( x) 值 越大，效果越好，分几种情况讨论。 （1)若 f ( x ) ＞ f ( x ) ，即 f ( x ) 比 f ( x ) 好，则根据“留好去坏” 的原则，去掉实验范围 [a，x2]部分，在[x2，b]内 继续实验。见图 1。 ★若去掉实验范围的左边区间，则新试验点将它 排在新实验范围的 0.618 的位置上， 另一个试验点 在新范围的 0.382 的位置上， 但这一点恰巧在旧区 间已试的实验点上。 x3 x2 0.618 (b x2 ) x4=x2+0.382（b-x2） | x2 x1 | 0.236 0.382 而 | x2 b | （已试） 0.618
• 1）作法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中 点取点法。 • 2）优点：每做一个实验就可去掉试验范围的 一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效 果较好。 • 3）适用情况：适用于预先已了解所考察因素 对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接 分析出该因素的值是取大了或取小了的情况， 即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验 方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制。
从图 a)，b)看，在新区间[a,d]内，已包含算出了函数值的 点 f((即为原区间中 c))。所以在其内只需再取一个点（而 不是两个点）计算函数值，就可进一步把新区间短缩。 根据条件 2 有： 即
1 ，有
af ac ad ad ad ab
2
2
②
将②式代入①式，得关于 解出
第二节 单因素优化实验设计
一、定义
实验中只有一个影响因素，或虽有多个影 响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影 响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验， 即为单因素实验。 二、步骤 1）确定实验范围
2）确定指标 3）根据实际情况及实验要求，选择实验方法， 科学安排实验点
x：实验点
a＜x＜b
三、单因素优化实验设计方法

的一元二次方程
1 0

5 1 5 1 0.618 （另一根 2 负数，舍） 2
再由①式得

3 5 0.382 2
3） 0.618法一般步骤
• • • • ①确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了 实验范围[a，b] ）； ②选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、 0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）； ③根据“留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处 将实验范围去掉，从而缩小了实验范围； ④在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点， 重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。
20 40 50 55 60
3．黄金分割法（0.618法）
• 1）单峰函数（实验中指标函 数）
• 注：单峰函数不一定是光滑 的，甚至也不一定是连续的， 它只要求在定义区间内只有 一个“峰”。 • 函数的单峰性使我们可以根 据消去法原理逐步地缩小搜 索区间，已知其中包括了极 小点的区间，称为搜索区间。
对分法举例
• 例1：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲 灰管以前，必须加碱调整pH=7~8，加碱量范围[a，b]，试确 定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后pH。采用对分 法安排实验。
Baidu Nhomakorabea
• 第一次加药量 • i）若加药后水样pH＜7，加药范围中小于 x1的范围可舍弃，新的实验范围 x b [x1，b] ，第二次加药量x 2 。 • 实验后再测加药后水样pH。根据pH大小再次取舍，直到得到满意结果。 • ii）若加药后水样pH＞8，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药 范围中大于x1的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。
1、均分法 2、对分法 3、黄金分割法（0.618法） 4、分数法 5.抛物线法
1．均分法
• 1） 作法
x：实验点
a＜x＜b
• 2） 优点：只要把实验放在等分点上，实验 点安排简单。n次实验可同时做，节约时间， 也可一个接一个做，灵活性强。 • 3）缺点：实验次数较多，代价较大，不经济。
2．对分法（中点取点）
1．c、d 两点在[a，b]中的位置是对称的。这样，无论删去哪一段，总是保留长 为 的区间，即有 ac 即
db 。 1
①
2．无论删掉哪一段，例如删掉（db） ，在留下的新区间[ad]内，再插入一新点 e， 使 e,f(即为原区间中 c)在新区间[a,d]中的位置与 c，d 在原区间[a,b]中的位置具有 相同的比列。 这就保证了每次都以同一入的比率缩短区间。这样做的目的是为了减少函数值的 计算次数。
2）0.618法（黄金分割法） 的构思
• 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极 小点，为最佳实验点
1
λ β β
(a)
a
c
d
b
(b)
a
e
f(c)
d
•f(c)<f(d)
•
以图a看，设区间[a，b]的长为1，在与点a相 距分别为β 、λ 的点处插入c、d两点，为确定β 、λ 的数值，提出如下条件：
1
1 2 1 2
所以 x4=x1
★即除第一次要取二个试点外，以后每次只取一 个试点，另一个试验点在已试点上（不做） 。 同理，比较两个结果，去坏留好，进一步缩小 范围，进一步做实验，最后找出最佳点。
（ 2）若 f ( x 2 ) ＞ f ( x1 ) ，即 f ( x 2 ) 比 f ( x1 ) 好，则根据“留好去坏” 的原则，去掉实验范围的 [x1， b]，在剩余范围 [a， x1]内继 续实验。见图 2。 ★若去掉实验范围的右区间，则新点安排在新实验范围的 0.382 处，已试点一定在新区间的 0.618 处。
x1
2 1
ab 2
对分法举例
• 例2：称量质量为20~60g某种样品时， 第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏 轻，则可判断样品的质量为40~60g，于 是，第二次砝码的质量为50g，如果砝 码又偏轻，则可判断样品的质量为 50~60g，接下来砝码的质量为55g，如 此称下去，直到天平平衡为准。