矩阵的秩

授课题目：第五节 矩阵的秩教学目的：理解矩阵的秩的定义，掌握秩的求法，重点掌握线性方程组有解的充要条件.教学重点：掌握秩的求法和线性方程组有解的充要条件. 教学难点：线性方程组有解的充要条件. 课时安排：2学时.授课方式：多媒体与板书结合. 教学基本内容：2.5 矩阵的秩1概念定义1 在矩阵m n A ⨯中任取k 行k 列，位于这些行列交叉处的2k 个元素按原次序组成的k 阶行列式称为A 的k 阶子式.则A 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()R A ，并规定(0)0R =.注1） 若()R A r =，则A 中至少有一个r 阶子式不等于零；而若存在1r +阶子式，则所有的1r +阶子式全为0.2）对m n A ⨯，有()m in (,)R A m n ≤. 3）()()TR A R A =.4） 对于n 阶方阵A ，()R A n =的充分必要条件是0A ≠，故也称0A ≠的A 为满秩矩阵.5) 定义1 对给定的m n ⨯矩阵A ，称其非零子式的最高阶数为A 的秩，记作()R A ，并规定(0)0R =.一些教科书称这样定义的秩为矩阵的行列式秩. 在第4章建立向量组秩的概念后，分别定义矩阵的行秩与列秩，届时指出矩阵秩就是其列向量组的秩或行向量组的秩.6) 若发现A 有一k 阶非零子式，则必成立()R A k ≥.2 计算直接按定义去计算矩阵的秩，需要求出矩阵最高阶的非零子式，在一般情形下这决非轻而易举的事情，但对形状特殊的行阶梯形矩阵而言，这却是极为简单的. 性质1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 定理1 矩阵经行初等变换后，其秩不变. 推论1 矩阵经列初等变换后，其秩不变.推论2 设A 为m n ⨯矩阵，B 为m 阶满秩方阵, C 为n 阶满秩方阵，则()()()()r A r B A r A C r B A C ===.推论3 若m n A ⨯有标准形分解式A P N Q =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000r E N ，则()R A r =.定理2 任意m n A ⨯矩阵都可以仅用行初等变换化为行阶梯形矩阵. 3 计算矩阵A 的秩的方法：用行初等变换将A 化成行阶梯形矩阵, 则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是A 的秩. 例1 把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--34313021201； (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320；(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311. 解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--343130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02031001201 )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--010*********23~r r -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001. (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------1243323221453334311141312323~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------101050663008840034311 )5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22102210022100343112423213~rr rr r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000002210032011. 练习1在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的1r -阶子式?有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中，可能存在等于0的1r -阶子式，也可能存在等于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000010000100001α，()3R α=同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.练习2 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，问B A ,的秩的关系怎样? 解 ()()R A R B ≥. 设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠rD .矩阵B 是由矩阵A划去一行得到的，所以在A 中能找到与r D 相同的r 阶子式r D ，由于0r r D D =≠，故而()()R A R B ≥.练习3 求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是)0,0,1,0,1(,)0,0,0,1,1(-. 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且1(1,0,1,0,0)α=，2(1,1,0,0,0)α=-，则所求方阵可为12345A ααααα⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，秩为4，不妨设34455(0,0,0,,0)(0,0,0,0,)(0,0,0,0,0)x x ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩，取451x x ==， 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0010000010000001100101.练习4 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013； (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073131213123.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013r r 21↔~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211 32213131121112104650465046500~~r r r r r r ------⎛⎫- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭秩为2，二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------152733215911701443127~122113r r r r r r32~13441307119500r r -----⎛⎫ ⎪⎝⎭秩为2.二阶子式71223-=-.解非齐次线性方程组A x b =的一般方法1）设()()R A R A r ==，则A 中必有一个r 阶子式不等于零，其对应的r 阶方子矩阵可经行初等变换化为r 阶单位阵r E ，用行初等变换把增广矩阵A 化为包含一个r 阶单位阵r E 的梯矩阵在子块B 的分块矩阵)(c B B =.2）方程组B x c =的解极易求出，它就是方程组A x b =的解，因为方程组 A x b =与方程组B x c =同解.例1求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施初等行变换，有4212133831210~0101134113080006---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，()2R A =而()3R B =，故方程组无解. (2) 对系数的增广矩阵施行初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=z z z y z x 212，亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x .练习1 λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解 (1) 0111111≠λλλ，即1,2λ≠-时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(0)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ，得2λ=-时，方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ，由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ，得1λ=时，方程组有无穷多个解.练习2 (1) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231,113122214B A ，求X 使B AX =.(2) 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132321,433312120B A ，求X 使B XA =.解 (1) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~100102010153001124⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭1102153124X A B -⎛⎫ ⎪∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BAX ． 参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月.2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月.3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月. 作业和思考题： Page63：16—21课后小结：掌握秩的求法和判断线性方程组是否有解等问题.。